UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y ECONÓMICAS

ESTUDIANTES:

SOLEDISPA GUILLEN YELITZA

LOPEZ GARCIA JARNELYS

VERA PALMA SIMON

DOCENTE:

LCD. FABIAN CHAVEZ

CURSO: SEGUNDO PARALELO: “C”

PERIODO:

MAYO- SEPTIEMBRE

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LIMITES Y CONTINUIDAD EN LA CARRERA DE CONTABILIDAD Y

AUDITORIA

INTRODUCCION

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Existen varias formas de definir el límite de una función en un punto. Nosotros vamos a utilizar

sucesiones en la definición y así aprovechar todas las propiedades que hemos visto en el tema

anterior. La definición de límite de una función con sucesiones va a tener siempre un aspecto

similar al siguiente:

lim x→a f(x) = b ⇐⇒ si lim n→∞ xn = a, entonces lim n→∞ f(xn) = b .

Para que esto valga como definición de límite, sólo tenemos que garantizarnos que existan

sucesiones convergentes al punto donde tomamos límite. Recordemos que A 0 denota al

conjunto de puntos de acumulación del conjunto A. Con todos estos ingredientes ya podemos

dar la definición de límite de una función en un punto.

Definición 6.1. Sea A un subconjunto de R y f : A → R una función. Diremos que f tiene límite

en x0 ∈ A 0 y que vale L si para cualquier sucesión {xn} de elementos de A distintos de x0 que

tienda a x0 se cumple que {f(xn)} tiende a L.

Caso de ser así, escribiremos lim x→x0 f(x) = L.

Observación 6.2. Recuerda que si la función está definida en un intervalo, todos los puntos del

correspondiente intervalo cerrado son puntos de acumulación.

En algunas ocasiones puede ser más útil reescribir la definición de la forma siguiente.

Proposición 6.3. Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ A 0 .

Las siguientes afirmaciones son equivalentes. a) lim x→x0 f(x) = L. b) Para cualquier ε > 0

existe δ > 0 tal que si 0 < | x − x0 | < δ y x ∈ A, entonces | f(x) − L | < ε

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ANTECEDENTES

Motivación al concepto de límite de una función real en un punto. Definición de límite de una

función real en un punto. Limites laterales. Teoremas sobre límites: Unicidad, de la suma, del

producto, del cociente. Límites de funciones: infinito y en el infinito. Cálculo de límites de las

funciones estudiadas. Cálculo de límites de funciones reales con indeterminaciones de la forma:

cero sobre cero, infinito sobre infinito, infinito menos infinito, infinito por cero, uno al infinito

etc. Definición de continuidad en un punto. Teoremas sobre la continuidad de las funciones:

suma, producto, cociente y compuesta.

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JUSTIFICACION

Esta investigación puede dar como beneficio la utilización de los limites dentro de la

contabilidad y la auditoria en su aplicación se manejan de diferentes maneras para la utilización

de estos recursos en total por lo que se utiliza en la carrera de contabilidad de auditoria,

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función

vino a conocerse un siglo después, y el límite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a

finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el cálculo, en

donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas o integrales. En la

obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una

definición formal del concepto de función al afirmar que: “Una función de cantidad variable es

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una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o

cantidades constantes”. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se

conoce, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó:

”Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras

también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta

denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad

puede ser determinada por otras. así, si x denota una cantidad variable, entonces todas las

cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama

funciones de x”.

En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-

1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas

las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto

mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que

seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como

la babilónica, la egipcia y la china.

Antes de Euler, el matemático y filósofo francés Rene Descartes (1596-1650) mostró en sus

trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de “variable” y “función”,

realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los

puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las

ecuaciones que las representan.

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OBJETIVO GENERAL

Dado el contenido de la unidad los participantes serán capaces de: Aplicar los conceptos básicos

de límites y analizar la continuidad y/o discontinuidad de una función real dada, en un punto

dado y/o en un conjunto (Intervalo)

OBJETIVO ESPECIFICOS

1. Determinar límites de una función real dada, aplicando la definición.

2. Calcular límites laterales de funciones reales.

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3. Aplicar las propiedades de los limites

4. Calcular límites indeterminados de las formas: cero sobre cero, infinito sobre infinito,

infinito menos infinito, infinito por cero, uno a la infinito, etc.

5. Analizar la continuidad y la discontinuidad de una función dada.

MARCO TEÓRICO

FUNCION: 

Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que

tenga más de una imagen.

DOMINIO DE UNA FUNCION O CAMPO DE EXISTENCIA:

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Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x (variable

independiente) forman el conjunto original. Gráficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo

como escribimos de izquierda a derecha.

RECORRIDO O RANGO DE UNA FUNCION:

Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función “y” variable dependiente,

por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a “x”. Gráficamente lo miramos en el

eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba

 

OPERACIONES CON FUNCIONES 

 

Función Suma 

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por

( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

 

Función Diferencia

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia está dada por

( f – g ) ( x ) = f (x) – g (x)

Función Producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por 

( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

 

Función Cociente

Son dos funciones, entonces la función cociente está dada por

Si f(x) y g(x)

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LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

 

LÍMITES INFINITOS

 

 Límite infinito 

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica

que f(x) > k para todos los valores próximos a a.

EJEMPLO

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x   a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica

que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

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EJEMPLO

 EJERCICIOS

http://www.youtube.com/watch?v=fHWpGPnequE

CÁLCULO DE LÍMITES

Si f(x) es una función usual (poli nómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está

definida en el punto A, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la 

función el valor al que tienden las x.

Tipos de indeterminación

Resolver límites cuando x tiende a + infinito o a – infinito

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Resolver límites cuando x tiende a un número finito

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EJERCICIOS

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http://www.vitutor.com/fun/3/a_p1.html

 

ASÍNTOTAS 

Podemos definir el concepto de asíntota de la siguiente forma:

Dada una función   cuya gráfica es la curva C se dice que la recta “r” es una asíntota de   si la

curva C se acerca a “r” indefinidamente sin llegar a coincidir con la propia “r”.

Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de

asíntotas:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma y=a. Una función puede

tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando  ) y otra por la derecha

(cuando  ). Se calculan de la siguiente forma:

Si  , entonces y=a es una asíntota horizontal para f(x) (por la izquierda).

Si  , entonces y=b es una asíntota horizontal para f(x) (por la derecha).

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Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma x=k. No hay restricciones en

cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay funciones que no tienen

asíntotas verticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen

infinitas. Se calculan de la siguiente forma:

Si  , entonces x=k es asíntota vertical para f(x) (por la izquierda de la misma si el

límite ha dado   y por la derecha si el límite ha dado  ).

Si  , entonces x=k es asíntota vertical para f(x) (por la izquierda de la misma si el

límite ha dado   y por la derecha si el límite ha dado  ).

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas, es decir, rectas de la forma y=mx+n. Una

función puede tener, como máximo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su gráfica y

otra por la derecha de la misma). El cálculo de las mismas se realiza así:

Asíntota oblicua por la izquierda

Asíntota oblicua por la derecha

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Si m da un resultado distinto de 0 y   procedemos con el cálculo de n de esta forma:

Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni   ni  ), entonces la recta

y=mx+n es una asíntota oblicua para f(x) por la izquierda.

Si m da un resultado distinto de 0 y   procedemos con el cálculo de n de esta forma:

Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni   ni  ), entonces la recta y=mx+n

es una asíntota oblicua para f(x) por la derecha.

 

Ejemplo de cómo calcular las asíntotas de una función

LÍMITES Y CONTINUIDAD.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Limite_en_un_punto_continuidad/

limites_y_continuidad.htm

LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD, DERIVADAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS.

http://ocw.uc3m.es/matematicas/calculo-i/material-de-clase-1/Tema3.pdf

FUNCIONES CONTINUAS.

La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una

propiedad característica que es la continuidad.

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La continuidad de una función definida en un intervalo significa que pequeñas variaciones en el

original x ocasionan pequeñas variaciones en la imagen y y no un salto brusco de su valor.

Intuitivamente esto significa una variación suave de la función sin saltos bruscos que rompan la gráfica

de la misma.

 CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.

Una función es continua en un punto x = a si existe límite de la función en él y coincide con el valor que

toma la función en dicho punto, es decir:

fescontinuaenxalimfxfaxa =⇔=→()()

La continuidad de una función f en el punto x = a implica que se cumplan las tres condiciones siguientes:

1.  Existe el límite de la función f(x) en x = a.

2.  La función está definida en x = a; es decir, existe f(a)

3.  Los dos valores anteriores coinciden.

Por tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por no cumplir alguna de estas tres

condiciones. En este caso (si no se cumple alguna de las condiciones) diremos que la función es

discontinua en dicho punto. En caso de que no se cumpla la segunda condición, la función no estaría

definida en el punto x = a y no podríamos hablar ni de continuidad ni discontinuidad en dicho punto.

 

Ejemplos:

La función     ¿es continua en el punto x = 3?

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Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:

 

Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3.

Dada la función  , estudiar la continuidad de dicha función en x=1

Veamos si se cumplen las condiciones necesarias:

 

Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la continuidad en dicho

punto.

Dada la función  , estudiar la continuidad de dicha función en x = −1

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:

Estudiamos la existencia del 

Como en el punto x = −1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de

dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:

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En consecuencia, existe   pues los límites laterales son iguales.

 

Luego la función es discontinua en el punto x = −1.

Dada la función  , estudiar la continuidad de dicha función en x = 2.

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:

Estudiamos la existencia del punto x = 2 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la

existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por

tanto:

 

En consecuencia, no existe   pues los límites laterales son distintos.

f (2) = 5

Luego la función es discontinua en el punto x = 2.

Si tenemos en cuenta la definición métrica de límite podemos escribir:

 

CONTINUIDAD LATERAL.

Si nos restringimos a los valores que la función toma a la derecha o a la izquierda del punto x = a, se

habla entonces de continuidad lateral a la derecha o a la izquierda del punto a

Continuidad a la izquierda:

La función f (x) es continua a la izquierda en el punto x = a cuando el límite a la izquierda en dicho

punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.

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Continuidad a la derecha:

La función f (x) es continua a la derecha en el punto x = a cuando el límite a la derecha en dicho punto

coincide con el valor que toma la función en el mismo.

Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, entonces es

continua en dicho punto.

EJEMPLOS.

Estudiar la continuidad de la función f(x) = Ent(x) = /x/ (función parte entera de un número) en cualquier

punto de abscisa entera.

Si tenemos en cuenta la gráfica de la función parte entera

podemos observar que en cualquier punto de abscisa entera “n” se verifica

 

Por tanto, no existe lim Ent(x) por ser los límites laterales distintos.

En consecuencia, la función   no es continua en ningún punto de abscisa entera.

Estudiar la continuidad de la función   (función decimal) en cualquier punto de

abscisa entera.

Si tenemos en cuenta la gráfica de la función decimal

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podemos observar que :

Por tanto, no existe   por ser los límites laterales distintos.

En consecuencia, la función    no es continua en ningún punto de abscisa entera.

CONSECUENCIAS DE LA CONTINUIDAD EN UN PUNTO.

Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en dicho punto.

Esta propiedad es consecuencia directa de la definición de la continuidad.

Continuidad y acotación.

Si una función es continua en un punto x = a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un

entorno simétrico de x = a en el que la función está acotada.

Continuidad y signo de una función.

Si f es continua en un punto x = a y f(a) ≠ 0, entonces existe un entorno de x = a en el cual los valores

de f tienen el mismo signo que f(a).

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Continuidad y anulación de una función.

Si una función es continua en un punto x = a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno

simétrico de x = a, la función se anula en él.

DISCONTINUIDADES.

Una función es continua en un punto x = a si, y solo si, 

Si esto no se cumple por alguno de los motivos apuntados anteriormente, diremos que la función es

discontinua en dicho punto.

Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el

valor que toma la función en el punto.

Para la clasificación de las discontinuidades tendremos en cuenta la existencia o no de los límites

laterales en el mismo.

Discontinuidad evitable.

Para evitar la discontinuidad de la función definimos una nueva a partir de la que tenemos, de la

siguiente manera:

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es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en todos los puntos donde no hay

problema y en el punto donde presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite.

Ejemplo:

Hallar el verdadero valor de la función   en el punto x = 3.

Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3 pero si calculamos el límite de la

función en ese punto, obtenemos:

que sería el verdadero valor de la función en ese punto. La nueva función

sería continua en el punto x = 3.

Discontinuidad inevitable.

Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando no existe límite de la función en

dicho punto.

Podemos distinguir dos casos:

Que existiendo los límites laterales, éstos son finitos y distintos.

En este caso la discontinuidad evitable se denomina de salto finito, siendo el salto la diferencia entre los

límites laterales de la función en el punto.

Geométricamente, el salto es la altura que hay que subir (salto positivo) o bajar (salto negativo) en el

punto x = a al recorrer la gráfica de la función de izquierda a derecha.

• Que alguno o los dos límites laterales sea infinito.

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En este caso la discontinuidad inevitable se denomina de salto infinito.

Ejemplo

• Estudiar la continuidad de la función   en el punto x = 1.

Para estudiar la continuidad en el punto x = 1, analizamos si se verifican los tres puntos de los que

hablamos con anterioridad:

La función está definida en el punto x = 1:  f(1) = 4

Estudiamos la existencia del límite en x = 1, para lo cual tenemos que recurrir a calcular los límites

laterales en él puesto que en dicho punto existe un cambio de definición de la función

Al ser los límites laterales distintos, la función no tiene límite en dicho punto.

En consecuencia, en x = 1, la función presenta una discontinuidad inevitable de salto finito:

Si observamos los valores de los límites laterales, vemos que el límite a la izquierda coincide con el valor

que toma la función en el punto, por lo que la función tiene una continuidad lateral a la izquierda en el

punto x = 1.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.

Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en todos y cada uno de los puntos del

intervalo.

Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], si es continua en todos los puntos del intervalo

abierto (a,b) y, además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Igualmente podemos definir la continuidad en los intervalos semiabiertos:

Una función es continua en un intervalo (a,], si es continua en todos los puntos del intervalo abierto

(a,b)y, además, es continua a la izquierda en b.

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Una función es continua en un intervalo [a,b), si es continua en todos los puntos del intervalo abierto

(a,b) y, además, es continua a la derecha en a.

Ejemplo.

La función   es continua en todo su dominio R y, por tanto, en cualquier intervalo abierto de R.

La función   no está definida en el punto x = 0: su dominio de definición es

Para cualquier intervalo abierto (a,b) que no contenga el 0, f(x) es continua en todos sus puntos y

diremos que la función es continua en el intervalo abierto (a,b), p.e. (3,5). Sin embargo, no será continua

en cualquier intervalo que contenga a dicho punto, p.e.,

Continuidad y operaciones.

Teniendo en cuenta las propiedades de las funciones y de los límites, podemos deducir las siguientes

propiedades:

Si   son funciones continuas en [a,b], entonces la función (f + g)(x) es continua en [a,b].

Si f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], entonces la función (f+g)(x) es continua en [a,b]

Si f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b],  y g(x) no se anula en [a,b], entonces la función   es

continua en [a,b]

Si f(x) es continua en []ab,, entonces (α⋅f)(x) es continua en [a,b], para todo α ∈ R.

La función “valor absoluto” es continua en todo ℜEn resumen:

“Las operaciones con funciones continuas tienen como resultado otra función continua, siempre que

tenga sentido la operación”.

EJEMPLOS:27

Las funciones   son funciones continuas en todo el conjunto de números

reales R; en consecuencia, las funciones:

son continuas en R. Sin embargo, la función   no es continua en R ya que en el

punto  no está definida.

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES MÁS USUALES.

La función constante f(x) = k es continua en R.

En efecto, sea un número cualquiera a∈ R y estudiemos la continuidad de la función constante en dicho

punto:

 

Por tanto, la función es continua en el punto a∈ R y como “a” es un número real cualquiera, la función

es continua para cualquier valor real, es decir, es continua en R.

La función identidad f(x) = x es continua en R.

En efecto, sea un número cualquiera a∈ R y estudiemos la continuidad de la función identidad en dicho

punto:

 

Por tanto, la función es continua en el punto a∈ R y como “a” es un número real cualquiera, la función

es continua para cualquier valor real, es decir, es continua en R.

La función potencial  , n∈N, es continua en R.

Si tenemos en cuenta que  , la función potencial es un producto de n funciones

continuas y, por tanto, será otra función continua.

La función polinómica  , ai∈R, es una función continua en R.

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La función polinómica está formada por la suma de un número finito de productos de una función

constante por una función potencial: si tenemos en cuenta que el producto de funciones continuas es otra

función continua y la suma de funciones continuas también es continua, la función polinómica será

continua en todo R.

La función racional   es continua en todo su dominio, es decir, en todo R menos en aquellos

valores que anulen el denominador.

El dominio de la función racional está formado por todos los números reales que no anulan el

denominador de la fracción:

 

Entonces, ∀a∈Dom(f) se verifica que:

 

y la función es continua en a∈Dom(f) y como a es un punto cualquiera del dominio, será continua en

éste.

EJERCICIOS.

Representar la función siguiente e indicar si tiene algún punto de discontinuidad:

 

Estudiar la continuidad de la función

 

Representar la siguiente función e indicar si tiene algún punto de discontinuidad:

 

29

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

 

Probar que la función   no es continua en x = 1 e indicar que tipo de discontinuidad

presenta en dicho punto.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro:

 

Hallar los puntos de discontinuidad de la función   y decir si en alguno de ellos la

discontinuidad es evitable.

Dada la función   definida por:

 

Determinar los puntos en los que la función f es continua.

9. Estudiar la continuidad de la función f : R → R definida por   y representarla

gráficamente.

30

10. Consideremos la función f definida por

 

donde Ln(x) denota el logaritmo neperiano de x,

a)    Determinar el dominio de definición de la función f.

b)    Determinar el conjunto de puntos en el que f es continua.

c)    Determinar las asíntotas de f.

11.Una función continua definida para todo x real en el intervalo (−1,1) está definida por   

si   Hallar, razonadamente, el valor de f(0).

Del conocimiento de la continuidad en un intervalo cerrado se obtienen importantes resultados. Las

hipótesis de los teoremas que veremos más adelante exigen la continuidad de la función en un intervalo

cerrado [a,b]; si esta continuidad deja de cumplirse en un sólo punto del intervalo, las tesis de los

teoremas pueden no ser ciertas.

EJEMPLO:

La función f(x) = sen (x) es continua en toda la recta real y, en consecuencia, en cualquier intervalo

abierto o cerrado de la misma.

La función   no es continua en cualquier intervalo que contenga al cero, ya que en dicho punto la

función no está definida.

La función definida por   no es continua en el intervalo [0,3], ya que los límites

laterales en x = 1 son distintos.

EJERCICIOS RESUELTOS.

Si g(x) es una función polinómica, ¿qué se puede afirmar sobre la continuidad de la función 

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La función f(x) dada es un cociente de dos funciones polinómicas, continuas ambas en todo el conjunto

de números reales. Por tanto, f(x) será una función continua en todos los puntos en los cuales la

operación cociente tenga sentido.

Teniendo en cuenta que el polinomio denominador se anula en los puntos x=1 y x=-1, la función f(x) es

continua en R salvo los puntos x=1 y x=-1

Dominio de continuidad de  f=R-{-1,+1}

¡¡¡NO!!! Sea f una función de la que se sabe que

para todo número natural n.

Si f es continua en el origen, ¿qué puede asegurarse del valor de f en el origen, f(0)?

Si f es continua en el origen, se verificará que   el límite de la función en el punto debe

coincidir con el valor que toma la función en dicho punto. En consecuencia, calculando el límite de la

función cuando  , tenemos:

En consecuencia, podemos afirmar que f(0) = 0.

Demostrar que la ecuación   tiene una solución en el intervalo [1,2]

La función   es una función continua en todo R y, por tanto, en el intervalo [1,2] por ser

polinómica.

Además, se verifica que: 

En consecuencia, se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano (tenemos una función continua en un

cerrado que toma valores de signo opuesto en los extremos del mismo) y, por tanto, también se cumplirá

la tesis:

y nuestra ecuación tiene una solución en el intervalo [1,2].

 

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La función f(x) = tgx toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo   y, sin embargo,

no se anula en él. ¿Contradice esto el teorema de Bolzano?

La función   es continua en todo R menos en los puntos en los que se anula la función

coseno y, dentro del intervalo dado, existe un punto en el que se anula. 

En consecuencia, la función tangente no es continua en el intervalo 

Se verifica que: 

No se cumplen las hipótesis de Bolzano y, por tanto, tampoco se cumplirá la tesis.

En consecuencia, no se contradice el teorema ya que si no se cumplen las hipótesis, no se cumplirá la

tesis.

Sea la función  . ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el intervalo (1,2)

tal que f(c)=2?

Consideremos la función auxiliar   y veamos si cumple las hipótesis del

teorema de Bolzano:

g(x) es continua en el intervalo [1,2] ya que al ser polinómica es continua en R y, en consecuencia, en el

intervalo [1,2].

 toma valores de signo opuesto en los extremos del intervalo.

Por tanto, g(x) cumple las hipótesis del teorema de Bolzano. Entonces:

De donde se deduce que .f(c)=2

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34