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Matemáticas Avanzadas I El estudiante reunirá habilidades en el manejo del cálculo diferencial e integral para aplicarlo en la interpretación, planteamiento y resolución de problemas y modelos matemáticos típicos de la administración Ing. Romeo Altúzar Meza Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010 [MATEMÁTICAS AVANZADAS I]

Ing. Romeo Altúzar Meza Página 2

Unidad I.- Funciones

1.1.- Naturaleza y definición de función matemática

En el siglo XVII, Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores del cálculo, introdujo el

término función en el vocabulario matemático. El concepto de función es uno de los más

básicos en todas las matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo.

En forma breve, una función es un tipo especial de relación que se expresa cómo una

cantidad (la salida) depende de otra cantidad (entrada). Por ejemplo: cuando se invierte

dinero a alguna tasa de interés, el interés I (salida) depende del tiempo t (entrada) del

dinero que se está invirtiendo. Para expresar la dependencia decimos que I es una “función

de” t. las relaciones funcionales como esta general se especifican mediante una fórmula que

muestra lo que debe hacerse con la entrada para determinar las salida.

Un ejemplo práctico:

Supongamos que se invierten $100 se invierten y ganan de interés simple a una tasa anual

del 6%. Entonces puede mostrarse que el interés y el tiempos están relacionados por la

formula

I = 100 (0.06)t

Donde I está en dólares y t en años. Por ejemplo:

Si t = ½ entonces I = 100(0.06)(1/2) = 3

Así, la fórmula anterior se la asigna a la entrada ½ la salida 3 y así sucesivamente…. La regla

asigna a cada número de entreada t exactamente un número de salida I, el cual se simboliza

mediante la siguiente notación de flecha:

t I ó t 100(0.06)t

Esta regla es una ejemplo de una función.

Definición

Una funcion es una regla que asigna a cada numero de entrada exactamente un número de

salida. Al conjunto de número de entrada para los cuales se aplica la regla se llama el

dominio de la función. El conjunto de todos los número de salida se le llama el rango de la

función.



Al domino de la función se le denota por Df que significa el dominio de la función. El rango,

imagen, contradominio, recorrido se denota por Rf que significa el rango de la función.

Hasta aquí hemos usado el término función en un sentdi restringido, ya que en general, las

entradas o salidas no tienen por qué ser números, por ejemplo, una lsita de estados y

capitales asigna a cada estado su capital (exactamente una salida), de modo que hay una

función implicada.

Una variable que representa a los números de entrada para una función se denomina

variable independiente. Una varable que representa a los números de salida se denomina

variable dependiente, ya que su valor depende del valor de la variable independiente. Se dice

que la variable dependiente es una función de la variable independiente, en otras palabra la

salida es una función de la entrada.

Por ejmplo de la fórmula I = 100(0.06)t; la variable independiente es t y la variable

dependiente es I por que depende de los valores que tome el tiempo (t) así sera el valor del

interes (I).

Matematicamente una función se puede expresar de varias formas:

1. f(x) que se lee “f de x”, Representa el número d salida en el rango de f

que corresponde al número de entrada x en el dominio.

2. y que representa la variable dependiente.

Por ejemplo:

f(x) = x + 1, tambien se puede escribir y = x +1 que representa la funcion de y respecta a x

Ejercicios resueltos:

1. De los siguientes ejercicios determinar el dominio de cada función

a.

, solución Df = R {2, -1}

b. , solución Df = [1/2, ∞)

1.2.- Función Lineal y su representación geométrica

Definición

Una función f es una función lineal si y sólo si f(x) puede escribirse en la forma f(x) = ax + b,

en donde a y b son constantes y a ≠ 0.



Supongamos que f(x) = ax + b es una función lineal y que y = f(x). Entonces y = ax + b, la cual

es la ecuación de una recta con pendiente a e intersección con el eje y “b”. Así la gráfica de

una función lineal es una recta y se dice que la función f(x) = ax + b tiene pendiente a.

Gráfica de funciones lineales

Ejemplo: Graficación de funciones lineales

a. Graficar f(x) = 2x -1

Solución: Aquí f es una función lineal ( con

pendiente m = 2), de modo que su grafica es

una recta. Como dos puntos determinan una

recta, sólo necesitamos graficar dos puntos y

después dibujar una recta que pase por ellos.

Observe que uno de los puntos graficados es

la intersección con el eje vertical, - 1, que

ocurre cuando x = 0

b.

1.3.- Función cuadrática y su representación geométrica

Definición

Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede escribirse en la forma f(x) =

ax2 + bx + c, donde a, b y c son constante y a ≠ 0.



La gráfica de la función cuadrática y = ax2 + bx + c se llama parábola y tiene una forma

parecida a las curvas de la figuras siguiente.

Grafica de una función cuadrática

La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c es una parábola.

1. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, abre hacia abajo

2. El vértice es

3. La intersección y es c

Ejemplo: graficar f(x)= -x2 – 4x + 12



1.4.- Función Polinomial y su representación geométrica

Definición:

Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la

Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que

intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.

Una función Polinomial f es una función de la forma:

Donde

n es un entero no negativo, los coeficientes an ,…, a1, a0 son números reales.

Ejemplos de funciones polinomiales:

; ,

Alguna propiedades de las funciones polinomiales

1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c).

2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de

la ecuación

3. 3. Las funciones polinomiales son funciones continuas.

Entre las funciones polinomiales se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, las

funciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas.

Ejemplo:

1. Para la función

(a) Determine el dominio de la función

(b) Las intercepciones con los ejes



(a) el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales.

(b) Intercepciones con los ejes: Si x = 0 por lo tanto y = 6 y la curva se intercepta al eje “y” en el punto (0, 6) Si y = 0

Por división sintética:

Los factores de 6 son: Por lo tanto, f tiene un factor de la forma .

El factor , puede descomponerse en:

Finalmente: Si y = 0

Los valores de x son:

La curva corta al eje x en los puntos: (1,0 ), (3,0) y (-2, 0)



Grafica de funciones polinomiales

1.5.- Función exponencial y su representación geométrica

Existe una función que desempeña una función importante no sólo en matemáticas, sino

también en finanzas, economía, y otras áreas de estudio. Incluye una constante elevada a un

exponente variable, como . A tales funciones les llamamos funciones

exponenciales

Definición

La función f definida por

f(x) = bx

Donde: b > 0, b≠1, y el exponente x es cualquier número real, se llama función exponencial

con base b

Cuando se trabaja con funciones exponenciales puede ser necesario aplica las reglas de los

exponentes. Estas reglas se presenta a continuación, en ellas m y n son números reales y a y

b son positivos



Algunas funciones que parecen tener la forma exponencial bx puede ponerse en esa forma

aplicando las reglas anteriores.

Por ejemplo:

2-x =

;

Otro ejemplo:

Creciemiento de bacterias.

El número de bacterias presentes en un cultivo después de t miutos está dado por

Observe que N(t) es un múltiplo constante de la función exponencial

a. Cuántas bacterias estan presentes al inicio?

Solución: aquí se determina N(t) cuando t = 0. Tenemos

Así que 300 bacterias están presentes al inicio.

b. En forma aproximada, ¿cuantas baterias estan presentes depues de 3 minutos?

Solucion: en este caso se determina N(t) cuando t= 3 minitos

Sustituyendo:

Asi que aproximadamente 711 batecterias se encuentran presente a los 3 minutos.

Gráficas de funcines exponenciales



Ejemplo 1: Graficacion de funciones exponenciales con b>1

Graficar las funciones exponenciales f(x) = 2x y f(x) = 5x

Solución: Al trazar puntos y conectarlos observaos las grafias de la figura a y b.

Ejemplo 2: Graficacion de funciones exponenciales con 0 < b< 1

Graficar la funcións exponencial

Propiedades de la función exponencial f(x) = bx

1. El dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales, el

rango es el conjunto de todos los números positivos.

2. La gráfica de f(x) = bx tiene intersecciones con el eje y (0,1). No existe intersección

con el eje x

3. Si b > 1, la grafica asciende de izquierda a derecha

Si 0 < b < 1, la grafica desciende de izquierda a derecha.



4. Si b > 1, la grafica se aproxima al eje x conforme x toma valores negativos cada vez

más grandes en valor absoluto.

Si 0 < b < 1, la grafica se aproxima al eje x conforme x tomo valores positivos cada vez

más grandes

Función exponencial con base “e”

Uno de los números más útiles como base de una funcioón exponenciale es cierto numero

irracional danotdo por la letra “e”, en honor del matematico Suizo Leonardo Euler (1707 -

1783):

La funcion exponencial con base “e” se conoce como funcion exponencial natural.

Aunque e puedae parecer una base extraña, surge de manera natural en cálculo. También

surge en el analisis economicos y en problemas que implican crecimiento o decaimiento

natural, como estudios poblacioneales, interes compuesto y decaimiento radiactivo.

En la figura se muestraa la estructura general de una funcion exponencial con base e

1.6.- Función logarítmica y su representación geométrica

Definición:

La función logarítmica de base b, donde b > 0 y b ≠ 1. Se denota por log10 y se define como:

y = logb x si y sólo si by = x

El dominio de logb es el conjunto de todos los números reales positivos y el rango es

conjunto de todos los números reales.



Puesto que una función logarítmica invierte la acción de la correspondiente función

exponencial y viceversa, cada función logarítmica es llamada la inversa de su

correspondiente función logarítmica.

y = logb x significa by = x

En este sentido, un logaritmo de un número es un exponente: logb x es la potencia a la cual

debe elevarse b para obtener x por ejemplo:

Decimos que es la forma logarítmica de la forma exponencial

Conversión de forma exponencial a forma logarítmica

Forma exponencial Forma logarítmica

a. Como Se concluye que

b. Como Se concluye que

c. Como Se concluye que

Conversión de forma logarítmica a exponencial

Forma logarítmica Forma exponencial a. Significa b. Significa

c.

Significa

Gráfica de funciones logaritmica

Ejemplo 1 Gráfica de una funcion logarítmica con b > 1

Graficar la funcion y = log2 x

Puede se dificil sustituir valores de x y después encontrar los corrrepondientes valores de y.

por ejemplo, si x = 3, entoces y = log2 3, lo que no se determina con facilidad. Una manera

más sencilla para trazar los puntos es utilizar la forma exponencial equivalente x = 2y.

Seleccionamos valores de y y encontramos los correspondiente valores de x. Por ejemplo, si y

= 0, entonces x = 1 y así sucesivamente.



Ejemplo 2 Gráfica de una funcion logarítmica con 0 < b < 1

Graficar la funcion y = log1/2 x

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