UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZOUNIDAD DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

ÁREA DE EDUCACIÓN Y SERVICIOSMÁTEMATICAS

NOMBRE: Evelyn Albán Evelyn Chisaguano Mónica Cargua Nataly CabadianaPARALELO: EM2DOCENTE: Ing. Paulina RobalinoTEMA: Proyecto de Matemáticas

2do Semestre 2016

INTRODUCCIÓN El hecho de que hoy la Matemática sea una ciencia en sí misma no debe

hacer olvidar que el pensamiento matemático se ha desarrollado, a lo largo de la Historia, debido a las necesidades de otras ciencias para explicar los

diferentes fenómenos (tanto físicos como sociales). Por esta razón, las Matemáticas proporcionan la base necesaria para estructurar y comprender

otras ramas de la Ciencia y para profundizar en el desarrollo de nuestra Cultura.

Las funciones matemáticas son muy importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de

finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social

donde haya que relacionar variables.

FUNCIÓNUna función , en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.Para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:• Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.

La imagen de cada elemento debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.

• El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

TIPOS DE FUNCIONES

Sobreyectiva

Biyectiva

Inyectiva Acotada

Constante

Periódica

Par e ImparCreciente y Decreciente

Función Inyectiva

• En matemáticas, una función es inyectiva si a elementos distintos del conjunto X les corresponden elementos distintos en el conjunto Y de f. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una pre imagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Figura 1: Representación de la función inyectiva y no inyectiva.

• De manera más precisa, la función f: XY es inyectiva si, sólo si a,b son elementos de X tales que f(a)=f(b), entonces a=b.

• Equivalentemente la función f: X Y  es inyectiva si, sólo si a,b son elementos diferentes de X, entonces f(a) no es igual a f(b) 

Ejemplo:

X -2 -1 0 1 2

f(x) 2 -1 -2 -1 0

Tabla 1.Tabla de valores.

Determinar si la siguiente función es o no inyectiva f(x)=x2-2

Figura 2: Representación gráfica de la función sobreyectiva

Función Sobreyectiva • Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación

de elementos del dominio con elementos del condominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o más del codominio.

• Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

• Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: g(x) =

g(x) Y

2 3

1 -4

0 -5

-1 -6

Tabla 2Tabla de valores.

Figura 3: Representación gráfica de la función sobreyectiva

Función Biyectiva• Una función “ f”  es biyectiva si es

al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva). Figura 4: Conjuntos para reconocer una función biyectiva

Ejemplo:Sea la función f(x) = 2x definida en los números reales. Esta función es biyectiva.

• Figura 5: representación gráfica de una función.

Entonces ahí es biyectiva

Determinar si la función  f(x) = 3x + 2 es inyectiva: Solución: Veamos: f(x) es inyectiva  ⇔  f(x1) = f(x2) x⇒ 1 = x2

                                                ↓        ↓                                       3x1 + 2 = 3x2 + 2                                                                                   x⇒ 1 = x2  ✓

                           .:.  f(x) = 3x + 2  es inyectiva

Determinar si:  f(x) = 3x + 2 , es sobreyectiva:• Hacemos  f(x) = y 

y = 3x + 2⇒Despejamos "x":

x = (y - 2)/3⇒Luego, para que f(x) sea sobreyectiva, debe cumplirse que:f(x) = f [ (y - 2)/3 ] =  y

  3(y - 2)/3 + 2 = y⇒  y - 2 + 2 = y⇒ y = y  ⇒ ✓

Por lo tanto:  f(x) es sobreyectiva

Función Creciente y Decreciente

Figura 6: representación de una función creciente y decreciente

Función Creciente• Una función f es creciente si al

aumentar la variable independiente x, aumenta la dependiente y. Es decir la función f es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1  y x2, con la condición x1x2, se verifica que f( x1 ) < f( x2 ).

• Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2  se deduce que f(x1) < f(x2).

Sea la función: y= x2 + 2x

Figura 7: representación gráfica de una función creciente

Función Decreciente

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1  y x2, que cumplan x1 x2, entonces f(x1 ) f(x2 ).Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1)> f(x2), la función se dice estrictamente decreciente.

Sea la función: y=2 – 2x

Figura 8: representación gráfica de una función decreciente

Función Constante• En matemática se llama función constante a aquella función que

toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente.

• La función constante toma cualquier valor de la variable independiente (x), la variable dependiente (f(x)) no cambia, es decir, permanece constante.

• Sea: El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y el contra dominio es únicamente el real c.

Ejemplo:

Figura 9: Representación de una función constante.

x f(x)

-3 -2

-1.75 -2

-1 -2

0 -2

1 -2

2.99 -2

-3

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

Sea la función f(x)=-2 , encontrar su representación tabular y gráfica.Tabla 3Tabla de valores

Características de una función constante:• La variable dependiente y  toma siempre el mismo valor, sea

cual sea el valor de la variable independiente x.• Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas, que corta al

eje de ordenadas en el punto (  0, k )  • La pendiente m de este tipo de funciones es igual a cero por

ser la diferencia entre las ordenadas, de dos puntos cualesquiera de la recta, cero.

• Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

• El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a “Todos los reales”.

• Es una Función Continua.

Función Par o Impar • Función Par.Se dice que una función es par si: f(x) = f(-x)Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

Figura 10: representación gráfica de una función par

• Función Impar.Una función impar es cualquier función que satisface la relación:

Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

Figura 11: representación gráfica de una función impar

• EJEMPLOSFUNCIÓN PAR

Figura 12: representación gráfica de una función par.

• FUNCIÓN IMPAR

 f(x) = x3

f(– x) = (–x)3  f(–x) = –x3  f(–x) = –f(x)

Figura 13: Representación gráfica de una función impar.

Función Periódica • Se denomina función periódica a una función cuya representación gráfica

se repite a intervalos regulares. Esta propiedad las hace muy útiles para entender la multitud de fenómenos periódicos que se dan en nuestro mundo. Es la función que repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable. Más formalmente, una función f es periódica si existe un número real P tal que f(x + P) = f(x) para todas las x. Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Al menor número p se le llama período.

Ejemplo:La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que:sen (x + 2π) = sen x

Figura 14: representación gráfica de una función periódica.

Función AcotadaFunción acotada superiormenteUna función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real M tal que:

Este número real M recibe el nombre de COTA SUPERIOR de la función f. Geométricamente significa que ninguna imagen es superior al valor M y, por tanto, la gráfica de la función f estará por debajo de la recta y = M.

Figura 15: Representación de una función acotada superior

• Funciones acotadas inferiormenteUna función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número real m tal que-

Este número real m recibe el nombre de COTA INFERIOR de la función f. Geométricamente significa que ninguna imagen es inferior al valor m y, por tanto, la gráfica de la función f estará por encima de la recta y = m.

Figura 16: Representación gráfica de una función acotada inferior.

Funciones Lineales.Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.Definición    f: R —> R  /  f(x) = a.x+b  donde a y b son números reales, es una función lineal.

Figura 17. Recorrido de la función.

Ejemplo:y = 2x + 3

Tabla de valores de la función

x 1 0 -1

y 5 3 1

Tabla 4. Valores de una función después de haber realizado el procedimiento.

Figura 18.- grafica del ejercicio propuesto.

Funciones Cuadráticas

• Es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma

donde a ≠ 0. • Es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente

más alto en la variable es 2.

Forma factorizada y canónica

Forma canónica  Forma Factorizada Forma Polinómica

y = a ( x - xv )2 + yv y = a.( x - x1 ) . ( x - x2 ) y = ax2 + bx + c

Figura 19.- grafica del ejercicio propuesto.

Forma Factorizada

Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada: se puede factorizar como: Siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1. x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir:

Forma canónica Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

    Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma

polinómica y se completan cuadrados.

Gráfica de la Función Cuadrática

Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola. La forma estándar de una ecuación cuadrática es

Por ejemplo , el valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y c diferentes de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola.

Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la parábola cambia de dirección:

Figura 20.- grafica del ejercicio propuesto.

El vértice es el punto más alto o más bajo de la curva, dependiendo si la U se abre hacia arriba o hacia abajo.

un eje de simetría vertical, es una línea imaginaria que pasa a través de la mitad de la forma de U y la divide en dos mitades que son imágenes de espejo una de la otra. El eje de simetría siempre pasa por el vértice. Cualquier par de puntos con el mismo valor de y estarán a la misma distancia del eje.

y = x2 –2x + 3.

Figura 21.- grafica del ejercicio propuesto.