matemáticas avanzadas
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Matemáticas
avanzadas
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Evidencia del módulo 1
Evidencia: Solución de una problemática aplicando modelos de
ecuaciones diferenciales de primer orden.
%
Saber hacer:
Instrucción para el alumno:
1. En los siguientes ejercicios, identifica el método de
solución de cada ecuación diferencial y encuentra su
solución.
a. Resolver
b. Resolver
c. Resolver se sugiere utilizar
sustitución: se
sugiere utilizar sustitución:
2. Construye el modelo matemático, es decir, la ecuación
que represente la situación dada. Si es posible,
resuelve la ecuación diferencial. Recuerda que para
cada problema deberás identificar la variable
independiente, dependiente, las condiciones iniciales y
la medida de variabilidad.
Problema 1.
Queremos saber cuánto tiempo esperar a que una taza de
café que se prepara con agua a punto de ebullición (100ºC)
esté a 60ºC, que es la máxima temperatura en la que se
puede tomar sin dañar la mucosa gástrica.
Problema 2.
Un tanque tiene forma de cilindro vertical y contiene agua
con una profundidad de 3m. Se retira el tapón y después de
1 hora la profundidad del agua ha descendido 1.5m. ¿En
cuánto tiempo se vaciará el tanque?
Problema 3.
La tasa de cambio con respecto al tiempo de una población
de ardillas P es proporcional a la raíz cuadrada de la
población P. Al tiempo t = 0, la población de ardillas es de
100 y aumentan a razón de 20 ardillas cada mes. ¿Cuántas
ardillas habrá dentro de un año?
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3. Aplica correctamente las condiciones iniciales, con el fin
de encontrar la solución particular en el caso planteado.
El modelo de crecimiento logístico supone que la razón de
crecimiento es proporcional conjuntamente, tanto a la
población misma como a la cantidad faltante, para llegar a
la máxima población sustentable, es decir:
En este caso r es la razón de crecimiento intrínseco y K es
la capacidad sustentable, que es el máximo valor que
puede tener P. El valor de r dependerá de la especie
y K dependerá de la especie y del ambiente.
Al resolver, se obtiene que:
a. Sea K = 100, Po = 5 (miles de millones de habitantes
del planeta en 1986), r = 0.02. Encuentra la
población para el 2010.
b. ¿En cuánto tiempo tendrá el planeta una población
de 3.2 x 1010 habitantes?
Realiza la entrega de tu evidencia con base en los criterios
de evaluación que se muestran en la siguiente rúbrica.
Demostración:
Selecciona la forma en que demostrarás la evidencia.
Puede ser a través de:
Presentaciones originales y creativas presenciales
Videograbaciones
Podcast
Planteamiento de propuestas
Otros
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Evidencia del módulo 2
Evidencia: Solución de una problemática aplicando modelos de
ecuaciones diferenciales de segundo orden y superior. %
Saber hacer:
Instrucción para el alumno:
1. Resuelve los siguientes problemas utilizando
ecuaciones diferenciales.
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4
Problema 5
Sea una masa m sujeta al extremo de un resorte flexible que está suspendido por un soporte rígido. Sabemos que en este sistema el resorte es un objeto que tenderá a regresar a su lugar. Las fuerzas que actúan sobre este sistema son: una fuerza de restitución que es opuesta a la dirección del alargamiento del resorte y proporcional a su magnitud (ley de Hooke) y el peso del cuerpo.
a. Diseña el modelo correspondiente haciendo uso de
una ecuación diferencial. Toma en cuenta dirección
de desplazamiento y velocidad.
b. Resuelve la ecuación diferencial encontrada.
Realiza la entrega de tu evidencia con base en los criterios
de evaluación que se muestran en la siguiente rúbrica.
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Demostración:
Selecciona la forma en que demostrarás la evidencia.
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Evidencia del módulo 3
Evidencia:
Solución de una problemática aplicando los modelos de
ecuaciones diferenciales de series de potencias y
transformada de Laplace.
%
Saber hacer:
Instrucción para el alumno:
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios
1. Determina si la ED tiene puntos singulares y en qué
punto(s).
a.
b.
2. Resuelve la siguiente ED por serie de potencias:
a.
b.
3. Encuentra la Transformada de Laplace de:
a. f(t) = cos2t
b. f(t)= t2e-2t
4. Encuentra la Transformada inversa de Laplace:
a.
b.
5. Resuelve las ED utilizando TL:
a. ; y(0) = 0, y’(0) = -6
b. ; y(0) = 0, y’(0) = 12
6. Utiliza el método más conveniente (entre seres de
potencia y transformada de Laplace), para resolver el
siguiente problema:
Un cuerpo pequeño de masa m = 2 está sujeto en el
extremo inferior de un resorte elástico, cuyo extremo
superior está fijo. El módulo del resorte es k =
10. Sea y(t) el desplazamiento del cuerpo a partir de la
posición de equilibrio estático. Determina las vibraciones
libres del cuerpo (ecuación de movimiento), si parte de la
posición inicial y(0)=2 con velocidad inicial y(0) = -4, y
además suponiendo que hay un amortiguamiento
proporcional a la velocidad cuya constante es c = 4.
Realiza la entrega de tu evidencia con base en los criterios
de evaluación que se muestran en la siguiente rúbrica.
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