UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE CIENCIAS

PLAN DE ESTUDIOS DE LA LICENCIATURA EN

FÍSICA BIOMÉDICA

Programa de la asignatura

Matemáticas Avanzadas

Clave:

Semestre:

5°

Campo de conocimiento:

Físico-Matemático y Tecnologías de la Información

No. Créditos:

10

Carácter: Obligatorio Horas Horas por semana Horas al semestre

Tipo: Teórico-Práctica Teoría: Práctica:

6 96 4 2

Modalidad: Curso Duración del programa: 16

Índice Temático

Unidad Tema Horas

Teóricas Prácticas

1 Funciones de variable compleja 11 5

2 Soluciónes de ecuaciones diferenciales con variable compleja 11 5

3 Ecuaciones diferenciales parciales 17 9

4 Transformada de Fourier 14 8

5 Función de Green 11 5

Total de horas: 64 32

Suma total de horas: 96

Contenido Temático

Unidad Temas y subtemas

1

Funciones de variable compleja 1.1. Álgebra de los números complejos y funciones complejas. 1.2. Funciones analíticas. Mapeos, derivadas y ecuaciones de Cauchy-Riemann. 1.3. Integrales de línea en el plano complejo.

Seriación: No ( ) S i ( x ) Obligatoria ( ) Indicativa ( x )

Asignatura antecedente: Ecuaciones Diferenciales I

Asignatura subsecuente: Ninguna

Objetivo general: Resolver ecuaciones diferenciales parciales y sus aplicaciones a sistemas en Física.

Objetivos específicos: 1. Analizar los conceptos de variable compleja. 2. Resolver ecuaciones diferenciales parciales bajo condiciones de frontera a través del método de

separación de variables y transformadas integrales. 3. Demostrar las propiedades de las funciones especiales. 4. Resolver ecuaciones no homogéneas utilizando las funciones de Green.

1.4. Series de Laurent a partir de las serie de Fourier (ceros, polos y ramas). 1.5. Teorema del residuo y cálculo de residuos. 1.6. Aplicaciones a problemas de potencial electrostático, flujo de fluidos y flujo de calor.

2

Soluciónes de ecuaciones diferenciales con variable compleja 2.1. Solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogénea y no homogénea utilizando variable compleja. El oscilador armónico amortiguado con forzamiento. 2.2. Transformada de Laplace para encontrar las soluciones de una ecuación diferencial. 2.3. Tranformada de Laplace inversa utilizando teorema de residuos.

3

Ecuaciones diferenciales parciales 3.1. Clasificación de las ecuaciones diferenciales parciales. 3.2. Teoría de Sturm-Liouville. 3.4. Soluciones de ecuaciones diferenciales parciales en coordenadas cartesianas, polares y esféricas con valores a la frontera. 3.4.1. Series de Fourier. 3.4.2. Funciones de Bessel. 3.4.3. Polinomios de Legendre.

4

Transformada de Fourier 4.1. Representación integral de Fourier. 4.2. Solución de ecuación diferencial parcial. 4.3. La ecuación de calor y el Kernel de Gauss. 4.4. El problema de Dirichlet y la fórmula integral de Poisson. 5.5. Transformada seno y coseno. 4.6. Solución de problemas a ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas utilizando la transformada de Fourier. 4.7. Principio de Duhamel.

5

Función de Green 5.1. Propiedades generales de la función de Green. 5.2. Función de Green para un potencial retardado. 5.3. Aplicaciones de la función de Green en la ecuación de calor, ecuación Klein-Gordon y ecuación de Schrödinger. 5.4. Funciones de Green como solución al problema de radiación en electromagnetismo.

Bibliografía básica: Appel W. Mathematics for physicists. USA: Princeton University Press; 2007. Arfken BA, Weber HJ, Harris FE. Mathematical methods for physicists, a comprehensive guide. 6th ed. USA: Academic Press; 2012. Asmar NH. Partial differential equations with Fourier series and boundary value problems. USA: Pearson Education; 2005. Haberman R. Applied partial differential equations with Fourier series and boundary value problems. USA: Pearson Education; 2012. McQuarrie DA. Mathematical methods for scientists and engineers. USA: University Science Books; 2003. Weinberger HF. A first course in partial differential equations, with complex variables and transform methods. USA: Dover; 1995.

Bibliografía complementaria: Boyce WE, DiPrima RC. Elementary differential equations and boundary value problems. USA: Wiley; 2012. Farlow SJ. Partial differential equations for scientist and engineers. USA: Dover; 1993. Monsiváis G, de Neymet S. Teorema de Green, Gauss y Stokes para funciones continuas y discontinuas. México: Las Prensas de Ciencias; 2008.

Sugerencias didácticas: Exposición oral ( x ) Exposición audiovisual ( x ) Ejercicios dentro de clase ( x ) Ejercicios fuera del aula ( x ) Seminarios ( ) Lecturas obligatorias ( )

Mecanismos de evaluación del aprendizaje de los alumnos: Exámenes parciales ( x ) Examen final escrito ( ) Trabajos y tareas fuera del aula ( x ) Exposición de seminarios ( ) Participación en clase ( )

Trabajo de investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otras: ( x ) Aprendizaje basado en proyectos

Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras: ( x ) Portafolios Proyecto computacional final

Perfil profesiográfico: Matemático o Físico, preferentemente con experiencia en matemáticas aplicadas y en docencia.