Matemáticas Académicas 3º ESO Tema 11 Funciones

Tenéis que pasar a la libreta:

- Las explicaciones a partir del punto II. (El punto I ya lo tenéis).

- Los ejemplos y ejercicios resueltos.

- Los ejercicios propuestos.

Lo vais pasando en el orden en que aparece aquí.

El primer día de clase os pediré las libretas y veré si lo tenéis todo hecho. Los

ejercicios propuestos se corregirán todos en clase.

I. Dominio y Recorrido de una función. Puntos de corte con los ejes. (Esta parte ya la habíamos visto, pero os la repaso).

Dom (f) son los valores que puede tomar la variable independiente x.

Rec(f) son los valores que toma la variable dependiente y.

¿Cómo lo calculamos? Si tenemos la gráfica de la función, es fácil: el dominio lo miramos de izquierda a

derecha y el recorrido de abajo a arriba. Tenéis en la libreta algunos ejemplos ya hechos sobre esto.

Si no tenemos la gráfica de la función, podemos calcular su dominio teniendo en cuenta lo siguiente:

- Si la función no tiene raíces ni denominadores, su dominio es (– ∞, + ∞).

- Si hay denominadores, tenemos que quitar del dominio todos los valores de x que hagan 0 el

denominador.

- Si hay raíces, el dominio estará formado por todos los valores de x que hagan positivo el radicando.

Puntos de corte con los ejes. Si tenemos la gráfica de la función, basta con ver en qué puntos corta a los ejes

vertical y horizontal.

Si no tenemos la gráfica, los puntos de corte son de la forma (x, 0) o (0, y). Por tanto para calcularlos basta

con que hagamos x = 0 y despejemos f(x), o que hagamos f(x) = 0 y despejemos x.

Todo esto lo tenéis ya en la libreta y no hace falta volver a copiarlo. A partir de aquí, hay que copiarlo

todo.

Ejercicio resuelto. Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

a) f(x) = 𝑥−4

𝑥2+4

Tenemos que quitar del dominio los puntos que hagan x2 + 4 = 0 (no hay) Dom(f) = (– ∞, + ∞).

Puntos de corte: x = 0 f(x) = −4

4 = – 1 (0, – 1) es un punto de corte con el eje vertical.

f(x) = 0 x – 4 = 0 x = 4 (4 , 0) es un punto de corte con el eje horizontal.

b) f(x) = 𝑥2 − 4

Dom(f) son los valores de x tal que x2 – 4 ≥ 0, es decir, x

2 ≥ 4. Dom(f) = ( – ∞, – 2) U (+2, + ∞).

Puntos de corte con el eje vertical: x = 0 f(x) = −4 No hay.

Puntos de corte con el eje horizontal: f(x) = 0 x2 – 4 = 0 x = 2, x = – 2

Los puntos de corte son (2, 0) y ( – 2 , 0) .

Ejercicio propuesto 1. Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x – 3 b) f(x) = 1

𝑥 c) f(x) = x2 d) f(x) = 2𝑥 − 2

e) f(x) = + 𝑥2 + 4 f) f(x) = 1

𝑥2−4 f(x) = 𝑥2 + 8𝑥 − 20

Ejercicio propuesto 2. Ejercicio 37 del libro.

Ejercicio propuesto 3. Ejercicio 40 del libro.

II. Continuidad. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

Leeros el apartado 3 del libro : “Continuidad”. Ahí tenéis tres ejemplos y la definición. Es muy

sencillo: una función es continua si no da “saltos”.

En la libreta copiáis el recuadro de la página 218 donde da la definición y el siguiente ejercicio

resuelto:

Ejercicio 18 del libro.

a) Es continua.

b) Tiene puntos de discontinuidad en x = – 2 y en x = 2.

c) Tiene puntos de discontinuidad en x = 1, x = – 1, x = 3 , x = – 3, …En todos los números enteros impares.

d) Es continua.

Leeros el apartado 4 del libro (pag. 220). “Crecimiento. Máximos y mínimos”. Ahí tenéis dos

ejemplos resueltos y las definiciones.

En la libreta copiáis los dos recuadros donde da las definiciones y el siguiente ejercicio

resuelto:

Ejercicio 22 del libro. (Cuando dice estudiar “la monotonía” quiere decir el crecimiento/decrecimiento).

a) Siempre decreciente.

b) Siempre creciente.

c) Decreciente en ( – ∞, 0) y creciente en (0, + ∞).

d) Creciente en (– ∞, 1 ) y decreciente en (1, + ∞).

Ejercicio propuesto 4. Ejercicio 23 del libro.

Ejercicio propuesto 5. Ejercicio 41 del libro.

Ejercicio propuesto 6. Ejercicio 42 del libro.

III. Simetrías y periodicidad. (De este apartado hay que copiar todo en la libreta)

Mirad el apartado 5 del libro (pag. 222).

La gráfica de la izquierda (que la hacéis en la libreta) corresponde a la función f(x) = x2. Tenemos una tabla

de valores:

x f(x) Fijaos que f(1) = f(– 1) , f(2) = f(– 2) , ….

1 1 Una función que cumple que f(– x) = f(x) es una función par.

– 1 1 En la gráfica eso se traduce en que es simétrica respecto al eje vertical.

2 4

– 2 4

La gráfica de la derecha corresponde a la función f(x) = x3.

x f(x) Fijaos que f(– 1) = – f(1) , f(– 2) = – f(2), ….Si cambiamos el signo de x, cambia

1 1 el signo de f(x).

– 1 – 1 Una función que cumple que f(– x) = – f(x) es una función impar.

2 8 En la gráfica eso se traduce en que es simétrica respecto al origen (el punto (0, 0) ).

– 2 – 8

Una función es periódica de periodo T, si se repite en intervalos sucesivos de amplitud T.

Por ejemplo, en la gráfica que aparece en la pag. 222, la función es periódica de periodo T = 15.

Ejercicio resuelto. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a) f(x) = 1

𝑥2

x f(x) f(1) = f(– 1) , f(2) = f(– 2) , ….

1 1 Es una función par: simétrica respecto al eje vertical.

– 1 1

2 1/4

– 2 1/4

b) f(x) = 2x – 1

x f(x)

1 1 No es ni par ni impar. No hay simetría.

– 1 – 3

2 3

– 2 – 5

Ejercicio 26 del libro.

a) Impar b) Par c) Par d) Impar

Ejercicio 27 del libro.

a) f(– 1 ) = f(1) , f(–2 ) = f(2) , …. La función es par.

b) f(– 1 ) = – f(1) , f(–2 ) = – f(2) , …. La función es impar.

Ejercicio propuesto 7. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a) f(x) = x2 b) f(x) = c) y = 3x2 + 1

d) y = x3 – 2x e) y = x

2 + x f) f(x) = 2x

Ejercicio propuesto 8. Ejercicio 28 del libro.

Ejercicio propuesto 9. Ejercicio 29 del libro.

Ejercicio propuesto 10. Ejercicio 48 del libro.

Ejercicio propuesto 11. Ejercicio 50 del libro.