matemÁticas acadÉmicas 3º eso · 2021. 8. 17. · matemÁticas acadÉmicas 3º eso mercedes...

IES DE ORTIGUEIRA PROF: MERCEDES RAMONDE

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO REPASO PARA EL EXAMEN DE SEPTIEMBRE

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO

MERCEDES RAMONDE SIXTO 1

Dpto de Matemáticas Curso 2019/20

PLAN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 3º ESO ACADÉMICAS

Los alumnos/as que no hayan superado la asignatura de Matemáticas de 3º ESO en

la evaluación final ordinaria, deberán recuperarla en la evaluación extraordinaria de

septiembre (debe estar pendiente de la publicación de la fecha y hora).

A continuación, se detallan los criterios trabajados desde el principio de curso que

el alumno/a debe recuperar:

1. Resolver problemas numéricos, geométricos, funcionales y estadístico-

probabilísticos de la realidad cotidiana, desarrollando procesos y utilizando leyes de

razonamiento matemático; asimismo, analizar y describir de forma oral o mediante

informes, el proceso seguido, los resultados, las conclusiones, etc., a través del

lenguaje matemático. Además, comprobar, analizar e interpretar las soluciones

obtenidas, reflexionando sobre la validez de las mismas y su aplicación en

diferentes contextos, valorar críticamente las soluciones aportadas por las demás

personas y los diferentes enfoques del mismo problema, trabajar en equipo,

superar bloqueos e inseguridades y reflexionar sobre las decisiones tomadas,

aprendiendo de ello para situaciones similares futuras.

2. Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación en el proceso de

aprendizaje, buscando y seleccionando información relevante en Internet o en

otras fuentes para elaborar documentos propios, mediante exposiciones y

argumentaciones y compartiéndolos en entornos apropiados para facilitar la

interacción. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas para realizar cálculos

numéricos y estadísticos; realizar representaciones gráficas y geométricas y

elaborar predicciones, y argumentaciones que ayuden a la comprensión de

conceptos matemáticos, a la resolución de problemas y al análisis crítico de

situaciones diversas.

3. Utilizar los números (enteros, decimales y fracciones), sus operaciones y

propiedades para recoger, interpretar, transformar e intercambiar información

cuantitativa y resolver problemas de la vida cotidiana. Aplicar la jerarquía de las

operaciones, elegir la forma de cálculo más apropiada en cada caso (mental, escrita,

mediante medios tecnológicos…), valorar críticamente las soluciones obten idas,

analizar su adecuación al contexto y expresarlas con la notación y la unidad de

medida adecuada y según la precisión exigida (aproximaciones por exceso o

defecto, redondeo, truncamiento, notación científica…) calculando el error

cometido cuando sea necesario.

I.E.S. D

E ORTIG

UEIRA



Contenidos

✓ Significado y uso de las potencias de números racionales con exponente entero.

✓ Aplicación de las potencias de base 10 para la expresión de números muy pequeños.

Operaciones con números expresados en notación científica.

✓ Expresión decimal de raíces cuadradas no exactas.

✓ Transformación de expresiones radicales y operaciones entre ellas.

✓ Transformación de fracciones en decimales y viceversa

✓ Cálculo de la fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos.

✓ Operaciones con fracciones y decimales aplicando la jerarquía de operaciones

✓ Cálculo aproximado y redondeo. Cálculo del número de cifras significativas y del error

absoluto y relativo.

4. Utilizar el lenguaje algebraico para operar con expresiones algebraicas y obtener

los patrones; todo ello con la finalidad de resolver problemas contextualizados

mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas, contrastando e

interpretando las soluciones obtenidas, valorando otras formas de enfrentar el

problema y describiendo el proceso seguido en su resolución de forma oral o escrita.

Contenidos

✓ Investigación de regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en conjuntos de

números. Expresión algebraica

✓ Resolución algebraica y gráfica de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

✓ Transformación de expresiones algebraicas. Uso de las igualdades notables. Operaciones

elementales con polinomios.

✓ Planteamiento y resolución de problemas reales mediante la utilización de ecuaciones.

Análisis crítico de las soluciones.

✓ Uso y evaluación crítica de diferentes estrategias para la resolución de ecuaciones.

5. Sucesiones numéricas. Sucesiones recurrentes Progresiones aritméticas y

geométricas.

Contenidos

✓ Obtención de términos de una sucesión dado su término general. Obtención del término

general conociendo algunos términos.

✓ Progresiones aritméticas. Concepto. Identificación. Relación entre los distintos elementos de

una progresión aritmética. Obtención de uno de ellos a partir de los otros.

✓ Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética.

✓ Progresiones geométricas. Concepto. Identificación. Relación entre los distintos elementos

de una progresión geométrica. Obtención de uno de ellos a partir de los otros. Suma de

términos consecutivos de una progresión geométrica.

✓ Resolución de problemas de progresiones

6. Funciones

Contenidos

I.E.S. D

E ORTIG

UEIRA



✓ Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno

cotidiano y de otras materias.

✓ Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la

gráfica correspondiente.

✓ Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional dadas mediante tablas y

enunciados.

✓ Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes

ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la

representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.

✓ Expresiones de la ecuación de la recta.

✓ Funciones cuadráticas. Representación gráfica. Utilización para representar situaciones

de la vida cotidiana.

7. Geometría. Geometría del plano y del espacio.

Contenidos

✓ Rectas y ángulos en el plano. Relaciones entre los ángulos definidos por dos rectas que se

cortan.

✓ Lugar geométrico: mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo.

✓ Polígonos. Circunferencia y círculo. Perímetro y área.

✓ Teorema de Tales. División de un segmento en partes proporcionales.

✓ Teorema de Pitágoras. Aplicación a la resolución de problemas.

✓ Movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías.

✓ Poliedros, poliedros regulares. Vértices, aristas y caras. Teorema de Euler.

✓ Planos de simetría en los poliedros.

✓ La esfera. Intersecciones de planos y esferas

✓ El globo terráqueo. Coordenadas geográficas y husos horarios. Longitud y latitud de un

punto.

8. Analizar e interpretar la información estadística que aparece en los medios de

comunicación, valorar su representatividad y fiabilidad, y comparar distribuciones

estadísticas. Asimismo, planificar y realizar, trabajando en equipo, estudios

estadísticos sencillos relacionados con su entorno y elaborar informaciones

estadísticas para describir un conjunto de datos mediante tablas y gráficas,

justificar si las conclusiones son representativas para la población, y calcular e

interpretar los parámetros de posición y de dispersión de una variable estadística.

Contenidos

✓ Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. Significado y distinción de

población y muestra. Reconocimiento de variables estadísticas: cualitativas, discretas y

continuas.

✓ Métodos de selección de una muestra estadística. Estudio de la representatividad de una

muestra.

✓ Obtención de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. Agrupación de datos en

intervalos.

✓ Elaboración e interpretación de gráficas estadísticas.

I.E.S. D

E ORTIG

UEIRA



✓ Cálculo, interpretación y propiedades de parámetros de posición.

✓ Cálculo de parámetros de dispersión.

✓ Elaboración e interpretación del diagrama de caja y bigotes.

✓ Interpretación conjunta de la media y la desviación típica.

✓ Planificación y realización de estudios estadísticos. Comunicación de los resultados y

conclusiones.

10. Realizar una estimación de la probabilidad de un suceso asociado a un

experimento aleatorio sencillo, en situaciones de juego o en la vida cotidiana, y

comprobar la estimación realizada mediante el cálculo de probabilidades a partir de

su frecuencia relativa, la regla de Laplace o los diagramas de árbol, identificando los

elementos asociados al experimento. Desarrollar conductas responsables respecto

a los juegos de azar.

Contenidos

✓ Identificación de experiencias aleatorias, sucesos y espacio muestral.

✓ Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace.

✓ Uso de diagramas de árbol.

✓ Significado y aplicación de permutaciones y factorial de un número.

✓ Utilización de la probabilidad para la toma de decisiones fundamentadas en diferentes

contextos.

Para superar el examen de septiembre se recomienda:

• Diseñar un plan de trabajo diario durante los meses de verano.

• Realizar esquemas de las unidades trabajadas.

• Utilizar el libro de texto como material de consulta e internet como recurso.

• Realizar los ejercicios que se proponen en este plan de recuperación y otros

similares a los realizados durante el curso.

Aprovechamos para desearle a todo el alumnado, padres y madres un feliz verano.

Atte: El profesor/a responsable

I.E.S. D

E ORTIG

UEIRA



Unidad didáctica 1: Números racionales y decimales

Ejercicio: Resuelve las operaciones:

a) [(–7 + 5 – 2) – (6 – 8) + 5] : (–3) = Sol: -1

b) [(–5) · (–3) · 4 + 12] : [–12 – (–3)] = Sol: -8

c) –4 + 6 · (–2 + 5) : (–9) + 2 · 3 = Sol: 0

d) –18 – [4 + (–6)] : 2 + 5 = Sol: -12

e) {[–4 + 6 · (–2 + 5)] : (–7) + 2} · 3 = Sol: 0

f) 18 : [6 – 3 · (–4 : 2 + 1)] – 3 = Sol: -1

g) (–5) – (–9) – 4 · (–3) : (–2) : (–6) = Sol: 5

h) 3 – 6 : 2 · (–3) : [–2 + (–1)] = Sol: 0

i) [(–4 + 6 : 3 + 1)·(6 – 4 : 2) + 8] : (–2) = Sol: -2

j) 2 + 4 : 2 – 3 · (–5) + 6 – 3 : (5 – 2 · 3) = Sol: 28

k) (–2) · [8 – 6 · (–3 + 12 : 2) : (–3) + 1] + (–3) = Sol: -33

l) |– 5 + 2| – 8 : [– 2 + 3 · (– 3 + 1)] + 1 + 6 : (– 2) = Sol: 2

m) 25 : [– 7 – (– 2)] – (– 5) · 4 · |– 2| = Sol: 35

Ejercicio: Calcula la fracción irreducible de:

a) 24

36 b)

60

25 c)

540

320 d)

120

90

Solución:

a) 24

36= ⏟

2412⁄

3612⁄=2

3m.c.d.(24,36) = 12

b) 60

25= ⏟605⁄

255⁄=12

5m.c.d.(60,25) = 5

c) 540

320= ⏟

54020⁄

32020⁄=27

16m.c.d.(540,320) = 20

d) 120

90= ⏟

12030⁄

9030⁄=4

3m.c.d.(120,90) = 30

Ejercicio: Reduce a común denominador: 𝟏

𝟑 , 𝟐

𝟓 ,

𝟏

𝟒 ,

𝟕

𝟔 ,

𝟏

𝟏𝟎

Solución: Como: m.c.m. (3, 5, 4, 6, 10) = 60:

1

3=(60/3=20).1

60=20

60

2

5=(60/5=12).2

60=24

60

1

4=(60/4=15).1

60=15

60

7

6=(60/6=10).7

60=70

60

1

10=(60/10=6).1

60=

6

60 I.E

.S. DE O

RTIGUEIR

A



Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones:

a) 5

3- (2

5.7

2)-1

3

b) (2

3.5-

3

4) .

7

2

c) (𝟓

𝟒−𝟑

𝟖.𝟒

𝟗)−

𝟒

𝟓. 𝟐

d) 𝟓

𝟑− (

𝟐

𝟓.𝟕

𝟐−𝟏

𝟑)

e) [(−𝟕

𝟑) .𝟒

𝟓−𝟐] .

𝟓

𝟑

f) −𝟑.𝟒

𝟏𝟓− (

𝟕

𝟖. 𝟓 − 𝟗)

g) 𝟒

𝟓−𝟕

𝟐+ [(

𝟑

𝟐)𝟐

+𝟒−𝟏

𝟖]

h) (𝟏

𝟓+𝟕

𝟐)+ [(

𝟑

𝟐−𝟏

𝟕)+ 𝟔𝟑]

i) (−𝟐)𝟑.𝟏

𝟐−𝟓

𝟑+ (−𝟒:

𝟏

𝟖. 𝟑)

j) 𝟐 +(𝟐𝟓−𝟏

𝟑).(𝟑−

𝟏

𝟐)

(𝟐:𝟒

𝟓).(𝟏

𝟑−𝟏

𝟔)+𝟏

𝟒

−𝟐

k) (𝟐

𝟑−𝟏

𝟐).(𝟐−

𝟏

𝟐)𝟐

(𝟏

𝟐:𝟒

𝟑).(𝟏

𝟐−𝟏

𝟒)+𝟏:𝟏

𝟐

Solución:

a) 5

3−(

2

5.7

2) −

1

3=5

3−(

7

5)−

1

3=5

3−7

5−1

3=25−21−5

15=−1

15

b) (2

3. 5 −

3

4) .7

2= (

10

3−3

4) .7

2= (

40−9

12).7

2=31

12.7

2=217

24

c) (5

4−3

8.4

9)−

4

5. 2 = (

5

4−1

6) −

4

5. 2 = (

15−2

12)−

4

5. 2 =

13

12−4

5. 2 =

13

12−8

5=65−96

60=−31

60

d) 5

3− (

2

5.7

2−1

3) =

5

3−(

7

5−1

3) =

5

3−(

21−5

15) =

5

3−(

16

15) =

25−16

15=

9

15=3

5

e) [(−7

3) .4

5−2] .

5

3= [−

28

15−2] .

5

3= [

−28−30

15] .5

3= [

−58

15] .5

3=−58

9

f) −3.4

15−(

7

8. 5 − 9) = −3.

4

15−(

35

8−9) = −3.

4

15− (

35

8−9) = −3.

4

15−(

35−72

8) =

= −3.4

15− (−37

8) = −3.

4

15+37

8=−12

15+37

8=153

40

g) 4

5−7

2+ [(

3

2)2

+4 −1

8] =

4

5−7

2+ [

9

4+ 4−

1

8] =

4

5−7

2+ [

18+32−1

8] =

4

5−7

2+ [

18+32−1

8] =

=4

5−7

2+49

8=32− 140+245

40=137

40

h) (1

5+7

2)+ [(

3

2−1

7)+ 63] = (

1

5+7

2) + [(

3

2−1

7) + 216] = (

2+35

10)+ [(

21−2

14) + 216] =

= (37

10)+ [(

19

14)+ 216] = (

37

10)+ [

19

14+ 216] =

37

10+3 043

14=15474

70=7737

35

i) (−2)3.1

2−5

3+ (−4:

1

8. 3) = (−8).

1

2−5

3+ (−32.3) = −4 −

5

3+ (−96) = −4 −

5

3−96 =

I.E.S. D

E ORTIG

UEIRA



=−12− 5− 288

3=−305

3

j) 2+(2

5−1

3).(3−

1

2)

(2:4

5).(1

3−1

6)+1

4

− 2 =(2

5−1

3).(3−

1

2)

(2:4

5).(1

3−1

6)+1

4

=(1

15).(5

2)

(5

2).(1

6)+1

4

=16⁄

5

12+1

4

=16⁄

23⁄=1

6.3

2=1

4

k) (2

3−1

2).(2−

1

2)2

(1

2:4

3).(1

2−1

4)+1:1

2=

(1

6).(3

2)2

(1

2.3

4).(1

4)+1:1

2=

1

6.9

4

(3

8).(1

4)+1:1

2=

3

83

32+1:1

2=

3

835

32

:1

2=

=3

8.32

35:1

2=12

35:1

2=12

35. 2 =

24

35

Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones:

a) 1

9+3

9.7

4-1

2.5

6= Sol:

5

18 f) (

𝟗

𝟖−𝟏

𝟒)𝟐

+(𝟓

𝟐+ 2) (𝟏 −

𝟑

𝟒) = Sol:

121

64

b) 𝟐𝟐−6

4:

3

2:

1

3+ (

𝟑

𝟒)𝟐= Sol:

25

16 g)

𝟓

𝟏𝟐+𝟏

𝟑+ [𝟐 − (

𝟑

𝟓+𝟒

𝟔)]− (

𝟏

𝟐)𝟐

= Sol: 37

90

c) 𝟗

𝟏𝟔− √

𝟐𝟓

𝟒+𝟕

𝟐.𝟖

𝟑−𝟓

𝟒:𝟏

𝟑= Sol:

175

48

d) 𝟓

𝟖−𝟑

𝟖.𝟏

𝟗+ (

𝟑

𝟐)𝟐

: 𝟓

𝟒−𝟏 = Sol:

71

24

e) 𝟏𝟕

𝟐+𝟑

𝟐. (𝟑

𝟓)𝟐

−𝟔. √𝟏

𝟒+𝟐 = Sol:

201

25

Problemas de aplicación de fracciones

Ejercicio: En un hotel, la mitad de las habitaciones están en el primer piso; la

tercera parte, en el segundo piso, y el resto, en el ático, que tiene diez

habitaciones. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?

Solución: Como entre el 1.er y 2.° piso hay un total de: 1/2 +1/3 =5/6 de las

habitaciones.

En el ático quedan: 1 – 5/6 =1/6 de las habitaciones, que son 10 habitaciones.

En total hay 60 habitaciones.

Así, en el primer piso hay 30 habitaciones, en el segundo, 20 habitaciones y en el

ático 10.

I.E

.S. DE O

RTIGUEIR

A



Ejemplo: Cada mes, cuando Iván cobra su nómina, separa el dinero de la

siguiente forma:

La mitad para el alquiler de la casa, la cuarta parte del resto para la comida, la

sexta parte de lo que queda para el transporte, y los tres octavos del resto para

otros gastos de la casa.

¿Qué fracción conserva aún a principios de septiembre?

Solución:

Ejemplo: El primer día después del Diluvio se escaparon la mitad de los

animales del Arca de Noé. Al día siguiente, un tercio de los que quedaban, y el

tercer día se escaparon un cuarto de los que aún quedaban. ¿Qué fracción de

los animales que había inicialmente permaneció en el Arca?

Solución:

Ejercicio: Los 3/4 de los empleados de una empresa tienen contrato indefinido;

2/3 del resto tienen contrato temporal, y los demás son eventuales. ¿Qué

fracción suponen los eventuales?

Solución:

La fracción de eventuales es 1/12.

I.E.S. D

E ORTIG

UEIRA



Ejercicio: Un embalse está lleno a principios de verano. En julio pierde 3/7 de

su contenido, y en agosto, 3/4 de lo que le quedaba. ¿Qué fracción conserva

aún a principios de septiembre?

Solución:

La fracción que conserva a principios de septiembre es 1/7.

Ejercicio: Obtén la fracción generatriz de:

a) 0,25

b) 10,482

c) 0,0042

d) 12,35̂

e) 7,425̂

f) 14,04̂

g) 0,1�̂�

h) 1,𝟐�̂�

Solución:

a) 0,25 = 25

100=1

4

b) 10,482 = 10482

1000=5241

500

c) 0,0042 = 42

10000=

21

5000

d) 12,35̂ =1235−123

90=1112

90

e) 7,425̂ =7425−74

990=7351

990

f) 0,004̂=4−0

900=

4

900=

1

225

g) 0,16̂=16−1

90=15

90=1

6

h) 1,24̂=124−1

99=123

99=41

33

Ejercicio: Opera utilizando fracciones generatrices:

a) 𝟎,�̂�−𝟎,𝟒�̂�

𝟎,𝟓 b)

𝟏,�̂�−𝟏,𝟐�̂�

𝟎,𝟑 d)

𝟐,�̂�−𝟏,𝟑�̂�

𝟎,𝟓

Solución:

a) 0,3̂-0,47̂

0,5=

3

9-

43

905

10

=-

13

901

2

=-13

45

b) 1,3̂-1,21̂

0,3=

12

9-

109

903

10

=

11

903

10

=11

27

d) 2,3̂−1,32̂

0,5=

21

9−119

905

10

=91

901

2

=91

45

I.E.S. D

E ORTIG

UEIRA



Ejercicio: Resuelve los siguientes ejercicios de operaciones combinadas

con números decimales:

Para resolver ejercicios con operaciones combinadas hay que tener presente

las mismas normas que usábamos en números enteros:

a) 16,05 x (8 - 4,5) =

b) (36,49 + 4,32 + 18,2) : 3 =

c) 5,007 + 4,32 - 3,073 =

d) 0,4 :(0,6 + 0,2) - 0,3 =

e) 6,05 x 0,02 - 0,001 : 0,5 =

f) 0,58 : 0,29 x 4 - 0,48 x 0,2 =

g) 4,41 : (3,5 + 2,8) + 24,5 =

h) 6,2 x 0,4 + 3,4 x 3,6 =

i) 12,6 + 0,4 - 0,2 x 0,2 =

j) 3,06 :0,2 + 3,8 x 0,5 =

k) 15,04 x 0,6 + 12,6 :6,3 =

l) 4,26 x (9,5 + 3,5) - 6,4 x 3,8 =

m) 6,28 :(2,04 - 1,54) x 2,58 =

Ejercicio: Resuelve los siguientes ejercicios de operaciones combinadas

con números decimales:

a) 23,04 × (9 - 3,5) =

h) 12,4 × 0,6 + 6,8 × 9,2 =

b) (72,36 + 12,18 + 6,3) ÷ 3 =

i) 16,2 + 0,6 - 0,4 × 0,7 =

c) 28,004 + 14,72 - 8,072 =

j) 4,07 ÷ 0,5 + 16,2 ÷ 5,4 =

d) 4,8 ÷ (0,8 - 0,4) - 0,86 =

k) 23,02 × 0,4 + 43,2 ÷ 4,8 =

e) 3,06 × 0,04 - 0,02 ÷ 0,4 =

l) 6,43 × (8,5 + 3,5) - 8,2 × 4,6 =

f) 0,125 ÷ 0,25 × 6 - 0,24 × 0,2 =

m) 4,26 ÷ (3,04 - 2,54) × 4,27 =

g) 8,82 ÷ (2,8 + 3,5) - 26,5 =

n) (2,76+7,24)×0,02+(5,06+7,94)÷0,05=

I.E.S. D

E ORTIG

UEIRA



Unidad didáctica 2: Potencias y Raíces

Ejercicio: Opera y expresa como potencias de base número primo:

a) 54 . 253

b) 84 . 162

c) 63 . 125

d) 47 . 32

e) (-12)3 . 185

f) (-63)5 . 212

g) 322 . (-24)3

h) -722 . (-4)7

i) 75 : 73

j) 128 : 125

k) (-9)6 : (-9)3

l) (-6)7 : (-6)

Solución:

a) 54 .(52)3 =54 .56=54+5= 510

b) (23)4 . (24 )2= 212.28=212+8 = 220

c) (2.3)3 . (22.3)5=23.33.210.35 = 23+10 . 33+ 5= 213. 38

d) (22)7 . 25 = 214.25= 214+5 = 219

e) (-1)3 . (22 . 3)3 . (2 . 32)5 = (-1) . 26 . 33.25.310 =(-1). 211 . 313= -211 . 313

f) (-1)5 . (32 . 7)5 . (3 .7)2 = (-1) . 310 . 75. 32 . 72=(-1) . 312 . 77

g)( 25)2 . (-1)3 . (23. 3)3 =210. (-1) . 29 . 33= (-1).219. 33= -219. 33

h) (-1)2 . (23 . 32)2 .(-1)7 . (22)7 = 23 . 34.(-1).214=(-1).217.34= -217.34

i) 75-3=72

j) 128-5 =123= (22.3)3=26.33

k) (-9)6-3 = (-9)3 = (-1)3. (32)3=(-1).36= -36

l) (-6)7-1 = (-6)6 = (-1)6(2.3)6=26. 36

Ejercicio: Reduce usando operaciones entre potencias:

a) a2.b

-3.a-5

a5.b-8 b)

x-5.y7.z-3

z . x4 c) a6:(b2.a-2):a2

Solución:

a) a2.b-3.a-5

a5 .b-8 =a-3.b-3

a5.b-8 =a-8.b5

I.E.S. D

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b) x-5.y7.z-3

z . x4=x-9.y7.z-4

c) a6:(b2.a-2).a2=a8.b-2.a2=a10.b-2

Ejercicio: Simplifica usando operaciones entre potencias, llegando a bases que sean

números primos:

a) 405.(-3)7

102.92.82

b) (−𝟐𝟐)

𝟑.(−𝟒)𝟐

(−𝟐)𝟑.𝟏𝟔𝟐

c) 𝟖𝟐 .𝟖𝟏−𝟐.𝟗𝟑

𝟐−𝟐 .𝟔−𝟐 .𝟒𝟑 .𝟑

d) 𝟑𝟔𝟐.𝟒𝟑 .𝟖𝟐 .𝟑−𝟑

𝟐𝟕𝟐 .𝟐−𝟒 .𝟏𝟐𝟑

e) 𝟐−𝟓 .𝟒𝟑 .𝟏𝟔𝟐.𝟗−𝟑

𝟐𝟕𝟐 .𝟐𝟓−𝟒 .𝟏𝟓𝟔

f) 𝟐𝟒 .𝟒𝟑 .𝟐𝟓𝟐 .𝟐𝟒−𝟑

𝟖𝟏𝟐 .𝟓−𝟒 .𝟏𝟔𝟔

Solución:

a) 405.(-3)7

102.92 .82 =(23.5)

5.(-1.3)7

(2.5)2.(32)2.(23)2=215.55.(-1)7.37

22.52.34.26 =

215.55.(-1)7.37

28.52.34 = (-1)7 .27 .33 .53

b) (−22)

3.(−4)2

(−2)3.162=(−1.22)

3.(−1.22)

2

(−1.2)3.(24)2=(−1)3.(22)

3.(−1)2.(22)

2

(−1)3.23.(24)2=(−1)5.210

(−1)3.211= (−1)2. 2−1 =

1

2

c) 82 .81−2.93

2−2 .6−2 .43 .3=(23)2 .(34)−2 .(32)3

2−2 .(2.3)−2 .(22)3.3=

26 .3−8 .36

2−2 .2−2 .3−2 .26 .3=26 .3−2

22 .3−1= 24. 3−1 =

24

3

d) 362.43.82.3−3

272.2−4.123=(22.32)

2.(22)

3.(23)

2.3−3

(33)2.2−4.(22.3)3=24.34.26.26.3−3

36.2−4.26.33=216 .31

39.22= 214. 3−8 =

214

38

e) 2−5.43.162.9−3

272.25−4.156=2−5.(22)

3.(24)

2.(32)

−3

(32)2.(52)−4.(3.5)6=2−5.26.28.3−6

34.5−8.36.56=

29.3−6

310.5−2= 29 . 3−16. 52

f) 24.43.252.24−3

812.5−4.166=24.26.54.2−9.3−3

38.5−4.224=

21.54.3−3

38.5−4.224= 2−23. 3−11. 58 =

54

311 .223

Ejercicio: Simplifica las siguientes expresiones:

a) 3√20-2√12-2√45+4

5√75

b) 1

3√27-√8-√3+

2

3√18+√2

c) −𝟐√𝟖+ 𝟒√𝟕𝟐− 𝟓√𝟑𝟐

d) 4.√50-3.√8-4.√128+2.√162

e) 3.√245-3.√20-7.√45+2.√3

Solución:

a) 3√20-2√12-2√45+4

5√75=3√22.5-2√22.3-2√32.5+

4

5√3.52=6√5-4√3-6√5+4√3=0

I.E.S. D

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UEIRA



b) 1

3√27-√8-√3+

2

3√18+√2 =

1

3√33-√23-√3+

2

3√2.32+√2=√3-2√2-√3+2√2+√2=√2

c) -2√8+4√72-5√32=-2√23+4√23.32-5√25=-4√2+24√2-20√2=0

d) 4.√50-3.√8-4.√128+2.√162=4.√2.52-3.√23-4.√27+2.√2.34=20.√2-4.√2-32.√2+18.√2=

=2.√2

e) 3.√245-3.√20-7.√45+2.√3=3.√5.72-3.√22.5-7.√32.5+2.√3=21.√5-6.√5-21.√5+2.√3=

=-6.√5+2.√3

I.E.S. D

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Unidad didáctica 3: Proporcionalidad numérica

3.1. Regla de tres simple

La regla de 3 simple relaciona dos magnitudes proporcionales. La

proporcionalidad puede ser directa o inversa.

Ejemplo:

Sabemos que por cada 100 gramos de harina hay que echar 10 gramos de cacao.

Podemos aumentar o disminuir las cantidades, pero si queremos seguir la

receta, estas cantidades deben guardar una proporción.

Pensamos: si echásemos el doble de harina de lo que dice la receta, tendríamos

que duplicar también la cantidad de cacao. Y si echásemos el triple de harina de

lo que dice la receta, también habría que triplicar la cantidad de cacao.

Es decir, si la cantidad de harina crece, también debe crecer proporcionalmente

la cantidad de cacao. En este problema, la harina y el cacao son cantidades

directamente proporcionales.

Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simple

directa:

Ejemplo:

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Sabemos qué si funcionan 2 casetas, se forman 30 kilómetros de cola en cada

una. Pero, si hubiese abiertas el doble de casetas, y teniendo en cuenta que

habría la misma cantidad de coches en el peaje, ¿habría más o menos coches

por cada caseta? Habría menos coches, porque se repartirían entre más

casetas.

Es decir, si aumenta el número de casetas, disminuye la longitud de la cola de

coches, y viceversa: si hubiese el doble de casetas habría la mitad de cola, y si

hubiese la mitad de casetas, habría el doble de cola. Vemos que estas

cantidades son inversamente proporcionales.

Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simple

inversa:

3.2. Regla de tres compuesta

La diferencia de la regla de 3 simple con la regla de 3 compuesta es que en la

primera se relacionan dos magnitudes y en la segunda se relacionan tres o más

magnitudes. Aunque sólo resolveremos problemas con 3 magnitudes, la forma

de resolver los problemas con más magnitudes es la misma.

Ejemplo: Hemos ido a la fuente del pueblo para recoger agua. Sabemos

que 5 botellas de agua, de 2 litros cada una, pesan 10 kilos. ¿Cuánto

pesan 2 botellas de 3 litros cada una?

Solución: Las tres magnitudes que tenemos en el problema son: botellas,

litros y kilos. Escribimos la relación entre ellas sabiendo que:

5 botellas, 2 litros, 10 kilos

2 botellas, 3 litros, X kilos

Ahora tenemos que averiguar la relación entre las magnitudes, comparando

siempre con la magnitud donde esté la incógnita X.

✓ Comparamos botellas con kilos: Si hay menos botellas entonces pesarán menos. Tienen proporcionalidad directa.

✓ Comparamos litros con kilos: Si hay más litros entonces pesarán más. Tienen

proporcionalidad directa.

I.E.S. D

E ORTIG

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Ahora, escribimos las relaciones en forma de fracción para poder despejar la

incógnita X. La primera fracción es donde está la incógnita (esto no es

obligatorio, pero ayuda para después resolverlo). Después, igualamos a la

multiplicación de las dos fracciones:

Y resolvemos:

Podemos despejar la X haciendo los productos cruzados:

2 botellas, de 3 litros cada una, pesan 6 kilos.

Ejemplo: En 4 días, 6 impresoras han impreso 100 libros.

¿Cuántos días tardarán en imprimir 50 libros si tenemos 4

impresoras?

Solución: Las magnitudes que tenemos en el problema son: días, impresoras

y libros. La relación entre ellas es:

4 días, 6 impresoras, 100 libros.

x días, 4 impresoras, 50 libros.

Vemos la proporcionalidad entre las magnitudes:

✓ Si hay que hacer menos libros entonces se necesitan menos

días. Proporcionalidad directa. ✓ Si hay menos impresoras entonces se necesitan más días.

Proporcionalidad inversa.

Ahora, escribimos las relaciones en forma de fracción para poder despejar la

incógnita X. ¡OJO! La magnitud que es inversa debemos invertirla, es decir, el

denominador pasa a ser numerador y el numerador pasa a ser denominador.

Ahora resolvemos como el problema anterior, por el método de los productos

cruzados.

I.E.S. D

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Para imprimir 50 libros, 4 impresoras tardan 3 días.

3.3. Repartos proporcionales

Ejemplo: Dos socios forman una empresa, para lo cual uno aporta 1.000

euros y el otro aporta 1.500 euros. Al cabo de un año han obtenido un

beneficio de 750 euros. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Solución: Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más aportó

más recibirá:

x=”€ que recibe el socio que aportó 1000 metros”

y=”€ que recibe el socio que aportó 1500 metros”

entonces:

x

1000=

y

1500=

x+y

2500=

750

2500=

3

10 ⇒ {

x

1000=

3

10 ⇒ x=300 €

y

1500=

3

10 ⇒ y=450 €

Ejemplo: Tres obreros cobran 1200 € por construir un camino de 24

metros, sin embargo, no construyeron la misma cantidad cada uno. Juan

construyó 10 metros, Pedro 8 metros y Carlos sólo 6 metros. ¿Cómo

deben repartirse el dinero para que lo que le toque a cada uno sea

proporcional al trabajo realizado?

Solución: Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más trabajó

más recibirá:

x=”€ que recibe Juan que construyó 10 metros”

y=”€ que recibe Pedro que construyó 8 metros”

z=”€ que recibe Carlos que construyó 6 metros”

entonces:

x

10=

y

8=

z

6=

x+y+z

24=

1200

24=50 ⇒

{

x

10=50 ⇒ x=500 €

y

8=50 ⇒ y=400 €

z

6=50 ⇒ z=300 €

Ejemplo: Tres carpinteros, Juan, Alberto y Luis, se encargaron de hacer

6 mesas iguales, por lo que recibieron un total de 600 euros. Juan hizo

una mesa, Alberto hizo 2 mesas y Luis 3 mesas. ¿Cuánto dinero

corresponde a cada uno?

I.E.S. D

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Solución:

Solución: Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más mesas

hizo más recibirá.

x=”€ que recibe Juan que construyó 1 mesa”

y=”€ que recibe Alberto que construyó 2 mesas”

z=”€ que recibe Luis que construyó 3 mesas”

entonces:

x

1=

y

2=

z

3=

x+y+z

6=

600

6=100 ⇒

{

x

1=100 ⇒ x=100 €

y

2=100 ⇒ y=200 €

z

3=100 ⇒ z=300 €

Ejemplo: Se venden tres máquinas por 1700€, de forma inversamente

proporcional a la antigüedad de cada una, que es de 10, 20 y 50 años

respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada una?

Solución: Si hacemos común denominador en las fracciones: 1

10,1

20 𝑦

1

50,

tenemos las equivalentes: 10

100,5

100 𝑦

2

100. Trabajamos el reparto directo con los

valores dados por los numeradores: 10, 5 y 2.

Entonces:

x

10=

y

5=

z

2=

x+y+z

17=

1700

17=100 ⇒

{

x

10=100 ⇒ x=1000 €

y

50=100 ⇒y=5000 €

z

20=100 ⇒z=2000 €

Ejemplo: Un padre reparte 100 € entre sus tres hijos, de forma

inversamente proporcional a los días que han llegado tarde a casa, que

son 2, 5 y 8 días respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Solución: Si buscamos las fracciones equivalentes con común denominador a

las inversas: 1

2,1

5 𝑦

1

8, tenemos las equivalentes:

20

40,8

40 𝑦

5

40. Trabajamos el

reparto directo con los valores dados por los numeradores: 20, 8 y 5.

Entonces: I.E.S. D

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x

20=

y

8=

z

5=

x+y+z

33=

100

33 ⇒

{

x

20=

100

33 ⇒ x=60,6 €

y

8=

100

33 ⇒y=24,24 €

z

5=

100

33 ⇒z=15,15 €

Ejemplo: Se va a repartir un premio de 940 € entre los 3 porteros de un

equipo, que jugaron la misma cantidad de minutos. El reparto se hará de

forma inversamente proporcional a la cantidad de goles que recibieron.

Juan recibió 10 goles, Pedro recibió 8 y Carlos recibió 6.

Solución: Vamos a calcular cómo repartir, pero lo importante aquí es primero

entender que el reparto será inversamente proporcional, es decir, mientras

más goles recibieron, menos dinero les toca.

Si buscamos las fracciones equivalentes con común denominador a: 1

10,1

8 𝑦

1

6,

tenemos las equivalentes: 12

120,15

120 𝑦

20

120. Trabajamos el reparto directo con los

valores dados por los numeradores: 12, 15 y 20.

Entonces:

x

12=

y

15=

z

20=

x+y+z

47=

940

47=20 ⇒

{

x

12=20 ⇒ x=240 €

y

15=20 ⇒y=300 €

z

20=20 ⇒z=400 €

Ejemplo: Cuatro amigos se reparten 35 pasteles de forma inversamente

proporcional a sus pesos, que son respectivamente 60kg, 80kg, 90kg y 120kg.

¿Cuántos pasteles corresponden a cada uno?

Solución: Volvemos a trabajar con dos magnitudes inversamente proporcionales, ya

que si aumenta el peso disminuimos el número de pasteles. Hacemos entonces un

reparto indirecto o inverso:

1º) Calculamos las fracciones equivalentes con común denominador a las inversas

de las cantidades que nos indican el reparto a realizar, es decir a: 1

60,

1

80, 1

90y

1

120 :

como: {

60=22.3.580=24.5

90=2.32.5120=23.3.5

, entonces: m.c.m (60, 80, 90, 120)=24.3.5=720

así, tenemos las siguientes equivalencias: 1

60=

12

720 ;

1

80=

9

720 ;

1

90=

8

720 ;

1

120=

6

720

I.E.S. D

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2º) Hacemos reparto directo del total en función de los numeradores obtenidos,

que son en este caso: 12, 9, 8 y 6:

x=”pasteles que recibirá el amigo de 60kg”

y=”pasteles que recibirá el amigo de 80kg”

z=”pasteles que recibirá el amigo de 90kg”

t=”pasteles que recibirá el amigo de 120kg”

Por la relación directa se verifica que: x

12=

y

9=

z

8=

t

6=

x+y+z+t

12+9+8+6=

35

35=1, siendo:

x

12=1

despejando x⇒ x=12 pasteles

y

9=1

despejando x⇒ y=9 pasteles

x

8=1

despejando x⇒ z=8 pasteles

t

6=1

despejando x⇒ x=6 pasteles

Sumamos y verificamos que esta suma es igual a la cantidad de pasteles a repartir.

3.4. Porcentajes

Ejemplo: De los 684 lanzamientos que realizó Alberto, falló 513. ¿Qué

porcentaje de lanzamientos fallidos tiene Alberto?

Solución: Identificamos 684 con el 100%:

Aplicamos una regla de tres:

El porcentaje de lanzamientos fallidos de Alberto es el 75%.

Ejemplo: Lara acertó el 85% de las preguntas del test de inglés. Si el test

tenía un total de 160 preguntas, ¿en cuántas preguntas no acertó?

Solución: Identificamos 160 con el 100%.

Como acertó el 85%, no acertó el 15% porque la suma de aciertos y no aciertos debe

ser el total de preguntas. Por tanto, calculamos el 15% de 160:


Lara no acertó 24 preguntas.

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También, podíamos haber calculado el número de preguntas acertadas y restar el

resultado al número total de preguntas.

Ejemplo: El 18% de los árboles del jardín de la plaza mayor son almendros

y el resto son naranjos. Si en la plaza 45 almendros, ¿cuánto árboles hay

en total en la plaza?

Solución: Sólo tenemos que identificar el 18% con 45 para calcular el 100%:


En la plaza hay un total de 250 árboles.

Ejemplo: Daniel tenía 260€ en su hucha y en dos meses consiguió ahorrar

otro 55% del dinero que ya tenía. ¿Cuánto dinero ahorró en los dos meses?

Solución: En este problema no queremos saber el total al añadir el 55%, sino calcular

el 55% del dinero inicial:

Daniel ahorró 143€ en esos dos meses.

Ejemplo: La población de una ciudad pasó de 10 millones de habitantes a

9 millones en tan solo un año. ¿Qué porcentaje de decrecimiento

poblacional hubo?

Solución: El número de habitantes inicial es el 100%.

Como el decrecimiento fue de 1 millón, calculamos el porcentaje que representa esta

cifra sobre el total:


Hubo un decrecimiento del 10%.

Ejemplo: Camila quiere comprar un abrigo de 320€, pero sólo dispone de

144€, así que tiene pensado esperar a que lleguen las rebajas. ¿Qué

porcentaje de descuento debe tener el abrigo para que Camila pueda

pagarlo?



Solución: El precio inicial del abrigo es el 100%.

Al aplicar un descuento, el precio debe ser 144€.

Calculamos el porcentaje que puede pagar Camila:

Para que el precio baje hasta el 45%, debe aplicarse un descuento del 55% sobre el

precio inicial del abrigo.

Ejemplo: Silvia se disponía a pagar 20€ por una camiseta, pero la

dependienta le aplicó un descuento que no esperaba, con lo que Silvia

pago sólo 8€. ¿Qué porcentaje de descuento se aplicó?

El 100% es el precio inicial. Calculamos el porcentaje que pagó Silvia:

Como Silvia pagó el 40%, se aplicó un descuento del 60%.



Unidad didáctica 4: Progresiones

4.1. Progresiones aritméticas

Definición:

Ejemplo: Determina si estas sucesiones son o no progresiones

aritméticas:

a) 7, 11, 15, 19, 23, 27,...

b) 10, 7, 4, 1, -2, -5, ...

c) 3, 5, 8, 10, 13, 15, ...

Como:

Vemos por tanto que los dos primeros apartados se tratan de progresiones

aritméticas mientras que el tercero no lo es.

Fórmula del término general de una progresión aritmética:



Ejemplo: Encuentra el término general de esta progresión aritmética:

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ... ¿Cuál es el término 12?

1º) El primer término de la progresión aritmética es: a1 = 5

2º) La diferencia es: d = a2 - a1 = 8 - 5 = 3

3º) Por tanto, sustituyendo en la expresión del término general, tenemos

que:

an = a1+ (n - 1)·d = 5 + (n - 1 ) · 3

El término a12 lo obtenemos sustituyendo n=12 en el término general:

a12 = 5 + (12 - 1) · 3 = 5 + 33 = 38

Ejemplo: Sabiendo que a5 = -1 y a9 = 1, calcular el término general de

dicha progresión geométrica.

Al ser una progresión aritmética, el término general es: an = a1 + (n -1)·d.

Sustituyendo los datos del enunciado tenemos:

a5 = -1 ⟶ -1 = a1+(5-1) .d ⟶ -1 = a1+4 d

a9 = 1 ⟶ 1 = a1+(9-1) .d ⟶ 1 = a1+8 d} ⇒⏟

resolviendo el sistema

⇒ a1 = -1-4d

1 = (-1-4 d)+8d} ⇒

a1 = -1-4d

d = 24

=12

} ⇒ a1 = -3

d = 12

}

El término general de la sucesión es: an = - 3 + ( n - 1 ) ·1/2

Ejemplo: El primer término de una progresión aritmética es: 11 y la

diferencia es: -4. ¿Qué lugar ocupa el término an=-45 ? ¿Y el am=- 17 ?

Cómo el término general de la progresión aritmética es: an =11 + (n - 1)·(- 4).

Entonces:

an = -45 ⟶ -45 = 11+(n-1) .(-4) ⟶ -45 = 11-4n+4⟶ n = 604

=15

am = -17 ⟶ -17 = 11+(m-1) .(-4) ⟶ -17 = 11-4m+4⟶ m = 324 =8

El término que vale -45, es el término que ocupa la posición 15 en la

progresión y el término que vale -17, es el término que ocupa la posición 8 en

la progresión.



Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión

geométrica:

Ejemplo: Dada la progresión aritmética de término general: an =7+(n-1)·5.

Calcula la suma de los 20 primeros términos.

Cómo la fórmula se la suma de los n primeros términos de una progresión

aritmética viene dada por:

Sn = (a1+an).n

2⟶ S20 =

(a1+a20).20

2

entonces: a1 = 7+(1-1).5=7

a20 = 7+(20-1).5=102 } ⇒ S20=

(7+20).20

2= 270

Ejemplo: Calcula la suma de los 15 primeros términos de la progresión

aritmética: 6, 10, 14, 20, 24, 30, ...

Cómo la fórmula se la suma de los n primeros términos de una progresión

aritmética viene dada por:

Sn = (a1+an).n

2⟶ S15 =

(a1+a15).15

2

Necesitamos tener los términos a1 y a15 de la progresión aritmética. Nos van el

primer término de ella, así sabemos que: a1 =6.

Vamos entonces a hallar el término general, para obtener después a 15

La diferencia de esta progresión es cómo dice la teoría, la diferencia entre

dos términos consecutivos, por ejemplo, entre a1 y a2, así: d= a2-a1=10-6=4

diferencia de la progresión.

Por ello, el término general es: an = a1+(n-1)d=6+(n-1)4 → a15= 6+(15-1)4=62 y

tenemos la suma pedida:

Sn = (a1+an).n

2 ⟹ S15 =

(6+62).15

2= 510

Ejemplo: Alicia quiere comprarse una bicicleta, y para ello ahorra la

primera semana 5 € y cada una de las siguientes semanas ahorra 5

€ más que la semana anterior. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo

de 20 semanas?



Partimos de un ahorro inicial de a1=5€, y además cada semana suma 5€ más, así

d=5, por tanto, tenemos una progresión aritmética de término general:

an = a1+(n-1)d=5+(n-1)5

esta expresión nos daría el ahorro en cada semana n. Si queremos saber cuanto

ahorra en total al llegar a la semana 20, tenemos que sumar el ahorro desde la

semana 1 hasta la 20 incluida. Así:

Sn = (a1+an).n

2 ⟹ S20 =

(a1+a20).20

2

Obtenemos a20: a20= 5+(20-1)5=100 y tenemos la suma pedida:

Sn = (a1+an).n

2 ⟹ S20 =

(a1+a20).20

2=(5+100).20

2= 1050 €

4.2. Progresiones geométricas

Definición:

Ejemplo: Determina si la sucesión dada es una progresión geométrica:

a) 7, 21, 63, 189 ,567, 1701, ...

b) 3, -12 , 48, -192 , 768 , -3072, ...

c) 8, 4, 2, 1 , 1/2 , 1/4 , ...

d) 4, 8, 10, 20, 22, 44, ...

Como:

Vemos por tanto que los tres primeros apartados se tratan de progresiones

geométricas mientras que el cuarto no lo es.



Fórmula del término general de una progresión geométrica:

Ejemplo: Si tienes una progresión geométrica en la que el primer

término vale 4 y la razón es 3. Indica su término general.

Tenemos que: a1 = 4 y r = 3. Usando la fórmula del término general:

an =a1.rn-1 ⟹ an = 4. 3n-1

Ejemplo: Determina los seis primeros términos de una progresión

geométrica si los dos primeros términos son: 2 y 5.

Tenemos que: a1 = 2 y a2 = 5. Usando la definición de progresión geométrica,

sabemos que: a2 = r. a1 , por lo que la razón de la progresión geométrica es:

r=a2

a1=5

2

El término general, según nos indica la teoría es:

an =rn-1. a1 ⟹ an =2.(5

2)

n-1

=5n-1

2n-2

por tanto, los términos de la progresión geométrica que nos piden son:

Ejemplo: El quinto término de una progresión geométrica es: 9 y su

razón es: 3. Calcula el valor del primer término.

Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica

tenemos que:

an =a1. rn-1 ⟹ a5 = a1. 3

5-1 ⟹ 9 = a1. 34 ⟹ 9 = a1. 81 ⟹ a1=

9

81=

1

9

Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión

geométrica:

Ejemplo: Halla la suma de los 10 primeros términos de una progresión

geométrica cuya razón es dos y su primer término es cinco.



Vamos a aplicar la fórmula de la suma de los n términos de la progresión, para

n=10:

Sn =a1. r𝑛− 1

r-1 ⟹ S10 =5.

210-1

2-1=5. 1023= 5115

Ejemplo: Halla la suma de los ocho primeros términos de la progresión

geométrica: ¼, ½, 1, ….

Tenemos que: a1 = 1/4 y a2 = 1/2. Usando la definición de progresión

geométrica, sabemos que: a2 = r. a1 , por lo que la razón de la progresión

geométrica es:

r=a2

a1=12⁄

14⁄=4

2= 2

Así la suma de los 8 primeros términos de la progresión, una vez halla la razón y

el primer término, es:

Sn =a1. r𝑛 − 1

r-1 ⟹ S8 =

1

4.

28-1

2-1=

1

4. 255= 63,75



Unidad didáctica 5: Lenguaje algebraico

Solución:

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras (parte literal),

números y signos de operaciones.

• Un número → x

• Su siguiente → x+1

• El doble de su siguiente → 2(x+1)

• El triple de un número → 3x

• El doble de un número menos su mitad → 2x-(x/2)

• La mitad de un número menos cinco → (x/2)-5

• El cuadrado de un número mas su triple → x2 +3x

• Un número mas su anterior → x + (x-1)

• La mitad de un número mas seis unidades →(x/2) + 6

• Un número tres unidades menor que otro → x-3

5.1. Monomios



Solución:

Suma y resta de monomios semejantes

Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Para sumar o

restar monomios deben ser semejantes. Se suman o restan los coeficientes y se deja

la misma parte literal.

Solución:

Reducir monomios semejantes



Solución:

4.2.Polinomios

Suma de polinomios

Para sumar polinomios agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen

la misma parte literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.



Solución:

Resta de polinomios

Para restar polinomios, escribimos entre paréntesis el polinomio que vaya restando,

con un signo menos delante del paréntesis. Quitamos este paréntesis aplicando la

regla de los signos. Agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen la

misma parte literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.



Solución:

Producto de un polinomio por un monomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos cada término del

polinomio por el monomio. Multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de

las x (producto de potencias de la misma base).



Solución:

Solución:

Solución:

División de polinomios



Solución: El dividendo y el divisor deben estar ordenados. En este caso ya nos los

dan ordenados.

Se divide el monomio 3x2 entre el monomio x.

El resultado 3x se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de

signo se suma al dividendo.

Se divide -4x entre x.

El resultado -4 se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de

signo se suma al nuevo dividendo (-4x-8). El cociente es 3x-4 y el resto 0. Es una

división exacta.

Comprobar: Dividendo = divisor · cociente + resto

3x2 + 2x -8 = (x+2)· (3x-4) + 0

Solución:



Solución:

Solución:

Cuando al hacer la división nos da de resto cero podemos factorizar el dividendo.

Dividendo = divisor · cociente → (x3-x) = (x2-1)x

4.3. Identidades notables

Cuadrado de una suma

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero más el doble

del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.



Solución:



Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primero menos

el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Solución:



Suma por diferencia

La suma de dos números multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus

cuadrados.

Solución:



Factorizar para obtener la identidad notable

Las igualdades notables las aplicamos para factorizar polinomios y para simplificar

fracciones algebraicas.

Solución:

Simplificar fracciones algebraicas

Cuando tengamos productos notables los factorizamos. Los factores obtenidos

quedan multiplicando en el numerador y en el denominador, si son iguales los

podemos simplificar.



Solución:



4.4.División de polinomios: regla de Ruffini

Aplicamos la regla de Ruffini para dividir polinomios por binomios del tipo x±a.

Obtenemos los coeficientes del cociente y el valor del resto.

Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor

grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.

Ejemplo:



Ejercicios

Solución: El divisor de Ruffini debe ser tipo: x±a, a es un número. En este ejemplo

a=-2.

- Multiplicamos 2 por 1, el resultado 2 lo colocamos debajo del

0 y sumamos.

- Multiplicamos 2 por 2, el resultado 4 lo colocamos debajo del

1 y sumamos. El 5 es el resto.



Solución:

-Multiplicamos -1 (valor que anula el divisor) por el primer

coeficiente del dividendo 1. El resultado -1 se suma al segundo

coeficiente del dividendo.

- Con el valor obtenido -1 se repite el proceso hasta llegar al

final. El último número obtenido 0 es el resto de la división; los

otros números son los coeficientes del polinomio cociente.

3. Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de estas divisiones.



Formas de factorizar un polinomio

Para descomponer en factores un polinomio seguimos estos pasos:

1. Sacamos factor común si se puede.

2. Si no, comprobamos si es una ecuación de 2º grado

3. Y si no es ecuación de segundo grado, hacemos Ruffini.

Ejemplo:



6. Saca factor común e identifica expresiones notables en cada caso:



7. Descompón en factores:



Para simplificar fracciones, se extrae el factor común del numerador y del

denominador por separado. Luego se simplifican los factores iguales en el numerador

y en el denominador.

UNIDAD DIDÁCTICA 6: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

6.1. Ecuaciones de primer grado

Ojo: Recordad que, para trabajar estas ecuaciones, el orden de las operaciones es

el siguiente:

1º) Eliminamos denominadores.

2º) Operamos los paréntesis.

3º) Situamos las incógnitas en un miembro de la ecuación y en el otro las

constantes.

4º) Despejamos la incógnita.



Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:

1. Eliminamos los paréntesis multiplicando sus sendos contenidos por el número que

tienen delante. No hay que olvidar que si el número de delante es negativo, también

hay que cambiar los signos:

En cada lado, sumamos los monomios según su parte literal:

2. Pasamos las “x” a la izquierda y los números a la derecha:

Sumamos los monomios:

Hemos obtenido una igualdad que siempre se cumple: 0 = 0. Esto significa que la

ecuación se cumple siempre, independientemente del valor de x.

Por tanto, la ecuación tiene infinitas soluciones (x puede ser cualquier número y hay

infinitos números).

Podemos expresarlo como “x es cualquier real”: x∈R


Los números que multiplican a los paréntesis son negativos, con lo que al multiplicar

su contenido por éstos, todos los elementos cambian de signo.



1. Multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo, que es 6:

De este modo, al efectuar la división, desaparecen los denominadores.

2. Ahora nos deshacemos de los paréntesis: el primero está multiplicado por 3, por lo

que multiplicamos por 3 su contenido; el segundo por -2, por lo que multiplicamos por

-2 (no olvidar el signo):

3. Finalmente, agrupamos las x a un lado y los números al otro:

Tenemos 0 = -2, lo cual es una igualdad falsa. Por tanto, la ecuación no tiene solución

porque sea cual sea el valor de x, llegamos a una relación (igualdad) absurda.


1. Como tenemos denominadores, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común

múltiplo de estos, que es 30:

2. Sólo tenemos un paréntesis, que está multiplicado por 15. Para quitarlo,

multiplicamos su contenido por 15:




Multiplicaremos la ecuación por 2 para eliminar los denominadores:


1. En la ecuación tenemos paréntesis anidados (unos dentro de otros) y

multiplicados por fracciones. Pero antes de ocuparnos de esto, multiplicamos toda

la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 6:

2. Ahora vamos a los paréntesis:

En la izquierda hay dos, pero lo tratamos como si fuera sólo uno. Es decir,

multiplicamos todo su contenido por -2. Al mismo tiempo, en la derecha,

multiplicamos el contenido por 9:

Nos queda un paréntesis, que está multiplicado por 6:



Nota: Resuelve tú las siguientes ecuaciones:

a) 5[2x-4(3x+1)]=-10x +20 c) 5(2x

3-

3x

5) +1=2x-2(x-1)

b) x+4[3-2(x-1)]=5[x-3(2x-4)]+1 d) 1

3=

3

5-x

1+3

5x

6.2. Ecuaciones de segundo grado

Ojo: Recordad que, tenemos que distinguir tres casos. Sea: ax2+bx+c=0, la

ecuación de segundo grado a resolver:

Caso I: Si c=0:

1º) Sacamos factor común: ax2+bx=0 ⇒ x.(ax+ b)=0

2º) Igualamos cada factor del producto a cero y despejamos la incógnita:

x.(ax+b)=0 ⇒ {x=0

ax+b=0 ⇒x=-b

a

Caso II: Si b=0:

1º) Despejamos x2 : ax2+c=0 ⇒ x2=-c

a

2º) Comprobamos el signo de -c

a: {

Si -c

a>0 ⇒ x=±√

-c

a

Si -c

a<0 ⇒ no existe solución real

Caso III: Caso general:

1º) Aplicamos la fórmula de solución de las ecuaciones de 2º grado:

x=-b±√b2-4ac

2a

2º) Comprobamos el signo del discriminante: b2-4ac, de modo que:

o Si b2-4ac > 0, entonces tenemos las dos soluciones reales calculadas.

o Si b2-4ac < 0, entonces la ecuación no tiene soluciones reales.

o Si b2-4ac = 0, entonces tenemos una única solución real, la denominamos doble.

Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2+4x=0



Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2+3x+2 =0

Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: 5x2-20x+15=0



Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: 2x2+5x+2 =0

Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2+1=0

No hay solución real

Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2-2x+2=0

No hay solución real



Nota: Resuelve ahora las siguientes ecuaciones:

a) 6x2-x-1=0

b) 2x2-11x+5=0

c) (2x-4) 2-2x(x-2)=48

d) 2x2-18=0

e) -x2+12x=0

f) -3x2+5x-9=0

g) (x-1)(x-2)=6

h) (x-1)2

2-(1+2x)2

3=-2-

(2x-1)(2x+1)

3

6.3. Ecuaciones de grado mayor que dos

Ojo: Recordad que, tenemos que:

1º) Sacar factor común, en caso de que sea posible.

2º) Utilizar el método de Ruffini, para hallar las raíces de la ecuación hasta llegar

a una ecuación de 2º grado, que trabajaremos aparte.

Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: x3+3x2-x-3=0

Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: x3+2x2+2x+1=0

Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: x3+3x2-4x-12=0



Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: x3-x2-x+1=0

Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: 6x3+7x2-9x+2=0

Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: 2x4-5x3+5x-2=0

Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: 8x3-x2+7x-1=0



Nota: Calcula las soluciones de estas ecuaciones:

a) 6x3-12x2=0

b) (5x2+14)(x2-5x)=0.

c) (x-2)(4x2-8)(x2+3)=0

d) x3-2x2-x+2=0

e) x4 −13x2+36=0

6.4. Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado incompleta:

Los números a≠0 y b son los coeficientes y c es el término independiente. Como se trata

de una ecuación de cuarto grado, puede tener hasta cuatro soluciones reales distintas.

Resolución de ecuaciones bicuadradas

1º) Cambiar: 𝑡 = x2 .

2º) Resolver la ecuación de 2º grado que se obtiene.

3º) Deshacemos el cambio de: 𝑡 = x2, despejando el valor de x.


1. Cambiamos x2 por t y x4 por t2:

2. Resolvemos la ecuación cuadrática:

3. Calculamos las soluciones de la ecuación bicuadrada haciendo la raíz cuadrada:

Por tanto, la ecuación bicuadrada tiene 4 soluciones.

















Por tanto, la ecuación bicuadrada tiene 1 solución.

Nota: Resuelve tú las siguientes ecuaciones:

a) x4 + 2x2+3=0

b) 2x4 -8=0

c) 5x2 = (6+x2)(6-x2)

d) (x-3)(x+3) = (20

𝑥)2

e) (x2+4)(x+4)(x4+2x2-8)=0



6.5. Ecuaciones irracionales

Ojo: Recordad que, para resolverlas lo que hacemos es:

1º) Despejamos la raíz.

2º) Aplicamos cuadrados a ambos miembros de la ecuación.

3º) Resolvemos la ecuación obtenida.

4º) Ojo: En este tipo de ecuaciones las soluciones deben ser comprobadas

siempre, ya en muchas ocasiones no siempre lo son de la ecuación inicial

Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: √x+4=7

1. La raíz ya esta despejada en este caso.

2. Elevamos al cuadrado ambos miembros: x + 4 = 49

3. Resolvemos la ecuación obtenida: x = 45 entones tenemos la posible solución

4. Comprobación: 45 + 4 = 7

Luego la solución de la ecuación es x = 45

Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: √3x+1𝟑 = -2

1. La raíz ya está despejada en este caso.

2. Elevamos al cubo ambos miembros: 3x + 1 = - 8

3. Resolvemos la ecuación obtenida : 3x + 1 = - 8 ⇒ 3x = - 9 ® x = -3

entones tenemos la posible solución

4. Comprobación: √3x+13

= -2 ⇒ √-9+13

= -2 ⇒ √-83

= -2

Luego la solución de la ecuación es x = -3

Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: √x+7=2x-1

1. La raíz ya está despejada en este caso.

2. Elevamos al cuadrado ambos miembros: x + 7 = (2x-1)2 ⇒ x+7 = 4x2+1-4x

3. Resolvemos la ecuación obtenida: x+7 = 4x2+1-4x ⇒ 4x2-5x-6=0 ⇒ x =5±√52+4.4.6

2.4

⇒

x=2 y x =-3/ 4 son las posibles soluciones

4. Comprobación:

Si x=2: √x+7=2x-1⇒ √2+7=2.2-1, así x=2 es solución

Si x=-3/4: √x+7=2x-1⇒ √-3/4+7≠2.(-3/4)-1, así x=-3/4 no es solución



Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: √x+36= 2 + √𝐱

1. Tenemos despejada una raíz de las dos que intervienen en la ecuación.

2. Elevamos al cuadrado los dos miembros: x + 36 = (2+ √x)2 = 4 + x + 4 √x

3. Volvemos a despejar la otra raíz y operamos:

x + 36 = 4 + x + 4 √x ⇒ -4 √x = -32 ⇒ √x = 8 ⇒ x = 64

4. Comprobación: √x+36= 2 + √x ⇒ √64+36= 2 + √64 ⇒ √100= 2 + 8 ,

cómo se cumple, entonces: x=64 solución de la ecuación.

Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: x-√25-x2= 1

1. Despejamos la raíz: x-√25-x2= 1 ⇒ √25-x2= x- 1

2. Elevamos al cuadrado ambos miembros: 25-x2 = (x-1)2 ⇒ 25-x2 = x2+1-2x

3. Resolvemos la ecuación obtenida: 25-x2 = x2+1-2x ⇒ 2x2-2x-24= 0 ⇒ x2-x-12 = 0 ⇒

⇒ x=4 y x =-3 son las posibles soluciones

4. Comprobación:

Si x=4: x-√25-x2= 1 ⇒ 4-√25-42= 1 ⇒ 4-√9= 1 ⇒ 1=1, así x=4 es solución

Si x=-3: x-√25-x2= 1 ⇒ -3-√25-(-3)2= 1 ⇒ -3-√16= 1 ⇒ -7≠1, así x=-3 no es

solución

Nota: Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) x=6-√x

b) x+√5x+10=8

c) √2x+x2-x-2=0

d) 2x-√3x-5=4

Resolución de problemas usando ecuaciones

Para resolver un problema mediante una ecuación, hay que traducir al lenguaje

algebraico las condiciones del enunciado, usando tan sólo una incógnita y después

resolver la ecuación planteada. Comienza por leer detenidamente el enunciado

hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que

te dan. Una vez resuelta la ecuación no te olvides de dar la solución al problema.



Ejemplo: En el colegio de Martín hay un total de 1230 estudiantes (alumnos

y alumnas). Si el número de alumnas supera en 150 al número de alumnos,

¿cuántas alumnas hay en total?

La incógnita x del problema es el número total de alumnas. Como hay 150 alumnas

más que alumnos, el número de alumnos es el número de alumnas menos 150. Es

decir, x−150.

El número total de estudiantes es 1230 y es la suma del número de alumnas y de

alumnos: x+(x−150)=1230. Hemos escrito el paréntesis para que se vea claro que

es la suma del número de alumnos y del de alumnas.

Resolvemos la ecuación:

x+x−150=1230 → 2x−150=1230 → 2x=1230+150 → 2x=1380 → x=1380/2=690

Por tanto, el número de alumnas es 690.

Ejemplo: Buscar un número positivo x de modo que al sumarlo con su doble

se obtenga el triple de dicho número. ¿Cuántos números x cumplen lo

anterior?

El doble del número x que buscamos es 2x y el triple es 3x. Queremos que la

suma de x y de su doble 2x sea exactamente 3x:

x+2x=3x → 3x=3x → 0 = 0

La ecuación x+2x=3x tiene infinitas soluciones. Es decir, todos los números la

cumplen. Cualquier número positivo más su doble tiene como resultado al triple

de dicho número.

Ejemplo: Una cuerda de 180m se corta en 3 trozos: trozo A, trozo B y trozo

C. Calcular cuánto miden los trozos sabiendo que el trozo B y el trozo C

miden el doble y el triple que el trozo A, respectivamente.



La incógnita x es la longitud del trozo A.

El trozo B mide el doble: 2x.

El trozo C mide el triple: 3x.

La cuerda mide 180m: x+2x+3x=180 → 6x=180 → x=180/6 = 30

El trozo A mide 30 m, el B mide 60 m y el C mide 90 m.

Ejemplo: Se tiene un rectángulo cuya base mide 5 unidades más que la

altura. Calcular la altura y la base del rectángulo sabiendo que su

perímetro es 54m.

La incógnita x es la altura del triángulo. La base mide x+5.

El perímetro del rectángulo es la suma del doble de la altura y del doble de la

base:

2x+2(x+5)=54 → 2x+2x+10=54 → 4x=54−10 → 4x=44 → x=44/4 =11

La altura mide 11m y la base mide 16m.

Ejemplo: Encontrar un número de tres cifras que cumpla:

• la segunda y la tercera cifra son el doble de la primera

• la segunda y la tercera cifra suman 12

El número tiene 3 cifras. Llamamos x a la primera. Entonces, la segunda cifra y la

tercera cifra son 2x.

La suma de la segunda y la tercera cifra suman 12: 2x+2x=12 → 4x=12 →

x=12/4=3

La primera cifra es 3. La segunda y la tercera cifra es 2 ⋅3=6.

Por tanto, el número de 3 cifras buscado es 366.

Ejemplo: La edad de Javier es el triple que la de su hijo y dentro de 10 años

será el doble. ¿Qué edad tiene el hijo de Javier?

La incógnita x es la edad del hijo. Como la edad Javier es el triple que la del hijo,

su edad es 3x.

La edad que tendrán dentro de 10 años se calcula sumando 10 a las edades

actuales. El hijo tendrá x+10 y Javier tendrá 3x+10.

Además de esto, la edad de Javier será el doble que la de su hijo: 3x+10=2⋅(x+10)



Resolvemos la ecuación:

3x+10=2⋅x+2⋅10

3x+10=2x+20

3x−2x=20−10

x=10

Por tanto, la edad actual del hijo de Javier es 10.

Ejemplo: Aurora tiene gatos y pájaros en su casa, siendo 24 el número total

de sus patas. Si en total tiene 9 animales, ¿cuántos gatos tiene

Aurora?

La incógnita x es el número de gatos.

Como los animales que no son gatos son pájaros, el total menos el número de

gatos es el número de pájaros. Es decir, el número de pájaros que tiene Aurora

es 9−x.

Como los gatos tienen 4 patas, suman un total de 4x patas.

Como los pájaros tienen 2 patas, el total de patas de pájaros es (no olvidéis el

paréntesis): 2(9−x)

Como el número total de patas es 24, la ecuación del problema es: 4x+2(9−x)=24

Resolvemos: 4x+18−2x=24 → 2x=24−18 → 2x=6 → x=6/2=3

Por tanto, Aurora tiene 3 gatos.

Ejemplo: En un aparcamiento hay el doble de ciclomotores (2 ruedas) que de

triciclos (3 ruedas). Si la suma de las ruedas de todos los

vehículos es 112, ¿cuántos vehículos hay en total?

La incógnita x es el número de triciclos. Entonces, el de

ciclomotores es 2x. El total de vehículos es: 2x+x=3x

Como cada triciclo tiene 3 ruedas y hay x triciclos, el total de ruedas de triciclos

es 3x.

Como cada ciclomotor tiene 2 ruedas y hay 2x ciclomotores, el total de ruedas de

ciclomotores es: 2⋅2x=4x

El número total de ruedas es 112: 3x+4x=112 → 7x=112 → x=112/7=16

El número de triciclos es 16 y el de ciclomotores es 32 (el doble). Por tanto, hay

un total de 48 vehículos.



Ejemplo: Tenemos dos garrafas de agua de la misma capacidad, pero una

de ellas se encuentra al 20% y la otra al 30%. Calcular la capacidad de las

garrafas si tenemos un total de 12 litros de agua.

La incógnita x es la capacidad de las garrafas.

Un porcentaje también es una fracción del total.

El 20% de x es la fracción: (20/100)⋅x

El 30% de x es la fracción: (30/100)⋅x

La suma de estas dos fracciones es 12: (20/100)⋅x+(30/100)⋅x=12

Multiplicamos la ecuación por 100: 20x+30x=1200 → 50x=1200 →

x=1200/50=24

La capacidad de las botellas es de 24 litros (cada una).

Ejemplo: Marta tiene 100€ para realizar una compra. Primero compra unas

zapatillas y luego, con la mitad del dinero que le sobra, compra un

pantalón. Si el precio del pantalón es 10€, ¿cuánto dinero le queda?

La incógnita x es el precio de las zapatillas. Como tiene 100€ y compra las

zapatillas, le quedan: 100−x. Con la mitad de este dinero se compra un pantalón.

Es decir, el precio del pantalón es: (100−x)/2.

Como el precio del pantalón es 10€: (100−x)/2=10

Multiplicamos la ecuación por 2: 100−x=20 → 100−20=x → x=80

Marta tenía 100€ y se gasta primero 80€ y luego 10€. Por tanto, le quedan 10€.

Ejemplo: Daniel se compra unas deportivas con la mitad de su dinero y con

la tercera parte del dinero que le queda se compra una mochila de deporte.

Si en total ha gastado 80 euros, ¿cuánto dinero tenía inicialmente?

La incógnita x es la cantidad inicial de dinero que tenía Daniel.

Con la mitad del dinero se compra unas deportivas. Así que le queda la otra mitad:

x/2

Con la tercera parte de este dinero se compra la mochila, es decir, se gasta en la

mochila: (1/3)⋅(x/2) = x/6

El dinero gastado en las deportivas más el gastado en la mochila es 80:

x/2+x/6=80

Multiplicamos la ecuación por 6: 3x+x=480 → 4x=480 → x=480/4=120

Daniel tenía inicialmente 120 euros.



Ejemplo: Un tren de alta velocidad tarda 45 minutos en recorrer una

distancia de 240 kilómetros. ¿Cuál es su velocidad?

Escribimos el tiempo en horas para obtener la velocidad en

kilómetros por hora (en lugar de kilómetros por minuto): 45 min = 0.75 h

Como x=v⋅t: 240=v⋅0.75

Despejamos la velocidad: v=2400.75=320km/h

La velocidad del tren es 320km/h.

Ejemplo: Si un avión vuela a velocidad de 1040km/h y tarda 2 horas y 45

minutos en hacer una ruta, ¿cuál es la longitud de la

ruta?

De la fórmula x=v⋅t, conocemos v y t.

Como el tiempo es en horas y minutos, debemos escribirlo solo en horas. Los 45

minutos son: 45min=4560h=0.75h. El tiempo en horas es 2.75h.

Sustituimos en la fórmula: x=1040⋅2.75 = 2860km

Ejemplo: Si Leonardo y Francisco tardan 1h en construir una pared con 750

ladrillos y Francisco trabaja el doble de lento

que Leonardo, ¿cuánto tardarían en construir

la misma pared por separado?

Si Francisco pone x ladrillos en 1h, Leonardo pone

2x porque Francisco es el doble de rápido.

La suma de los ladrillos que ponen debe ser 750: x+2x=750 → 3x=750 → x=750/3 =

250

Por tanto, Francisco pone 250 ladrillos en 1h y Leonardo pone 500 (el doble).

Si la tarea la realizan por separado, cada uno tiene que poner 750 ladrillos.

Como Francisco pone 250 cada hora, tardará 3 horas, ya que: 750/250=3.

Como Leonardo pone 500 cada hora, tardará 1h y 30 minutos (1.5 horas), ya que:

750/500=3/2=1,5.



Unidad didáctica 7: Sistemas de ecuaciones

7.1 Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b,

y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias

incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común.

Nosotros trabajaremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Por ejemplo:

Una solución es todo par de números que cumple la ecuación. Es decir, una solución

de un sistema de ecuaciones lineales no es más que un par de valores x e y, de tal

manera que se verifiquen las ecuaciones planteadas.



Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de

soluciones:

• Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son

dos rectas que se cortan en un punto.

• Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son

dos rectas que coinciden.

• Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.

Existen diferentes métodos de resolución:

• Sustitución.

• Reducción.

• Igualación.

Ejemplo 1: Vamos a solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2×2,

utilizando los tres métodos:

Método de Reducción

El método de eliminación consiste en realizar la suma o resta de ambas ecuaciones

con la finalidad de que alguna de las incógnitas desaparezca en el resultado de dicha

operación.

Por lo general, es necesario realizar una serie de pasos pertinentes para que ambas

ecuaciones lo permitan.

Paso 1. Se preparan las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.

Para ello elegimos arbitrariamente cuál incógnita queremos eliminar; en este caso

optamos por eliminar a la variable x.

Analicemos: en la Ecuación 1, la variable x viene representada por un 2x. Esto

implica que para eliminarla al sumar dicha ecuación con la Ecuación 2, esta última

debería tener un -2x con el cual cancelarse o eliminarse.

Por lo tanto, es pertinente multiplicar la Ecuación 2 por un factor de -2 de la

siguiente manera:



Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones:

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante:

Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se

resuelve. En este caso elegimos reemplazar en la Ecuación 2:

Método de Igualación

Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en ambas ecuaciones. En

este caso vamos a elegir despejar la variable x, aunque también es válido utilizar la

otra variable:



Paso 2. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, obteniendo una ecuación

con una incógnita:

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso 2 despejando la incógnita.

Paso 4. El valor obtenido en el paso 3 se reemplaza en cualquiera de las dos expresiones

del paso 1. En este caso elegimos la expresión obtenida del despeje de la ecuación 2:

Método de sustitución

Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en cualquiera de las

ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable x de la Ecuación 2

Paso 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación:

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior para encontrar el valor

de una de las incógnitas:



Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en la expresión del primer paso:

Ojo: Para cualquier método, acabaremos con un paso 5 muy importante:

Paso 5. Verificación de la solución del sistema. Nuestra solución:

Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas

ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:

Se verifica que la solución del sistema si satisface ambas ecuaciones.



{x + y = 7

5x - 2y = -7



ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable x de la Ecuación 1:

x+y=7 ec. 1 → x= 7-y

Paso 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. En este caso

sustituimos en la segunda ecuación la expresión obtenida para la x :

5x-2y=-7 ec. 2 → 5.(7-y)-2y=-7


de una de las incógnitas. En este ejemplo, despejamos la y:

35-5y-2y=-7 → 35-7y=-7 → -7y=-7-35 → -7y=-42 → y=-42/-7=6 → y=6

Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en la expresión del primer paso. Por tanto,

utilizamos el valor de y para hallar el valor de x:



x= 7-y → x=7-6=1 → x=1

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.


Paso 1. Se preparan las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.

Para ello elegimos arbitrariamente cuál incógnita queremos eliminar; en este caso

optamos por eliminar a la variable y.

Analicemos: en la Ecuación 2, la variable y viene representada por un -2y. Esto

implica que para eliminarla al sumar dicha ecuación con la Ecuación 1, esta última

debería tener un 2y con el cual cancelarse o eliminarse.

Por tanto, en este ejemplo multiplicamos la Ecuación 1 por 2 de la siguiente manera:

Ec. 1: x+y=7 → multiplicamos por 2 la Ec.1: 2(x+y=7)

Ec. 2: 5x-2y=-7 → no modificamos la Ec. 2: 5x-2y=-7

Así, el sistema se queda:

{2x + 2y = 145x - 2y = -7

Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones. Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos

desaparece:

Ec. 1: 2x + 2y = 14

Ec. 2: 5x - 2y = -7

7x = 7

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante. Y nos quedaría:

7x=7 → x=7/7=1 → x=1

Paso 4. Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra

incógnita en una de las ecuaciones iniciales.

En este caso reemplazamos el valor de x en la Ecuación 1

Ec. 1: x+y=7 → 1+y=7 → y=7-1=6 → y=6

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.


Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en ambas ecuaciones.

En este caso vamos a elegir despejar la variable x, aunque también es válido utilizar

la otra variable. La despejamos en ambas ecuaciones:

Ec. 1: x+y=7 → x=7-y

Ec. 2: 5x-2y=-7 → 5x=2y-7 → x=(2y-7)/5




con una incógnita:

7-y=(2y-7)/5

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso 2 despejando la incógnita:

7-y=(2y-7)/5 → 5(7-y=(2y-7)/5) → 35-5y=2y-7 → 42=7y → y=42/7=6 → y=6

Paso 4. El valor obtenido en el paso 3 se reemplaza en cualquiera de las dos

expresiones del paso 1. En este caso elegimos la expresión obtenida del despeje de la

ecuación 1:

x=7-y → x=7-6=1 → x=1

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6

Ojo: Para cualquier método, acabaremos con un paso 5 muy importante:

Paso 5. Verificación de la solución del sistema.

Nuestra solución: x=1 e y =6



Ec. 1: x+y=7 → 1+6 =7

Ec. 2: 5x-2y=-7 → 5.1 – 2.6 = 5-12 =-7




{ -10x-5y = 021x-7y = 28



ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable y de la Ecuación 1:

-10x-5y=0 ec. 1 → -5y= 10x → y= 10

-5 x → y= -2x


sustituimos en la segunda ecuación la expresión obtenida para la y:

12x-7y= 28 ec. 2 → 12x-7. (-2x)= 28





21x-7. (-2x)= 28 → 21x+ 14x= 28 → 35x= 28 → x= 28

35=

4

5 → x =

4

5


utilizamos el valor de x para hallar el valor de y:

y= -2x → y= −2.4

5=-

8

5 → y =

− 8

5

La solución de nuestro sistema es: x = 4

5 e y =

− 8

5.



En este caso vamos a elegir despejar la variable y, por ejemplo. La despejamos en

ambas ecuaciones:

Ec. 1: -10x-5y= 0 → -5y = 10x → y = -2x

Ec. 2: 21x-7y = 28 → -7y = 28-21x → y= 28-21x

-7 → y= -4+3x


con una incógnita:

-2x= -4+3x


-2x= -4+3x → -2x-3x = -4 → -5x = -4 → x= 4

5



ecuación 1:

y = -2x → y= -2. (4

5) = -

8

5 → y=

− 8

5


5 e y =

− 8

5.


Paso 1. Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los

coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales pero de signo distinto. Se preparan

las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.

Para ello elegimos arbitrariamente la incógnita queremos eliminar, en este caso

optamos por eliminar a la variable y:



Ec. 1: -10x-5y= 0

Ec. 2: 21x-7y = 28

Multiplicamos la primera ecuación por 1/5 y la segunda por -1/7 para conseguir que el

coeficiente de la incógnita x tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones:

Ec. 1: -10x-5y= 0 la multiplicamos por 1/5 → Ec. 1: -2x-y= 0

Ec. 2: 21x-7y = 28 la multiplicamos por -1/7 → Ec. 2: -3x +y = -4


desaparece:

Ec. 1: -2x -y = 0

Ec. 2: -3x +y = -4

-5x = -4

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante. Y nos quedaría: -5x = -4 → x =4

5


incógnita en una de las ecuaciones iniciales. En este caso reemplazamos el valor de x

en la Ecuación 1:

Ec. 1: -10x-5y= 0 → -10.( 4

5 )-5y= 0 → -5y= 8 → x =−

8

5


5 e y =

− 8

5.

Paso 5. Verificación de la solución del sistema.

Nuestra solución: x = 4

5 e y =

− 8

5.



Ec. 1: -10x-5y= 0 → -10( 4

5 )-5. (−

8

5)= 0 se cumple la ecuación 1

Ec. 2: 21x-7y = 28 → 21. ( 4

5 ) – 7( −

8

5) = 28 se cumple la ecuación 2




{

x

3+

y

5 =

2

7x

2+

y

10 =

3

7

Ojo: Como tenemos denominadores, podemos eliminarlos si queremos

obteniendo un sistema equivalente, más cómodo:



1º) Multiplicamos la primera ecuación por el mínimo común múltiplo de los

denominadores y, de este modo, evitamos las fracciones.

Ec. 1: x

3+

y

5 =

2

7 →⏟

↑m.c.m(3,5,7)=3.5.7=105

105 x

3+

105 y

5 =

105. 2

7 → 35x+21y=30 Ec. 1

2º) Multiplicamos la segunda ecuación por el mínimo común múltiplo de los

denominadores y, de este modo, evitamos las fracciones.

Ec. 2: x

2+

y

10 =

3

7 →⏟

↑m.c.m(2,10,7)=2.5.7=70

70 x

2+

70 y

10 =

70. 3

7 → 35x+7y=30 Ec. 2

Trabajamos el nuevo sistema equivalente:

{

x3 +y

5 = 27

x2 + y

10 = 37

≈ { 35x+21y=3035x+7y=30



ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable x de la Ecuación 1

35x+21y=30 ec. 1 → 35x=30 - 21y → x= 30 -21y

35


sustituimos en la segunda ecuación la expresión obtenida para la x :

35x+7y=30 ec. 2 → 35 (30 -21y

35)+7y=30 → (30 -21y)+7y=30



(30 -21y)+7y=30 → 30 -21y+ 7y= 30 → -14y= 0 → y = 0


utilizamos el valor de y para hallar el valor de x:

x= 30 -21y

35 → x=

30

35=

6

7 → x =

6

7


7 e y = 0.



https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/minimo-comun-multiplo-definicion-ejemplos-ejercicios-test-problemas-descomposicion-primos.html

https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/minimo-comun-multiplo-definicion-ejemplos-ejercicios-test-problemas-descomposicion-primos.html



En este caso vamos a elegir despejar la variable x, por ejemplo. La despejamos en

ambas ecuaciones:

Ec. 1: 35x+21y=30 ec. 1 → 35x=30 - 21y → x = 30 -21y

35

Ec. 2: 35x+7y=30 ec. 1 → 35x=30 - 7y → x = 30 -7y

35


con una incógnita:

30 -21y

35=

30 -7y

35


30 -21y

35=

30 -7y

35 → 30-21y = 30-7y → -21y + 7y = 30 - 30 → -14y = 0 → y=0



ecuación 1:

x= 30 -21y

35 → x=

30

35=

6

7 → x =

6

7


7 e y = 0.


Paso 1. Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los

coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales pero de signo distinto. Se preparan

las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.

Para ello elegimos arbitrariamente la incógnita queremos eliminar, en este caso

optamos por eliminar a la variable x, ya que tienen directamente el mismo

coeficiente:

Ec. 1: 35x + 21y= 30

Ec. 2: 35x + 7y= 30

Sólo nos queda multiplicar por ejemplo la segunda por -1, para tener coeficientes

iguales pero de distinto signo:

Ec. 1: 35x + 21y= 30 → Ec. 1: 35x + 21y = 30

Ec. 2: 35x + 7y = 30 la multiplicamos por -1 → Ec. 2: -35x - 7y = -30


desaparece:

Ec. 1: 35x + 21y = 30

Ec. 2: -35x - 7y = -30



14y = 0

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante. Y nos quedaría: 14y = 0 → y = 0


incógnita en una de las ecuaciones iniciales. En este caso reemplazamos el valor de y

en la Ecuación 1:

Ec. 1: 35x + 21y= 30 → 35x= 30 → x= 30

35=

6

7 → x =

6

7


7 e y = 0.

Paso 5. Verificación de la solución del sistema. Nuestra solución: x = 6

7 e y = 0.



Ec. 1: 35x+ 21y= 30 → 35( 6

7 )+c21. (0)= 30 se cumple la ecuación 1

Ec. 2: 35x-7y = 30 → 35. ( 6

7 ) – 7( 0) = 30 se cumple la ecuación 2


Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, utilizando

cualquier método:

a) { x+6y = 625x+y = 78 solución: x=14, y=8

b) { 2y +5 = xx-y = 51 solución: x=97, y=46

c) { x- y = 20

2x+2y = 172 solución: x=53, y=33

d) { x+ y = 80

5y+9x = 600 solución: x=50, y=30

e) { x- y = 70

2x+2y = 112 solución: x=63, y=-7

f) { x+ y = 50

10x- y = 478 solución: x=48, y=2

g) { x+ y = 15

5x+20y = 210 solución: x=6, y=9

h) { x+ y = 32-2x+y = 8 solución: x=8, y=24

i) { x+ y = 10x- y = 8 solución: x=9, y=1

j) { x+ y = 44

3x+2y = 188 solución: x=100, y=-56

k) { x+ y = 65

4x+ y = 104 solución: x=13, y=52

l) { 4x+3y = 1802x+ 5y = 188 solución: x=24, y=28

m) { x+ y = 50

2x+ 4y = 134 solución: x=33, y=17



7.2. Sistemas de ecuaciones no lineales

Recordad que, tenemos dos formas para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones y

dos incógnitas:

1ª Forma: Sustitución, seguimos los siguientes pasos:

1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y

una variable que sea fácil de despejar).

2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada vez

que esta variable aparezca.

3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación.

4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la

otra variable.

Ejemplo: Vamos a resolver el sistema no lineal usando sustitución: {x2-y=0

x2+y=18

1. En este caso, ambas ecuaciones tienen la variable y fácil de despejar, lo

hacemos por ejemplo en la primera de ellas: y=x2

2. Sustituimos en la segunda: x2+y=18 ⇒ x2+x2=18 ⇒ 2x2=18 ⇒ x2=9

3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación: x2=9 ⇒ x =±3

4. Sustituimos las soluciones del paso 3 en la expresión del paso 1, para

encontrar la otra variable: y=x2⇒ 𝑦 = (±3)2 = 9

Por tanto, soluciones: (3,9) y (-3, 9)

2ª Forma: Reducción, seguimos los siguientes pasos:

1. Multiplicar ninguna, o una, o las dos ecuaciones por una constante para que los

coeficientes de una de las variables sean iguales pero con signo distinto.

2. Restar las ecuaciones para eliminar una de las variables.

3. Resolver la ecuación resultante.

4. Sustituir la solución del paso 3 en una de las ecuaciones originales para

encontrar la otra variable.

Ejemplo: Vamos a resolver el sistema no lineal usando reducción: {x2+y2=58

x2-y2=40



1. Ya tenemos dos coeficientes iguales con signo distinto para la variable y2.

2. Sumamos las ecuaciones para eliminar la variable y:

Ec. 1: x2+y2=58

Ec. 2: x2-y2=40

2x2=98

3. Resolvemos la ecuación resultante: 2x2=98 ⇒ x2=49 ⇒ x =±7

4. Sustituimos la solución del paso 3 en una de las ecuaciones originales para

encontrar la otra variable, por ejemplo, en la primera ecuación:

x2+y2=58 ⇒ y2=58-x2=58-49 = 9 ⇒ x=±3

Por tanto, soluciones: {(3,7),(3,-7),(-3,7),(-3,-7)}

Ejemplo: Resuelve el sistema no lineal: { 2x+y = 4x2+y = 7

Ejemplo: Resuelve el sistema no lineal: { y-x = 0

2x2+y2 = 147

7.3. Resolución de problemas usando sistemas

Para resolver un problema mediante un sistema, hay que traducir al lenguaje

algebraico las condiciones del enunciado, usando cómo mucho dos incógnitas y

después resolver el sistema planteado. Comienza por leer detenidamente el

enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los

datos que te dan. Una vez resuelto el sistema no te olvides de dar la solución al

problema.



Ejemplo: Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es

12 y que la primera de ellas es el triple de la segunda.

Si x es la primera cifra e y es la segunda, entonces tenemos el sistema:

Resolvemos el sistema por sustitución:

Calculamos x sustituyendo y:

Por tanto, el número es 93.

Ejemplo: Alberto y su padre se llevan 25 años de edad. Calcular la edad de

Alberto sabiendo que dentro de 15 años la edad de su padre será el doble que la

suya.

Si la edad de Alberto es x y la de su padre es y, sabemos que:

Dentro de 15 años, la edad de Alberto será x+15 y la de su padre será y+15. Si para

entonces la edad del padre es el doble que la de Alberto:

El sistema de ecuaciones es:

Resolvemos el sistema por sustitución. Como tenemos despejada la y en la primera

ecuación, sustituimos en la segunda:



Por tanto, Alberto tiene 10 años.

Ejemplo: La semana pasada compramos berenjenas a un precio de 2,7€/kg y

patatas a un precio de 0,7€/kg pagando por ellas un total de 15,1€.

Sin embargo, esta semana hemos pagado 18€ por una compra con la misma

cantidad de estas hortalizas a un precio de 2€ por kilo de berenjenas y 1,2€ por

kilo de patatas.

Calcular la cantidad de hortalizas que se compran.

Si x e y son las cantidades de berenjenas y patatas, respectivamente, la compra de la

semana pasada puede descomponerse como:

Y la de esta semana como:

El sistema del problema es:

Como en ambas ecuaciones hay números con decimales, las multiplicamos por 10 para

que los números sean enteros y trabajar más cómodamente:

Resolvemos el sistema por igualación despejando la x en las dos ecuaciones para

igualarlas.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Igualamos las incógnitas x y resolvemos la ecuación:



Calculamos la otra incógnita usando alguna de las ecuaciones anteriores:

Por tanto, las cantidades de hortalizas son 3kg de berenjenas y 10kg de patatas.

Ejemplo: Una parcela rectangular tiene un perímetro de 320 m. Si mide el triple

de largo que de ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?

Llamamos: x al ancho e y al largo

El largo es triple que el ancho: y=3x

El perímetro es 320: 2x+2y=320

El sistema es:

Que resolvemos por sustitución: 2·3x+2x=320 → 6x+2x=320 → 8x=320 → x=40 m

y=3x → y=120 m

La parcela mide 40 m de ancho por 120 m de largo.

Por si quieres practicar:

Ejemplo: Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces el menor

es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es igual a 78.

Solución: 14 y 8

Ejemplo: Al dividir un número entre otro el cociente es 2 y el resto es 5. Si la

diferencia entre el dividendo y el divisor es de 51 ,¿de qué números se trata?

Solución: 97 y 46

Ejemplo: La base de un rectángulo mide 20 dm más que su altura. Si el

perímetro mide 172 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Solución: 52 y 33

Ejemplo: En una clase hay 80 alumnos entre chicos y chicas. En el último

examen de matemáticas han aprobado 60 alumnos, el 50% de las chicas y el 90

% de los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?

Solución: 50 chicos y 30 chicas



Ejemplo: La base de un rectángulo mide 70 dm más que su altura. Si el

perímetro mide 412 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Solución: 138 y 68

Ejemplo: Juan ha realizado un examen que constaba de 68 preguntas, ha

dejado sin contestar 18 preguntas y ha obtenido 478 puntos. Si por cada

respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se

resta un punto, ¿cuántas preguntas ha contestado bien y cuántas ha

contestado mal?

Solución: 48 bien y 2 mal

Ejemplo: Paco tiene en su monedero 210€ en billetes de 5 y 20 euros. Si

dispone de 15 billetes, ¿cuántos billetes tiene de cada clase?

Solución: 6 de 5€ y 9 de 20€

Ejemplo: La suma de las edades de Luisa y de Miguel es 32 años. Dentro de 8

años la edad de Miguel será dos veces la edad de Luisa. ¿Qué edades tienen

ambos?

Solución: Luisa tiene 8 y Miguel 24 años

Ejemplo: Encontrar un número de dos cifras sabiendo que suman 10 y que si le

restamos el número que resulta al intercambiar sus cifras el resultado es 72.

Solución: 91

Ejemplo: Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro

mide 88cm y que el triple de la base más el doble de la altura es igual a 118.

Solución: La base 30 y la altura 14 cm

Ejemplo: La suma de las edades de Raquel y Luisa son 65 años. La edad de Luisa

más cuatro veces la edad de Raquel es igual a 104. ¿Qué edades tienen ambos?

Solución: Luisa tiene 52 y Raquel 13 años

Ejemplo: En un corral hay gallinas y conejos: si se cuentan las cabezas, son 50,

si se cuentan las patas son 134. ¿Cuántos animales de cada clase hay?

Solución: 33 gallinas y 17 conejos

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Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2, 3, 4 y 5 |

Modelo 1 de examen unidades 1, 2, 3, 4 y 5:

Ejercicio 1: Operar y simplificar, dando el resultado como fracción irreducible:

[0,3 ̂.(

3

4−

1

2)]∶

2

3

0,3+ 1

5 +

1

4

= (1,5 puntos)

Ejercicio 2:

a) Simplifica, expresando el resultado como producto de potencias de números

primos:

184.25−5.8−8

36−2.153.81−2 (1 punto)

b) Simplifica lo máximo posible:

6. √20 − 5. √180 −1

2. √5 −

1

4. √45 (1 punto)

Ejercicio 3: Un campamento de 30 personas tiene provisiones para 12 días, de 1200

gramos cada provisión. ¿Cuántos gramos tendrá cada provisión si el campamento dura 12 días más y es de 40 personas? (1,5 puntos)

Ejercicio 4: De una progresión geométrica se sabe que dos términos consecutivos

son 54 y 81. Si el primer término de la progresión vale 24, calcular el lugar que ocupa el término de valor 54 en la progresión. (1,5 puntos)

Ejercicio 5:

a) Dados los polinomios 𝑃(𝑥) = 3𝑥4 + 2𝑥2 − 2 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 1, calcula: i) 𝑃(𝑥) . 𝑄(𝑥) = (0,25 puntos)

ii) 𝑃(𝑥) ∶ 𝑄(𝑥) = (0,25 puntos)

b) Aplicar las igualdades notables:

i) (2𝑥 − 4𝑦)2 = (0,25 puntos)

ii) (√2𝑎 − 𝑏)2

= (0,25 puntos)

iii) 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = (0,25 puntos) iv) 𝑎2 − 𝑏2 = (0,25 puntos)

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Ejercicio 6: Factoriza los polinomios que aparecen y simplifica todo lo posible:

x3−3x2+3x−1

x2−1.

x+1

x2−2x+1.

x−1

x−1 (2 puntos)

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Modelo 1 de examen unidades 1, 2, 3, 4 y 5:


(

1

8−

3

4) .

3

4

1+ 1

2

+ 3

4 . (

3

4−

1

8)

2− 1

2

+0,2̂

0,3̂= (1,5 puntos)

Ejercicio 2:


primos:

(9−4.75−2.8−3

21−3.49−3.98−2)2

(1 punto)


1

2. √28 −

1

4. √63 +

1

2. √7 −

1

4. √343 + √(√7)

2 (1 punto)

Ejercicio 3: Los tres camareros de la discoteca Ink, Armando, Brasilio y Calixto, han

estado enfermos durante 3, 6 y 9 días respectivamente, durante el mes de noviembre. Como han recibido 275€ de propina durante este mes, la han de repartir de manera inversamente proporcional a los días no trabajados ¿Cuántos euros les corresponden a cada uno? (1,5 puntos)

Ejercicio 4: Para rodar un anuncio se ha contratado a un gran número de personas

que deben colocarse en 51 filas. En cada fila hay dos personas más que en la anterior. En la vigesimosexta hay 57 personas. Averiguar cuántas personas hay en la primera fila, en última y en total. (1,5 puntos)

Ejercicio 5:

a) Dados los polinomios 𝑃(𝑥) = 3𝑥6 + 3𝑥2 − 1 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥, calcula: i) 𝑃(𝑥) . 𝑄(𝑥) = (0,25 puntos)

ii) 𝑃(𝑥) ∶ 𝑄(𝑥) = (0,25 puntos)

b) Factorizar aplicando varias veces la regla de Ruffini:

𝑥5 − 9𝑥4 + 31𝑥3 − 51𝑥2 + 40𝑥 − 12 (1 punto)

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x4−2x3+x2

x4−𝑥2 .x−1

x2−2x+1.

x+1

x−1 (2 puntos)

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Examen unidades 1, 2, 3, 4 y 5:

Alumn@: Fecha:

Curso: 2019/2020 Matemáticas 3º ESO Grupo:

• No se permite el uso de calculadora.

• Se debe realizar con bolígrafo y sin usar típex. Los ejercicios realizados con lápiz no se corregirán.

• No sólo se valora el resultado final, también el desarrollo de todos los ejercicios.


1 + 1

2 . (

2

3−

1

4):

1

6

1+ 1

2+

1

4−

3

8

−1

12⁄

+ 0, 12̂ = (1,5 puntos)

Ejercicio 2:


primos:

274. 1253. 16−6

28−2. 106. 812 (1 punto)


7. √98 − 5. √50 + 9. √2 −1

4. √18 (1 punto)

Ejercicio 3: Una profesora de Matemáticas del IES de Ortigueira, desesperada por

las malas notas de sus alumnos, quiere repartir 7300€ entre los tres estudiantes que han quitado las mejores calificaciones, de forma inversamente proporcional a sus edades, las cuales son 12, 14 y 16 ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos? (1,5 puntos)

El examen sigue por detrás

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Ejercicio 4: De una progresión aritmética se sabe que 𝑎3 = 7 y 𝑎10 = 21 . Hallar el

término general y la suma de los doce primeros términos. (1,5 puntos)

Ejercicio 5:

a) Dados los polinomios 𝑃(𝑥) = 3𝑥6 + 3𝑥2 − 1 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥, calcula: i) 𝑃(𝑥) . 𝑄(𝑥) = (0,5 puntos)

ii) 𝑃(𝑥) ∶ 𝑄(𝑥) = (0,5 puntos)

b) Factorizar el siguiente polinomio utilizando la regla de Ruffini sucesivas veces:

𝑅(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 12𝑥2 − 12𝑥 + 4 (1 punto)


x3−2x2+x

x2−1.

x2+x−2

x3+2x2+x (1,5 puntos)

Firma del alumn@:

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Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2 y 3 |

Modelo 1 de examen unidades 1, 2 y 3

Ejercicio 1: Simplifica las expresiones siguientes:

a) 2 +(

2

5−

1

3).(3−

1

2)

(2:4

5).(

1

3−

1

6)+

1

4

− 2 = (1,5 puntos)

b) 0,3̂−0,47̂

0,5= (1 punto)

Ejercicio 2: Dos albañiles, Alberto y Brais, tardan dos horas para hacer un muro. Si

lo hace únicamente Alberto, éste tarda seis horas. ¿Cuánto tardará Brais en hacerlo solo? (1,5 puntos)

Ejercicio 3: Simplifica, expresando el resultado como producto de potencias de

números primos:

82.81−2.93

2−2.6−2.43.3 (1 punto)

Ejercicio 4: Simplifica lo máximo posible las siguientes expresiones:

a) √√√𝑥101. 𝑦202. 𝑧30355

(1 punto)

b) 4. √50 − 3. √8 − 4. √128 + 2. √162 (1 punto)

Ejercicio 5: Escribir en notación científica el resultado de esta operación:

80,2 . 106 + 23,1 . 105 = (1 punto)

Ejercicio 6: Una granja de 30 vacas tiene provisiones de pienso para 24 días, siendo

cada provisión de 12 kg. ¿Cuántos kg tendrá cada provisión si el granjero compra 10 vacas más y quiere que las provisiones le duren el doble de días? (2 puntos)

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Modelo 2 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2 y 3 |

Modelo 2 de examen unidades 1, 2 y 3

Ejercicio 1: Simplifica las expresiones siguientes:

a) (

2

3−

1

2).(2−

1

2)

2

(1

2:4

3).(

1

2−

1

4)+1

:1

2= (2 puntos)

b) 1,3̂−1,21̂

0,3= (1 punto)

Ejercicio 2: De una cuenta bancaria se retira, en primer lugar, 3/7 del dinero y,

posteriormente 3/5 de lo que quedaba. El saldo actual es de 240 €. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente en la cuenta? (1,5 puntos)


números primos:

(

1

2)

3.(

3

8)

2.92

(1

2)

−2.4−2.

1

3

= (1 punto)


a) √√√𝑥28. 𝑦54. 𝑧30333

(1 punto)

b) 3. √245 − 3. √20 − 7. √45 + 2. √3 (1 punto)


(2,2 . 106) . (4 . 105) = (0,5 puntos)

Ejercicio 6: Tres dependientes de una zapatería, Antonia, Belén y Carla, han estado

enfermas durante 3, 6 y 9 días respectivamente, en el mes de octubre. Durante ese mes han recibido 275 € de comisiones que se han de repartir de manera inversamente proporcional a los días no trabajados. ¿Cuántos euros le corresponden a cada una? (2 puntos)

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Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2 y 3 |

Examen unidades 1, 2 y 3:

Alumn@: Fecha:





Ejercicio 1: Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) (

6

7.5

4−

2

7:1

2)

3

(1

2−

1

3.1

4:1

2)

−5

7= (1,5 puntos)

b) 𝑝5. 𝑞−2: (𝑝.𝑞−5

𝑞−6.𝑝4) = (0,5 puntos)

c) 1,51

1,32̂+2,2̂= (1 punto)

Ejercicio 2: En una cesta de manzanas pudren 2/3 y las tiramos, nos comemos las

4/5 del resto y los 25 restantes las usamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta? (1,5 puntos)


números primos:

362.43 .82.3−3

272.2−4.123 = (1 punto)

El examen sigue por detrás

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Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2 y 3 |


a) √32. 𝑥5 . 𝑦−10. 𝑧−355 (1 punto)

b) −2. √27 + 3. √75 + √273

(1 punto)


22,2 . 1012: 2 . 108 − 1,22. 103 = (0,5 puntos)

Ejercicio 6: (2 puntos) En una Olimpiada Europea de Matemáticas se conceden tres

premios inversamente proporcionales a los tiempos empleados en la resolución de los ejercicios. Los tiempos de los tres primeros concursantes han sido 3, 5 y 6 horas. Calcula cuánto dinero recibe cada uno si hay 42.000 euros para repartir.

Firma del alumn@:

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Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 6 y 7 |

Modelo 1 de examen unidades 6 y 7

Ejercicio 1: Indica las soluciones de siguientes ecuaciones:

a) 3

𝑥−

𝑥2+3

𝑥= 𝑥3 (1 punto)

b) 𝑥 − √25 − 𝑥2 = 1 (1 punto)

c) 𝑥3 − 7𝑥 + 6 = 0 (1 punto)

d) 2𝑥4 − 𝑥2 + 1 = 0 (1 punto)

Ejercicio 2: Las dos cifras de un número suman siete y si se invierten de orden se

obtiene otro número 9 unidades mayor. ¿De qué número se trata? (1,5 puntos)

Ejercicio 3: Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 60km/h. Dos horas

más tarde sale en su persecución un coche a 100 km/h ¿cuánto tardarán en encontrarse? (1,5 puntos)

Ejercicio 4: Resuelve el sistema lineal usando los tres métodos:

3(𝑥−2)

4+

2(𝑦−3)

5=

2

52(𝑦−4)

3+

3(𝑥−1)

2=

3

2

} (3 puntos)

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Modelo 2 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 6 y 7 |

Modelo 2 de examen unidades 6 y 7


a) 4𝑥

𝑥−3− 2 =

2𝑥

𝑥+1 (1 punto)

b) 𝑥(𝑥 − 3) −𝑥(𝑥−2)

2=

3𝑥2−𝑥

4 (1 punto)

c) √3 − 2𝑥 − 𝑥 = 6 (1 punto)

d) 2𝑥4 − 3𝑥2 − 20 = 0 (1,5 punto)

e) 3𝑥4 − 22𝑥3 − 47𝑥2 + 18𝑥 = 0 (1,5 punto)

Ejercicio 2: En casa de Lucía hay 3 cajas con la misma cantidad de bombones: caja

A, caja B y caja C. Para ahorrar espacio, Lucía reparte de forma equitativa los bombones de la caja C entre las otras dos cajas. Posteriormente, Lucía se come la mitad de los bombones que hay en la caja A. Si en total quedan 27 bombones, ¿cuántos bombones había inicialmente? (2 puntos)

Ejercicio 3: Resuelve el sistema no lineal:

𝑥2 − 𝑦 = 0𝑥 − 𝑦 = 0

} (2 puntos)

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Examen de matemáticas 3º ESO unidades 6 y 7 |

Examen unidades 6 y 7:

Alumn@: Fecha:






a) 2𝑥−4(𝑥−5)

2− 𝑥 =

2(5𝑥−4)

3+ 2 (1 punto)

b) 2 − √2𝑥 + 6 = 𝑥 + 7 (1 punto)

c) 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0 (1 punto)

d) 6𝑥4 + 5𝑥2 + 1 = 0 (1 punto)

Ejercicio 2: (1 puntos) Laura tiene caramelos de fresa, de limón y de menta.

Inicialmente, tiene 5 caramelos más de limón que de fresa y 10 caramelos más de menta que de limón. Durante la semana se come todos los caramelos de fresa, la mitad de los caramelos de limón y la tercera parte de los caramelos de menta. Si ahora le quedan 30 caramelos, ¿cuántos había inicialmente?

Ejercicio 3: Resuelve el sistema no lineal:

𝑥2 − 4𝑥 − 𝑦 = 54𝑥 + 2𝑦 = 6

} (2 puntos)

Ejercicio 4: Resuelve el sistema lineal usando los tres métodos:

3(𝑥−2)

4+

2(𝑦−3)

5=

2

52(𝑦−4)

3+

3(𝑥−1)

2=

3

2

} (3 puntos)

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matemÁticas acadÉmicas 3º eso · 2021. 8. 17. · matemÁticas acadÉmicas 3º eso mercedes...

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