proyecto final matematicas
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Realizado por David Taipe
LA PROPORCIÓN ÁUREA EN LA ARQUITECTURA UTILIZADA PARA LA CREACIÓN
Y EL DISEÑO DE PLANTAS ARQUITECTÓNICAS EN NUESTROS DÍAS MEDIANTE
LAS SECCIONES Y GRADACIÓN DE UN RECTÁNGULO ÁUREO
AUTORES:
David Santiago Taipe Mejia
Andrés Santiago Rivadeneira Sarabia
Estuardo Rodríguez Toapanta
DOCENTE:
.Mg. Carlos Espinosa
FACULTAD DE ARQUITECTURA Y ARTES APLICADAS
PROYECTO FINAL DE MATEMATICAS
PRIMERO “B”
PERIODO ACADEMICO: A 15
AMBATO-ECUADOR
Realizado por David Taipe
HOJA DE VIDA
DATOS INFORMATIVOS
Apellidos y Nombres: Taipe Mejia David Santiago
Fecha de Nacimiento: Latacunga, 2 de enero de 1991.
Cédula de Ciudadanía: 0503212656
Estado Civil: Soltero
Teléfono: 032 810885
Celular: 0998466854
Email: [email protected]
ESTUDIOS REALIZADOS
Estudios Primarios: Escuela Club Rotario
Cotopaxi-Latacunga
Estudios Secundarios: Instituto Tecnológico Superior
“Ramón Barba Naranjo”
Cotopaxi-Latacunga
Estudios superiores: Universidad Tecnológica Equinoccial
ING. Comercio Exterior y aduanas
1
5to Nivel
(ACTUAL) Tungurahua-Ambato
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA INDOAMERICA
ARQUITECTURA Y URBANISMO
2
HOJA DE VIDA
NOMBRES: Andrés Santiago
APELLIDOS: Rivadeneira Sarabia
LUGAR DE NACIMIENTO: Ambato
FECHA DE NACIMIENTO: 3 de mayo de 1990
EDAD: 25 años
ESTADO CIVIL: Soltero
3
CEDULA DE IDENTIDAD: 1804192860
DIRECCIÓN: Cdla. Miñarica 1
TELÉFONO: 2413503-0998063735
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Datos personales:
Nombres: Estuardo Israel
Apellidos: Rodríguez Toapanta
Dirección: Pillaro
Teléfono: 0990659098
Lugar de nacimiento: Pillaro
Edad: 23 años
Estado civil: soltero
Cedula de ciudadanía: 1805086335
Correo electrónico: [email protected]
5
Estudios realizados
Estudios primarios: escuela “José María Urbina”
Estudios secundarios: Colegio nacional “Jorge Álvarez”
Otros cursos:
Sindicato de choferes profesionales Pillaro
6
INDICE
Introducción.......................................................................................................................................... 8
Justificación .......................................................................................................................................... 9
Objetivos ............................................................................................................................................. 10
Objetivo general: ............................................................................................................................ 10
Objetivos específicos: ..................................................................................................................... 10
Capitulo i ............................................................................................................................................. 11
Conceptos Básicos .......................................................................................................................... 11
El número de oro y la geometría sagrada ....................................................................................... 13
¿Qué es phi? ................................................................................................................................... 14
Rectángulo áureo ............................................................................................................................ 15
Características ................................................................................................................................. 16
El número de oro en la naturaleza ...................................................................................................... 21
La Espiral Logarítmica ..................................................................................................................... 21
En el Hombre .................................................................................................................................. 21
Genealogía ...................................................................................................................................... 22
Botánica .......................................................................................................................................... 22
¿Qué es? ......................................................................................................................................... 23
Algo de historia ............................................................................................................................... 23
Su valor ........................................................................................................................................... 24
¿Qué mide? ..................................................................................................................................... 24
Rectángulo áureo ............................................................................................................................ 24
FI en el Arte y las Construcciones.................................................................................................... 25
La Estrella Pentagonal ..................................................................................................................... 25
La Sucesión de Fibonacci ................................................................................................................. 25
FI en el Arte y las Construcciones.................................................................................................... 26
Pirámide de Keops .......................................................................................................................... 26
7
El Partenón ..................................................................................................................................... 26
El Templo de Ceres ......................................................................................................................... 26
Tumba Rupestre de Mira ................................................................................................................ 27
Apolo de Belvedere ......................................................................................................................... 27
Leda Atómica .................................................................................................................................. 27
FI en nuestra vida diaria .................................................................................................................. 27
ANEXOS ............................................................................................................................................... 28
Rectángulo áureo ............................................................................................................................ 32
LA ESPIRAL LOGARÍTMICA ............................................................................................................... 34
Bibliografía .......................................................................................................................................... 38
8
Introducción
El presente trabajo investigativo tiene el objetivo y finalidad de analizar con profundidad y
en modo resumido el estudio de la proporción aurea para la implementación en nuestra
carrera de Arquitectura en base a los conceptos que a su vez han sido propuestos en el
proyecto formativo de la materia y a su vez fueron puestos en práctica para la elaboración de
este este trabajo investigativo.
A continuación repasamos en esta presente proyecto la importancia de la proporción aurea
en nuestra actualidad , que durante la antigüedad ya se la utilizaba tato en el estudio de la
arquitectura como también era asociada con bastante frecuencia con la armonía estética en la
arquitectura y el arte en general, el concepto data de mucho tiempo atrás, los griegos ya la
conocían y utilizaban, matemáticamente se define como la proporción de a dividida por b
donde ( a+b ) es para a lo que a es para b .
En la actualidad es utilizada en las fachadas para la asignación de tamaños proporcionales,
sección del rectángulo áureo y gradación, en ventanas, puertas, columnas, lozas, arcos, trabes,
elementos decorativos, de tal forma que se logre un conjunto visualmente atractivo y se
mantenga la proporcionalidad con respecto a la fachada total.
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Justificación
La matemática es la más simple, la más perfecta y la más antigua de las ciencias.
Diariamente todos los seres humanos sin darse cuenta y sin importar el lugar donde se
encuentren, hacen uso de la matemática. Por ejemplo: al despertar por la mañana puede hacer
el cálculo mental sobre el tiempo que le llevará para llegar a la escuela, contará el cambio que
recibe después de comprar en alguna tienda, o el ama de casa que, sin estudiar, calcula que el
dinero que posee le alcanzará para hacer algunas compras. Sin embargo, este maravilloso
instrumento creado por el genio del hombre para el descubrimiento de la verdad, es temido y
rechazado por la gran mayoría de personas especialmente por los estudiantes. Con frecuencia
el rechazo es porque argumentan que el aprendizaje de la matemática es de gran dificultad.
Es necesario generar una actitud positiva en los alumnos hacia la materia, de modo que se
posibilite su aprendizaje. Lo ideal sería que el alumno tuviera la oportunidad de estudiarla
teniendo suficiente y variado material educativo y material didáctico.
En este trabajo investigativo empezamos por conocer el significado y concepto exacto de
proporción aurea, pero primero aclararemos un término que facilitará nuestra comprensión
del concepto que debemos tener en cuenta que es proporción que es el espacio físico que
ocupa una figura, a partir de este término comprendamos el tema y el significado áureo.
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Objetivos
Objetivo general:
Conocer el tema de proporción áurea en la arquitectura utilizada para la creación y el
diseño de plantas arquitectónicas en nuestros días mediante las secciones y gradación de un
rectángulo áureo
Objetivos específicos:
Aplicar los temas del proyecto investigativo
Analizar las fórmulas que nos proporciona el texto sobre el rectángulo áureo en la
arquitectura contemporánea
Facilitar la asimilación del concepto de semejanza en la naturaleza y matemática
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Capitulo i
Conceptos Básicos
La arquitectura contemporánea sigue utilizando la proporción aurea en diferentes
estructuras, el concepto de sección áurea fue reivindicado durante el periodo de la
arquitectura moderna por Le Corbusier quien en los años 40s desarrolló un sistema de
proporciones llamado Modular en el que la proporción de alturas estaba basada en la
proporción aurea, pero no solo Le Corbusier utilizó ampliamente el concepto, de igual forma
lo hizo Mies Van der Rohe, de esta forma la proporción aurea mantiene su vigencia hasta
nuestros días. En la arquitectura la sección aurea encuentra variadas e imaginativas
aplicaciones, veamos el caso del círculo áureo, círculo dividido en dos secciones por dos
radios, en el cual el cociente de la división del ángulo mayor entre el menor es igual al
número de oro, Phi, la arquitectura aplica esto en la pendiente de lozas a dos aguas, en la
angulación de muros y en juntas de elementos estructurales y también decorativos.
La Proporción Áurea (o Número Áureo, o Divina Proporción, entre otras
denominaciones), es una curiosa relación matemática presente en la naturaleza: en las
nervaduras de las hojas, en el grosor de las ramas, en el caparazón de moluscos, en las
semillas de los girasoles, en los cuernos de las cabras, incluso en el cuerpo humano.
Esta proporción ha fascinado desde hace siglos al ser humano, que lo ha considerado un
indicador de la perfección y la estética.
En el Renacimiento, muchísimos artistas y arquitectos compusieron sus trabajos con la
intención de aproximarse a la proporción Áurea, convencidos de que esta relación atribuía a
las obras un carácter estético especial.
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Por ejemplo, el hombre de Vitrubio, dibujado por Leonardo Da Vinci y considerado un
ideal de belleza, está proporcionado según el número áureo. Lo mismo se afirma de las
proporciones de la Gioconda o del Parthenon, pero estas suposiciones están menos
fundamentadas.
Para definir de una forma entendible el número áureo, podemos decir que, suponiendo que
tengamos una cuerda recta y la dividamos en dos trozos uno grande y otro pequeño, la
proporción resultante de dividir la cuerda completa entre el trozo grande es idéntica a la
proporción resultante de dividir el trozo grande entre el pequeño. En ambos casos será 1,618,
el número áureo.
Esta relación tiene también que ver con la famosa serie de Fibonacci, donde cada número
se obtiene sumando los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... La relación entre estos
números respeta la Proporción Áurea y su colocación concéntrica, genera la famosa forma de
caracola con la que he encabezado el artículo.Figura 1, y 2,
La proporción aurea en la actualidad es utilizada en las fachadas para la asignación de
tamaños proporcionales – sección del rectángulo áureo y gradación - en ventanas, puertas,
columnas, lozas, arcos, trabes, elementos decorativos, de tal forma que se logre un conjunto
visualmente atractivo y se mantenga la proporcionalidad con respecto a la fachada total.
La sección áurea también es aplicada en la arquitectura contemporánea para el diseño de
plantas, de tal forma que se logren ambientes armónicos y proporcionales al tamaño total de
la planta, de esta forma se aplican separaciones y tamaños proporcionales para estancias,
jardines, escaleras, mediante las secciones y gradación de un rectángulo áureo.
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El número de oro y la geometría sagrada
Objetivo: Conocer la forma de obtener el rectángulo áureo mediante los procesos
establecidos en el presente proyecto
La Geometría Sagrada sostiene parte de su base matemática en tres números irracionales:
phi, pi y Euler. Phi es un número irracional simple que tiene propiedades matemáticas
inusuales, tiene el valor de 1.618033.; Pi es la relación del diámetro de un círculo y su
circunferencia; y Euler es la base natural de los logaritmos. La razón, o la proporción
determinada por Phi era conocida por los egipcios, los griegos y las culturas de meso América
y también fue retomada por los artistas del Renacimiento, llamada por estos últimos como la
proporción divina. Al corte que produce este número en una línea recta se le conoce como
Sección Dorada o Sección Áurea, por eso Phi es también conocida como el Número de Oro.
Nosotros podemos tomar una línea recta y escoger dividirla en cualquier punto pero
solamente existe un lugar donde podemos hacer que se cumpla el principio de lo sagrado. El
principio de lo sagrado es cuando algo menor se encuentra en algo mayor, tantas veces como
lo mayor se encuentra en la totalidad. Esta definición nos recuerda a las Trinidades sagradas
en distintas religiones y filosofías. En la filosofía Cristiana estas tres fuerzas están expresadas
como el Padre, el Hijo y el Espíritu Santo. En la alquimia medieval, todas las cosas eran
vistas como mezclas variantes de sal, azufre y mercurio. En el Sankhya hindú se asignaba un
papel a las tres junas, Rajas, Tamas y Satva. En el hinduismo las fuerzas eran personificadas
como Shiva, Parvati y Vishnu. En China tiene calidad metafísica en la interacción del Yin, del
Yang y del Tao.
Phi es simplemente la proporción de los segmentos de línea que resultan cuando una línea
es dividida en una forma particular. Graficando esto obtenemos:
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Podemos derivar Phi de tres formas: de series numéricas, descubiertas por Leonardo
Fibonacci, de fórmulas matemáticas y de cortes geométricos. De la serie Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21.) podemos obtener un rectángulo áureo, que es un rectángulo que tiene 1.618033.
Veces más de largo que de ancho. Y a partir de aquí derivar una espiral dorada, la hermosa
concha del molusco Nautilus:
Encontramos esta proporción de phi en el cuerpo humano, Da Vinci lo representó en el
Canon del Hombre. El ancho a razón del largo de tu cabeza tiende a phi. Tu mano a razón de
tu antebrazo tiende a phi. En tu mano, la distancia entre las falanges. Cuando meditamos o
estamos tranquilos, en el latido de tu corazón, la sístole y la diástole están espaciadas a razón
de phi. ¿Ya observaste la forma que tiene tu oreja? aproximadamente una espiral dorada. En
el largo de tu cabeza, la altura de tus ojos se encuentra en phi.
Encontramos phi en las plantas, en la filotaxis. También en la arquitectura, por ejemplo en
Stonehenge, en Notre Dame, en el Partenón Griego en la Gran Pirámide de Giza y en algunas
pirámides de Mesoamérica. La pirámide de Teotihuacan tiene múltiplos y submúltiplos de phi.
En el arte renacentista, phi ha sido usado extensamente, por ejemplo, por Dalí, Da Vinci,
Seurat.
¿Qué es phi?
Phi (1.618033988749895...), pronunciado como fi, es un numero irracional como Pi
(3.14159265358979...), pero con muchas características matemáticas inusuales. Phi es la base
de la Proporción Dorada. La razón o proporción determinada por Phi (1.618...) era conocida
por los Griegos como la “Sección Dorada” y por los artistas del renacimiento como la
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“Proporción Divina”. También se le conoce como la razón Dorada o la Proporción Áurea.
Phi, como Pi, es una razón definida por una construcción geométrica.
Pi es la relación de la circunferencia de un círculo respecto a su diámetro. Phi es la
proporción de los segmentos de una línea que resultan cuando una línea es dividida de una
forma única y especial.
La línea es dividida para que la proporción de la longitud de la línea entera (A) respecto a
la longitud del segmento de la línea mayor (B) sea igual que la proporción de la longitud del
segmento de la línea mayor (B) a la longitud del segmento de la línea menor (C)
Esto es que A es 1.618... Veces B, y B es 1.618… veces C. Recíprocamente, C es 0.618...
De B y B es 0.618... De A. Phi con mayúscula "Phi" es 1.6180339887..., mientras que phi
con minúscula es 0.6180339887, el reciproco de Phi o Phi menos 1.
Lo que hace a phi incluso más inusual es que puede derivarse de muchas formas y ser
encontrado en proporcionalmente en el universo. Phi F puede ser derivado por: la serie
numérica descubierta por Leonardo Fibonacci, matemáticas y geometría.
Rectángulo áureo
Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un
rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo
consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a
la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas
proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan
tener la forma de un rectángulo áureo.
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Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial, trazarle la
mediatriz, formar un cuadrado a partir del segmento y luego hacer una circunferencia con
radio el tramo que va desde el punto medio del segmento hasta el vértice superior derecho.
La Proporción Aurea, también conocida como Razón Aurea, Proporción Divina, Número
Dorado, etc. es aquella que cumple que la relación entre el sector mayor y el sector menor es
igual a la relación entre la suma de las partes y la mayor de ellas.
O sea: Vale aproximadamente ocho quintos.
Esta relación numérica posee importantes propiedades matemáticas, fue estudiada por
Leonardo da Vinci, Luca Paccioli, Robín Cook, Johannes Kepler y Pitágoras entre otros.
Se dice que esta proporción es la esencia de la belleza, que aquellas figuras que poseen la
proporción aurea nos resultan las más bellas de todas las formas, podemos apreciarla en la
naturaleza por ej. En los caparazones de ciertos moluscos: También se encuentra en el cuerpo
humano, en las personas de mayor atractivo.
Se dibuja un cuadrado, desde el punto medio de una de sus aristas se gira el vértice
opuesto hasta la prolongación de la arista inicial.
Características
Se llama rectángulo áureo al que el cociente entre el valor del lado mayor entre el menor
nos da el número de oro o cociente áureo.
En este momento posiblemente digas, con toda razón: “no me he enterado de nada”.
Después de hacer los doce pasos siguientes te habrás enterado de la mitad.
Vas a hacer lo siguiente:
1) Toma un papel, un bolígrafo, una regla y un compás.
2) Dibuja un cuadrado que tenga 2 cm. de lado:
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3) Halla el punto medio de la base (en la figura, el punto rojo):
Cada mitad de la base vale 1 cm.
4) Toma la regla y une el punto medio anterior con el vértice superior derecho
5) Toma el compás y haciendo centro en el punto medio de la base (punto rojo figura del
apartado 3) y con radio igual a la longitud de la recta que acabas de trazar dibuja una
circunferencia:
6) Prolonga la línea de la base hasta cortarse con la circunferencia y borra parte de la
circunferencia para que te quede:
7) Calculamos la longitud del radio de la circunferencia, es decir, de r:
El triángulo de color rojo es un triángulo rectángulo en el que los catetos valen 1 cm. y 2
cm. siendo r el valor de la hipotenusa.
Haciendo uso del teorema de Pitágoras escribimos:
8) La línea de color amarillo de la siguiente figura valdrá:
Por tratarse del radio (hipotenusa del dibujo anterior).
9) ¿Cuánto vale la línea de figura siguiente?
La línea de color rojo mide
10) Traza una perpendicular de 2 cm. a la línea en el punto B:
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La base completa en color rojo ahora mide
11) Unimos el vértice superior derecho del cuadrado con la perpendicular al punto B, de la
base y escribes las medidas del nuevo rectángulo:
12) Recuerda que llamamos razón al cociente indicado de dos números.
Si divides el valor del lado mayor entre el valor del lado menor (2), es decir:
A este cociente indicado o razón llamamos razón áurea, y el valor que se obtienes de este
cociente llamamos número de oro o número áureo que se representa por la letra griega
(se lee FI) y vale:
Dirás que hasta has entendido, pero todo esto ¿para qué? ¿Para qué sirve saber esto?
Los griegos, varios siglos antes de Cristo decían que este rectángulo era armonioso que tenía
una extraordinaria belleza, de tal modo que utilizaban estas proporciones a sus más famosos
monumentos (Partenón, si encuentras una fotografía toma las medidas de su anchura y altura
y te encontrarás con el número de oro).
También los egipcios hicieron uso de la razón áurea (pirámide de Keops).
Varios siglos después, uno de las mentes más grandes que han existido en la humanidad,
Leonardo da Vinci que vivió entre los años 1452 y 1519 profundizó en los estudios y
aplicaciones (cuerpo humano-perfección de su anatomía, Mona Lisa, etc.) de y fue él
quien dio los nombres de razón áurea, número de oro, etc.
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Triángulo áureo y sucesión de triángulos áureos:
Consideremos uno de los clásicos triángulos áureos. Se trata del triángulo isósceles de
ángulos 36º, 72º y 72º que satisface la propiedad $\frac {BC}{AB}= \Phi$. Este triángulo
isósceles se conoce con el nombre de triángulo áureo.
Tiene muchas propiedades interesantes. Una de ellas consiste en que al trazar la
bisectriz del vértice B, el punto D obtenido sobre el lado Ac da lugar a dos nuevos
triángulos isósceles, de los cuales el primero, $\triangule DAB$, tiene ángulos iguales a
36º, 72º y 72º, por lo que es semejante al triángulo inicial $\triangule ABC$ y por ello
también se trata de un triángulo áureo.
Si nos fijamos en el otro triángulo, $\triangule BCD$, vemos que sus medidas
angulares son 108º, 36º y 36º y se puede comprobar que $\frac {BC}{DC}=\Phi$, por lo
que también se trata de un triángulo áureo, aunque de características distintas a las del
triángulo inicial $\triangule ABC$
Si ahora en el triángulo $\triangule DAB$ trazamos la bisectriz correspondiente al
vértice A obtenemos un nuevo punto E sobre el lado DB (ver primera imagen), lo que da
lugar a un nuevo triángulo áureo $\triangule DEA$, semejante al inicial. El proceso se
puede continuar indefinidamente, obteniéndose cada vez triángulos áureos semejantes al
inicial y más pequeños. El factor de semejanza es $\frac {1}{\Phi}$.
La sucesión de triángulos áureos puede contemplarse como un proceso dinámico de
fuera hacia dentro (ver segunda imagen), es decir, generación de triángulos más pequeños
a partir de triángulos mayores (factor de semejanza $\frac {1}{\Phi}$), o bien se puede
ver al revés, partiendo de un triángulo áureo pequeño, se van obteniendo triángulos
áureos mayores que se van disponiendo hacia el exterior (factor de semejanza $\Phi$).
Figura 3-15
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El número de oro en la naturaleza
La Espiral Logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el
lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le
quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso
se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos
encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas
y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con
la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica
mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus
encantos, la llamó espiral mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento
armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos),
aquellas en las que la forma se mantienen invariante. El ejemplo más visualmente
representativo es la concha del nautilus.
En el Hombre
Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proporción del
matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las
proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre
perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo
adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la
mano es el número áureo.
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En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las
falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su
anchura es también este número.
Genealogía
El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a
la sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo.
Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre),
aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella
misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso
y machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico (figura 1) de un
zángano, podemos ver como el número de abejas en cada generación es uno de los términos
de la sucesión de Fibonacci.
Botánica
La serie de Fibonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por ejemplo, ciertas
flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera
el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar
con 13, 21, 34, 55 o bien 89.
La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las
plantas se denomina Filotaxia. En la mayoría de los casos es tal que permite a las hojas una
captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en
forma de hélice.
Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas (supongamos
que son 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla
23
general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas
vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el número
de vueltas 'm' que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma
orientación resulta ser también un término de la sucesión. Pues bien, se llama "característica"
o "divergencia" del tallo a la fracción m/n, y que, como muestra en la figura 2, en el olmo es
1/2, en el álamo 2/5, en el sauce llorón 3/8 y en el almendro 8/13. Si representamos por Fn el
término que ocupa el lugar 'n' en la sucesión de Fibonacci (consideremos, por ejemplo: F1=1,
F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13), en la mayoría de los casos la característica viene
dada por una fracción del tipo Fn/Fn+2. Así, en el caso del sauce llorón sería F4/F6.
Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien
8/13, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las
ramas de las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.
¿Qué es?
Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que
aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, (FI),
también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que
aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y
aplicaciones. Está ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci.
Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución
de las hojas en un tallo, la formación de caracolas... y por supuesto en cualquier estudio
armónico del arte.
Algo de historia
Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como
sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (FI) (la sexta letra del
24
abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V
a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por
ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la
medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento.
Su valor
El valor numérico de es de 1,618... . Es un número irracional como PI, es decir, un número
decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo
convierta en un número periódico. Es imposible conocer todas las cifras de dicho número (al
igual que PI) y nos contentamos con conocer unos cuantos dígitos suyos suficientes para la
mayoría de sus aplicaciones.
¿Qué mide?
Supón que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos trozos de tamaños distintos.
Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor
sea el doble que la menor, o cuatro veces la menor, etc. Ahora bien, sólo existe una forma de
dividir tal segmento, de modo que la relación (razón o ratio) que guarden el segmento
completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento y el trozo
mayor que las dos partes entre sí. Para ello basta con que dividas la longitud del segmento
inicial entre =1,618 y el resultado es la longitud del trozo mayor.
Rectángulo áureo
Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso
en sus proporciones.
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Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con
uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta
manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1
más la raíz de 5, por lo que la proporción entre los lados es 1 más la raíz de 5 todo ello
dividido entre 2.
FI en el Arte y las Construcciones
El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de
edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas
del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso.
Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este
rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos más adelante, se han
utilizado en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets,
cajetillas de tabaco, etc...)
La Estrella Pentagonal
Según la tradición, la estrella pentagonal era el símbolo de los seguidores de Pitágoras.
Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde
solo tenía cabida los números fraccionarios. La casualidad (o quizás no) hizo que en su
propio símbolo se encontrara un número raro, el irracional como puedes ver en la figura,
donde QN, NP y QP están en proporción áurea.
La Sucesión de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
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Cada número a partir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo,
21=13+8; el siguiente a 34 será 34+21=55). Esta sucesión es la llamada "Sucesión de
Fibonacci" (Leonardo de Pisa 1170-1240). Los cocientes (razones) entre dos números de la
sucesión, se aproximan más y más al número de oro (1,61803...).
FI en el Arte y las Construcciones
El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de
edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas
del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso.
Pirámide de Keops
El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de
Keops, que data del 2600 a.C...
Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la
más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las
proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.
El Partenón
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.
En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que
dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=.
El Templo de Ceres
El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un
sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre
todo, con el orden dórico.
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Tumba Rupestre de Mira
La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construcción en un pentágono áureo,
en el que el cociente de la diagonal y el lado de dicho pentágono es el número áureo.
Apolo de Belvedere
Los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de
Belvedere están relacionados según la sección áurea, es decir, con una proporción de
1:1,618.
Leda Atómica
El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática
y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea,
pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se
advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama
místico pitagórico.
FI en nuestra vida diaria
El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas
construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se
ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de
las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un rectángulo áureo.
También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos
para ventanas, camas, etc.
Figura 16-20
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ANEXOS
Figura1
Figura2
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GRAFICO 3
GRAFICO 4
GRAFICO 5
GRAFICO 6
30
GRAFICO 7
GRAFICO 8
GRAFICO 9
31
GRAFICO 10
GRAFICO 11
GRAFICO 12
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Rectángulo áureo
GRAFICO 13
GRAFICO 14
33
GRAFICO 15
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LA ESPIRAL LOGARÍTMICA
Figura16
Leonardo Da Vinci - Libro De Divina Proporción del matemático Luca Pacioli editado en
1509
Figura 17
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Genealogía
Figura 18
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Botánica
Figura 19
EL Rectángulo Áureo
Figura 20
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Bibliografía
http://noticias.arq.com.mx/Detalles/15866.html#.VdH23fmK6ij
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/naturaleza-razon-oro-fibonacci.html
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/natu
raleza.html
http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/grupomaic/conferencias/11.Numer
o%20de%20oro.pdf
http://www.aulafacil.com/cursos/l10828/ciencia/matematicas/areas-geometricas/rectangulo-
aureo
http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/aurea/html/rectangulo.html
http://www.matematicainteractiva.com/triangulo-aureo-y-su-espiral-equiangular-aurea.