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MATEMATICAS IIMATEMATICAS II

Ing. Julio Cesar Ortiz AntonioIng. Julio Cesar Ortiz Antonio

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Instituto Tecnológico Superior Instituto Tecnológico Superior De Acayucan De Acayucan

Lic. En InformáticaLic. En Informática

202-B202-B

Baeza Robles Ana LizbethBaeza Robles Ana Lizbeth

Hernández Isidoro AlfredoHernández Isidoro Alfredo

Patricio Farfán ElviraPatricio Farfán Elvira

Rodríguez Pulido Brenda Isabel Rodríguez Pulido Brenda Isabel

Sayago Castellanos FiladelfoSayago Castellanos Filadelfo

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Objetivo GeneralObjetivo General

El estudiante obtendrá el conocimiento y El estudiante obtendrá el conocimiento y aplicación de la derivada:aplicación de la derivada:

• Adquirir con claridad el concepto de derivada de Adquirir con claridad el concepto de derivada de una función en un punto. una función en un punto.

• Distinguir entre derivada en un punto x=xDistinguir entre derivada en un punto x=x0 0 de una de una

función f(x) y función derivada de f(x). función f(x) y función derivada de f(x). • Aprender la técnica de derivación de funciones Aprender la técnica de derivación de funciones

f(x). f(x).

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TemasTemas

Unidad 4 Unidad 4 Aplicaciones de la derivada Aplicaciones de la derivada

4.1 Introducción Derivada 4.1 Introducción Derivada

4.2 Funciones crecientes y decrecientes 4.2 Funciones crecientes y decrecientes

4.3 Máximos y Mínimos de Funciones 4.3 Máximos y Mínimos de Funciones

4.4 Derivadas de Orden Superior (concavidad) 4.4 Derivadas de Orden Superior (concavidad)

4.5 Criterios de Primera y Segunda Derivada 4.5 Criterios de Primera y Segunda Derivada

4.6 Aplicaciones específicas de la especialidad 4.6 Aplicaciones específicas de la especialidad

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IntroducciónIntroducción

El concepto se derivada se aplica en los casos El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación.se produce el cambio de una situación.

Conocer la variación de una función en un Conocer la variación de una función en un intervalo grande no informa intervalo grande no informa suficientemente bien en el sentido de suficientemente bien en el sentido de entender como se produce dicha variación.entender como se produce dicha variación.

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Unidad 4 Unidad 4 Aplicaciones de la derivadaAplicaciones de la derivada

La expresión La expresión ƒ(χ+∆χ) – ƒ(χ) representa el cociente entre representa el cociente entre

∆χ

la variación de la variable dependiente (función) y la variación la variación de la variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denomina tambiéndenomina también razón instantánea de cambio.razón instantánea de cambio.

Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea de cambio de la posición, x(t), en tal caso la razón instantánea de cambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.corresponde al concepto de rapidez instantánea.

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Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre las variables mediante una función y primer lugar la relación entre las variables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.posteriormente obtener su derivada.  EjemploEjemplo::  Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.respecto a la longitud de un lado.  Solución:Solución:  Si la relación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de Si la relación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:sus aristas (a) es:  V = aV = a33 entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a = 3a 22

     

EjemplosEjemplos

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4.1 Introducción Derivada 4.1 Introducción Derivada La La derivadaderivada de una función en un punto representa el valor de la de una función en un punto representa el valor de la

pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.(función) con el eje de las abscisas, en ese punto.

La La derivada derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. dimensiones.

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El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "anti derivada" o integral; cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "anti derivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.

Una ecuación que relaciona dos variables e puede entenderse como Una ecuación que relaciona dos variables e puede entenderse como una función, siempre y cuando a cada valor de le corresponda uno una función, siempre y cuando a cada valor de le corresponda uno y solamente un valor de . La correspondencia entre estas dos y solamente un valor de . La correspondencia entre estas dos variables se puede abstraer mediante parejas , donde es el variables se puede abstraer mediante parejas , donde es el valor numérico que resulta de evaluar la ecuación usando algún valor numérico que resulta de evaluar la ecuación usando algún número . Tales parejas se pueden interpretar como puntos número . Tales parejas se pueden interpretar como puntos geométricos en un plano cartesiano de manera que, al graficar muchos geométricos en un plano cartesiano de manera que, al graficar muchos puntos, se obtiene un dibujo que representa la función.puntos, se obtiene un dibujo que representa la función.

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EjemploEjemploDada la función , las parejas se obtienen Dada la función , las parejas se obtienen

dando valores arbitrarios a dando valores arbitrarios a xx y calculando y calculando yy como como se muestra en la siguiente tabla:se muestra en la siguiente tabla:

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En esta tabla se obtienen valores para puntos En esta tabla se obtienen valores para puntos que pueden ser graficados en un plano cartesiano que pueden ser graficados en un plano cartesiano con ejes e . En lenguaje matemático las con ejes e . En lenguaje matemático las funciones se denotan sustituyendo la variable funciones se denotan sustituyendo la variable por e indicando así que es una función de por e indicando así que es una función de . . Es decir, indica que la variable será, . . Es decir, indica que la variable será, en este caso, . La función anterior tendría el en este caso, . La función anterior tendría el aspecto aspecto

y del mismo modo, los puntos tendrían y del mismo modo, los puntos tendrían el aspecto .el aspecto .

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4.2 Funciones crecientes y 4.2 Funciones crecientes y decrecientesdecrecientes

Función CrecienteFunción Creciente

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Función DecrecienteFunción Decreciente

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4.3 Maximos y Minimos de Funciones4.3 Maximos y Minimos de Funciones

Sea f(x) una función y xSea f(x) una función y xoo un punto del dominio. un punto del dominio.

DEFINICIÓN:DEFINICIÓN:

La función f(x) presenta un máximo relativo en xLa función f(x) presenta un máximo relativo en xoo , cuando existe un entorno E(x , cuando existe un entorno E(xoo) tal ) tal

que: que:

La función f(x) presenta un mínimo relativo en xLa función f(x) presenta un mínimo relativo en xoo , cuando existe un entorno E(x , cuando existe un entorno E(xoo) tal ) tal

que: que:

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de xhaya otros puntos "alejados" de xoo cuya imagen sea mayor o menor que f(x cuya imagen sea mayor o menor que f(xoo).).

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4.4 Derivadas de Orden Superior 4.4 Derivadas de Orden Superior (concavidad)(concavidad)

La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo.

Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es: (a,b), entonces la gráfica de f es:

I) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b) I) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)

II) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)II) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)

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4.5 Criterios de Primera y 4.5 Criterios de Primera y Segunda DerivadaSegunda Derivada

CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADACRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un 3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.mínimo.

   

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Sea Sea f(x)f(x) una función y una función y cc un número en su dominio. Supongamos que un número en su dominio. Supongamos que existe existe aa y y bb con a<c<b tales que: con a<c<b tales que:

1.- 1.- f f es continua en el intervalo abierto (es continua en el intervalo abierto (a,ba,b) (de acuerdo con el teorema ) (de acuerdo con el teorema de Rolle)de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,ba,b), excepto quizá en ), excepto quizá en cc;;

3.- 3.- f´(x) f´(x) es positiva para todo es positiva para todo x<cx<c en el intervalo y negativa para todo en el intervalo y negativa para todo x>cx>c en el intervalo. en el intervalo.

Entonces Entonces ff tiene un máximo local en tiene un máximo local en c.c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

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CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADACRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA

El Criterio o prueba de la segunda derivadEl Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema a es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función ff es es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a cc, y , y ff'('(cc) = 0,) = 0,ff((cc)debe ser un mínimo relativo de )debe ser un mínimo relativo de ff. De . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a cc y y ff'('(cc) ) = 0,= 0,ff((cc)debe ser un máximo relativo de )debe ser un máximo relativo de ff..

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TeoremaTeorema

Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a cexiste en un intervalo abierto que contiene a c

1. Si 1. Si ff''(''(cc) > 0, entonces ) > 0, entonces ff tiene un mínimo relativo en ( tiene un mínimo relativo en (cc,,ff((cc)). 2. )). 2. Si Si ff''(''(cc) < 0, entonces ) < 0, entonces ff tiene un máximo relativo en ( tiene un máximo relativo en (cc,,ff((cc)).)).

Si Si ff''(''(cc) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, ) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, ff quizás tenga un quizás tenga un máximo relativo en máximo relativo en cc, un mínimo relativo en (, un mínimo relativo en (cc,,ff((cc)) o )) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.derivada.

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Conclusión Conclusión

El alumno debió de haber comprendido, los El alumno debió de haber comprendido, los diferentes tipos de conceptos de los temas diferentes tipos de conceptos de los temas anteriormente vistos, y así adquirir mas anteriormente vistos, y así adquirir mas conocimiento, para que los pueda aplicar en conocimiento, para que los pueda aplicar en cada problema que se le presente.cada problema que se le presente.

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BibliografíaBibliografía

http://www.mitecnologico.com/Main/http://www.mitecnologico.com/Main/IntroduccionDerivadaIntroduccionDerivada

http://www.mitecnologico.com/Main/http://www.mitecnologico.com/Main/FuncionesCrecientesYDecrecientesFuncionesCrecientesYDecrecientes

http://www.mitecnologico.com/Main/http://www.mitecnologico.com/Main/DerivadasDeOrdenSuperiorDerivadasDeOrdenSuperior

http://148.216.10.84/DIFERENCIAL/http://148.216.10.84/DIFERENCIAL/criterio_de_la_segunda_derivada.htmcriterio_de_la_segunda_derivada.htm

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_primera_derivada.htmcriterio_de_la_primera_derivada.htm