Matemáticas I

Dentro del marco de la Reforma Educativa en la Educación Básica y Media Superior, la Dirección

General del Bachillerato incorporó en su plan de estudios los principios básicos de la Reforma

Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos propósitos son consolidar la identidad

de este nivel educativo en todas sus modalidades y subsistemas, además de brindar una

educación pertinente que favorezca una rela- ción entre la escuela y el contexto social, histórico,

cultural y globalizado en el que actualmente vivimos.

Íntimamente ligadas a toda actividad humana desde el principio de los tiempos, las matemáticas

han sido, de alguna manera, la herramienta fundamental y la base sobre la que se ha cimentado

el avance de muchas ramas del conocimiento humano, incluso aquellas disciplinas

aparentemente alejadas de planteamientos puramente científicos. El origen de su estudio se

encuentra en la observación de la naturaleza y en un intento por entender y modelar su

comportamiento utilizando un lenguaje simbólico.

Debido a su abstracción, las matemáticas son universales en un sentido en que no lo son otros

campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones útiles en los negocios, la industria, la

música, la historia, la política, los deportes, la medicina, la agricultura, la ingeniería, y las

ciencias naturales y sociales. La relación entre la ciencia y las matemáticas tiene una larga

historia.

La ciencia le ofrece a las matemáticas problemas interesantes para investigar, y éstas le brindan

herramientas poderosas para el análisis de datos. Las matemáticas y la tecnología también han

desarrollado una relación productiva mutua; por ejemplo, en la contribución al diseño del

hardware computacional y a las técnicas de programación, y de manera importante en la

descripción de sistemas complejos cuyo comportamiento puede ser simulado por la

computadora.

Ya que las matemáticas juegan un papel central en la cultura moderna, es indispensable una

comprensión básica de ellas, tanto en la vida cotidiana como en la formación científica. Para

lograr esto, los estudiantes deben percatarse que las matemáticas forman parte del quehacer

científico; así como comprender la naturaleza del pensamiento matemático y familiarizarse con

las ideas y habilidades de esta disciplina. Por lo anterior, el conocimiento matemático debe ser

construido por los estudiantes, con el propósito de desarrollar un marco conceptual adecuado

que les permita lograr un aprendizaje significativo.

A lo largo de esta asignatura iniciaras en el bloque I con el uso de variables y expresiones

algebraicas en el contexto de los números positivos; en el bloque II se extiende lo anterior al

conjunto de los números reales, incluyendo comparaciones mediante tasas, razones, proporciones

y la variación proporcional como caso simple de relación lineal entre dos variables; en el bloque III

se estudian sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de números, bosquejando funciones

discretas (lineales y exponenciales ; en los bloques IV y V se estudian operaciones con polinomios

en una variable y factorizaciones básicas y de trinomios (incluyendo productos notables y

expresiones racionales); en los bloques VI, VII y VIII se estudian, respectivamente, los sistemas de

ecuaciones de 1x1, 2x2 y 3x3, en estrecha conexión con la función lineal; y finalmente en los

bloques IX y X se estudian las ecuaciones cuadráticas en una variable y su relación con la función

cuadrática.

Se indican las actividades de aprendizaje para desarrollar las competencias señaladas en el

programa de estudios, para lo cual es necesario tu compromiso y esfuerzo constantes por

aprender, ya que se implementan actividades que tendrás que realizar a lo largo del curso: en

forma individual, en binas o parejas; en equipos o en forma grupal. Dichas actividades van

enfocadas a despertar en ti el interés por investigar en diferentes fuentes, para que desarrolles

habilidades y destrezas que propicien tu aprendizaje.

Como podrás darte cuenta, acabamos de presentarte un panorama general de la asignatura, al

enfoque constructivista

Actividades de Aprendizaje. Ahora sólo falta que tú inicies el estudio formal de Matemáticas I,

para lo cual te deseamos:

¡Mucho ‚éxito!

PROGRAMA: (esto vas a copiar)

Bloque I Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Bloque II Utilizas magnitudes y números reales

Bloque III Realizas sumas y sucesiones de números

Bloque IV Realizas transformaciones algebraicas I

Bloque V Realizas transformaciones algebraicas II

Bloque VI Resuelves ecuaciones lineales I

Bloque VII Resuelves ecuaciones lineales II

Bloque VIII Resuelves ecuaciones lineales III

Bloque IX Resuelves ecuaciones cuadráticas I

Bloque X Resuelves ecuaciones cuadráticas II

NOTA: PUEDES GUIARTE DE LA SIGUIENTE HOJA PARA PRESENTAR LA PRIMERA EVIDENCIA (TRABAJO NO. 1) El resumen es de los párrafos en negrita y en la libreta con letra clara. El programa va escrito o copiado en tu libreta. Entregar en una hoja en blanco con el encabezado que se muestra; una figura alusiva a tu idea

de las matemáticas (ejemplo)

EVIDENCIA 1

Nombre del alumno (a) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ grupo _ _ _ _ _ fecha: _ _ _ _ _ Nombre del profesor : _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Semestre _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

MATEMATICAS I

Donde se aplican las matemáticas: Porque seleccionaste esa figura o imagen? _______________________________________________________________

Bloque I

DESEMPEÑOS Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales. Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas. Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas. Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

Te damos la bienvenida a este que es el primer bloque y el más importante, ya que en el realizarás operaciones aritméticas siguiendo una jerarquía en el orden de ejecución. Utilizarás números decimales en forma de enteros, fracciones y porcentajes. Utilizarás la calculadora como herramienta de exploración de resultados. Emplearás expresiones algebraicas usando literales para representar relaciones entre las magnitudes. Establecerás significados y propiedades de las diferentes representaciones de los números y variables algebraicas. Construirás hipótesis, diseñar y aplicar a modelos aritméticos sencillos. Describirás expresiones verbales mediante formas algebraicas y viceversa. INTRODUCCION: Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para poder contar las cosas. Nosotros representamos los números mediante unos símbolos o signos denominados cifras.

CLASIFICACION DE NUMEROS.

Números enteros.-Los números enteros son del t ipo:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Números racionales. - Se l lama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero .

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales ; pero los números decimales il imitados no.

Un número es irracional s i posee infinitas cifras decimales no periódicas , por tanto no se pueden expresar en forma de fracción .

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la

desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.e = 2.718281828459...

El número áureo , , uti l izado por artistas de todas las épocas

(Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí ,..) en las proporciones de sus obras.

Números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el

conjunto de los números reales , se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

OPERACIONES CON SIGNOS DE OPERACIÓN

Jerarquia de las operaciones

Las operaciones se tienen que resolver en el siguiente orden. Operaciónes dentro de signos de agrupación en el siguiente orden: Paréntesis(),corchetes[] y llaves {}.

Evaluar todos los exponenetes.

Primero resuelve las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

y despues resuelve las suma y las restas de izquierda a derecha

Nota: Recuerda siempre tomar en cuenta la Ley de los signos

Con paréntesis (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 / 4) −5 + (10 − 23)= Realizamos primero las operaciones dentro de los paréntesis. = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8) Quitamos paréntesis al realizar las operaciones y llegar al resultado. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 Finalmente las sumas y restas. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18 Con paréntesis y corchetes *15 − (23 − 10 / 2)+ · *5 + (3 ·2 − 4)+ − 3 + (8 − 2 · 3 ) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. = *15 − (8 − 5)+ · *5 + (6 − 4)+ − 3 + (8 − 6 ) = Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. = *15 − 3+ · *5 + 2+ − 3 + 2= Operamos dentro de los corchetes. = 12 · 7 − 3 + 2 Multiplicamos. = 84 − 3 + 2= Restamos y sumamos. = 83

3x- (5y+ [-2x+ (y- 6+x) - (-x+y)])=

3x- (5y+ [-2x+ y -6 +x - (-x+y)]) Quitando el primer paréntesis () que estan dentro del []

3x- (5y+ [-2x+ y - 6 + x + x - y]) Quitando el segundo paréntesis () que estan dentro del []

3x- (5y -2x+ y - 6 + x + x - y) quitando el []

3x - 5y + 2x -y +6 - x - x + y quitando el () Ahora una reducción de términos semejantes

3x - 5y + 6 Y nos quedó como resultado

SOLUCION DE PROBLEMAS:

PROB. En el auditorio de una escuela se presenta una obra de teatro para maestros y alumnos. Si en la escuela hay 28 maestros y 585 alumnos y el auditorio solo tiene capacidad para 80 personas. ¿Cuántas presentaciones se deben realizar para que el alumnado y profesores la presencien?

28 + 585 ÷ 80 = 7.66 ≈ 8 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

PROB. En cierta región del país se contaron 1500 matrimonios; 375 de ellos no tienen hijos. Si el total de hijos es de 3375. ¿Determina el promedio de hijos tomando en cuenta solo los matrimonios que tienen hijos?

Matrimonio sin hijos: 1500 - 375 = 1125

Promedio de hijos: 3375 ÷ 1125 = 3 por familia

PROB. Dos hermanos estaban midiendo sus edades respecto a la de su abuelo; su papá les dijo: Manuel tiene 2/3 partes de la edad del abuelo y Andres 3/9 de ella. ¿Cuál de los niños es el menor?

Para esta solución tenemos que relacionar los dos cocientes y multiplicarlos por el denominador del otro:

2

3 =

2 𝑥 9

3 𝑥9=

18

27

3

9=

3 𝑥 3

9 𝑥 3=

9

27

PROB. De las 40700 personas de un pueblo, 12210 usan anteojos. ¿Qué tanto por ciento de las

personas del pueblo usan anteojos?

12210 ÷ 40700 = 0.3 x 100 = 30 %

PROB. Dos calles tienen las siguientes longitudes 252 y 1

3

4 de km. ¿Cuál es la longitud total en

metros?

252 =

12

5y 1

3

4 =

7

4 , luego

12

5+

7

4=

48+35

20=

83

20= 4.15 𝑘𝑚

≈ 4150 𝑚

9

27<

18

27

∴ 𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

PROB. Para enumerar las páginas de un libro grande hacen falta 3005 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Pagina digitos no. De paginas

1 – 9 9 9

10 – 99 180 90

100 – 999 2700 900

1000- x 116 29 116÷ 4 = 29

3005 1028pag

PROB. En una población de 2550 habitantes, 3 personas se enteran de una noticia a las 8:00 am;

cada persona comunica este hecho a 3 nuevas personas al cabo de media hora. ¿a que hora

conocerá el rumor la totalidad del pueblo?

8:00 3 personas saben la noticia

8:30 (3 x 3) +3 = 12

9:00 (12 x 3) +12 = 48

9:30 (48 x 3) +48 =192

10:00 (192 x 3) +192=768

10:30 (768 x 3) +768=3072, hasta aquí se termina, ya que el no ya es mayor

NOTA: DESPUES DE ESTOS PROBLEMAS VISTOS EN CLASE SE LES SOLICITARAN 10

PROBLEMAS A INVESTIGAR O SACARLOS DE LAS GUIAS, LIBROS O

INTERNET Y COPIARLOS EN HOJAS BLANCAS COMO SEGUNDA

EVIDENCIA.

OPCIONAL: LOS PROBLEMAS PUEDEN IR CON DIBUJOS ACERCA DE LO QUE TRATA EL

PROBLEMA, PERO NO ES NECESARIA LA FIG.

Anexar a su libreta: LOS TEMAS, CLASIFICACION DE NUMEROS Y OPERACIONES CON

SIGNOS DE OPERACIÓN,

FECHA DE ENTREGA DE LA 2ª EVIDENCIA: Ultima clase de la próxima semana

9 180 3005 2700 - 2889

2889 0116

Bloque II USO DE MAGNITUDES Y NUMEROS REALES.

DESEMPEÑOS

Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos. Combina cálculos

de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos,

amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de

números reales. Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación

proporcional directa e inversa. Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos

aplicando las propiedades de los números reales.

PORCENTAJES

Tanto por ciento como fracción

El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo:

Para saber como se representa el 10 % en fracción se divide y luego se simplifica:

Porcentaje. La fracción común se multiplica por el número que sea necesario para que el denominador sea 100 y se toma el numerador, que será el porcentaje.

Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la operación siguiente:

PROB 13.- Para obtener un tanto por ciento de un número simplemente se multiplica.

Por ejemplo, el 25 % de 150 es. 0.25 X 150 =37.5

Alternativamente, en un método muy habitual antaño, se construye una regla de tres simple

directa. Así, para calcular el 25% de 150 se hace la regla de tres: simplemente se multiplica

cruzado y divide por el que queda solo o en conjunción con el restado.

Por tanto: 37,5 es el 25 % de 150.

En matemáticas, el porcentaje es una forma de

expresar un número como una fracción que tiene el

número 100 como denominador. También se le

llama comúnmente tanto por ciento.

PROB 14.- Si 80 es el 100% ; entonces cuanto es 60% de 80. 0.60x80= 48

PROB 15.- Calcula el 25% de 80= (25/100)x80= 20

PROB.- 16 Un producto tiene una rebaja del 30%. Si el producto normal es de $150. ¿Cuál es el

nuevo precio del producto?

(30/100) x 150= 45 luego el precio nuevo del producto es : P=$150-$45=$ 105

FRACCIONES

DEF.- Un número fraccionario, es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa el cociente de dos números:

DEF.- Una fracción indica la relación que existe entre una parte sombreada y un todo.

PROCESO DE OPERACIONES:

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎.𝑑 + 𝑏. 𝑐

𝑏.𝑑

𝑎

𝑏−

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

𝑏𝑑

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑 =

𝑎. 𝑐

𝑏.𝑑

𝑎

𝑏 .

. 𝑐

𝑑=

𝑎𝑑

𝑏𝑐

Tabla de conversiones: FRACC DECIMAL % EQUIVALENTE

1/5 0.2 20 2/10

¼ 0.25 25 25/100

2/5 0.4 40 4/10

½ 0.5 50 5/10

¾ 0.75 75 75/100

6/5 T a R e A

5/4 RELLENAR

3/2

5/2

3

4+

1

4=

4

4= 1

PROPIAS- mayor denominador

TIPOS DE FRACCIONES IMPROPIAS- mayor numerador

IGUAL A LA UNIDAD- numerador=denominador

Problemas en los que intervienen las fracciones. (Copiar al cuaderno o pegar)

PROB 1.- Un deposito cuya capacidad es de 100 litros, está lleno de agua. Si sacamos ¾ de su

capacidad ¿Cuántos litros quedan dentro del depósito?

PROB 2.- Dice Juan “en mi clase hay 25 estudiantes de los cuales 3/5 son chicas” ¿Cuántas chicas y chicos hay en la clase?

Todos – chicas= chicos

5/5 – 3/5 = 2/5

Suma y resta de fracciones

PROB 3.- Un agricultor ha sembrado las 2/5 partes de un campo de trigo y 1/3 de cebada. Si el campo tiene 4500 m², ¿qué superficie queda sin sembrar?.

Cada división equivale a ¼ del depósito.

4

4−

3

4=

1

4 de 100. LA PREPOSICION de SIGNIFICA QUE

SE MULTIPLICA LA FRACCION POR EL ENTERO.

∴ 1

4𝑥100 =

100

4= 25 litros

Cada división equivale a 5 estudiantes o cada división es 1/5 del total

de estudiantes ¡

Si hay 3 divisiones claras, quiere decir que hay: 3x5= 15 chicas

Si hay 2 divisiones claras, quiere decir que hay: 2x5=10 chicos

PROB 4.- Un agricultor ha sembrado las 2/5 partes de un campo de trigo y 1/3 de cebada. Si aún quedan 1200 m² sin sembrar, ¿qué superficie tiene el campo?.

Producto y cociente de fracciones

PROB 5.-En el envase de litro y medio de un suavizante para la ropa dice que con un tapón por lavado hay para 54 lavados. a) ¿Qué fracción de litro cabe en cada tapón?. b) ¿Cuántos litros harían falta si fuese para 90 lavados?

F

PROB 6.-De un depósito que contenía 6300 litros de agua se ha sacado la cuarta parte y después 1/3 de lo que quedaba. ¿Cuántos litros quedan en el depósito?.

PROB 7.- De un depósito de agua se ha sacado la tercera parte y después los 3/4 de lo que quedaba. Si aún sobran 1050 litros, ¿cuántos litros había en el depósito?.

RAZON

DEF.- Se llama razón a la comparación de dos cantidades.

RAZON ARITMETICA.- que es un diferencia de números

RAZON GEOMETRICA.- Que es un cociente de números

PROB 8.- Citar dos números cuya razón aritmética sea 3. Sol. 9-6=3

PROB 9.- Se tienen 20 manzanas en una caja con 5 manzanas malas. ¿Cuál es su razón?

PROB 10.- Cuales son las razones entre las edades del Papa y del Hijo?

45 15

PROPIEDAD: EL VALOR DE UNA RAZON NO SE ALTERA SI SE MULTIPLICA POR UN MISMO NUMERO

SUS DOS TERMINOS.

PROB 11.- La razón geométrica de dos números vale 4/7 y su razón aritmética es 45. ¿hallar ambos

números?

𝑎

𝑏=

4

7 Aplicando la propiedad tenemos

4

7=

8

14=

12

21,… a=4x y b=7x

𝑏 − 𝑎 = 45

7𝑥 − 4𝑥 = 45, 3x=15, x=15, luego a=4(15)=60; b=7(15)=105

20 son en total comparando: expresión

5 manzanas malas 5

20=

1

4 1 manzana

. esta mal de 4

Comparación de papa e hijo: Razon del hijo entre la del papa

45

15= 3.

15

45=

1

3

PROB 12.- En un salón de clases hay 35 estudiantes; de estos 25 son mujeres.

a) ¿Cuál es la razón de mujeres a hombres? SOL. 25

10=

5

2

b) ¿Cuál es la razón de hombres a mujeres? Sol:10

25=

2

5

TAREA 3) PROB 13.- De 76 gansos capturados, 19 tenían bandas rojas en sus pescuezos.

a) ¿Cuál es la razón de gansos con banda, respecto al total del numero capturado?

b) ¿Cuál es la razón de gansos sin banda, respecto a gansos con banda?

REGLA DE TRES

La regla de tres o regla de tres simple es una forma de resolver problemas

de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece

una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.

Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros

tres.

En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores

conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y,

PROB 14.- Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para

pintar 5 habitaciones?

PROB 15.- Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en

levantar el mismo muro?

Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de

tres simple inversa:

Regla de tres simple inversa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes

inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes

correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

PROB 16.- 3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en

construirlo 6 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales , ya

que a más obreros tardarán menos horas .

3 obreros 12 h

6 obreros x h

La recta numérica o recta real es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada entera ordenados y separados con la misma distancia

Ejemplo. Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

a. b. c. d.

Solución:

Ejemplo. Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

a. b. c. d.

Solución:

Ejercicio

Represente en un recta numérica los siguientes números racionales:

a. b. c. d.

Bloque III REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NUMEROS

DESEMPEÑOS Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades. Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas. Determina patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas. Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y geométricas. Emplea la calculadora para la verificación de resultado en los cálculos de obtención de términos de las sucesiones. Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en una sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas correspondientes. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y geométricas.

Para este bloque III aplicarás las formulas correspondientes para hallar el modelo del enésimo

término que caracteriza a una sucesiónaritmética o geométrica particular. Escribirás términos de

sucesiones aritméticas y geométricas.

Obtendrás términos de sucesiones aritméticas o geométricas utilizando la diferencia o razón

común, o aplicando formulas. Construirás gráficas para establecer el comportamiento de

sucesiones aritméticas y geométricas particulares.

Determinarás regularidades y patrones de las sucesiones y series aritméticas o geométricas.

Diseñarás y aplicarás modelos sencillos de series y sucesiones. Organizarás ideas y argumentos de

manera clara, coherente y sintética con relación a series y sucesiones

Desarrollando competencias

Existen algunos casos en que los números forman patrones bien definidos y que cuentan con

ciertas características interesantes. Investiguen en pareja sobre series o sucesiones numéricas,

aritméticas y geométricas y elaboren un mapa conceptual sobre el tópico.

(se pide al grupo que copien la pagina 92 referente a un cuadro sinóptico a su cuaderno)

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión

infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso

un orden alternativo)

¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser

"2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n Término Prueba

1 3 2n = 2×1 = 2

2 5 2n = 2×2 = 4

3 7 2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería,

así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n Término Regla

1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3

2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5

3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porquela diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.

La regla es xn = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.

La regla es xn = 2n

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.

La regla es xn = 4 × 2-n

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la

sucesión.

Pero es más fácil usar la regla

xn = n(n+1)/2

Ejemplo:

El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,

y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.

La regla es xn = n2

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.

La regla es xn = n3

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

El 2 se calcula sumando (1+1)

Análogamente, el 3 es sólo (1+2),

Y el 5 es (2+3),

¡y sigue!

Series

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

Competencia:

Al terminar, podrán proponer modelos para resolver las situaciones

propuestas por el asesor e inventarán o formularán, en equipos de 4 personas,

otros ejemplos en los que puedan consolidar lo aprendido. Los ejemplos

formarán parte de u portafolio de evidencias

Bloque IV Realizas transformaciones algebraicas I

DESEMPEÑOS

Identifica las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios de una variable. Ejecuta

sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable. Emplea productos notables para

determinar y expresar el resultado de multiplicación de binomios. Comprende las diferentes

técnicas de factorización, como de extracción de factor común y agrupación de trinomios

cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos

El Bloque IV es uno de los más importantes ya que en •l trabajarás por primera vez de manera

abstracta, esto se debe a que te centrarás en los temas básicos del algebra en donde ejecutarás

sumas, restas y multiplicaciones con una variable.

Emplearás productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicación de

binomios.

Formularás expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización.

Utilizarás los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos.

Establecerás relaciones entre procesos inversos de multiplicar y factorizar.

Desarrollando competencias

La diferencia fundamental del álgebra con respecto a la aritmética es que esta última utiliza

números concretos para efectuar sus operaciones, mientras que aquella utiliza, además de

números concretos las letras del alfabeto para representar cantidades conocidas o desconocidas,

o sea, los símbolos que utiliza el algebra para representar cantidades son los números concretos y

las letras del alfabeto.

Elabora de forma individual un resumen acerca de los polinomios de una variable en el que se

identifiquen los elementos de un polinomio y cómo se llama cada uno de ellos. PropŠb una lista

de cotejo para coevaluar los resúmenes que elaboren.

Las operaciones algebraicas son las mismas que las aritméticas. Las operaciones están sujetas a

propiedades, las cuales has estudiado en el Bloque II.

Reducción de términos semejantes

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)

1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)

0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Ejemplos:

xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6 = 6 xy3 + – 15 x2y + 6

3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 = 25ab + 1abc – 30

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS. Monomios: Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y letras

están ligadas por la operación multiplicar. Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o más monomios. 2a+b, 3x2-5y+z, 2x3-7x2-3x+8

a) Binomio.- Polinomio de dos términos: 5x2-3y2, u +at, 4a2b +x2y6,

b) Trinomio.- Polinomio de tres términos: x+y+z, 2ab-3a2+5b2, m-2n-8

SUMAR: Ejemplo 1)

Ejemplo 2)

ejemplo 3)

Ejemplo 4)

Ejemplo 5)

A = - 3x2 + 2x

4 - 8 - x

3 + 1/2 x

B = -5x4 - 10 + 3x + 7x

3

2x4 - x

3 - 3x

2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

+ -5x

4 + 7x

3 + 0x

2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

-3x4 + 6x

3 - 3x

2 + 7/2 x - 18

A + B = -3x4 + 6x

3 - 3x

2 + 7/2 x - 18

A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)

B = 4x3 - 5x

2 + 2x + 1 (grado 3)

0x3 - 3x

2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)

+ 4x

3 - 5x

2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

4x3 - 8x

2 + 7x - 3

A + B = 4x3 - 8x

2 + 7x - 3

A=9 + 5x3 - 4x

2 + x

B = 4x2 - 3 - 2x

5x3 - 4x

2 + x + 9

+ 0x

3 + 4x

2 - 2x - 3

____________________

5x3 + 0x

2 - x + 6

A + B = 5x3 - x + 6

A = -3xy2 + 4 - 7x

2y

2 - 6x

2y - 5xy

B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x

3y

A + B = (-3xy2 + 4 - 7x

2y

2 - 6x

2y - 5xy) + (8xy - 2xy

2 + 10 + 4x

3y) =

-3xy2 + 4 - 7x

2y

2 - 6x

2y - 5xy + 8xy - 2xy

2 + 10 + 4x

3y =

-3xy2 - 6x

2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy

2 + 4x

3y - 7x2y2 =

-5xy2 + 14 + 3xy - 6x2y + 4x3y - 7x2y2

RESTA.- La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del

sustraendo.

Ejemplo 6) Restar 6x3+8x+3 de 7x

4+4x

2+7x+2

Ejemplo 7)

Ejemplo 8)

A = - 3x2 + 9x

4 - 8 - 4x

3 + 1/2 x

B = 5x4 - 10 + 3x + 7x

3

9x4 - 4x

3 - 3x

2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

-

5x4 + 7x

3 + 0x

2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:

9x4 - 4x

3 - 3x

2 + 1/2 x - 8

+

-5x4 - 7x

3 + 0x

2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)

______________________________

4x4 - 11x

3 - 3x

2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x

3 - 3x

2 - 5/2 x + 2

A = 5x - 4 - 3x2 (grado 2)

B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x

2 (grado 3)

0x3 - 3x

2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)

- 4x

3 - 5x

2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

0x3 - 3x

2 + 5x - 4

+ -4x

3 + 5x

2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)

____________________

-4x3 + 2x

2 + 3x - 5

A - B = -4x3 + 2x

2 + 3x - 5

MULTIPLICACION.

Multiplicación de un número por un polinomio- Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes l iterales.

Ejemplo 3 · (2x3 − 3x

2 + 4x − 2) = 6x

3 − 9x

2 + 12x – 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio. Se multipl ica el

monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo: 3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios. Este tipo de operaciones se puede l levar a

cabo de dos formas distintas.

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x)·Q(x)=(2x2 −3)·(2x

3 −3x

2 +4x)= 4x

5 − 6x

4 + 8x

3 − 6x

3+ 9x

2 − 12x

= 4x5 − 6x

4 + 2x

3 + 9x

2 − 12x

OPCIÓN 2

Checar el error en el tercer término debe ser 5/12.

DIVISION DE POLINOMIOS. La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el

cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=–

Ejemplos:

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO. Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra. 2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,

obteniéndose así el primer término del cociente 3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido

se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.

4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

PROBLEMAS RESUELTOS POR POLINOMIOS:…….

1. Determina la expresión polinomial que represente el Perímetro de la siguiente

f igura:

x2+3x+1

5x2+x-4

2.- Determina una expresión para el área de la región sombreada de la siguiente figura:

3.- El consuno de fresas en 2009 (millones de toneladas) puede modelarse con la expresión

F=1.5x2

-10.3 x +132 y el de manzanas M=-0.7 x2

+12.8 x + 61. Donde x=0 que corresponde a

enero.

a) obtén la expresión algebraica para el consumo de ambas frutas

b) Cual fue este en el mes de junio

solución: F=1.5x2 -10.3 x +132

M=-0.7 x2 +12.8 x + 61 x=5 T=0.8 (5)2 + 2.5 (5) +193=225.5 millones

0.8 x2 + 2.5x + 193 de toneladas.

5x2 + x - 4

5x 2 + x - 4

x2 + 3x + 1

x2 + 3x + 1

12x2+8x-6

4x + 2

2x + 2

8x2 + 4x

8x + 4

8x2 + 12x + 4

-x2 - 2x

7x2 + 10x + 4

INTRODUCCION

En estos tiempos de cambios que nos invitan a reflexionar sobre cómo entregara uno de nuestros contenidos con un enfoque recreativo que apoye la presentación formal del Algebra a los alumnos a participar de ella de una manera más interactiva y entretenida a través de juegos, rompecabezas, estímulos y en un clima aceptación, afecto y respeto; sabemos que muchas son las causas que originan dificultades en el aprendizaje de la matemática , produciendo ansiedad, desagrado y sensaciones de amenaza en los estudiantes, por eso es que consideramos que al estimular un metodología lúdica, participativa, reflexiva e integrada para el proceso de construcción y adquisición de conocimientos que ayudará a superar estas dificultades y a lograr una actitud positiva hacia el aprendizaje de esta disciplina.

Una manera de que no sea tan árido el Algebra para los jóvenes que recién se inician en enseñanza media es trabajar con juegos, ilustraciones, anécdotas, poesías que estén relacionadas con la materia, utilizando el lenguaje matemático integrado contenidos y estimulando el trabajo grupal.

Al darle énfasis al juego y el trabajo cooperativo encontraremos valores tales como la tolerancia, compañerismo, la confianza en sí mismo y muchas otras cosas más.

Lo que crea un grato ambiente en la sala de clases. Nuestro objetivo al realizar este proyecto es proporcionar una visión diferente, un Algebra entretenida, que se aprende de manera reflexiva, con comprensión y sin temores.

PRODUCTOS NOTABLES.

Se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicación que tienen características especiales, como veremos a continuación:

PRODUCTOS NOTABLES: a) Cuadrado de un Binomio

b) Productos de Binomios que tienen un término común

c) Suma por su Diferencia

d) Cubo de un Binomio

a) Cuadrado de un Binomio:

Para encontrar la fórmula resolveremos el cuadrado del binomio como un producto de factores iguales. EJEMPLO :

(a b )2

¿Qué sucede cuando tenemos signo menos?

1. (a – b)2

= (a – b)(a – b) = a2

– ab – ab + b2

= a2

– 2ab +b2

2. (m – n)2

= (m - n)(m – n) = m2

– m n – m n +n2

= m2

–2mn +n2

3. (c – d)2 = (c – d )(c – d) = c2 – c d - c d + d2 = c2 – 2cd + d2

Analizaremos geométricamente el Cuadrado de un Binomio, Consideremos que (x + a) es el lado de un cuadrado.

x a El área del cuadrado de lado (x + a)

corresponde a las suma de las áreas que se forman:

x (x + a)2

= x2

+ a x + a x + a2

= x2

+ 2ax + a2

a

ejemplo : (x + 6 )2

= ¿?

(x + 6 )2

= x2

+ 6x + 6x + 36 x= x2

+ 12x + 36

x 6

x

6

1. (a + b)2 = (a +b)(a +b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

2. (m + n)2 = (m+ n)(m+ n) = m2 + m n + m n +n2 = m2 + 2mn + n2

3. (c + d)2 = (c+ d)(c+ d) = c2 + c d + c d + d2 = c2 + 2cd + d2

x2

ax

ax a2

x2 6x

6x

36

x-a

¿Qué sucede cuando tenemos: (x – a )2

=? a x-a El área del cuadrado sombreado corresponde a

(x-a)2

, que es equivalente a:

a

(x-a)2 = x2 - a2 + (ax-a2) + (ax –a2)

x-a x2 - a2 +ax –a2 +ax- a2

x2 – a2 - ax + a2 – ax + a2

x2- 2ax + a2

(4 a2 – 3 b

2)

2 = 16 a

4 – 24 a

2 b

3 + 9 b

6

(2 a – 3 b)2 = 4 a2 – 12 a b + 9 b2

(6 ax – 4)2 = 36 a2x2 – 24 ax + 16

(5 by - 5 )2 = 25 b2y2 – 50 by + 25

( - 3 + 4x )2 = (4x – 3)2 =16 x2 -24 x +9

CUBO DE BINOMIOS: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Consideremos , por lo

tanto

Es decir

8b9

a2 ax-a

2

ax-a2

(x- a)2

x

Error en x2, debe

ser x3

El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo número.

Consideremos , por lo

tanto

Es decir

-8b9

PRODUCTOS DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN

El producto de dos binomios del tipo es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos

PROBLEMA: DEPOSITO DE AGUA EN CASA HABITACION.

a). Escribe una expresión algebraica para el volumen de agua contenida en un tinaco de

radio r-15, si el agua alcanza una altura de x+15.

b). ¿Es este el volumen igual a 𝜋(x-15) (x2 -225)?.