matemáticas avanzadas i.pdf

7/23/2019 Matemticas Avanzadas I.pdf

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1. Clculo diferencial.

1.1. Introduccin al Clculo Diferencial.

Funcin (definicin clsica).Es un conjunto de pares de nmeros

tal que no debe contener

distintos pares con el mismo primer elemento, es decir, un valor de no puede ordenarse con dosdiferentes valores de .Ejemplo 1: La ecuacin es una funcin, ya que un nmero no puede arrojar dosvalores diferentes de .Ejemplo 2: La ecuacin no es una funcin, ya que un nmero nos arroja dos valores de, los cuales son y .Ejercicios 1: Demostrar que las siguientes ecuaciones son funciones.

1.

2.

3. 4.

5.

Ejercicios 2: Demostrar que las siguientes ecuaciones no son funciones.

1.

2.

3.

4.

5.

1.1.1. Variable independiente, dependiente.

En una funcin (lineal, o de dos variables), se pueden graficar los conjuntos de pares de

nmeros con solo conocer la ecuacin de a funcin. Para esto se despeja una de las dos variables y

se le asignan libremente valores a la otra variable para calcular los valores de la variable que fue

despejada.

Variable independiente.Es la variable que puede tomar cualquier valor, la que no fue despejada.

Usualmente se grafica en el eje horizontal (eje) y se nombra abscisa.Variable dependiente. Es la variable que puede tomar solo el valor obtenido al sustituir la variableindependiente en la funcin, es la que fue despejada. Usualmente se grafica en el eje vertical (eje) y se nombra ordenada.Al par de nmeros abscisa-ordenada se le nombra coordenada.


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Ejemplo: En cada una de las ecuaciones siguientes, despeje a la ordenada, asigne libremente los

valores que puede tomar la abscisa tabulando dichos pares de nmeros, despus grafique las

coordenadas obtenidas y diga como conclusin si es una funcin o no lo es.

a)

Despejamos a la ordenada (variable dependiente): Le damos valores (cualquiera) a la abscisa (variable independiente) y los tabulamos.V. Independiente

Abscisa

x

V. Dependiente

Ordenada

Y

-4 -3

-2 -1

0 1

2 3

4 5

Grfica

Por lo tanto es una funcin, ya que para cada valor de solo existe un valor de . En lugar deescribir , escribimos, que significa funcin de .Nota: Para todas las funciones, siembre escribimosen lugar de . Aunque segn el rea detrabajo, las literales e pueden cambiarse por otras literales.b) Despejamos a la ordenada (variable dependiente): Le damos valores (cualquiera) a la abscisa (variable independiente) y los tabulamos.


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V. Independiente

Abscisa

x

V. Dependiente

Ordenada

Y

-2 0

0

2 4 6 Grfica

Por lo tanto no es funcin, ya que para cada valor de existen dos valores de , excepto para .Ejercicios: En cada una de las ecuaciones siguientes, despeje a la ordenada, asigne libremente los

valores que puede tomar la abscisa tabulando dichos pares de nmeros, despus grafique lascoordenadas obtenidas y diga como conclusin si es una funcin o no lo es.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

1.1.2. Lmites.

En algunos casos, para calcular los valores de la orden a partir de la abscisa, no todos los valores

de la funcin estn definidos en los nmeros reales, como por ejemplo la funcin notiene un valor para la ordenada cuando la abscisa vale cero. En este caso definimos el concepto de

lmite, el cual no es un valor que existe en la funcin sino un valor al cual se aproxima la funcin.


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Lmite de una funcin.La funcin tiende al lmite en cuando el valor de se acerca alvalor de pero sin ser nunca ese valor. La notacin utilizada es Que se lee: El lmite de la funcin

cuando

tiende (se acerca) al valor de

es

.

Nota: Recuerde que nunca tomar el valor de , ni tomar el valor de . Solo sontendencias.Observe que la funcin que escribimos al inicio de la seccin , nunca puede tomar el valorde cero, utilizando su calculadora tabule o siguiente:

x Y

0.001

0.000001

0.000000001

0.0000000000010.000000000000001

Y despus tabule los mismos nmeros pero negativos

x Y

-0.001

-0.000001

-0.000000001

-0.000000000001

-0.000000000000001

Al graficar se observa lo siguiente:


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Por el lado izquierdo de cero, la grfica tiende a menos infinito y se escribe Y por el lado derecho de cero, la grfica tiende a mas infinito

Como por ambos lados la grfica tiende a lmites distintos, se dice que el lmite no existe. El lmiteexiste cuando por la derecha y por la izquierda la funcin tiende al mismo valor.

Ejemplo: Diga si el lmite existe en la funcin Al darle valores a la variable independiente , se observa que se indefine cuando . Y lagrfica que obtenemos despus de tabular valores cercanos a 1 es

El lmite por la derecha es:

El lmite por la izquierda es: Como el lmite por la derecha es distinto al lmite por la izquierda concluimos que el lmite no

existe.


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Ejercicios: Diga si el lmite de las siguientes funciones existe:

1.

2.

3.

4.

5.

1.1.3. Funcin continua, discontinua.

En los ejemplos anteriores, se puede ver que las grficas se rompenen algn valor para lo cual

fue necesario calcular el lmite. En esos casos se dice que las funcionesno son continuas.

Continuidad de una funcin:La funcines continua en si Ejemplo: Diga si la siguiente funcin es continua en

.

Al tabular y graficar se obtiene lo siguiente:

Cuando , no hay un valor. El crculo blanco en ese punto significa que no existe ese punto enla grfica, si se calculan los lmites por ambos lados se puede demostrar que son iguales, entonces

el lmite existe pero

Y por otro lado , porque no existe ese valor en la grfica. Por lo tanto la funcin no escontinua en 1.Ejercicios: Diga si las siguientes funciones son continua en .

1.

2.


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1.2. Definicin de derivadas.

Una funcin es diferenciable si

Es decir, si el lmite de una funcin existe entonces es continua y si la funcin es continua,

entonces es derivable.

Derivada como pendiente de una recta tangente a una curva.

La pendiente de una recta requiere de dos puntos y se calcula con

Pero una recta tangente toca a una curva en un solo punto (no en dos), as para calcular lapendiente se tiene que calcular el lmite siguiente Esto es Por lo tanto, la derivada de una funcin es la pendiente de la recta tangente a la funcin.

Ejemplo: Grafique la funcin

y la recta tangente a un punto con abscisa

.

Para calcular la pendiente de la recta se debe derivar la funcin.

Usando la definicin se tiene: Se obtuvo: Al sustituir se obtiene la pendiente para ese punto de coordenada (1, 1), .La ecuacin de la recta punto-pendiente se calcula con:

Sustituyendo: As, la ecuacin de la recta tangente en el punto (1, 1) de la curva es Y la grfica de ambas funciones es


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Ejercicios: Para las siguientes funciones, grafique la funcin y la recta tangente a la curva en el

punto dado.

1.

2.

3.

4.

5.

1.2.1. Reglas de derivacin de funciones algebraicas y trascendentales.

Las reglas de derivacin o teoremas de derivacin se pueden calcular con la definicin de laderivada, los cual se pueden demostrar en clase. Algunas de estas reglas son:

Si es una constante y , y son funciones que dependen de , entonces.


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Es responsabilidad del alumno conseguir la taba completacomo tarea.

Ejemplo: Derivar las siguientes funciones utilizando la tablas de derivadas.

1. Derivar: Derivando: Por lo tanto: 2. Derivar:

Derivando:


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Por lo tanto: Ejercicios: Derivar las siguientes funciones.

1.

2.

3.

4.

5.

1.2.2. Interpretar los resultados de las ecuaciones diferenciales, explicando los

crecimientos o decrecimientos.

Si la derivada es positiva, al igual que una pendiente positiva, significa que la funcin es creciente.

Si la derivada es negativa significa que la funcin decrece.

Ejercicios: Diga si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en :1. 2. 3. 4. 5.

1.3. Aplicaciones de las derivadas.

La derivada como rapidez. Si es una funcin que depende del tiempo, su nombre es trayectoria,y representa al camino recorrido por un cuerpo, su rapidez es:

Ejercicio: Calcule la rapidez de una partcula en si se mueve sobre la trayectoria:

La derivada como aceleracin. Si es una funcin de rapidez que depende del tiempo, suaceleracin que representa al cambio de rapidez o velocidad respecto al tiempo es

Ejercicio: Calcule la aceleracin de una partcula en si se mueve sobre la trayectoria:


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La derivada como potencia. Si es la funcin de trabajo realizado o energa consumida quedepende del tiempo, la potencia que representa a la rapidez con la que se realiza el trabajo o se

consume la energa es

1.3.1. Mximos y mnimos, por medio de los mtodos algebraico y grfico.

Los valores mximos y mnimos se definen como aquellos valores donde la derivada o pendiente

de la recta tangente a la curva tiene el valor de cero.

Si es un mximo, la segunda derivada es negativa.

Si es un mnimo, la segunda derivada es positiva.

Ejemplo: Calcule los valores mximos y mnimos de la siguiente funcin

, demuestre

si es un mximo o un mnimo y grafquelos. Esto es Despejando para se obtienen dos valores Al sustituir cada valor de

en la segunda derivada de la funcin

Se obtiene un numero negativo para , por lo cual en este punto ocurre el mximo.Y se obtiene un numero positivo para , por lo cual en este punto ocurre el mnimo.Finalmente, tabulando y graficando se tiene.


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Ejercicios: Calcule los valores mximos y mnimos de las siguientes funciones, demuestre si son

mximos o mnimos y grafquelos.

1.

2.

3. 4.

5.

Problemas aplicados

(Utilizar libro recomendado por el profesor)


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2. Clculo integral.

Entendemos como integral (no es la definicin) al rea comprendida entre la grfica de

una funcin y un intervalo de valores en uno de los ejes cartesianos. Si la funcin es continua,

entonces es integrable. Por ejemplo, podemos graficar el rea comprendida entre la funcin

y el intervalo de valores del ejecomprendido entre

El procedimiento para calcular el valor del rea es la integral, definida como una suma de infinitos

rectngulos de base muy pequea (tiende a cero) y altura del valor de la funcin de modo que

ocupan toda el rea. Para realizar esa suma infinita y poder calcular el rea existen varios

mtodos.

Si una funcin no es continua en un intervalo, no existe alguna rea encerrada, por lo tanto

cualquier funcin discontinua en un intervalo no es integrable en ese intervalo, pero puede ser

integrada en otra regin donde sea continua.

2.1. Mtodos de integracin.Una integral se denota por:

Dondees la funcin que se va a integrar, es el lmite superior del intervalo, es el lmiteinferior del intervalo, es el smbolo de la integral, es el smbolo de la variable respecto a laque se va a integrar la funcin (la variable es solo la segunda letra) y es el incremento de laanti-derivada deen el intervalo . Es decir,

Si es una anti-derivada deentonces se cumple lo siguiente Donde es una constante que deber calcularse de acuerdo al intervalo de continuidad. Estaconstante se determina automticamente al sustituir los lmites de la integral.


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Tablas de anti-derivadas.

Ejercicios: Calcule las integrales o anti-derivadas de las siguientes funciones:

1.

2.

3.

4.

5.


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2.1.1. Integracin por partes.

Usando la derivada del producto de dos funciones:

Al integrar cada miembro se obtiene la frmula de integracin por partes: Ejemplo: Evale la integral para la funcin .En este caso escogemos lo siguiente: De donde se obtiene

Sustituyendo en se obtiene: Ejercicios: Calcule las siguientes integrales:

1.

2.

3.

4.

5.

2.1.2. Sustitucin trigonomtrica

Las integrales que contienen trminos Se pueden resolver con los siguientes casos particulares.

Caso 1. El integrado contiene una expresin con la forma

con

. Se introduce una variable

considerando

para si es positivo, si es negativo.Derivando , se tiene: Simplificando el trmino:


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Ejemplo:Evale la siguiente integral

Ejercicios: Evale las siguientes integrales.

(Usar libro recomendado por el profesor).

Caso 2.El integrado contiene una expresin con la forma con . Se introduce una variable considerando para

si

es positivo,

si

es negativo.

Derivando , se tiene: Simplificando el trmino: Ejemplo:Evale la siguiente integral

||

|| Ejercicios: Evale las siguientes integrales.


Caso 3.El integrado contiene una expresin con la forma

con . Se introduce una variable considerando para si es positivo, si .Derivando , se tiene: Simplificando el trmino:


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Ejemplo:Evale la siguiente integral

Ejercicios: Evale las siguientes integrales.


2.2. Integracin indefinida para funciones algebraicas y trascendentales.

La integral indefinidaes el conjunto de todas las funciones anti-derivadas tales que Donde es la constantes de integracin. Este tipo de integrales es el que se ha tratado en lostemas anteriores.

Ejercicios: Calcular las siguientes integrales indefinidas.

(Usar libro recomendado por el profesor)

2.3. Integracin definida.

Sies una funcin definida en el intervalo cerrado , entonces la integral definida dede a , denotada por , est dada por

Si el lmite existe. En esta notacin

es el integrando o la funcin a integrar,

es el lmite

inferior del intervalo, es el lmite superior, el smbolo representa al lmite de la sumaSi la funcines continua en entonces es integrable, ms no es una condicin necesaria,ya que puede no ser continua y ser integrable.

Si el intervalo se divide en sub-intervalos de igual magnitud entonces , en estecaso se dice que es una particin regular. Se obtiene:


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Adems:

As Por lo tanto

Lo cual es el rea comprendida entre la funcin , las rectas verticales en y , y el eje ;siempre que .As, el rea de una regin plana est dada por

Ejemplo: Calcular el rea bajo la funcin definida en el intervalo

Ejercicios: Calcular el rea bajo la funcindada definidas en cada intervalo.2.3.1. Longitudes de arco.

La longitud de arco es la medida de la longitud de una funcin.Si la funciny su derivada son continuas en el intervalo , entonces la longitud dearco de la curva a partir del punto ( )hasta el punto ( ), est dada por Ejemplo: Calcular la longitud del arco de la funcin en el intervalo .

||


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Ejercicios: Calcule la longitud del arco formado por la funcinen el intervalo dado.1.

2.

3.

4.

5.

2.3.2. Slidos de revolucin.

Sea una funcin continua en el intervalo , y suponga que para toda en . El slido de revolucin obtenido al girar alrededor del eje es la regin limitada por lacurvay las rectas y .Ejercicios: Grafique el slido de revolucin en el intervalo para cada una de las funcionesdadas.

1.

2.

3.

4.

5.

2.3.3. Volumen.

El volumen de un slido de revolucin est dado por:

En el caso de un volumen hueco: Seany dos funciones continuas en el intervalo , ysuponga que para toda en . SI unidades cbicas es el volumen delslido de revolucin obtenido al girar alrededor del eje la regin limitada por las curvasyy las rectas y , entonces: Ejercicios: Calcule el volumen de los slidos de revolucin de las siguientes funciones en el

intervalo

.

1. 2.

3.

4.

5.


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2.4. Integrales mltiples.

Las integrales mltiples son aplicada a funciones de varias variables, escalares o vectoriales.

Una funcin escalar es de la forma

Por ejemplo: Una funcin vectorial es una funcin lineal de la forma Donde son funciones que dependen de una misma variable y los son los vectoresunitarios de la base cannica, no pueden sumarse entre s.

2.4.1. Integrales de lnea.

Si se tiene una curva de la forma

Si un campo vectorial acta sobre esa curva y es de la forma La integral de lnea es () Lo cual se realiza con la siguiente notacin

[( ) ( )

( )] Ejemplo: Evale la integral de lnea si la curva es

Ejercicios:

1.

Evale la integral de lnea si la curva es 2.

Evale la integral de lnea si la curva es 3.

Evale la integral de lnea si la curva es


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2.4.2. Integrales dobles.

Si es una funcin de dos variables comprendida en una regin rectangular cerrada . Laintegral doble de

en

con

y

es

Ejemplo: Evale la integral si es la regin con y .

| |

Ejercicios: Evale las siguientes integrales si es la regin con y .1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Nota: se recomienda leer acerca de integrales dobles en coordenadas polares.

2.4.3. Integrales triples.

Si

es una funcin de tres variables comprendida en una regin rectangular cubica

. La

integral triple de en con , y es

El procedimiento es de la misma manera que en las integrales dobles.


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Nota: Se recomienda leer acerca de las integrales triples en coordenadas cilndricas y en

coordenadas polares.

Ejercicios: Evale las siguientes integrales triples.

1.

si es la regin con , y .2. si es la regin con , y .3.

si es la regin con , y .4.




si es la regin con , y .


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3. Ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

3.1. Ecuaciones Diferenciales de primer orden.

Una ecuacin diferencial es una igualdad de expresiones o cualquier ecuacin donde se

encuentran implcitas algunas derivadas de una o ms variables dependientes respecto a una oms variables independientes. El objetivo es encontrar la funcin que satisface a la ecuacin.

Una ecuacin diferencial ordinaria es una ecuacin diferencial en la que sus derivadas se

presentan respecto a una sola variable independiente. Una ecuacin diferencial parciales una ecuacin diferencial en la que sus derivadas se presentan

respecto a dos o ms variables independientes.

Las derivadas se pueden representar con cualquiera de las siguientes notaciones.

Notacin de Leibniz:

Notacin prima: Notacin de subndice: Notacin de Newton por puntos: Solo para derivadas con respecto al tiempo

El orden de una ecuacin diferenciales el orden de la derivada ms alta en la ecuacin.

Ecuacin diferencial lineal: Es una ecuacin en la que la variable dependiente y sus derivadas son

de primer grado, es decir, potencia igual a uno; y sus coeficientes dependen nicamente de la

variable independiente.

Una ecuacin diferencial lineal de n-simo orden tiene la forma:

Cualquier otro caso es no lineal, como por ejemplo

Solucin de una ecuacin diferencial ordinaria: Cualquier funcin definida sobre un intervalo que posee derivadas sobre y al sustituirla en la ecuacin diferencial ordinaria de n-simo ordenhace que sta se reduzca a una identidad, se dice que es una solucin. Es decir, la funcines unasolucin de la EDO si en el intervalo se cumple:


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Intervalo de definicin. Tambin es llamado intervalo de existencia, intervalo de validez o

dominio de la solucines el intervalo en donde est definida la funcin de solucin que satisface a

la ecuacin diferencial ordinaria.

Curva de solucin. Es la grfica de una funcin de solucin de una ecuacin diferencialordinaria.Solucin explcita. Es una solucin en que la variable dependiente se expresa slo en trminos de

la variable independiente y constantes.

Solucin implcita. Se dice que una relacin del tipo es una solucin implcita de unaecuacin diferencial ordinaria sobre un intervalo siempre que exista al menos una funcin quesatisfaga a la relacin y a la ecuacin diferencial sobre .Familias de soluciones. La solucin de una ecuacin diferencial puede ser una funcin

mas una

constante de la misma manera que en la solucin de las integrales indefinidas. La constantepuede tomar cualquier valor por lo que para cada uno de los valores de esa constante se tiene unasolucin. El conjunto de todas las soluciones posibles se le conoce como familias de soluciones.

Solucin singular.Es una solucin que no es miembro de una familia de soluciones de la ecuacin,

es decir, una solucin que no puede obtenerse mediante la especificacin de ninguno de los

parmetros de la familia de soluciones.

Sistemas de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias est

formado por dos o ms ecuaciones que involucran las derivadas de dos o ms funciones

desconocidas de una sola variable independiente. Por ejemplo, si

y

simbolizan variables

dependientes y representa la variable independiente, entonces un sistema de dos ecuacionesdiferenciales de primer orden estara dado por Una solucin para este sistema sera un par de funciones diferenciables y , definidas sobre unintervalo comn , que satisfagan a cada ecuacin del sistema en este intervalo.Problema de valor inicial. Es un problema en el que la solucin del sistema de una ecuacin

diferencial tiene algunas condiciones impuestas sobre la incgnita

o sobre sus derivadas.

Teorema de unicidad. Si las funciones y son continuas en una regin rectangular contenida en el plano definida por y , y que contiene al punto ,entonces existe un intervalo muy pequeo en y una funcin nica definida en querepresenta una solucin del problema de valor inicial.


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3.1.1. Variables separables.

Se dice que una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

es separable o que tiene variables separables.

Su mtodo de solucin requiere separar las variables de la siguiente manera De donde es posible resolver integrando la ecuacin en ambos lados Cada integral se resuelve con los mtodos vistos anteriormente.

Ejemplo. Resuelva la ecuacin diferencial: . Sabiendo que .Dividiendo toda la ecuacin entre

se obtiene:

Integrando se obtiene Esto es | | || De donde despejamos las soluciones para | |Debido a que no se tiene el valor de

no es posible tener una solucin nica, se dice que esta

ecuacin es una familia de soluciones, es decir, una solucin para cada valor de .Para obtener la solucin nica o exacta usamos las condiciones iniciales, en este caso solosabemos que . Sustituyendo en la familia de soluciones obtenidas se tiene: || De donde, con un despeje se encuentra el valor de , el cual al sustituirlo en la familia desoluciones se sabe que la solucin nica es: | |Ejercicios: Encontrar la familia de soluciones para las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. .2.

3.

.4.

5.

6.

7.

.


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3.1.2. Lineales de Primer Orden.

Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

Es una ecuacin lineal para en la variable dependiente

. Al dividir entre el trmino

se

puede escribir de la forma estndar La solucin se calcula identificando a para calcular al factor integrante . Despus semultiplica la forma estndar por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuacin resultante es

automticamente la derivada del factor integrante y se puede escribir [ ] De donde se integra ambos lados de la ecuacin para obtener una familia de soluciones.

Ejemplo: Resuelva la ecuacin diferencial .Se puede escribir de la forma estndar de la siguiente manera: El factor integrante es entonces Multiplicando el factor integrante por toda la ecuacin de la forma estndar se tiene

Lo cual se puede escribir

Integrando ambos lados de la ecuacin se obtiene Con un despeje se obtiene la familia de soluciones.

Ejercicios: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.


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3.1.3. Ecuaciones Exactas.

Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

es una ecuacin exacta si la expresin del lado izquierdo es una diferencial exacta, es decir, si

corresponde al diferencial de alguna funcin , tambin llamado diferencial total, dado por En otras palabras, una condicinsuficiente para que sea una diferencialexacta es Solucin: Dada la ecuacin , determinar:

1.

Se cumple la condicin 2. Resolver la integral 3.

Derivar con respecto a Es decir, paraobtener

4.

Integramos la funcin con respecto a , para obtener , la cual sustituimos en Ejemplo: Resuelva .

Se puede identificar a

y

Para verificar si se cumple la condicin La condicin se cumple satisfactoriamente, entonces podemos resolver la integral: Al derivar con respecto a nos queda

De donde despejamos para la funcin Al sustituir :


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Integrando con respecto a se obtiene: Al sustituir en se obtiene

Por lo tanto la familia de soluciones es: Ejercicios: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando una solucin o la familia

de soluciones segn sea el caso.

1.

2.

3.

4. 5.

Nota: Cuando las ecuaciones no cumplen la condicin para que sean exactas es necesario calcular

el factor integrante para convertirla en una ecuacin exacta. Este tema no es tratado en este

curso.

3.1.4. Solucin por sustitucin.

La mayora de los mtodos para solucionar ecuaciones diferenciales requieren hacer alguna

sustitucin, en este curso solo estudiamos dos de ellos.

Ecuacin de Bernoulli

La ecuacin de Bernoulli est definida de la siguiente manera Donde es cualquier nmero real. Si y , la ecuacin es lineal. Pero si y , laecuacin deja de ser lineal, pero una sustitucin reduce la ecuacin a una ecuacin linealde donde puede obtener la solucin.

Ejemplo: resolver Usando la definicin de ecuacin de Bernoulli reescribimos la ecuacin multiplicando por . Al comparar observamos que . Por lo que usaremos , es decir,


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Esto es Resolviendo la derivada

Multiplicando por El factor integrante es Al sustituir en la solucin nos queda Integrando se obtiene

Entonces Sustituyendo en se obtiene la familia de soluciones: Reduccin de separacin de variables.

Cualquier ecuacin diferencial de la forma

se puede reducir a una ecuacin con variables separables mediante sustitucin ,si . Y despus se recurre al mtodo de variables separables resolviendo las integralesrestantes con cualquiera de los mtodos de integracin conocidos.Ejemplo: Sabiendo que , resuelva la ecuacin diferencial .Definiendo , se puede calcular La ecuacin diferencial se transforma en

Separando variables Lo mismo que Integrando | | | |


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Simplificando Esto es

Definimos y la sustituimos en la ecuacin obtenida y despejamos . Sustituimos el valor que definimos inicialmente

Despejando se obtiene la familia de soluciones para

Evaluando las condiciones de frontera se tiene Despejando la constante Sustituyendo en la familia de soluciones se obtiene la solucin nica

3.1.5. Modelos lineales

Los modelos lineales son modelos matemticos de ecuaciones diferenciales para simular el

comportamiento de fenmenos reales como el de crecimiento y decaimiento; el de vida media, el

de fechado por carbono; la ley de enfriamiento de Newton; las mezclas; los circuitos en serie; pero

en este curso solo analizaremos el modelo de crecimiento y decaimiento.

Crecimiento y decaimiento.

Es un problema de valor inicial de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, el cual se

describe con la siguiente ecuacin

Donde es una constante de proporcionalidad, es el valor de la muestra inicial, es el tiempoinicial y es el valor dela muestra en un tiempo con la condicin . El mtodo de solucinde este sistema es cualquiera de los anteriores.

En este modelo podremos trabajar la parte de interpretacin del resultado de las ecuaciones

diferenciales vistas en este subtema. Se recomienda utilizar ejercicios de la bibliografa

recomendada.


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3.2. Ecuaciones Diferenciales de orden superior.

Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior tienen la forma

Si se dice que la ecuacin diferencial es homognea, en otro caso es no homognea.Principio de superposicin de ecuaciones homogneas: Si son soluciones de laecuacin diferencial homognea de -simo orden en un intervalo . Entonces la combinacinlineal donde son constantes arbitrarias, es tambin una solucin en el intervalo. Estacombinacin lineal es llamada solucin general.

Dependencia lineal e independencia lineal. Se dice que un conjunto de funcioneses linealmente dependiente en un intervalo si existen constantes , ,,, diferentes de cero, de modo que para toda en elintervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es

linealmente independiente. En otras palabras, si dos funciones son linealmente dependientes,

entonces una funcin es simplemente un mltiplo constante de la otra, y dos funciones son

linealmente independientes cuando ninguna de ellas es un mltiplo constante de la otra.

Criterio para soluciones linealmente independientes. Digamos que son solucionesde la ecuacin diferencial lineal homognea de -simo orden en un intervalo . Entonces elconjunto de soluciones es linealmente independiente en

si, y slo si,

para

toda en el intervalo. es llamado wronskiano de las funciones, el cual est definido para las funcionesque poseen derivadas de la siguiente manera

3.2.1. Ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constantes de segundo orden.

Consideremos la ecuacin diferencial homognea de segundo orden con coeficientes constantes dada por La solucin debe tener la forma de donde obtenemos las respectivas derivadas Al sustituirlas en la ecuacin diferencial se tiene


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Dividiendo entre la exponencial que nunca es cero, se obtiene la ecuacin cuadrtica Cuyas soluciones son:

Hay tres formas de la solucin general de correspondientes a los tres casos:

y son reales y distintas ; la solucin tiene la forma . y son reales e iguales ; la solucin tiene la forma . y son nmeros complejos conjugados , podemos escribir , y donde son valores positivos, adems , en este caso la

solucin tiene la forma .En el ltimo caso, en la prctica preferimos trabajar con funciones reales y no con exponenciales

complejos. Para este fin usamos la frmula de Euler:

donde es cualquier nmero real. De esta frmula se deduce que De donde se obtiene

Y la solucin general en este caso ser

3.2.2. Ecuaciones lineales no homogneas con coeficientes no constantes de orden

superior (variacin de parmetros).

Consideremos la ecuacin diferencial lineal de segundo orden siguiente

Al dividir entre

se puede escribir de la siguiente manera

Primero lo resolvemos para encontrar una solucin de su forma homognea con , lasolucin tiene la forma Proponemos una solucin de la forma


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Donde y son soluciones de la parte homognea de la ecuacin. Mientras que yse encuentran al integrar La solucin general es entonces:

3.2.3. Ecuaciones lineales no homogneas con coeficientes no constantes de orden

superior (Ecuacin de Cauchy-Euler).

Cualquier ecuacin diferencial lineal de la forma

donde son constantes arbitrarias; se conoce como ecuacin de Cauchy-Euler, ecuacin de Euler-Cauchy, ecuacin de Euler o ecuacin equidimensional. Una

caracterstica observable de este tipo de ecuacin es que el grado coincide con el orden en cada

trmino.

En este caso la solucin tiene la forma Ecuaciones lineales homogneas de segundo orden

Para resolver la ecuacin de Cauchy-Euler primero utilicemos el mtodo con una ecuacin de la

forma

Al insertar la solucin se tiene Al calcular las races de

, si son distintas, se obtiene la solucin

Si son iguales, se tiene Si son complejas


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3.2.4. Modelos lineales de ecuaciones diferenciales de orden superior.

Los siguientes casos son ejercicios aplicados de ecuaciones diferenciales lineales que se pueden

resolver con cualquiera de los mtodos vistos en el curso, se recomienda realizar una investigacin

de cada uno de los ejemplos de manera general redactando el proceso para obtener la solucin.

Sistemas resorte-masa: movimiento libre no amortiguado

Sistemas resorte-masa: movimiento libre amortiguado

Sistemas resorte-masa: movimiento forzado

Circuito en serie anlogo

Deflexin de una viga

Pandeo de una columna delgada vertical

Cuerda rotatoria

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