Integrantes:Macías Martínez Jessica IvonneRubalcaba Sotelo IselaDomínguez Chavarría MonserratPérez Castañeda José AntonioGómez Francisco Eva AlinMartínez Gil Deyanira

INTEGRACIÓN POR PARTES Y POR IDENTIDADES

TRIGONOMETRICAS

Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.

1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x).

2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) · g(x), permite escribir, d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x) dx

3. Integrando los dos miembros,

INTEGRACIÓN POR PARTES:

Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du = f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,

cómo se resuelve una integral por partes???

Con este método se debe identificar una parte de la integral y dv con elresto, con la pretensión de que, al aplicar la fórmula obtenida, la integraldel segundo miembro, sea más sencilla de obtener que la primera.

No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si mes positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx.También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc senx, arc tg x ycon dv, exdx, sen x dx, cos x dx, etc.

Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que alhacer la identificación de dv, ésta debe contener siempre a dx.

Ejemplos:

1. Calcular :Tenemos que y por tanto obtenemos que:

Integrando:

Integrando tenemos:

Solución obtenida atraves de la factorización

2. Calcular: :∫ xex dxTenemos que:

u = x v = ex

du = dx dv = ex dx

Integrando tenemos:

Solución final

3. Calcular: ∫x2 ex dxPara este ejercicio sacando las literales tenemos: u = x2 v = ex

du = 2xdx dv = ex dx

La integral como solución final:

Observación: La elección u = ex dv = x2 dx nos lleva a una integral con un mayor grado de dificultad.

4. Calcular :Tenemos que:

v=x, du=dxIntegrando tenemos:

Solución final

MÉTODO DE INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para ello se utiliza una base teórica de reciprocidad de identidades:

´(senu)’=cosu u’ (cosu)’= –senu u’(tanu)’= sec2u u’ (ctgu)’= –csc2u u’ (secu)’= secu tanu u’(cscu)’= -cscu ctgu u’

¿CÓMO SE RESUELVE UNA INTEGRAL CON IDENTIDAD

TRIGONOMÉTRICA?

Para resolver una integral con identidad trigonométrica se debe tomar en cuenta los siguientes pasos:

1. Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.

2. Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.

3. Reducir una fracción impropia.

4. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.

5. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).

6. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).

Para resolver la integral mas rápido es necesario tomar en cuenta la tabla de identidades trigonométricas siguiente:

Tabla CI3-300: Identidades trigonométricas útiles

Identidades fundamentales Del teorema de Pitágoras Translaciones

1. cscx=1/senx 7. sen2x+cos2x=1 10. sen(-x)=–senx

2 . secx=1/cosx 8. 1+tan2x=sec2x 11. cos(-x)=cosx

3. tanx=senx/cosx 9 . 1+ctg2x=csc2x 12. tan(-x)=-tan(x)

4. ctgx=cosx/senx Sumas y restas de ángulos 13. sen (π/2 –x)=cosx

5. tanx=1/ctgx 18. sen(x+y)=senxcosy+cosxseny 14. cos(π/2 –x)=senx

15. tan(π/2 –x)=ctgx

6. ctgx=1/tanx 19.sen(x–y)=senxcosy–cosxseny Múltiplos de ángulos

Ley de senos 20.cos(x+y)=cosxcosy–senxseny 24. sen2x=2senxcosx

16. senA/a=senB/b=senC/c 21.cos(x–y)=cosxcosy+senxseny 25. cos2x=cos2x-sen2x

26. cos2x=2cos2x-1

27. cos2x=1-2sen2x

Ley del coseno 22. tan(x+y)=(tanx+tany)/(1–tanxtany) 28. tan2x=stanx/(1-tan2x)

17. c2=a2+b2-2abcosC 23. tan(x–y)=(tanx–tany)/(1+tanxtany) 29. sen2x=(1-cos2x)/2

30. cos2x=(1+cos2x)/2

Para resolver este tipo de integrales existen ciertas reglas para integrar este tipo de funciones que posteriormente serán utilizadas en el método de sustitución trigonométrica.

1. Potencias de senos y cosenos: ∫ sen x dx ∫ cos x dx

Para resolver este tipo de integrales vamos a tomar en cuenta dos casos:

a) Si n es impar, es decir n = 2k +1, factorizamos el integrando, por ejemplo:senn x dx = sen2k+1 x dx = (sen2 x)k senx dx .Utilizamos la identidad sen2x + cos2x =1 y tomamos el cambio de variable u =cosx. De manera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de variable u= senx.b)Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo: senn x = sen2k x = (sen2 x)k ó en el caso del coseno:cosn x = cos2k x = (cos2 x)ky utilizamos las identidades trigonométricas:

sen2 x = 1- cos(2x)/2 o cos2x= 1+ cos(2 )/2

2.Productos de potencias y senos y cosenos: ∫ senm xcosn xdx

a) Si m y n son pares, utilizaremos las identidades: sen2 x = 1- cos(2x)/2 y cos2x= 1+ cos(2 )/2

b) Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad sen2x + cos2x = 1

3. Productos de potencia de tangentes y secantes: ∫ tanm xsecn xdx

a)Si n es par, utilizamos la identidad: sec2x = 1 + tan2x.

b) Si m es impar, utilizamos la identidad: tan2x = sec2x- 1.

c) Si n es impar y m par usamos algún otro método como por ejemplo: integración por partes.

Ejemplos:

1. Calcular:Por tanto comenzaremos a buscar identidades trigonométricas y sustituimos:

Solución final

2. Calcular:Se sustituye por identidades trigonométricas:

Solución final

3. Calcular:Sustituimos su identidad trigonométrica en base ala tabla y obtenemos:

Solución final

4. Calcular:

Sustituimos en la formula y derivamos para integrar:

5. Calcular:Al sustituir:

Solución final

Solución final