TEOREMA DE ROUCHÉ-TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUSFRÖBENIUS

UNHA INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

1© José Antonio Fernández Cereijo

En álxebra lineal, o teorema de Rouché-Frobenius permite establecer se un sistema de ecuacións lineais ten ou non ten solución, e, no caso de que teña solución permite determinar se a solución é única ou non (neste caso o número de solucións será infinito).

Leva o nome do matemático francés Eugène Rouché, quen o enunciou e o do matemático alemán Ferdinand Georg Fröbenius quen foi un dos moitos matemáticos que o demostraron.

Noutros idiomas recibe outros nomes como o teorema de Rouché-Capelli, o teorema de Rouché-Fontené, o teorema de Kronecker-Capelli, etc.

2

CONSIDERACIÓNS PREVIAS (I)Sexa un sistema de m ecuacións lineais con n incógnitassistema de m ecuacións lineais con n incógnitas:

Chamamos MM á matriz formada polos coeficientes das matriz formada polos coeficientes das incógnitas do sistemaincógnitas do sistema e M*M* á matriz obtida a partir de matriz obtida a partir de M engadíndolle a columna dos termos independentesM engadíndolle a columna dos termos independentes:

3

CONSIDERACIÓNS PREVIAS (II)O rango dunha matriz rango dunha matriz é o número de filas da matriz que número de filas da matriz que

son linearmente independentesson linearmente independentes. Coincide co número de columnas linearmente independentes.

Como son os rangos das matrices M e M*? Como son os rangos das matrices M e M*? Lembremos que a matriz M ten m filas e n columnas a matriz M ten m filas e n columnas e a matriz M*M* ten unha columna máis (a dos termos independentes), é dicir, ten m filas e n+1 columnasten m filas e n+1 columnas.

Posto que só engadimos unha columna ao pasar de M a M*, poden suceder dúas cousas: ou ben a columna ou ben a columna engadida é combinación lineal das demais engadida é combinación lineal das demais (neste caso non será linearmente independente) polo que o rango (número de columnas independentes) de M e M* será o mesmo, ou ben a columna engadida non dependerá das a columna engadida non dependerá das demaisdemais polo que o rango (número de columnas independentes) de M* vaise a incrementar nunha unidade respecto ó de M.

4

CONSIDERACIÓNS PREVIAS (II)Polo tanto chegamos á conclusión seguinte:

Concretamente se chamamos p ó rango de M, o rango de M* será:

5

CONSIDERACIÓNS PREVIAS (III)Os sistemas de ecuacións lineais sistemas de ecuacións lineais clasifícanse en

compatiblescompatibles e incompatiblesincompatibles.Se un sistema de ecuacións lineais ten solución un sistema de ecuacións lineais ten solución dise que

é compatiblecompatible.Se, polo contrario, carece de solución carece de solución dise que é

incompatibleincompatible.Os sistemas que teñen solución (compatibles) poden ter

solución única ou ter máis dunha solución. Se teñen unha única solución unha única solución dinse determinadosdeterminados e se teñen máis solucións*máis solucións* denomínanse indeterminadosindeterminados.

* No caso de que un sistema teña máis dunha solución necesariamente ten infinitas soluciónsinfinitas solucións.

6

ENUNCIADO DO TEOREMA de ROUCHÉ-FRÖBENIUSDado un sistema de m ecuacións lineais con n

incógnitas,

a condición necesaria e suficiente para que o sistema condición necesaria e suficiente para que o sistema teña solución é que o rango da matriz de coeficientes teña solución é que o rango da matriz de coeficientes coincida co rango da matriz ampliadacoincida co rango da matriz ampliada.

7

DEMOSTRACIÓN DO TEOREMA (I)

Se os rangos son iguais rangos son iguais a columna dos termos independentes depende linearmente das outras columnas, é dicir, é unha combinación linear das demais columnas. É dicir, existen

Logo é solución do sistema, e, polo tanto, o sistema é compatiblesistema é compatible.

8

DEMOSTRACIÓN DO TEOREMA (II)

Se o sistema é compatible ten polo menos unha solución. Supoñamos que é solución do é solución do sistema sistema entonces cúmprese que:

Substituíndo os valores de na matriz ampliada temos:

A última columna é combinación linear das anteriores, polo que concluímos que

9

DISCUSIÓN DE SISTEMASO número de columnas da matriz M coincide co número

de incógnitas do sistema. Polo tanto, o rango de M ó o rango de M ó sumo pode ser igual ó número de incógnitassumo pode ser igual ó número de incógnitas.

10

PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAISDiscute os seguintes sistemas de ecuacións lineares

utilizando o teorema de Rouché-Fröbenius.

11

SOLUCIÓN DOS EXERCICIOS ANTERIORES

12

SOLUCIÓN DOS EXERCICIOS ANTERIORES

13

SOLUCIÓN DOS EXERCICIOS ANTERIORES

14

SOLUCIÓN DOS EXERCICIOS ANTERIORES

15