8. cocientes notables
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Llamaremos cocientes notables a ciertas divisiones algebraicas que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin necesidad de efectuar la operación.
Estos casos especiales son de la forma general.
,
Donde: son las bases.
Todo cociente notable debe de cumplir las siguientes condiciones
I. Las bases del dividendo y divisor deben ser iguales.
II. Los exponentes del dividendo deben ser iguales.
Se presentan 4 casos de la forma:
CASO I:
Es cociente notable para cualquier valor
entero positivo n.
Ejemplo:
CASO II:
Es cociente notable para todo n entero positivo impar.
Ejemplo:
CASO III:
Es cociente notable para todo n entero
225
positivo par.
Ejemplo:
CASO IV:
Sea “n” par o impar no es cociente notable.
OBSERVACIONES
Todo cociente notable es un polinomio homogéneo.
El desarrollo del cociente notable tiene “n” términos.
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL
Donde:
: Término de lugar “k” : Primera base. : Segunda base. : Número de términos del cociente
notable. : Lugar que ocupa el término buscado.
REGLA PARA EL SIGNO:
Si el divisor es de la forma los signos de sus términos en su desarrollo son todos POSITIVOS
Si el divisor es de la forma los signos de sus términos en su desarrollo son ALTERNADOS. Los términos del lugar par son negativos y los términos del lugar impar son positivos.
Ejemplo:
1) Dado el cociente notable:
Hallar el cuarto término.Solución:Un cociente notable debe tener bases iguales y exponentes iguales.
De acuerdo a la fórmula:
El cuarto término será:
226
PROPIEDAD: El número de términos de su desarrollo está dado por la siguiente relación:
Si: es un cociente
notable,
Entonces se cumple:
IMPORTANTE: El desarrollo de un cociente
notable de la forma: es
un polinomio homogéneo de grado de homogeneidad ; es un polinomio de “n” términos completo y ordenado con respecto a ambas variables.
Se puede determinar el término central de un cociente notable siguiendo estas consideraciones:
Primero: Si el número de términos es par.
Segundo: Si el número de términos es impar.
TÉRMINO GENERAL CONTANDO DEL EXTREMO FINAL
RECOMENDACIÓN
Si nos dan un cociente notable, examinar los signos de los términos, comparar los exponentes de las variables, descubre una relación que permita “construir” la división notable que la origino.
EJERCICIOS RESUELTOS
01. En el cociente
hallar el valor de “p” sabiendo que es un C.N.A) 16 B) 25 C) 36D)49 E) 64Solución:Haciendo cumplir la propiedad para hallar el número de términos:
227
Rpta.
02. Si el cociente es
exacto hallar el valor de “n”, donde A) 2 B) 3 C) 4D)5 E) 6Solución:
Por propiedad:
Rpta.
03. Hallar el lugar que ocupa en el desarrollo del cociente notable.
el termino que tiene como grado absoluto igual a 213.A) 10 B) 20 C) 30D)40 E) 50Solución:Un cociente notable debe tener bases iguales y exponentes iguales.
Un término cualquiera del
desarrollo es:
Luego:
Rpta.
04. Si el término del lugar 12 del
cociente notable es
el valor de “ ” es:
A) 45 B) 55 C) 65D)65 E) 70Solución:
Por propiedad:
De donde:
Luego:
Un cociente notable debe tener bases iguales y exponentes iguales.
228
Luego el término del lugar 12 es:
De donde:
Finalmente:
Rpta.
05. Si:
Es un cociente notable. Hallar “n”A) 2 B) 3 C) 4D)5 E) 6Solución:Operando:
Como es un cociente notable, hacemos cumplir la propiedad para hallar el número de términos:
Resolviendo: Rpta.
06. Si en el desarrollo del
cociente notable. hay
14 términosHallar el grado absoluto del término que ocupa el lugar
A) 32 B) 33 C) 34D)35 E) 36Solución:
Por propiedad:
De donde:
Reemplazando “m” y “n” en el cociente notable tenemos:
Ahora calculamos el
Luego:
Rpta.
07. Efectuar:
A) B) C)
229
D) E)
Solución:Note que los exponentes disminuyen de 3 en 3, entonces el grado del denominador es 3 o sea .
Luego el polinomio es de grado 90 entonces el número de términos es:
Entonces el cociente notable será:
Rpta.
08. Encontrar el cociente notable que dio origen al desarrollo:
A) B) C)
D) E)
Solución:Como los exponentes van disminuyendo de 2 en 2 entonces el grado del denominador es 2.
Luego el número de términos del
polinomio es:
Observe que los signos de los términos del polinomio son
intercalados entonces los términos del denominador son positivos.
Rpta.
09. Hallar el número de términos que tiene el siguiente cociente notable.
A) 5 B) 6 C) 7D)8 E) 9Solución:Dando la forma a un cociente
notable.
Por propiedad:
Resolviendo:
Luego:
Rpta.
230
10. En el cociente notable:
El cuarto término tiene como grado absoluto .
Calcular: A) 12 B) 13 C) 14D)15 E) 16Solución:Dando forma a un cociente notable:
Hallando el
Dato:
De donde:
Luego:
Rpta.
11. Calcular el valor numérico del término central del desarrollo de:
Para: , A) 1 B) 3 C) 5D)7 E) 9
Solución:
Se observa que el cociente notable tiene 25 términos y el termino central será el termino 13.
Rpta.
12. Si la división:
Origina un cociente notable en el cual un término tiene la forma
231
Hallar el valor de “ ”A) 31 B) 33 C) 35D)37 E) 39Solución:Para dar forma a un cociente notable el denominador debe ser:
Entonces:
Un término cualquiera del
desarrollo es:
Comparando:
Como “k” es un lugar par:
Entonces: y
Finalmente: Rpta.
13. Hallar el término independiente del cociente
notable:
A) B)
C) D)
E) Solución:Dando forma a un cociente
notable:
El término independiente del cociente notable esta dada por la siguiente formula:
14. Del siguiente cociente notable:
Hallar el término independiente.A) 1231 B) 1333 C) 1435D)1437 E) 1458Solución:Dando forma a un cociente
notable:
De acuerdo a la formula del término independiente:
232
Rpta.
15. Hallar la cuarta potencia de “n” si el penúltimo termino del cociente notable es:
A) 2209 B) 2286 C) 2392D)2300 E) 2401Solución:Dando forma a un cociente
notable:
El penúltimo termino será el
Por simetría:
De donde:
Luego la cuarta potencia de “n”
será:
Rpta.
01. Hallar el coeficiente del
cuarto término del desarrollo de:
A)24 B)52 C)-34 D)34 E)54
02. Hallar el décimo término del
cociente notable:
A) B) C)
D) E)
03. Hallar el número de términos del cociente notable:
A) 12 B) 13 C) 18D) 15 E) 10
04. Hallar el décimo término de:
, sabiendo que es un
C.N.
A) B) C)
D) E)
05. Dados los cocientes notables
de la forma: ¿Cuál o
cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas?
233
I) es un cociente notable
para todo “n” entero positivo par.
II) es un cociente notable
para cualquier valor entero positivo “n”
III) es un cociente
notable para cualquier valor entero positivo n.
IV) es un cociente
notable para todo “n” entero positivo par.A) solo I B) I,II,III C) II,III,IVD) I y II E) solo II
03. Hallar "n", si el grado absoluto del término 33 en el cociente notable:
, es 309
A) 41 B) 50 C) 38D) 33 E) 60
04. hallar el número de términos que tiene el siguiente cociente notable.
A) 3 B) 7 C) 11D) 17 E) 21
05. Hallar el coeficiente de
en el cociente de:
A) 8 B) 9 C) 7D) –9 E) –8
06. Hallar “n” si el penúltimo termino del cociente notable:
es:
A) 13 B) 7 C) 11D) 17 E) 21
07. Hallar el término independiente de “x” del cociente notable indicado:
Siendo:
A) B) C)
D) E)
08. Si la división:
Origina un cociente notable en el cual un término tiene la forma
el valor de “a+b” es.
A) 39 B) 79 C) 19D) 17 E) 21
234
09. Si el octavo termino del cociente notable: es el monomio
, hallar la suma de los
exponentes de los términos centrales.
A) 114 B) 124 C) 134D) 144 E) 154
10. En el siguiente cociente notable:
El valor numérico del tercer término de su desarrollo para:
, es:
A) 1 B) 32 C) 64D) 8 E) 16
11. Dado el cociente notable:
,
Se sabe que el quinto termino de su desarrollo tiene por grado absoluto 42, el octavo termino tiene por grado absoluto 45 y por grado relativo a “y” 21, hallar el valor de “m”.A) 1 B) 2 C) 4D) 8 E) 10
12. Hallar el C. N. Que dio origen al siguiente desarrollo:
A) B) C)
D) E)
13. Reducir:
A) B) C)
D) E)
14. Simplificar:
A) -1 B) +1 C)
D) E)
15. Calcular:
A) 0,8 B) 0,1 C) 0,9D) 1,9 E) 9,1
16. Simplificar:
A) B) C)
D) E)
17. Simplificar:
235
A) B) C)
D) E)
18. Reducir:
A) B) C)
D) E)
19. Encontrar el cociente notable que dio origen al desarrollo:
A) B) C)
D) E)
20. Reducir la siguiente
expresión:
A) B)
C) D)
E)
21. Si al dividir:
Se obtiene como segundo
término en su cociente a .
¿Cuántos términos tiene su cociente notable?A) 4 B) 3 C) 5D) 7 E) 6
22. Si un término del cociente notable generado por:
;
es , hallar: A) 16 B) 9 C) 10D) 11 E) 1723. Hallar el grado absoluto del décimo término en el cociente notable que se obtiene al dividir:
A) 25 B) 32 C) 18
D) 30 E) 34
24. Hallar el número de términos que tendría el cociente notable
generado por:
; A) 12 B) 13 C) 14
236
D) 15 E) 16
25. Hallar el número de términos fraccionarios de cociente notable:
A) 18 B) 15 C) 17D) 19 E) 14
26.Si el desarrollo del cociente notable tiene 45 términos:
; hallar el valor de:
A) 360 B) 310 C) 315D) 320 E) 325
27. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el
desarrollo de:
A) 11 B) 14 C) 15D) 17 E) 1928. Si el término 17 de cociente
notable: es
Hallar: A) 20 B) 40 C) 60D) 80 E) 100
29. Hallar el número de términos enteros del cociente notable:
A) 38 B) 25 C) 27D) 15 E) 31
30. Si la expresión:
es un cociente notable, indicar cuántos términos tiene su desarrollo.A) 10 B) 11 C) 8D) 9 E) 13
31. Del siguiente cociente notable:
;
Hallar el término independiente del desarrollo del cociente.A) 16 B) 81 C) 64 D) 80 E) 32
32. Hallar el término independiente del cociente
notable:
A) B) C)
D) E)
33. Si: A es el penúltimo término del cociente notable generado por:
237
; hallar el término A.
A) B) C)
D) E)
34. Hallar , si el término
central de es
A) 90 B) 89 C) 98D) 88 E) 92
35. En el desarrollo de:
,
¿qué lugar ocupa el término que contiene como grado absoluto 34?A) 3º B) 5º C) 17ºD) 13º E) 9º
36. Encontrar el término del lugar 26 del siguiente cociente notable
A) x10 y75 B) –x75 y10 C) x15
y45
D) –x10 y75 E) N. A.
37. Hallar el décimo término de:
;
Sabiendo que es un cociente
notableA) x13 y51 B) –x16 y81 C) x81
y16
D) x16 y81 E) N. A.38. Hallar el término 46 del
cociente notable:
A) x180 a42 B) x45 a178 C) –x160
a42
D) –x46 a180 E) N. A.
39. Calcular el valor numérico de:
Para
A) 4 B) 3 C) 1D) 2 E) 8
40. Indicar cuantos términos
tiene el desarrollo de: ;
sabiendo que el tiene como
grado absoluto 32A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
41. Si la expresión:
es un cociente
notable. indicar cuántos términos tiene su desarrollo.A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
238
42. El grado absoluto del término de lugar 6 del siguiente cociente notable
es:
A) 9 B) 10 C) 18 D) 19 E) 2143. En el cociente notable
se sabe que el desarrollo
tiene 14 términos. El valor de (m+n) es:A) 56 B) 98 C) 54 D) 89 E) 84
44. En el desarrollo de:
existe un término cuyo grado absoluto es 122. La diferencia de los exponentes de "x" e "y" en este término es:A) 39 B) 34 C) 40 D) 36 E) 42
45. El número de términos que tiene el siguiente cociente:
es:
A) 32 B) 64 C) 3 D) 16 E) 4
46. En el cociente notable:
Determinar el lugar que ocupa el término que contiene a x10.A) 5 B) 7 C) 9 D) 3 E) 6
47. Si la siguiente división:
Da lugar a un cociente notable Indicar el # de términos del desarrollo:A) 20 B) 25 C) 32 D) 22 E) 23
48. Si los grados absolutos de los términos del siguiente cociente:
van disminuyendo de
dos en dos, además el grado
absoluto del es 21, el
número de términos de su desarrollo es:A) 8 B) 10 C) 12 D) 11 E) 9
49. Que lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable:
el término que tiene
como grado absoluto 34A) 3 B) 9 C) 5
239
D) 8 E) 14
50. En el cociente notable:
Calcular el valor numérico del término central, para x = 1, y = 2A) 64 B) 128 C) 32 D) 256 E) 16
51. Hallar (m+n) si el término 52 del desarrollo de:
es: x270 a288
A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) NA
52. En el siguiente cociente notable:
la suma de coeficientes del desarrollo del cociente, es:A) 128 B) 256 C) 64 D) 32 E) 512
53. Si en el desarrollo del siguiente cociente notable:
el término del lugar 8
contado a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38. El número de términos del desarrollo es:
A) 8 B) 20 C) 15 D) 25 E) 35
54. Siendo:
Términos equidistantes en el desarrollo del siguiente cociente notable:
; Hallar
(m+n+p)A) 135 B) 235 C) 119 D) 5 E) 105
55. Hallar el número de términos del siguiente cociente notable:
; si se cumple que: T(10)
T(50) T(100) = x236
A) 132 B) 102 C) 92 D) 32 E) 64
56. Calcular el valor numérico del término central del desarrollo de:
para , A) 1 B) 2 C) 16 D) 128 E) 6457. Si el grado absoluto del octavo término del Cociente
Notable es 12; el
240
número de términos de su desarrollo es:A) 12 B) 36 C) 8D) 10 E) 29
58. Hallar el valor de “a” si se sabe que el penúltimo término
de la expansión de: es ;
A) 36 B) 41 C) 84 D) 128 E) 86
59. Calcular el número de términos enteros en el desarrollo de:
A) 15 B) 30 C) 32 D) 16 E) 31
60. En el desarrollo de:
Que exponente posee "y" en el término noveno.A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8
61. Hallar en el cociente
notable: , si:
A) 20 B) 84 C) 48 D) 36 E) 72
62. Calcular el en el siguiente cociente notable:
A) B) C)
D) E)
63. Calcular para que en la siguiente división exista un solo término que toma la forma
en el cociente
notable:
A) 51 B) 50 C) 49 D) 48 E) 47
64. Sabiendo que el término quinto del desarrollo del siguiente cociente notable:
es ; el
número de términos que tiene su desarrollo es:A) 8 B) 9 C) 15 D) 32 E) 16
65. Hallar la relación entre a y b en el siguiente cociente notable:
241
A) B)
C) D)
E)
66. Al desarrollar el cociente:
que valor adquiere el término central para:
;
A) B) C)
D) E)
67. Indique la división que dio origen al cociente notable:
A) B)
C) D)
E)
68. Hallar el C. N. Que dio origen al siguiente desarrollo:
A) B)
C) D)
E)
242