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Evaluación del bachillerato para el acceso a la universidad Batxilergoaren ebaluazioa unibertsitatean sartzeko

CURSO / IKASTURTEA: 2017 - 2018

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Contenido de la asignatura

Estructura de la prueba

Criterios de corrección



ASIGNATURA / IRAKASGAIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Contenido de la prueba / Probaren edukia

NORMATIVA

1. Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato (BOE de 3 de enero).

2. Proyecto de orden por la que se determinan las características, el diseño y el contenido de la evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad, las fechas máximas de realización y de resolución de los procedimientos de revisión de las calificaciones obtenidas, en el curso 2017-2018.

3. DECRETO FORAL 25/2015, de 22 de abril, del Gobierno de Navarra, por el que se establece el currículo de las enseñanzas del Bachillerato en la Comunidad Foral de Navarra.

4. 25/2015 FORU DEKRETUA, apirilaren 22koa, Nafarroako Foru Komunitatean Batxilergoko irakaskuntzen

curriculuma ezartzen duena



1- Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato (BOE de 3 de enero).

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales.

Las matemáticas son un instrumento indispensable para interpretar la realidad y expresar los fenómenos sociales, científicos y técnicos de un mundo cada vez más complejo; contribuyen de forma especial a la comprensión de los fenómenos de la realidad social, de naturaleza económica, histórica, geográfica, artística, política, sociológica, etc., ya que desarrollan la capacidad de simplificar y abstraer.

El mundo actual está en continua y rápida transformación, por lo que se hace imprescindible el aprendizaje de métodos generales de análisis social que puedan aplicarse en contextos diversos. En este entorno, las matemáticas adquieren un papel relevante como herramienta adecuada para adquirir y consolidar el conocimiento, desarrollan la capacidad de reflexionar y razonar acerca de los fenómenos sociales y proporcionan instrumentos adecuados para la representación, modelización y contraste de las hipótesis planteadas acerca de su comportamiento. Hoy en día, las matemáticas constituyen la herramienta principal para convertir los hechos observables en conocimiento e información. Más aún, la utilización de un lenguaje formal, como es el de las matemáticas, facilita la argumentación y explicación de dichos fenómenos y la comunicación de los conocimientos con precisión.

Las matemáticas tienen un carácter instrumental como base para el progreso en la adquisición de contenidos de otras disciplinas. Por ejemplo, en Economía, la Teoría Económica explica los fenómenos económicos con una base matemática. La Teoría de Juegos o Teoría de la Decisión son otro ejemplo de las aplicaciones en este campo. En Sociología y Ciencias Políticas se emplean cada vez con mayor frecuencia el análisis de encuestas, entre otras aplicaciones. Tampoco debe olvidarse la contribución de las matemáticas a otras áreas como la Geografía, la Historia o el Arte en donde las matemáticas han tenido una reconocida influencia.

Las matemáticas también contribuyen a la formación intelectual de los alumnos, lo que les permitirá desenvolverse mejor tanto en el ámbito personal como social. Hay que resaltar también el valor formativo de las matemáticas en aspectos tan importantes como la búsqueda de la belleza y la armonía, el estímulo de la creatividad o el desarrollo de capacidades personales y sociales que contribuyen a formar ciudadanos autónomos, seguros de sí mismos, decididos y emprendedores, capaces de afrontar los retos y abordar los problemas con garantías de éxito.

La enseñanza de esta materia no debe desvincularse de su aplicación a la interpretación de los fenómenos sociales, por lo que además de centrarse en la adquisición del conocimiento de los contenidos de matemáticas y sus procedimientos de cálculo, análisis, medida y estimación, debe dirigirse hacia la adquisición de la habilidad de interpretar datos, seleccionar los elementos fundamentales, analizarlos, obtener conclusiones razonables y argumentar de forma rigurosa.

La resolución de problemas se convierte en objetivo principal. El proceso debe cultivar la habilidad para entender diferentes planteamientos e implementar planes prácticos, revisar los procedimientos de búsqueda de soluciones y plantear aplicaciones del conocimiento y las habilidades matemáticas a diversas situaciones de la vida real; sobre todo, se debe fomentar la autonomía para establecer hipótesis y contrastarlas, y para diseñar diferentes estrategias de resolución o extrapolar los resultados obtenidos a situaciones análogas.

El uso de herramientas tecnológicas tendrá un papel esencial en el currículo de la materia, tanto para la mejor comprensión de conceptos o en la resolución de problemas complejos, como para contrastar con mayor rigor las hipótesis propuestas y presentar y comunicar los resultados obtenidos. Además, estas herramientas contribuyen a la preparación para el aprendizaje a lo largo de la vida y apoyan el trabajo fuera del aula.

Se procurará una atención personalizada al alumnado, ya que esta proporciona la oportunidad de potenciar sus fortalezas y corregir sus debilidades. Se fomentará el razonamiento, la experimentación y la simulación, que promueven un papel activo del alumnado.

La materia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales está dividida en dos cursos: su enseñanza debe comenzarse teniendo en cuenta el grado de adquisición de la competencia matemática que el alumno ha logrado a largo de la ESO; para lograr dicha continuidad, al igual que ocurre en el currículo básico de las asignaturas de matemáticas de la ESO, los conocimientos, las competencias y los valores están integrados, y se han formulado los estándares de aprendizaje evaluables teniendo en cuenta la relación necesaria entre dichos elementos, también en Bachillerato.

La materia se estructura en torno a cuatro bloques de contenido: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas, Números y Álgebra, Análisis, y Estadística y Probabilidad.



El bloque “Procesos, métodos y actitudes en matemáticas” es un bloque común a los dos cursos y transversal: debe desarrollarse simultáneamente al resto de bloques de contenido y es el eje fundamental de la asignatura; se articula sobre procesos básicos e imprescindibles en el quehacer matemático: la resolución de problemas,

proyectos de investigación matemática, la matematización y modelización, las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo científico y la utilización de medios tecnológicos. Los elementos que constituyen el currículo básico en primer curso fundamentan los principales conceptos de los diferentes bloques de contenido, además de ofrecer una base sólida para la interpretación de fenómenos sociales en los que intervienen dos variables. En segundo curso se profundiza en las aportaciones de la materia al currículo del Bachillerato, en particular mediante la inferencia estadística, la optimización y el álgebra lineal.



Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. 2º Bachillerato

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables

Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas

Planificación del proceso de resolución deproblemas.

Estrategias y procedimientos puestos en práctica: relación con otros problemas conocidos, modificación de variables, suponer el problema resuelto, etc.

Análisis de los resultados obtenidos: coherencia de las soluciones con la situación, revisión sistemática del proceso, otras formas de resolución, problemas parecidos.

Elaboración y presentación oral y/o escrita de informes científicos escritos sobre el proceso seguido en la resolución de un problema

Realización de investigaciones matemáticas a partir de contextos de la realidad

Elaboración y presentación de un informe científico sobre el proceso, resultados y conclusiones del proceso de investigación desarrollado.

Práctica de los proceso de matematización y modelización, en contextos de la realidad.

Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar lasdificultadespropias del trabajo científico.

Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para:

a) la recogida ordenada y la organización de datos.

b) la elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos.

c) facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico.

d) el diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas.

e) la elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidas.

f) comunicar y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas.

1. Expresarverbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema.

2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

3. Elaborar un informe científico escrito que sirva para comunicar las ideas matemáticas surgidas en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados.

4. Planificar adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado.

5. Practicar estrategias para la generación de investigaciones matemáticas, a partir de: a) la resolución de un problema y la profundización posterior; b) la generalización de propiedades y leyes matemáticas; c) Profundización en algún momento de la historia de las matemáticas; concretando todo ello en contextos numéricos, algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos oprobabilísticos.

6. Elaborar un informe científico escrito que recoja el proceso de investigación realizado, con el rigor y la precisión adecuados.

7. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

8. Valorar la modelización matemática como un recurso para resolver problemas de la realidad cotidiana, evaluando la eficacia y limitaciones de los modelos utilizados o construidos.

9. Desarrollarycultivar las actitudespersonales inherentes al quehacer matemático.

10. Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas.

11. Reflexionar sobre las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo de ello para situaciones similares futuras.

12. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentidocrítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas.

13. Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiendo éstos en entornos apropiados para facilitar la interacción.

1.1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados.

2.1. Analiza y comprende el enunciado a resolver(datos, relaciones entre los datos, condiciones, conocimientos matemáticos necesarios, etc.).

2.2. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, contrastando su validezyvalorandosuutilidadyeficacia.

2.3. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas, reflexionando sobre el proceso seguido.

3.1. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.

3.2. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.

3.3. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propiedad o teorema a demostrar.

4.1. Conoce y describe la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc.

4.2. Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado.

5.1. Profundiza en la resolución de algunos problemas planteando nuevas preguntas, generalizando la situación o los resultados, etc.

5.2. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de la humanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; ciencias sociales y matemáticas, etc.).

6.1. Consulta las fuentes de información adecuadas al problema de investigación.

6.2. Usaellenguaje,lanotacióny lossímbolos matemáticos adecuados al contexto del problema de investigación.

6.3. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.

6.4. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, tanto en la búsqueda de soluciones como para mejorar la eficacia en la comunicación de las ideas matemáticas.

6.5. Transmite certeza y seguridad en la comunicación de las ideas,así comodominiodeltemadeinvestigación.

6.6. Reflexiona sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de: a) resolución del problema de investigación; b) consecución de objetivos. Así mismo, planteaposiblescontinuaciones de la investigación; analiza los puntos fuertes y débiles del proceso y hace explícitas sus impresiones personales sobre la experiencia.

7.1. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

7.2. Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo matemático: identificando del problema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticos necesarios.

7.3. Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problema o problemas dentro del campo de las matemáticas.

7.4. Interpreta la soluciónmatemática del problema en el contexto de la realidad.

7.5. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitaciones de los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia.

8.1. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre los logros conseguidos, resultados mejorables, impresiones personales del proceso, etc.




9.1. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad y aceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de la frustración, autoanálisis continuo, etc.

9.2. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a ladificultad dela situación.

9.3. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas; revisar de forma crítica los resultados encontrados; etc.

10.1. Toma decisiones en los procesos (de resolución de problemas, de investigación, de matematización o de modelización) valorando las consecuencias de las mismas y laconvenienciaporsu sencillezyutilidad.

11.1. Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando la potencia, sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situaciones futuras; etc.

12.1. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlos manualmente.

12.2. Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicas complejas y extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas.

12.3. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, mediante la utilización de medios tecnológicos

12.4. Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar, analizar y comprender propiedades geométricas.

13.1. Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, video, sonido,…), como resultado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramienta tecnológica adecuada y los comparte para su discusión o difusión.

13.2. Utiliza los recursos creados para apoyar la exposiciónoraldelos contenidostrabajadosenel aula.

13.3. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar ymejorar su proceso de aprendizaje recogiendo la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora.




Bloque 2. Números y álgebra

Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas. Clasificación de matrices.

Operaciones con matrices. Rango de una matriz. Matriz inversa. Método de Gauss. Determinantes hasta orden 3. Aplicación de las operaciones de las

matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas en contextos reales.

Representaciónmatricial de un sistema de ecuaciones lineales: discusión y resolución de sistemas de ecuacions lineales (hasta tres ecuaciones con tres incógnitas). Método de Gauss.

Resolución de problemas de las cienciassocialesy de la economía.

Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Resolución gráfica y algebraica.

Programación lineal bidimensional. Región factible. Determinación e interpretación de las soluciones óptimas.

Aplicación de la programación lineal a la resolución de problemas sociales, económicos ydemográficos.

1. Organizar información procedente de situaciones del ámbito social utilizando el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de dicha información.

2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, sistemas de ecuaciones, inecuaciones y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas.

1.1. Dispone en forma de matriz informaciónprocedente del ámbito social para poder resolver problemas con mayor eficacia.

1.2. Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas y para representar sistemas de ecuaciones lineales.

1.3. Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente, de formamanualyconel apoyodemediostecnológicos.

2.1. Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, el sistema de ecuaciones lineales planteado (como máximo de tres ecuaciones y tres incógnitas), lo resuelve en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas en contextos reales.

2.2. Aplica las técnicas gráficas de programación lineal bidimensional para resolver problemas de optimización de funciones lineales que están sujetas a restricciones e interpreta los resultados obtenidos en el contexto del problema.

Bloque 3. Análisis

Continuidad. Tipos de discontinuidad. Estudio de la continuidad en funciones elementales y definidas a trozos.

Aplicaciones de las derivadas al estudio de funciones polinómicas, racionales e irracionales sencillas, exponenciales y logarítimicas.

Problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía.

Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas sencillas a partir de sus propiedades locales y globales.

Concepto de primitiva. Cálculo de primitivas: Propiedades básicas. Integrales inmediatas.

Cálculo de áreas: La integral definida. Regla de Barrow.

1. Analizar e interpretar fenómenos habituales de las ciencias sociales de manera objetiva traduciendo la información al lenguaje de las funciones y describiéndolo mediante el estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características.

2. Utilizar el cálculo de derivadas para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función, para resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social y extraer conclusiones del fenómeno analizado.

3. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables utilizando técnicas de integración inmediata.

1.1. Modeliza con ayuda de funciones problemas planteados en las ciencias sociales y los describe mediante el estudio de la continuidad, tendencias, ramas infinitas, corte con losejes, etc.

1.2. Calcula las asíntotas de funciones racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas.

1.3. Estudia la continuidad en un punto de una función elemental o definida a trozos utilizando el concepto de límite.

2.1. Representa funciones y obtiene la expresión algebraica a partir de datos relativos a sus propiedades locales o globales y extrae conclusiones en problemas derivados de situaciones reales.

2.2. Plantea problemas de optimización sobre fenómenos relacionados con las ciencias sociales, los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del contexto.

3.1. Aplica la regla de Barrow al cálculo de integrales definidas de funciones elementales inmediatas.

3.2. Aplica el concepto de integral definida para calcular el área de recintosplanosdelimitadospor una o dos curvas.




Bloque 4. Estadística y Probabilidad

Profundización en la Teoría de la Probabilidad. Axiomática de Kolmogorov. Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace y a partir de su frecuencia relativa.

Experimentos simples y compuestos. Probabilidad condicionada. Dependencia e independencia de sucesos.

Teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Probabilidades iniciales y finales y verosimilitud de un suceso.

Población y muestra. Métodos de selección de una muestra. Tamaño y representatividad de una muestra.

Estadística paramétrica. Parámetros de una población y estadísticos obtenidos a partir de una muestra. Estimación puntual.

Media y desviación típica de la media muestral y de la proporción muestral. Distribución de la media muestral en una población normal. Distribución de la media muestral y de la proporciónmuestral en el

caso de muestras grandes. Estimación por intervalos de confianza.

Relación entre confianza, error y tamaño muestral.

Intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida.

Intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución de modelo desconocido y para la proporción en el caso de muestras grandes.

1. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y compuestos, utilizando la regla de Laplace en combinación con diferentes técnicas de recuento personales, diagramas de árbol o tablas de contingencia, la axiomática de la probabilidad, el teorema de la probabilidad total y aplica el teorema de Bayes para modificar la probabilidad asignada a un suceso (probabilidad inicial) a partir de la información obtenida mediante la experimentación (probabilidad final), empleando los resultados numéricos obtenidos en la toma de decisiones en contextos relacionados con las ciencias sociales.

2. Describir procedimientos estadísticos que permitenestimar parámetrosdesconocidos de una población con una fiabilidad o un error prefijados, calculando el tamaño muestral necesario y construyendo el intervalo de confianza para la media de una población normal con desviación típica conocida y para la media y proporción poblacional cuando el tamaño muestral es suficientemente grande.

3. Presentar de forma ordenada información estadística utilizando vocabulario y representaciones adecuadas y analizar de forma crítica y argumentada informes estadísticos presentes en los medios de comunicación, publicidad y otros ámbitos, prestando especial atención a su ficha técnica, detectando posibles errores y manipulaciones en su presentación y conclusiones.

1.1. Calculala probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento.

1.2. Calcula probabilidades de sucesos a partir de los sucesos que constituyen una partición del espacio muestral.

1.3. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando lafórmulade Bayes.

1.4. Resuelve una situación relacionada con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en función de la probabilidad de las distintas opciones.

2.1. Valora la representatividad de una muestra a partir de su proceso de selección.

2.2. Calcula estimadores puntuales para la media, varianza, desviación típica y proporción poblacionales, y lo aplica a problemas reales.

2.3. Calcula probabilidades asociadas a la distribución de la media muestral y de la proporción muestral, aproximándolas por la distribución normal de parámetros adecuados a cada situación, y lo aplica a problemas de situacionesreales.

2.4. Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida.

2.5. Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional y para la proporción en el caso de muestras grandes.

2.6. Relaciona el error y la confianza de un intervalo de confianza con el tamaño muestral y calcula cada uno de estos tres elementos conocidos los otros dos y lo aplica en situacionesreales.

3.1. Utiliza las herramientas necesarias para estimar parámetros desconocidos de una población y presentar las inferencias obtenidas mediante un vocabulario y representaciones adecuadas.

3.2. Identifica y analiza los elementos de una ficha técnica en un estudio estadístico sencillo.

3.3. Analiza de forma crítica y argumentada información estadística presente en los medios de comunicación y otros ámbitos de la vida cotidiana.



2- Proyecto de orden por la que se determinan las características, el diseño y el contenido de la

evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad, las fechas máximas de realización y de resolución de los procedimientos de revisión de las calificaciones obtenidas, en el curso 2017- 2018.

CIENCIAS SOCIALES

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II. 2º Bachillerato

Matriz de especificaciones

Bloques de contenido

Porcentaje asignado al bloque

Estándares de aprendizaje evaluables

Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas.

20%

– Expresa verbalmente de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados.

– Analiza y comprende el enunciado a resolver (datos, relaciones entre los datos, condiciones, conocimientos matemáticos necesarios,etc.).

– Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, contrastando su validez y valorandosu utilidady eficacia.

– Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas, reflexionando sobre el procesoseguido.

– Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.

– Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientosexplícitos y coherentes.

– Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propiedad o teorema a demostrar.

– Profundiza en la resolución de algunos problemas planteando nuevas preguntas, generalizando la situación o los resultados,etc.

– Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de la humanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; ciencias sociales y matemáticas, etc.).

– Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

– Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo matemático: identificando del problema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticos necesarios. Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problema o problemas dentro del campo de las matemáticas.

– Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad. – Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la

adecuación y las limitaciones de los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia.

– Toma decisiones en los procesos (de resolución de problemas, de investigación, de matematización o de modelización) valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia por su sencillez y utilidad.



Bloque 2. Números y álgebra.

25%

– Dispone en forma de matriz información procedente del ámbito social para poder resolver problemas con mayor eficacia.

– Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas y para representar sistemas de ecuacioneslineales.

– Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente.

– Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, el sistema de ecuaciones lineales planteado (como máximo de tres ecuaciones y tres incógnitas), lo resuelve en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas en contextos reales.

– Aplica las técnicas gráficas de programación lineal bidimensional para resolver problemas de optimización de funciones lineales que están sujetas a restricciones e interpreta los resultados obtenidos en el contexto del problema.




Bloque 3. Análisis.

25%

– Modeliza con ayuda de funciones problemas planteados en las ciencias sociales y los describe mediante el estudio de la continuidad, tendencias, ramas infinitas, corte con los ejes, etc.

– Calcula las asíntotas de funciones racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas.

– Estudia la continuidad en un punto de una función elemental o definida a trozos utilizando el concepto de límite.

– Representa funciones y obtiene la expresión algebraica a partir de datos relativos a sus propiedades locales o globales y extrae conclusiones en problemas derivados de situaciones reales.

– Plantea problemas de optimización sobre fenómenos relacionados con las ciencias sociales, los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del contexto.

– Aplica la regla de Barrow al cálculo de integrales definidas de funciones elementales inmediatas.

– Aplica el concepto de integral definida para calcular el área de recintos planos delimitados por una o dos curvas.






Bloque 4. Estadística y Probabilidad.

30%

– Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento.

– Calcula probabilidades de sucesos a partir de los sucesos que constituyen una partición del espacio muestral. 1.3. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la fórmula de Bayes.

– Resuelve una situación relacionada con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en función de la probabilidad de las distintas opciones.

– Valora la representatividad de una muestra a partir de su proceso de selección.

– Calcula estimadores puntuales para la media, varianza, desviación típica y proporción poblacionales, y lo aplica a problemas reales.

– Calcula probabilidades asociadas a la distribución de la media muestral y de la proporción muestral, aproximándolas por la distribución normal de parámetros adecuados a cada situación, y lo aplica a problemas de situaciones reales.

– Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida.

– Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional y para la proporción en el caso de muestras grandes.

– Relaciona el error y la confianza de un intervalo de confianza con el tamaño muestral y calcula cada uno de estos tres elementos conocidos los otros dos y lo aplica en situaciones reales.

– Utiliza las herramientas necesarias para estimar parámetros desconocidos de una población y presentar las inferencias obtenidas mediante un vocabulario y representaciones adecuadas.

– Identifica y analiza los elementos de una ficha técnica en un estudio estadístico sencillo.

– Analiza de forma crítica y argumentada información estadística presente en los medios de comunicación y otros ámbitos de la vida cotidiana.



3- DECRETO FORAL 25/2015, de 22 de abril, del Gobierno de Navarra, por el que se establece el currículo de las enseñanzas del Bachillerato en la Comunidad Foral de Navarra.

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

Las matemáticas son un instrumento indispensable para interpretar la realidad y expresar los fenómenos sociales, científicos y técnicos de un mundo cada vez más complejo; contribuyen de forma especial a la comprensión de los fenómenos de la realidad social, de naturaleza económica, histórica, geográfica, artística, política, sociológica, etc., ya que desarrollan la capacidad de simplificar y abstraer.

El mundo actual está en continua y rápida transformación, por lo que se hace imprescindible el aprendizaje de métodos generales de análisis social que puedan aplicarse en contextos diversos. En este entorno, las matemáticas adquieren un papel relevante como herramienta adecuada para adquirir y consolidar el conocimiento, desarrollan la capacidad de reflexionar y razonar acerca de los fenómenos sociales y proporcionan instrumentos adecuados para la representación, modelización y contraste de las hipótesis planteadas acerca de su comportamiento. Hoy en día, las matemáticas constituyen la herramienta principal para convertir los hechos observables en conocimiento e información. Más aún, la utilización de un lenguaje formal, como es el de las matemáticas, facilita la argumentación y explicación de dichos fenómenos y la comunicación de los conocimientos con precisión. Las matemáticas tienen un carácter instrumental como base para el progreso en la adquisición de contenidos de otras disciplinas. Por ejemplo, en Economía, la Teoría Económica explica los fenómenos económicos con una base matemática. La Teoría de Juegos o Teoría de la Decisión son otro ejemplo de las aplicaciones en este campo. En Sociología y Ciencias Políticas se emplean cada vez con mayor frecuencia el análisis de encuestas, entre otras aplicaciones. Tampoco debe olvidarse la contribución de las matemáticas a otras áreas como la Geografía, la Historia o el Arte en donde las matemáticas han tenido una reconocida influencia.

Las matemáticas también contribuyen a la formación intelectual de los alumnos, lo que les permitirá desenvolverse mejor tanto en el ámbito personal como social. Hay que resaltar también el valor formativo de las matemáticas en aspectos tan importantes como la búsqueda de la belleza y la armonía, el estímulo de la creatividad o el desarrollo de capacidades personales y sociales que contribuyen a formar ciudadanos autónomos, seguros de sí mismos, decididos y emprendedores, capaces de afrontar los retos y abordar los problemas con garantías de éxito.

La enseñanza de esta materia no debe desvincularse de su aplicación a la interpretación de los fenómenos sociales, por lo que además de centrarse en la adquisición del conocimiento de los contenidos de matemáticas y sus procedimientos de cálculo, análisis, medida y estimación, debe dirigirse hacia la adquisición de la habilidad de interpretar datos, seleccionar los elementos fundamentales, analizarlos, obtener conclusiones razonables y argumentar de forma rigurosa.

La resolución de problemas se convierte en objetivo principal. El proceso debe cultivar la habilidad para entender diferentes planteamientos e implementar planes prácticos, revisar los procedimientos de búsqueda de soluciones y plantear aplicaciones del conocimiento y las habilidades matemáticas a diversas situaciones de la vida real; sobre todo, se debe fomentar la autonomía para establecer hipótesis y contrastarlas, y para diseñar diferentes estrategias de resolución o extrapolar los resultados obtenidos a situaciones análogas.

El uso de herramientas tecnológicas tendrá un papel esencial en el currículo de la materia, tanto para la mejor comprensión de conceptos o en la resolución de problemas complejos, como para contrastar con mayor rigor las hipótesis propuestas y presentar y comunicar los resultados obtenidos. Además, estas herramientas contribuyen a la preparación para el aprendizaje a lo largo de la vida y apoyan el trabajo fuera del aula.

Se procurará una atención personalizada al alumnado, ya que esta proporciona la oportunidad de potenciar sus fortalezas y corregir sus debilidades.

Se fomentará el razonamiento, la experimentación y la simulación, que promueven un papel activo del alumnado.

La materia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales está dividida en dos cursos: su enseñanza debe comenzarse teniendo en cuenta el grado de adquisición de la competencia matemática que el alumno ha logrado a largo de la ESO; para lograr dicha continuidad, al igual que ocurre en el currículo básico de las materias de matemáticas de la ESO, los conocimientos, las competencias y los valores están integrados, y se han formulado los estándares de aprendizaje evaluables teniendo en cuenta la relación necesaria entre dichos elementos, también en Bachillerato.

La materia se estructura en torno a cuatro bloques de contenido: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas, Números y Álgebra, Análisis, y Estadística y Probabilidad.

El bloque “Procesos, métodos y actitudes en matemáticas” es un bloque común a los dos cursos y transversal: debe desarrollarse simultáneamente al resto de bloques de contenido y es el eje fundamental de la materia; se articula sobre procesos básicos e imprescindibles en el quehacer matemático: la resolución de problemas, proyectos de investigación matemática, la matematización y modelización, las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo científico y la utilización de medios tecnológicos.

Los elementos que constituyen el currículo básico en primer curso fundamentan los principales conceptos de los diferentes bloques de contenido, además de ofrecer una base sólida para la interpretación de fenómenos sociales en los que intervienen dos variables. En segundo curso se profundiza en las aportaciones de la materia al currículo del Bachillerato, en particular mediante la inferencia estadística, la optimización y el álgebra lineal.



MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS

SOCIALES II 2º Bachillerato

CONTENIDOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES

BLOQUE 1.–PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS

Planificación del proceso de resolución de problemas.

Estrategias y procedimientos puestos en práctica: relación con otros problemas conocidos, modificación de variables, suponer el problema resuelto, etc.

Análisis de los resultados obtenidos: coherencia de las soluciones con la situación, revisión sistemá- tica del proceso, otras formas de resolución, problemas parecidos.

Elaboración y presentación oral y/o escrita de informes científicos escritos sobre el proceso seguido en la resolución de un problema.

Realización de investigaciones matemáticas a partir de contextos de la realidad.

Elaboración y presentación de un informe científi- co sobre el proceso, resultados y conclusiones del proceso de investigación desarrollado.

Práctica de los proceso de matematización y modelización, en contextos de la realidad.

Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo científico.

Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para:

a) La recogida ordenada y la organización de datos.

b) La elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísti- cos.

c) Facilitar la comprensión de propiedades geo- métricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico.

d) El diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas.

e) La elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidas.

f) Comunicar y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas.

1. Expresar verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema.

2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

3. Elaborar un informe científico escrito que sirva para comunicar las ideas matemáticas surgidas en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados.

4. Planificar adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado.

5. Practicar estrategias para la generación de investigaciones matemáticas, a partir de: a) la resolución de un problema y la profundización posterior; b) la generalización depropiedades yleyes matemáticas; c) Profundización en al- gún momento de la historia de las matemáticas; concretando todo ello en contextos numéricos, algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos.

6. Elaborar un informe científico escrito que recoja el proceso de investigación realizado, con el rigor y la precisión adecuados.

7. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

8. Valorar la modelización matemática como un recurso para resolver problemas de la realidad cotidiana, evaluando la eficacia y limitaciones de los modelos utilizados o construidos.

9. Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático.

10. Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas.

11. Reflexionar sobre las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo de ello para situaciones similares futuras.

12. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas.

1.1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados.

2.1. Analiza y comprende el enunciado a resolver (datos, relaciones entre los datos, condiciones, conocimientos matemáticos necesarios, etc.).

2.2. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, contrastando su validez y valorando su utilidad y eficacia.

2.3. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas, reflexionando sobre el proceso seguido.

3.1. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.

3.2. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos ex- plícitos y coherentes.

3.3. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propiedad o teorema a demostrar.

4.1. Conoce y describe la estructura del proceso de elaboración de una inves- tigación matemática: problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc.

4.2. Planifica adecuadamente el proceso e investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado.

5.1. Profundiza en la resolución de algunos problemas planteando nuevas preguntas, generalizando la situación o los resultados, etc.

5.2. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de la humanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; ciencias sociales y matemáticas, etc.).

6.1. Consulta las fuentes de información adecuadas al problema de inves- tigación.

6.2. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto del problema de investigación.

6.3. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos ex- plícitos y coherentes.

6.4. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, tanto en la búsqueda de soluciones como para mejorar la eficacia en la comunicación de las ideas matemáticas.

6.5. Transmite certeza y seguridad en la comunicación de las ideas, así como dominio del tema de investigación.

6.6. Reflexiona sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de: a) resolución del problema de investigación; b) consecución de objetivos. Así mismo, plantea posibles continuaciones de la investigación; analiza los puntos fuertes y débiles del proceso y hace explícitas sus impresiones personales sobre la experiencia.

7.1. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

13. Utilizar las tecnologías de la información y la comu- nicación de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiendo éstos en entornos apropiados para facilitar la interacción.

7.2. Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo ma- temático: identificando del problema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticos necesarios.

7.3. Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problema o problemas dentro del campo de las matemáticas.

7.4. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad.

7.5. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitaciones delos modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia.

8.1. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre los logros conseguidos, resultados mejorables, impresiones personales del proceso, etc.

9.1. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad y aceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de la frustración, autoanálisis continuo, etc.

9.2. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad de la situación.

9.3. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas; revisar de forma crítica los resultados encontrados; etc.

10.1. Toma decisiones en los procesos (de resolución de problemas, de in- vestigación, de matematización o de modelización) valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia por su sencillez y utilidad.

11.1. Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando la potencia, sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situaciones futuras; etc.

12.1. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlos manualmente.

12.2. Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicas complejas y extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas.

12.3. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, mediante la utilización de medios tecnológicos.

12.4. Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar, analizar y comprender propiedades geométricas.

13.1. Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, video, sonido…), como resultado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramienta tecnológica adecuada y los comparte para su discusión o difusión.

13.2. Utiliza los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula.

13.3. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje recogiendo la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora.



BLOQUE 2.–NúMEROS Y ÁLgEBRA

Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas. Clasificación de matrices.

Operaciones con matrices. Rango de una matriz. Matriz inversa.

Método de Gauss. Determinantes hasta orden 3. Aplicación de las operaciones de las matrices y

de sus propiedades en la resolución de problemas en contextos reales.

Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales: discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales (hasta tres ecuaciones con tres incógnitas). Método de Gauss.

Resolución de problemas de las ciencias sociales y de la economía.

Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Resolución gráfica y algebraica.

Programación lineal bidimensional. Región factible. Determinación e interpretación de las soluciones óptimas.

Aplicación de la programación lineal ala resolución de problemas sociales, económicos y demográficos.

1. Organizar información procedente de situaciones del ámbito social utilizando el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de dicha información.

2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, sistemas de ecuaciones, inecuaciones y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas.

1.1. Dispone en forma de matriz información procedente del ámbito social para poder resolver problemas con mayor eficacia.

1.2. Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas y para representar sistemas de ecuaciones lineales.

1.3. Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente, de forma manual y con el apoyo de medios tec- nológicos.

2.1. Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, el sistema de ecuaciones lineales planteado (como máximo de tres ecuaciones y tres incógnitas), lo resuelve en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas en contextos reales.

2.2. Aplica las técnicas gráficas de programación lineal bidimensional para resolver problemas de optimización de funciones lineales que están sujetas a restricciones e interpreta los resultados obtenidos en el contexto del problema.

BLOQUE 3.–ANÁLISIS

Continuidad. Tipos de discontinuidad. Estudio de la continuidad en funciones elementales y definidas a trozos.

Aplicaciones de las derivadas al estudio de funciones polinómicas, racionales e irracionales sencillas, exponenciales y logarítimicas.

Problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía.

Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas sencillas a partir de sus propiedades locales y globales.

Concepto de primitiva. Cálculo de primitivas: Propiedades básicas. Integrales inmediatas.

Cálculo de áreas: La integral definida. Regla de Barrow.

1. Analizar einterpretar fenómenos habituales de las ciencias sociales de manera objetiva traduciendo la información al lenguaje de las funciones y describiéndolo mediante el estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características.

2. Utilizar el cálculo de derivadas para obtener conclusiones acerca del comportamiento deuna función, para resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social y extraer conclusiones del fenómeno analizado.

3. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables utilizando técnicas de integración inmediata.

1.1. Modeliza con ayuda de funciones problemas planteados en las ciencias sociales y los describe mediante el estudio de la continuidad, tendencias, ramas infinitas, corte con los ejes, etc.

1.2. Calculalas asíntotas defuncionesracionales, exponenciales ylogarítmicas sencillas.

1.3. Estudia la continuidad en un punto de una función elemental o definida a trozos utilizando el concepto de límite.

2.1. Representa funciones y obtiene la expresión algebraica a partir de datos relativos a sus propiedades locales o globales y extrae conclusiones en problemas derivados de situaciones reales.

2.2. Plantea problemas de optimización sobre fenómenos relacionados con las ciencias sociales, los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del contexto.

3.1. Aplica la regla de Barrow al cálculo de integrales definidas de funciones elementales inmediatas.

3.2. Aplica el concepto de integral definida para calcular el área de recintos planos delimitados por una o dos curvas.

BLOQUE 4.–ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Profundización en la Teoría de la Probabilidad. Axiomática de Kolmogorov. Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace y a partir de su frecuencia relativa.

Experimentos simples y compuestos. Probabi- lidad condicionada. Dependencia e independencia de sucesos.

Teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Probabilidades iniciales y finales y verosimilitud de un suceso.

Población y muestra. Métodos de selección de una muestra. Tamaño y representatividad de una muestra.

1. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y compuestos, utilizando la regla de Laplace en combinación con diferentes técnicas de recuento personales, diagramas de árbol o tablas de contingencia, la axiomática de la probabilidad, el teorema de la probabilidad total y aplica el teorema de Bayes para modificar la probabilidad asignada a un suceso (probabilidad inicial) a partir de la información obtenida mediante la experimentación (probabilidad final), empleando los resultados numéricos obtenidos en la toma de decisiones en contextos relacionados con las ciencias sociales.

1.1. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento.

1.2. Calcula probabilidades de sucesos a partir de los sucesos que constituyen una partición del espacio muestral.

1.3. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la fórmula de Ba- yes.

1.4. Resuelve una situación relacionada con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en función de la probabilidad de las distintas opciones.

2.1. Valora la representatividad de una muestra a partir de su proceso de selección.

2.2. Calcula estimadores puntuales para la media, varianza, desviación típica y proporción poblacionales, y lo aplica a problemas reales.

CONTENIDOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES

Estadística paramétrica. Parámetros deunapobla- ción y estadísticos obtenidos a partir de una muestra. Estimación puntual. Media y desviación típica de la media muestral y de la proporción muestral. Distribu- ción de la media muestral en una población normal. Distribución de la media muestral y de la proporción muestral en el caso de muestras grandes.

Estimación por intervalos de confianza. Relación entre confianza, error y tamaño muestral.

Intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida.

Intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución de modelo desconocido y para la proporción en el caso de muestras grandes.

2. Describir procedimientos estadísticos que permiten estimar parámetros desconocidos de una población con una fiabilidad o un error prefijados, calculando el tamaño muestral necesario y construyendo el intervalo de confianza para la media de una población normal con desviación típica conocida y para la media y proporción poblacional cuando el tamaño muestral es suficientemente grande.

3. Presentar de forma ordenada información estadística utilizando vocabulario y representaciones adecuadas y analizar de forma crítica y argumentada informes estadísticos presentes en los medios de comunicación, publicidad y otros ámbitos, prestando especial atención a su ficha técnica, detectando posibles errores y manipulaciones en su pre- sentación y conclusiones.

2.3. Calcula probabilidades asociadas a la distribución de la media muestral y delaproporciónmuestral, aproximándolasporla distribución normaldeparámetros adecuados a cada situación, y lo aplica a problemas de situaciones reales.

2.4. Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida.

2.5. Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional y para la proporción en el caso de muestras grandes.

2.6. Relaciona el error y la confianza de unintervalo de confianza con el tamaño muestral y calcula cada uno de estos tres elementos conocidos los otros dos y lo aplica en situaciones reales.

3.1. Utiliza lasherramientas necesarias para estimar parámetros desconocidos de una población y presentar las inferencias obtenidas mediante un vocabulario y representaciones adecuadas.

3.2. Identifica y analiza los elementos de una ficha técnica en un estudio estadístico sencillo.

3.3. Analiza de forma crítica y argumentada información estadística presente en los medios de comunicación y otros ámbitos de la vida cotidiana.



4- 25/2015 FORU DEKRETUA, apirilaren 22koa, Nafarroako Foru Komunitatean Batxilergoko irakaskuntzen curriculuma ezartzen duena

Gizarte Zientziei Aplikatutako Matematika I

Matematika tresna ezinbestekoa da errealitatea interpretatzeko eta mundu gero eta konplexuagoko fenomeno sozial, zientifiko eta teknikoak adierazteko, eta laguntzen du gizarte errealitateko fenomeno ekonomiko, historiko, geografiko, politiko, soziologikoak etab. ulertzen, errazteko eta abastraitzeko gaitasuna garatzen duelako.

Egungo mundua eraldatze etengabe eta lasterrean dabil; horregatik, nahitaezkoa da gizartea aztertzeko metodo orokorrak ikastea, askotariko testuinguruetan aplikatzen ahalko direnak. Ingurune horretan, matematikak zeregin garrantzitsua hartzen du, ezagutza eskuratzeko eta sendotzeko tresna egokia den aldetik, gizarte fenomenoen gainean gogoeta egiteko eta arrazoitzeko gaitasuna garatzen du eta bitarteko egokiak ematen ditu haien portaeraren gainean planteaturiko hipotesiak irudikatzeko, modelizatzeko eta kontrastatzeko. Gaur egun, matematika behatzen ahal diren gertaerak ezagutza eta informazio bilakatzeko tresna nagusia da. Areago, matematika bezalako hizkuntza formal baten erabilerak errazten ditu fenomeno horien arrazoibidea eta azalpena eta ezagupenen komunikazio zehatza.

Matematikak izaera instrumentala du, aurrera egiteko oinarri gisa beste jakintzagai batzuen edukiak eskuratzeko tenorean. Konparaziorako, Ekonomian, Teoria Ekonomikoak fenomeno ekonomikoak azaltzen ditu oinarri matematiko batekin. Jokoen Teoria edo Erabakiaren Teoria alor honetako aplikazioen beste adibide batzuk dira. Soziologian eta Zientzia Politikoetan gero eta gehiago erabiltzen dira inkesten azterketetan, beste aplikazio batzuen artean. Orobat, ez da ahantzi behar matematikak beste alor batzuei egiten dien ekarpena, hala nola Geografia, Historia edo Artea, guztietan eragin aintzat hartua izan baitu matematikak.

Bestalde, matematika lagungarria da ikasleen prestakuntza intelektualean; haren bidez, aukera handiagoa dute hobeki jarduteko norberaren esparruan eta gizartekoan. Nabarmendu beharra dago, halaber, matematikak prestakuntzarako duen balioa hagitz alor garrantzitsuetan, hala nola edertasunaren eta harmoniaren bilaketa, sormenaren bulkada edo gaitasun pertsonalen garapena, alegia, herritar autonomoak, eta beren buruz seguruak, ausartak eta ekintzaileak, erronkei aurre egiten eta arazoei arrakastarako bermearekin heltzeko gai direnak hezten laguntzen duten gaitasunak.

Irakasgai honen ikaskuntza ez da bereizi behar gizarte fenomenoen interpretazioan egiten den aplikaziotik; horregatik, matematikaren edukien eta kalkulurako, analisirako, neurrirako eta zenbatespenerako erabiltzen dituen prozeduren ezagutzaren eskurapenean finkatu ez ezik, bideratu behar da beste trebetasun hauek eskuratzera ere: datuak interpretatzea, funtsezko elementuak hautatzea eta horiek aztertzea, ondorio arrazoizkoak eskuratzea eta zorroztasunez argudiatzea.

Arazoen ebazpena xede nagusi bilakatzen da. Prozesuak trebetasuna landu behar du planteamendu desberdinak ulertzeko eta plan praktikoak inplementatzeko, konponbideen bilaketarako prozedurak berrikusteko eta ezagutzaren eta trebetasun matematikoen aplikazioak planteatzeko bizi errealaren egora desberdinetara; oroz gain, autonomia sustatu behar da hipotesiak ezartzeko eta kontrastatzeko, eta ebazpenerako estrategia desberdinak diseinatzeko edo antzeko egoeratan lortutako emaitzak estrapolatzeko.

Tresna teknologikoen erabilerak zeregin funtsezkoa izanen du irakasgaiaren curriculumean, bai kontzeptuak hobeki ulertzeko edo problema konplexuen ebazpenean, bai proposatutako hipotesiak zorroztasun handiagoz kontrastatzeko eta ateratako emaitzak aurkezteko eta komunikatzeko. Gainera, tresna hauek prestakuntza ematen dute bizitzan ikasten segitzeko eta sostengu ematen diote ikasgelatik kanpoko lanari.

Ahaleginak eginen dira ikasleari arreta pertsonalizatua emateko, horrek aukera ematen baitu bere indarguneak sendotzeko eta ahulguneak zuzentzeko. Arrazoibidea bultzatuko da, eta orobat saiakuntza eta simulazioa, ikaslearen zeregin aktiboa pizten baitute.

Gizarte Zientziei Aplikatutako Matematika irakasgaia bi ikasmailatan banaturik dago: haien irakaskuntza abiatu behar da kontuan harturik ikasleak DBHn zer maila lortu duen gaitasun matematikoan jarraipen hori lortzeko, DBHko matematikaren irakasgaien oinarrizko curriculumean gertatzen den bezala, ezagutzak, gaitasunak eta balioak integraturik daude, eta elementu horiek duten ezinbesteko harremana kontuan hartuta formulatu dira ikaskuntzako estandar ebaluagarriak, Batxilergoan ere bai.

Irakasgaia, edukiaren aldetik, lau multzotan egituratu da: Prozesuak, metodoak eta jarrerak matematiketan; Zenbakiak eta Aljebra; Analisia, eta Estatistika eta Probabilitatea.

"Prozesuak, metodoak eta jarrerak matematiketan" multzoa komuna eta zeharkakoa da bi ikasmailetan Gainerako edukien multzoekin batera garatu behar da eta irakasgaiaren funtsezko ardatza da. Jarduera matematikoaren oinarrizko eta ezinbesteko prozesuen gainean egituratua dago: problemak ebaztea, matematikako ikerketa proiektuak, matematizazioa eta modelazioa, lan zientifikoa garatzeko jarrera egokiak eta baliabide teknologikoen erabilera.

Lehen ikasmailako oinarrizko curriculuma osatzen duten elementuek oinarritzen dituzte eduki-multzo nagusien kontzeptu nagusiak; horrez gain, oinarri sendoa eskaintze dute bi aldagaik esku hartzen duten gizarte fenomenoak interpretatzeko. Bigarren ikasmailan sakontzen da irakasgaiak Batxilergoko curriculumari egiten dizkion ekarpenetan, inferentzia estatistikoaren, optimizazioaren eta aljebra linealaren bidez.



GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO

MATEMATIKA II Batxilergoko 2. ikasmaila

EDUKIAK EBALUAZIO IRIZPIDEAK IKASKUNTZAKO ESTANDAR EBALUAGARRIAK

1. MULTZOA.–PROZESUAK, METODOAK ETA JARRERAK MATEMATIKETAN

Problemak ebazteko prozesua planifikatzea. Jardunean jarritako estrategiak eta prozedurak:

beste problema ezagun batzuekiko lotura, aldagaien aldaketa, problema ebatzitzat jotzea etab.

Lortutako emaitzen analisia: konponbideak egoerarekin bat etortzea, prozesuarenberritze sistematikoa, ebazteko beste modu batzuk, antzeko problemak.

Problema baten ebazketan segitutako prozesuari buruz idatzitako txosten zientifikoen prestaketa eta haien ahozko nahiz idatzizko aurkezpena.

Ikerketa matematikoak egitea errealitatearen testuinguruetatik abiatuta.

Txosten zientifiko bat egitea eta aurkeztea gara- tutako ikerketaren prozesuaren, emaitzen eta ondo- rioen gainean.

Matematizazio eta modelazio prozesuen praktika, errealitatearen testuinguruetan.

Konfiantza, jarrera egokiak garatzeko eta lan zi- entifikoaren zailtasunei aurre egiteko norberaren gaitasunetan.

Ikasprozesuan baliabide teknologikoak erabiltzea, helburu hauekin:

Datuak modu ordenatuan biltzea eta antolatzea.

Zenbakizko datuen eta datu funtzionalen edo estatistikoen irudikapen grafikoak lantzea eta sor- tzea.

Ezaugarri geometriko edo funtzionalen ulerme- na eta zenbakizko kalkuluak, kalkulu aljebraikoak edo estatistikoak egitea erraztea.

Zenbait egoera matematikori buruzko simulazioen diseinua eta iragarpenen prestaketa.

Burututako prozesuei eta lortutako emaitza eta ondorioei buruzko txostenak eta dokumentuak egitea.

Informazio eta ideia matematikoak komunikatzea eta partekatzea, ingurune egokietan.

Problema bat ebazteko segitutako prozesua hitzez adierazten du, modu arrazoituan.

Arrazoitze-prozesuak eta problemak ebazteko estrategiak erabiltzea, behar diren kalkuluak egitea eta lortutako konponbideak egiaztatzea.

Txosten zientifiko bat idaztea, problema baten ebazpenean sortutako ideia matematikoen berri emateko, zorroztasun eta zehaztapen egokiekin.

Ikerketa prozesua modu egokian planifikatzea, kontuan harturik planteaturiko problemaren ikerketa zer testuingurutan garatzen den.

5. Ikerketa matematikoak sortzeko estrategiak plante- atzea, hauetatik abiatuta: a) problema baten ebazpen eta geroko sakontzea; b) propietate eta lege matematikoak; c) Sakontzea Matematikaren historiako momentu batean; hori guztia zehazturik testuinguru numeriko, aljebraiko, geometriko, funtzional, estatistiko edo probabilistikoetan.

6. Txosten zientifiko bat idaztea, egindako ikerketa prozesua biltzen duena, beharrezko zorroztasun eta zehaztasunez.

Eguneroko errealitatean matematizazio prozesuak garatzea (zenbakizko testuinguruetan, baita testuinguru geometriko, funtzional, estatistiko eta probabilistikoetan ere), errealitate problematikoetako problemak identifikatzetik abiatuta.

Modelazio matematikoa eguneroko errealitateko problemak ebazteko baliabide gisa baloratzea, erabilitako edo eraikitako ereduen eraginkortasuna eta mugak baloratuz.

Zeregin matematikoak eskatzen dituen jarrera pertsonalak garatu eta lantzea.

Egoera ezezagunei aurre egiteko blokeoak eta se- gurtasun ezak gainditzea.

Hartutako erabakiei buruzko gogoeta egitea, haien eraginkortasuna baloratuz, etorkizuneko antzeko egoeretan nola jokatu ikasteko.

Tresna teknologiko egokiak erabiltzea, modu auto- nomoan, eta zenbakizko kalkuluak, kalkulu aljebraikoak edo estatistikoak egitea, adierazpen grafikoak egitea, simulazioen bidez egoera matematikoak birsortzea edo zenbait egoera zentzu kritikoz aztertzea, kontzeptu matematikoak ulertzen edo problemak ebazten laguntzeko.

1.1. Problema bat ebazteko segitutako prozesua adierazten du ahoz, modu arrazoituan, behar den zorroztasun eta zehaztasunez.

Ebatzi beharreko enuntziatua aztertzen eta ulertzen du (datuak, datuen arteko loturak, baldintzak, behar diren ezagutza matematikoak etab.).

Ebazteko dauden problemen emaitzei buruzko kalkuluak eta aieruak egiten ditu, haien balioa kontrastatzen, eta haien erabilera eta eraginkortasuna baloratzen.

Problemak ebazteko estrategia heuristikoak eta arrazoitze-prozesuak erabiltzen ditu, eta jarraitutako prozesuari buruzko gogoeta egiten du.

3.1. Testuinguruari eta egoerari dagozkion hizkuntza, idazkera eta sinbolo matematiko egokiak erabiltzen ditu.

3.2. Argudio, justifikazio, azalpen eta arrazoibide esplizitu eta koherenteak erabiltzen ditu.

3.3. Konpondu beharreko problema edo egoerarekin edo frogatu beharreko propietate edo teoremarekin bat heldu diren tresna teknologikoak erabiltzen ditu.

4.1. Ikerketa matematiko bat gauzatzeko prozesuaren egitura ezagutzen eta deskribatzen du: ikertu beharreko problema, gaia zertan den, xedeak, hipotesiak, metodologia, emaitzak, ondorioak etab.

4.2. Ikerketa prozesua modu egokian planifikatzen du, kontuan harturik planteaturiko problemaren ikerketa zein den eta zer testuingurutan garatzen den.

Problema batzuen ebazpenean sakontzen du, galdera berriak mahai gainean jarriz, egoera edo emaitzak orokortuz etab.

Errealitatearen eta matematikaren munduko testuinguruen arteko loturak bilatzen ditu (gizateriaren historia eta matematikaren historia; artea eta matematika; gizarte zientziak eta matematika, etab.).

Ikerketaren problemarekin bat heldu diren iturriak miatzen ditu. Ikerketaren problemaren testuinguruarekin bat heldu diren hizkuntza,

idazkera eta sinbolo matematikoak erabiltzen ditu. 6.3. Argudio, justifikazio, azalpen eta arrazoibide esplizitu eta koherenteak

erabiltzen ditu. Ikerketaren problemarekin bat heldu diren tresna teknologikoak erabiltzen

ditu, bai konponbideen bilaketan bai ideia matematikoen berri ematean eraginkortasuna hobetzeko.

Ideien berri ematean ziurtasuna eta segurtasuna transmititzen ditu, eta orobat ikergaiari buruzko jakinduria erakustean.

Ikerketa prozesuaren gaineko gogoeta egiten du eta ondorioak prestatzen ditu hauek noraino lortu diren: a) problemaren ikerketaren ebazpena; b) xedeen lorpena. Orobat, ikerketak izan litzakeen jarraipenak planteatzen ditu; prozesuaren indarguneak eta ahulguneak aztertzen ditu eta agerian jartzen ditu esperientziaren gainean dituen irudipen pertsonalak.

7.1. Problema interesgarriak izan ditzaketen errealitateko egoera problema- tikoak identifikatzen ditu.

13. Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak normaltasunez erabiltzea ikasketa prozesuan, Interneten edo beste iturri batzuetan informazioa bilatu, aztertu eta au- keratuz, norberaren dokumentuak eginez, horiek erakutsi eta argudiatuz eta dokumentu horien berri testuinguru egokietan emanez elkarreragina errazteko.

Mundu errealeko eta matematiken munduko problema baten artean loturak ezartzen ditu: haren azpian d(ir)en problema matematikoa(k) eta beharrezko ezagutza matematikoak identifikatzen ditu.

Eredu matematiko egokiak erabiltzen ditu, lantzen edo eraikitzen, problema(k) ebazteko matematikaren eremuaren barrenean.

Problemaren konponbide matematikoa errealitatearen testuinguruaren barnean interpretatzen du.

Testuinguru errealean simulazioak eta iragarpenak egiten ditu, ereduen egokitzapena eta mugak baloratzeko, eta haiek eraginkorrago bihurtzeko hobe- kuntzak proposatzen ditu.

8.1. Prozesuaren gaineko gogoetak egiten ditu eta ondorioak ateratzen ditu erdietsitako lorpenez, hobetzen ahal diren emaitzez, prozesuaren gaineko irudipen pertsonalez etab.

Matematika lanerako jarrera egokiak garatzen ditu: ahalegina, jarraikita- suna, malgutasuna eta kritika arrazoituaren onarpena, ziurgabetasunez bizitzea, frustrazioarekiko tolerantzia, bere buruaren azterketa etengabea etab.

Hezkuntza mailari eta egoeraren zailtasunari dagozkien zehaztasun, arreta eta interesarekin planteatzen du erronka eta problemak ebaztea.

Jakin-mina eta ikerketa garatzen ditu, baita galderak egiteko eta erantzun egokiak bilatzeko ohiturak ere; aurkitutako emaitzak modu kritikoan berrikustea etab.

10.1. Problemak ebazteko, ikertzeko eta matematizatzeko edo modelatzeko prozesuetan erabakiak hartzen ditu, horien ondorioak baloratzen ditu, baita komenigarriak diren errazak eta erabilgarriak izateagatik.

11.1. Gauzatutako prozesuen gaineko gogoeta egiten du, haien egiturez jabe- turik; erabilitako metodo eta ideien indarra, erraztasuna eta edertasuna erabilirik; hartatik ikasirik etorkizuneko egoeretarako, etab.

12.1. Tresna teknologiko egokiak hautatzen eta erabiltzen ditu zenbakizko kalkuluak, kalkulu aljebraikoak edo estatistikoak egiteko, haien zailtasunak eskuz egitea eragozteni edo oztopatzen duenean.

Baliabide teknologikoak erabiltzen ditu funtzioen irudikapen grafikoak egiteko adierazpen aljebraiko konplexuekin eta haiei buruzko informazio kuanti- tatiboa eta kualitatiboa ateratzeko.

Irudikapen grafikoak diseinatzen ditu problemen ebazpenean segitutako prozesua azaltzeko, baliabide teknologikoak erabiliz.

12.4. Ingurune eta objektu geometrikoak sortzen ditu tresna teknologiko elka- rreragileekin ezaugarri geometrikoak erakusteko, aztertzeko eta ulertzeko.

Bere dokumentu digitalak egiten ditu (testua, aurkezpena, irudia, bideoa, soinua…), informazio esanguratsua bilatu, analizatu eta hautatzeko prozesuaren emaitza gisa, tresna teknologiko egokiekin, eta haien berri ematen die besteei eztabaidatzeko edo zabaltzeko.

Sortutako baliabideak erabiltzen ditu, ikasgelan landutako edukien hitzezko adierazpenean laguntzeko.

Baliabide teknologikoak egoki erabiltzen ditu bere ikasketa prozesua egituratzeko eta hobetzeko. Jardueren informazioa biltzen du; bere ikasketa prozesuko indarguneak eta ahulguneak aztertzen ditu eta hobetzeko gidalerroak ezartzen ditu.



2. MULTZOA.–ZENBAKIAK ETA ALJEBRA

Matrizeen ikasketa, tauletan egituratutako datuak erabiltzeko eta haiekin aritzeko tresna diren aldetik. Matrizeen sailkapena.

Eragiketak matrizeekin. Matrize baten heina. Al- derantzizko matrizea.

Gauss-en metodoa. 3 ordena bitarteko determi- nantea.

Matrizeen eragiketen eta haien propietateen aplikazioa testuinguru errealetako problemen ebazpenean.

Ekuazio linealeetako sistema baten irudikapen matriziala: ekuazio linealeetako sistemen eztabaida eta ebazpena (hiru ezezaguneko hiru ekuazio bitarte). Gauss-en metodoa.

Gizarte zientzietako eta ekonomiako problemen ebazpena.

Ezezagun bat edo biko inekuazio linealak. Ineku- azio sistemak. Ebazpen grafiko eta aljebraikoa.

Programazio lineal dimentsio bikoa. Eskualde bi- deragarria. Konponbide hoberenenen determinazioa eta interpretazioa.

Programazio linealaren aplikazioa problema sozial, ekonomiko eta demografikoen ebazpenera.

Gizarte alorreko egoeretatik heldu den informazioa antolatzea, matrizeen hizkuntza erabiliz, matrizeekin egiten diren eragiketak aplikatzea, informazio hori erabiltzeko tresna gisa.

Ohiko hizkuntzan adierazten diren problemak hizkuntza aljebraikora transkribatzea, eta horiek ebaztea halako teknika aljebraiko batzukerabiliz: matrizeak, ekuazio sistemak, ineku- azioak eta programazio lineal dimentsio bikoa, modu kritikoan interpretatuz eskuratutako konponbideen esanahia.

1.1 Matriz itxuran antolatzen du gizarte alorretik heldu den informazioa, problemak modu eraginkorragoan ebatzi ahal izateko.

1.2 Matrizeen hizkuntza erabiltzen du taulen bidez etorritako datuak interpretatzeko eta ekuazio linealeetako sistemak irudikatzeko.

1.3 Eragiketak egiten ditu matrizeekin, eta modu egokian aplikatzen ditu eragiketa horien propietateak, eskuz eta baliabide teknologikoen laguntzaz.

2.1. Aipatu murriztapenak modu aljebraikoan formulatzen ditu bizi errealeko egoera batean eta planteaturiko ekuazio linealeetako sistema (hiru ezezaguneko hiru ekuaziokoa, gehienez) posible den kasu guztietan ebazten du eta testuinguru errealetako problemak ebazteko erabiltzen du.

2.2. Programazio lineal dimentsio biko teknika grafikoak aplikatzen ditu, murriz- tapenek loturiko funtzio linealen optimizazio problemak ebazteko, eta eskuratutako emaitzak interpretatzen ditu problemaren testuinguruan.

3. MULTZOA.–ANALISIAK

Jarraitutasuna. Eten motak. Jarraitutasunaren ikasketa, funtzio elementaletan eta zatika definitue- tan.

Deribatuen aplikazioa funtzio polinomiko, arrazional eta irrazional erraz, esponentzial eta logaritmiko- en ikaskuntzara.

Optimizazio problemak, gizarte zientziekin eta ekonomiarekin ikusteko izanen dutenak.

Funtzio polinomiko, arrazional, irrazional, esponentzial eta logaritmiko errazen ikaskuntza eta irudi-

kapen grafikoa, haien lokal eta globaletatik abiatuta. Jatorrizkoaren kontzeptua. Jatorrizkoen kalkulua:

Oinarrizko propietateak. Berehalako integrala. Alorren kalkulua: Integral mugatua. Barrow-en

erregela.

Gizarte zientzietako ohiko fenomenoak modu objektibo- an analizatzea eta interpretatzea, informazioa funtzioen hiz- kuntzara itzuliz eta bere propietate bereizgarrienen azterketa kualitatiboaren eta kuantitatiboaren bidez deskribatuz.

Deribatuen kalkulua erabiltzea ondorioak ateratzeko funtzio baten portaeraren gainean, izaera ekonomiko edo sozialeko egoera errealetatik ateratako optimizazio problemak ebazteko eta aztertutako fenomenotik ondorioak ateratzeko.

Integralen kalkulua erabiltzea, zuzen eta kurba errazek mugaturiko eskualde lauetako azalerak neurtzeko, horiek erraz irudikatzen ahal direlarik berehalako integraziorako teknikak erabiliz.

1.1 Gizarte zientzietan planteaturiko problemak funtzioen bidez modelizatzen ditu, eta horiek deskribatzen hauen ikasketaren bidez: jarraitutasuna, joerak, adar infinituak, ebakidura ardatzekin etab.

1.2 Funtzio arrazional, esponentzial eta logaritmiko errazen asintotak kalkulatzen ditu.

1.3. Funtzio elemental edo zatika definitu baten puntu bateko jarraitutasuna ikasten du, limite kontzeptua erabiliz.

Funtzioak irudikatzen ditu eta adierazpen aljebraikoa eskuratzen, bere propietate lokal edo globalen gaineko datuetatik abiatuta, eta ondorioak ateratzen ditu egoera errealen ondoriozko problemetan.

Optimizazio problemak planteatzen ditu gizarte zientziekin ikusteko duten fenomenoen gainean, ebazten ditu eta eskuratutako emaitza interpretatzen testuinguruaren barnean.

3.1. Barrow-en erregela aplikatzen du funtzio elemental berehalakoen integral definituen kalkulurako.

3.2. Integral definituaren kontzeptua aplikatzen du, kurba batek edo bik mugaturiko esparru lauen azalera kalkulatzeko.

4. MULTZOA.–ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA

Sakontzea Probabilitatearen Teorian. Kolmogorov- en axiomatika. Probabilitateak gertaerei esleitzea Laplace-ren erregelaren bidez eta haien maiztasun erlatibotik abiatuta.

Esperimentu bakun eta konposatuak. Probabilita- te baldintzatua. Gertaeren mendekotasuna eta inde- pendentzia.

Guztizko probabilitatearen eta Bayesen teoremak. Hasierako eta amaierako probabilitateak eta gertaera baten egiantza.

Populazioa eta lagina. Lagin bat aukeratzeko metodoak. Laginaren tamaina eta adierazgarritasuna.

1. Probabilitateak esleitzea ausazko gertaerei esperimentu bakun eta konposatuetan, Laplace-ren erregela erabiliz, zenbaketa pertsonaletarako hainbat teknikarekin, zuhaitz- diagramekin edo kontingentzia-taulekin, probabilitatearen axiomatikarekin eta probabilitate osoaren teoremarekin konbinatua, eta Bayes-en teorema aplikatzen du gertaera bati esleitutako probabilitatea aldatzeko (hasierako probabilitatea) esperimentazioaren bidez eskuratutako informaziotik abiatuta (amaierako probabilitatea), eskuratutako zenbakizko emaitzak erabakiak hartzean erabiliz gizarte zientziekin loturiko testuinguruetan.

1.1 Gertaeren probabilitatea kalkulatzen du, esperimentu bakun eta konposatuetan, Laplace-ren erregela, Kolmogorov-en axiomatikaren ondoriozko formulak eta zenbaketa teknika desberdinak erabiliz.

1.2 Gertaeren probabilitateak kalkulatzen ditu, lagin-espazioaren partiketa osatzen duten gertaeretatik abiatuta.

1.3 Gertaera baten amaierako probabilitatea kalkulatzen du, Bayes-en formula aplikatuta.

1.4 Ziurgabetasun baldintzetan erabakiak hartzearekin ikusteko duen egoera ebazten du, aukera guztien probabilitatearen arabera.

2.1 Lagin baten adierazgarritasuna baloratzen du, hautapen prozesutik abiatuta.

2.2 Zenbatesle puntualak kalkulatzen ditu, populazioaren batez bestekorako, bariantzarako, desbiderapen tipikorako eta proportziorako, eta problema errealei aplikatzen die.

Estatistika parametrikoa. Populazio baten parame- troak eta parametro estatistikoak, lagin batetik abiatuta erdietsiak. Puntuzko zenbatespena. Batez bestekoa, eta laginaren batez bestekoaren eta laginaren proportzioaren desbiderapen tipikoa. Laginaren batez bestekoaren banaketa populazio normal batean. Lagi- naren batez bestekoaren eta laginaren proportzioaren banaketa, lagin handien kasuan.

Konfiantza‑ tarteen bidezko zenbatespena. Konfi- antzaren, errorearen eta laginaren tamainaren arteko lotura.

Konfiantza‑ tartea, desbiderapen tipiko ezaguna duen banaketa normal baten populazioaren batez bestekorako.

Konfiantza‑ tartea, eredu ezezaguneko banaketa baten populazioaren batez bestekorako eta lagin handiak direneko proportziorako.

Populazio baten parametro ezezagunak aurretik finkaturiko fidagarritasun edo errore batekin zenbatesteko prozedura estatistiko deskribatzea, laginak behar duen tamaina kalkulatuz eta konfiantza‑ tartea eraikiz desbiderapen tipiko ezaguna duen banaketa normal baten populazioaren batez bestekorako, eta lagin handiak direneko populazioaren batez bestekorako eta proportziorako.

Informazio estatistikoa modu ordenatuan aurkeztea behar den hiztegia eta irudikapenak erabiliz, eta modu kritiko eta arrazoituan aztertzea hedabideetan, publizitatean edo bestelako esparruetan agertzen diren txosten estatistikoak, arreta berezia eskainiz haien fitxa teknikoari, eta izan litez- keen errore eta manipulazioak atzemanez haien aurkezpen eta ondorioetan.

2.3. Laginaren batez bestekoari eta laginaren proportzioari loturiko probabilitateak kalkulatzen ditu, parametro egokien banaketa normalen bidez egoera bakoitzera hurbilduz, eta hori aplikatzen du egoera errealetako problemetara.

Testuinguru errealetan, konfiantza‑ tarte bat eraikitzen du desbiderapen tipiko ezaguna duen banaketa normal baten populazioaren batez bestekorako.

Testuinguru errealetan, konfiantza‑ tarte bat eraikitzen du lagin handiak direneko populazioaren batez bestekorako eta proportziorako.

Konfiantza‑ tarte bateko errorea eta konfiantza laginaren tamainarekin lotzen du eta hori elementu ezagun horietako bakoitza eta beste biak kalkulatzen ditu, eta egoera errealetara aplikatzen.

3.1. Behar diren tresnak erabiltzen ditu populazio baten parametro ezezagunak zenbatesteko eta eskuratutako inferentziak hiztegi eta irudikapen egokiekin aurkezten.

3.2. Azterketa estatistiko erraz batean, fitxa teknikoaren elementuak identifikatzen eta analizatzen ditu.

3.3. Modu kritiko eta arrazoituan analizatzen du hedabideetan eta eguneko bizitzaren beste alor batzuetan agertzen den informazio estatistikoa.




Estructura de la prueba / Probaren egitura

El examen constará de dos opciones, A y B, de las que el estudiante deberá responder únicamente a una, a su elección. Cada una de las opciones tendrá tres partes: Álgebra y Programación Lineal; Análisis; Probabilidad y Estadística. Cada parte consistirá en un ejercicio y cada ejercicio podrá tener uno o varios apartados. En cada apartado se indicará la puntuación del mismo. La suma de las puntuaciones será de 10 puntos, con una puntuación de 3 puntos para uno de los ejercicios y de 3.5 puntos para los otros dos ejercicios.

Material adicional:Se permitirá el uso de calculadoras siempre que no sean programables, ni dispongan de pantalla gráfica ni permitan la resolución de ecuaciones u operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas o integrales. Tampoco podrán almacenar datos alfanuméricos.




Al calificar las respuestas, se valorará:

- La corrección de los planteamientos.

- El conocimiento y el uso correcto de las fórmulas y conceptos involucrados.

- La claridad de las explicaciones de los pasos seguidos.

- La interpretación de los resultados obtenidos.

La nota final será la suma de las puntuaciones obtenidas en los tres ejercicios de la opción elegida.

Criterios de calificación y corrección / Kalifikatzeko eta zuzentzeko irizpideak

matemÁticas aplicadas a las ciencias sociales ii asignaturas... · matemáticas aplicadas a las...

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