matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii

Matemáticasaplicadas a lasCiencias Sociales II

Segundo curso deBachillerato

© 2003. Juan Luis Corcobado CartesDepartamento de MatemáticasI.E.S. “Universidad Laboral”Cáceres

Índice

Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss 4

Tema 2: Matrices 16

Tema 3: Programación lineal 30

Tema 4: Límites y continuidad 42

Tema 5: Derivada de una función. Aplicaciones 53

Tema 6: Probabilidad 68

Tema 7: Distribuciones binomial y normal 95

Tema 8: Inferencia estadística 112

Advertencia:

No existen las páginas comprendidas entre la 88 y la 95 debido a una modificación

del programa oficial de la asignatura, aprobada con posterioridad a la elaboración de

este material, que suprimió un tema inicialmente incluido en el temario.

Presentación

Amable lector:

Tienes en las manos unas páginas que han sido escritas para ti. Para que el tiempo del que dispones en

clase, siempre escaso para aprender tantas cosas nuevas, puedas aprovecharlo mejor, dedicándolo a pensar en

lo que oigas y a practicar con lo que se te proponga, despreocupándote de esa toma de apuntes al viejo estilo

que, en estos tiempos de Internet y tecnologías cada vez más avanzadas, parece práctica más propia del

medioevo que de este siglo XXI que avanza imparable.

Esta asignatura es asequible. Bastante asequible, podríamos decir; pero exige tu pequeño esfuerzo

cotidiano, sistemático. Si cada día trabajas un poco en los conceptos que se hayan tratado en clase, si vas

resolviendo según sean propuestos los ejercicios que figuran al final de cada capítulo, cuando llegue el final de

curso te encontrarás desahogado y en perfectas condiciones de pasar una hoja más del libro, inacabable por

otra parte, de tus conocimientos.

La asignatura se divide en tres partes, de desigual extensión e importancia. En todas ellas se parte de un

supuesto básico: Las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales no son las matemáticas de siempre. Y ello

no ha de notarse en que sean más o menos fáciles, ni en que los contenidos de unas y otras sean diferentes; ha

de notarse, y lo notarás, en que el enfoque de su enseñanza tendrá un carácter eminentemente práctico y

utilizario. Aquí, las demostraciones brillarán por su ausencia pero, en cambio, tendrás ocasión de comprobar

cómo las matemáticas, si tienen la enorme importancia que tienen, es porque con ellas puede darse solución a

problemas de muy diversa índole. No sólo los problemas de carácter físico, o relacionados con lo que

tradicionalmente se llamaron Ciencias de la Naturaleza, sino problemas de tipo económico, sociológico,

geográfico... hallan respuesta gracias a algunas de las herramientas que aquí aprenderás a manejar.

La primera parte del curso, cuyo desarrollo nos ocupará poco más de mes y medio, trata de las matrices,

los sistemas de ecuaciones y de la programación lineal. La segunda parte, de extensión algo mayor que la

anterior, la dedicaremos, fundamentalmente, a estudiar algunas de las aplicaciones del concepto de derivada; la

finalizaremos, más o menos, a mediados del mes de febrero. Y desde ese momento hasta el final de curso,

dirigiremos nuestro trabajo a repasar conceptos sobre Probabilidad que ya viste en años pasados y,

especialmente, a introducirnos en una rama de las matemáticas de extraordinaria y creciente importancia: la

inferencia estadística, de cuyas enormes y constantes aplicaciones en nuestra vida puedes tener constancia sin

más que abrir cualquier periódico.

Confiamos en que, cuando termine nuestro viaje, el esfuerzo que hayas podido hacer sea justamente

recompensado, y que al equipaje con el que lo iniciaste se haya añadido algún nuevo elemento, de tan poco

peso como inestimable valor.

El autor.

Tema 1

Sistemas de

ecuaciones lineales

Método de Gauss

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1. INTRODUCCIÓN!"('.2+"%-($%(3")"%4'(5+%(6'..'4'#(.'#(%)')%#()%(+-(3')4%(7(+-(6"8,9(#':"%-),(5+%(.'(#+&'()%()"*6'#(%)')%#(%#(;<('=,#(7(5+%(.'

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2. ECUACIONES LINEALES

Ejemplos previos

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Ecuaciones equivalentes a otra

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Ejemplo

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3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definiciones

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Otras definiciones

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Ejemplos

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Sistemas equivalentes

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Paso de un sistema a otro equivalente

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Tercer ejemplo

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5. INTERPRETACIÓN GRÁFICA

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Ejemplos

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Interpretación geométrica de los sistemas 3 x 3

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Tema 2

Matrices

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2. MATRICES DE NÚMEROS REALES

Definiciones

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Otras definiciones

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3. OPERACIONES CON MATRICES@"(+0-'$"&%0*'(+7/'+5'<%*%$'20(+"+&0*#%*/"&%>*+7/%=B(+-"$'=&"*+'*+-$%*&%-%0+-0&0+4/(#%<%&"5"(:+!B(+"5',"*#'+'(#/5%"$'20(+",A/*"(

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Definición (de suma de matrices)

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Definición (de producto de un número real por una matriz)

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Definición (de producto de matrices)

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Matriz inversa

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Cálculo de la matriz inversa

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4. MATRICES EN LAS CIENCIAS SOCIALESK020+5'&."20(+'*+,"+%*#$05/&&%>*+"+'(#'+&"-.#/,06+,"(+2"#$%&'(+"-"$'&'*+&0*+<$'&/'*&%"+'*+&%'*&%"(+&020+,"+'&0*02."6+,"+(0&%0b

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Matriz de coste de transporte

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Matrices de transición

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5. DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3

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Definiciones (determinantes de orden 2 y 3)

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Observaciones

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Ejemplos

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Regla de Cramer

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6. RANGO DE UNA MATRIZ

Definiciones

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Definición (de rango de una matriz)

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Consecuencias (transformaciones que no modifican el rango de una matriz)

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Rango de una matriz triangular

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Cálculo del rango por el método de Gauss

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Observación

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Teorema de Rouché-Fröbenius

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Tema 3

Programación lineal


1. INTRODUCCIÓNLa Programación Lineal, a cuyo estudio a nivel elemental dedicaremos el presente capítulo, constituye una de las aplicaciones más

fecundas de las matemáticas en el campo de la economía. Iniciados sus primeros pasos en el año 1941, cuando se formuló el llamadoproblema del transporte –se trataba de que llegaran a su destino el mayor número posible de barcos mercantes, tras atravesar unosmares infestados de submarinos alemanes–, hubo que esperar a 1947 para que un grupo de investigadores norteamericanos establecie-ran el enunciado tipo de Programación Lineal válido para cualquier caso particular y crearan métodos generales para resolverlo. En laactualidad, la Programación Lineal constituye una herramienta tan eficaz en el campo de la planificación industrial y de la economía engeneral que se ha llegado a decir que si todos los países subdesarrollados la utilizaran, sus productos interiores brutos (P.I.B.: Valor de laproducción anual de bienes y servicios de un país) aumentarían más del 10%.

Pero ¿en qué consiste la Programación Lineal?

En pocas palabras: Si tenemos una magnitud (el coste, el tiempo, los beneficios, etc.) que es función lineal de ciertas variables, yestas variables están sujetas a ciertas restricciones, expresadas en forma de igualdades o desigualdades lineales, lo que la ProgramaciónLineal permite es hallar los valores positivos de las variables –si es que existen– que optimizan (hacen máximo o mínimo) el valor de lafunción. Más adelante tendrás ocasión de entendernos mejor; para empezar, veamos algo que sin duda conoces ya de cursos anteriores.

2. INECUACIONES LINEALESCuestiones previas (desigualdades)

➠ La expresión 3 < 5 es una desigualdad. También son desigualdades expresiones como 4 £ 7 , 3 > 1 , –2 ! –5 ... cuyosignificado ya conocemos.

➠ Las desigualdades cumplen ciertas pppprrrrooooppppiiiieeeeddddaaaaddddeeeessss. Así, recordamos que dados tres números reales a, b y c, se verifican:

a < b a+ c < b+ c

a < b y c> 0 a c < b c

a < b y c< 0 a c > b c

" " " "

➠ A diferencia de lo que sucede cuando escribimos 3 5< (relación que siempre se verifica, al ser 3 y 5 constantes), hay des-igualdades, como la 2 6x £ o la x y+ >2 9, que sólo se verifican para ciertos valores de las variables que aparecen en ellas. Las dos sonejemplos de inecuaciones. Con una incógnita la primera y con dos la segunda. Ambas lineales, porque el exponente de las "letras" es 1.

Definiciones (inecuación lineal con una incógnita)➠ Llamaremos inecuación lineal con una incógnita a toda expresión de la forma:

a b1 1 1" <x

donde a1 y b1 son números conocidos, llamados coeficiente y término independiente, respectivamente, y donde x 1 es un número real

sin determinar llamado incógnita. También llamaremos inecuación con una incógnita a cualquier expresión como la precedente, aunqueen lugar del signo < aparezca uno cualquiera de los signos > , £ ó ! .

➠ Se llama solución de la inecuación anterior al conjunto de todos los valores a1 1 de x para los que la desigualdad es cierta.

➠ Resolver una inecuación consiste en obtener su (conjunto) solución.

Solución de una inecuación lineal con una incógnitaSupongamos que se desea resolver una inecuación lineal con una sola incógnita; por ejemplo, la inecuación:

2 6x < .Bastará con aplicar la propiedad que permite multiplicar o dividir los dos miembros de una desigualdad por un mismo número

positivo sin que cambie el sentido de la misma, para tener: 2 6 3x x< ¤ <

– 31 –


Es decir, la solución sería el conjunto:

S / = Œ <{ }x xRR 3

☞ Observa que representados los números reales sobre una recta:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

el conjunto solución es la semirrecta, o región factible, destacada en la siguiente figura:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Definiciones (inecuación lineal con dos incógnitas)➠ Llamaremos inecuación lineal con dos incógnitas a toda expresión de la forma:

a a b1 1 2 2 1" + " <x x

donde a1 y

a 2 son números conocidos, llamados coeficientes, b1 otro número conocido, llamado término independiente, y x x1 2,

dos números reales sin determinar llamados incógnitas. También llamaremos inecuación con dos incógnitas a cualquier expresión como laprecedente, aunque en lugar del signo < aparezca uno cualquiera de los signos > , £ ó !.

➠ Se llama solución de la inecuación anterior al conjunto de todos los pares ordenados de números reales ( )a a1 2, tales que

al sustituir x i por

a i la correspondiente desigualdad sea cierta.

➠ Resolver una inecuación lineal con dos incógnitas consiste en obtener su (conjunto) solución.

Solución de una inecuación lineal con dos incógnitas

Utilizando, como antes, un ejemplo, supongamos que se desea resolver la siguiente inecuación con dos incógnitas:

4 3 12x y+ <

Lo primero que haremos será obtener un cero en el segundo miembro. Basta pasar el 12, cambiando el signo, al primer miembro,para tener la siguiente inecuación equivalente a la primera:

4 3 12 0x y+ - <

Como sabes, la ecuación 4 3 12 0x y+ - = corresponde a una recta en elplano. Como se observa en la figura , tal recta divide al plano en tres regiones:

La región 1 es el semiplano que contiene a puntos como el (4, 0), el (2, 3),etc. Las coordenadas de todos ellos verifican 4 3 12 0x y+ - > . No son, pues,solución de nuestra inecuación.

La región 2 es la propia recta. En ella: 4 3 12 0x y+ - = , luego las coorde-nadas de sus puntos tampoco son solución de la inecuación.

Finalmente, la región 3, o semiplano formado por todos los puntos que, comoel (1, 1), el (2, 1), etc., verifican la desigualdad: 4 3 12 0x y+ - < . Ésos son los queestábamos buscando.

➠ La solución de la inecuación está formada por todos los puntos de la región3, a la que se llama región factible de la inecuación.

O

Región 2!(la recta)

Región 3

Región 1

Y

X

Cuestión¿Cuál sería la región factible de la inecuación: 4 3 12 0x y+ - ! ? ¿Qué sucede cuando el signo de la desigualdad sea £ ! ó ?

– 32 –


3. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITASDefiniciones

➪ Un sistema de mmmm inecuaciones lineales con 2 incógnitas es un conjunto de mmmm inecuaciones de primer grado:

a a b

a a b

a a b

1

2

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21 1 22 2

1 1 2 2

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x x

x x

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donde los símbolos a i j , b i representan números reales fijos, llamados coeficientes y términos independientes, respectivamente, y los

símbolos x i , números reales sin determinar, llamados incógnitas

(En lugar del símbolo < puede aparecer cualquier otro signo de desigualdad).

➪ Llamaremos solución [región factible] del sistema anterior al conjunto formado por todos los pares ordenados de númerosreales

( )a a1 2, [puntos del plano] tales que al sustituir

x i por a i las mmmm desigualdades del sistema se verifiquen.

Observemos que como la solución de cada inecuación es un semiplano, laregión factible del sistema será la intersección de todos esos semiplanos.

➪ Digamos, por último, que resolver un sistema de inecuaciones consiste en hallar su región factible.

Solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Utilizando, como antes, un ejemplo, supongamos que se desea resolver el siguiente sistema de dos inecuaciones con dos incógnitas:

3 2 0

2

x y

x y

+ £+ £

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1

6

La cuestión es sumamente fácil: Bastará con dibujar las regiones fac-tibles de cada inecuación, que en este caso incluirán las rectas que las limitan,al aparecer en las inecuaciones el signo =, y ver cuál es su intersección; esdecir ver qué puntos pertenecen simultáneamente a los dos semiplanos solu-ciones de cada una de las inecuaciones.

Es lo que se indica en la figura, en la que en trama fina aparecen lasregiones factibles de cada inecuación por separado y en trama más intensa laintersección de ambas.

Ejemplos

O

Y

X

3x +2y £10

x + 2y £ 6

Región factible!del sistema

1111....---- Comprueba que la región factible del sistema de inecuaciones: x y x y x y+ £ - ! ! !10 0 0 0; ; ; es el triángulo devértices (0, 0), (10, 0) y (5, 5).

2222....---- Comprueba que el sistema de inecuaciones: 2 3 6 20 3 3 2 3 3 2 12x y x y x y x x y+ £ - + £ - - £ £ - - £ -; ; ; ; no tienesolución, es incompatible.

3333 ....---- Escribe un sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas cuya región factible sea el triángulo formado por los semiejespositivos de abscisas y ordenadas y la recta de ecuación 4 5 20 0x y+ - = .

– 33 –


4. PROGRAMACIÓN LINEALVamos por fin, a través de caminos cómodos, en los que aparecerán un máximo de dos variables, a adentrarnos en los terrenos de

la Programación Lineal. No queremos ocultarte que si bien nosotros utilizaremos sólo procedimientos gráficos para la resolución deproblemas de Programación Lineal —de acuerdo con el cuestionario oficial de la asignatura—, tales métodos resultan ineficaces cuandoel número de variables que intervienen, como ocurre en la realidad, es mayor de 2. Para tales casos el procedimiento más utilizado es elllamado método del Simplex, que quizás estudies en el futuro.

Problema de la dieta❖ Cierto ganadero ha sido informado de que ha de proporcionar como dieta diaria a cada animal de su explotación 40 kilocalorías

(kc) y 45 unidades de vitaminas (uv). Un fabricante le ofrece dos tipos de piensos, AAAA y BBBB, cuyas características son éstas:

kc/kg uv/kg €/kg

AAAA

BBBB

4

10

9

5

0.35

0.50

¿Qué cantidad diaria de cada tipo de pienso habrá de comprar el ganadero para proporcionar a sus animales la dieta indicada conun coste mínimo?

La resolución del problema la efectuaremos en tres etapas:

■ 1111ªªªª eeeettttaaaappppaaaa

En ella estableceremos con la mayor precisión posible:

➀ Las variables que intervienen en el problema.➁ La función que se desea optimizar (llamada función objetivo).③ Las restricciones que han de cumplir los valores de las variables.

En nuestro caso:

➀ Las variables que intervienen en el problema son las siguientes:

x = Kg del pienso del tipo A consumidos cada día.y = Kg del pienso del tipo B consumidos cada día.

➁ La función que se desea optimizar, función objetivo, es la que da el coste diario del pienso consumido. Por consiguiente, si ladesignamos por FFFF:

FF = +0 35 0 50. .x y

③ Las restricciones que han de cumplir las variables se deducen del enunciado:

x y x y x y! ! + ! + !0 0 4 10 40 9 5 45


Determinaremos ahora qué valores de x , y satisfacen simultáneamentelas restricciones dadas; o sea, hallaremos la solución del correspondientesistema de inecuaciones.

En nuestro caso, la región factible es la indicada en la figura, y en ella elpunto PPPP es un vértice. En consecuencia, los valores de x , y que optimicen lafunción objetivo sólo podrán hallarse entre las coordenadas de los puntossituados en la región sombreada de la figura (incluidos los de la frontera).

O

Y

X

Región factible!

4 x + 10 y = 40

9x+

5y=

45

P25

7,18

7ÊËÁ

ˆ¯˜


■ 3333 ªªªª eeeettttaaaappppaaaa

Finalmente, averiguaremos qué punto(s) de entre los anteriores hace(n)que la función objetivo alcance un valor máximo o mínimo. En nuestro caso,

FF = +0 35 0 50. .x y ha de tomar un valor mínimo.

Para ello, dibujaremos varias rectas paralelas, todas ellas de ecuaciones:

0 35 0 50. .x y+ = FF

pero donde FFFF tomará distintos valores: 1 , 4 , 5 , etcétera.O

Y

X

PP

0.35 x+ 0.50 y = 4

0.35 x+ 0.50 y = 5

0.35 x+ 0.50 y = 1

➪ Observemos, por una parte, que el valor que la función objetivo toma en cada punto de la región factible coincide con el valorde FFFF en la ecuación de la recta [del conjunto de rectas paralelas] que pase por dicho punto.

➪ Pero, por otro lado, vemos que el valor de FFFF aumenta conforme las rectas se alejan del origen de coordenadas; por lo tanto, larecta que nos proporcionará el mínimo valor de FFFF será aquella que pasando por la región factible, esté lo menos alejada del origen.

¿Cuál es esta recta? La que pasa por el punto PP( , )25

7187

. Ése es, pues, el punto en el que la función objetivo se minimiza. Los

valores buscados de x e y, o cantidades de los piensos AAAA y BBBB que garantizan, a menor coste, la dieta recomendada son, por tanto:

x y= =

257

187

kg , kg

Problema de producción

Cierta editorial se dispone a lanzar al mercado dos nuevos títulos, AAAA y BBBB. Cada libro de tipo AAAA se venderá a 5 € y cada libro de tipoBBBB a 8 €. Los derechos de autor suponen un coste de 0.25 € por cada libro del primer tipo y de 0.4 € por cada libro del segundo tipo. Laeditorial desea que el importe total de esos derechos no supere los 2 000 €. Por otra parte, la Consejería de Cultura subvenciona cadaejemplar de tipo A con 0.3 € y cada ejemplar tipo B con 0.8 €, y la editorial se propone alcanzar una subvención de, al menos, 1 200 €.¿Cuántos libros de cada tipo han de editarse para que el importe de la venta sea el máximo posible?

Como antes, resolveremos el problema en tres etapas.


➀ Las variables que intervienen en el problema son las siguientes:

x = Número de libros editados del tipo AAAAy = Número de libros editados del tipo BBBB

➁ La función objetivo, que se desea maximizar:

FF = +5 8x y

③ Las restricciones que han de cumplir las variables:

x y x y x y! ! + £ + !0 0 0 25 0 4 2000 0 3 0 8 1200. . . .

o sus equivalentes, más cómodas de manejar:

x y x y x y! ! + ! + !0 0 5 8 40000 3 8 12000


Tras representar las rectas de ecuaciones: x y x y x y= = + = + =0 0 5 8 40 000 3 8 12 000. . y hacer las consideracionesoportunas, se llega a que la región factible, en la cual las variables cumplen todas las restricciones, es el cuadrilátero que aparece en lafigura de la página siguiente, incluyendo los lados. Es a dicha región, por consiguiente, a la que habremos de limitar nuestro estudio.

– 35 –


O

Y

X(8000, 0)(4000, 0)

(0, 1500)

(0, 5000)

5x + 8y = 40 000

3x + 8y = 12 000


Por último, consideradas todas las rectas que pasan por algún punto de la región factible y tienen una ecuación de la forma

5 8x y+ = F, se buscan la más alejada del origen (pues corresponderá al máximo valor posible de F) y los puntos de dicha región por losque pasa.

En nuestro caso, dicha recta es precisamente la 5 8 0000x y+ = 4 y los puntos de la región factible por los que pasa son ttttooooddddoooosssslos situados en el segmento de extremos (8 000, 0) y (0, 5 000). O sea: El importe máximo de la venta, cumpliéndose las restriccionesimpuestas, es de 40 000 €, y ello puede conseguirse haciendo que x , y tomen cualesquiera de los valores comprendidos en elsegmento que une los puntos (8 000, 0) y (0, 5000) y que sean números enteros. El editor tendrá dónde elegir: entre las 1111 000000001111 posi-bilidades indicadas en la tabla.

Ejemplares de AAAA 0 8 16 24 32 ... ... 7984 7992 8000

Ejemplares de BBBB 5000 4995 4990 4985 4980 ... ... 10 5 0

Tres observaciones importantes

1111 ªªªª ➠ Puede suceder, como en el ejemplo de la dieta, que la solución a un problema de Programación Lineal se presente enun solo vértice de la región factible. El valor buscado de la función objetivo será el que se obtenga al sustituir en ella x, y por sus valoresen tal punto.

2222 ªªªª ➠ Si la solución óptima se presenta en dos vértices, todos los puntos del segmento que los une maximizan o minimizan lafunción objetivo. Por consiguiente, cualquiera de los infinitos puntos de ese segmento proporciona una solución al problema, si bien nor-malmente sólo valdrán los de coordenadas enteras y positivas.

3333 ªªªª ➠ El método gráfico que hemos utilizado sólo es válido para problemas con un máximo de dos variables, pero aun enestos casos resulta muy engorroso de aplicar si las restricciones son numerosas. Por eso, y admitido sin demostrar que si un problemade Programación Lineal tiene solución única, ésta se halla en uno de los vértices de la región factible, en el futuro procederemos comoen el siguiente ejemplo.

Otro métodoSupongamos que se desea maximizar la función:

FF = +x y2en la que las variables están sujetas a las restricciones:

x y x y x y+ £ + ! ! !5 4 8 0 0

➠ Como los vértices de la región factible se encuentran, necesariamente, entre los puntos de corte, dos a dos, de las rectas:

rr ss tt vv: ; : ; : ; :x y x y x y+ = + = = =5 4 8 0 0

lo primero que hallaremos serán precisamente esos puntos. Una forma recomendable de disponer los cálculos, con objeto de no olvidarningún punto, consiste en construir una tabla de doble entrada:

– 36 –


rrrr ssss tttt vvvv

rrrr • • • •

ssss (4, 1) • • •

tttt (0, 5) (0. 2) • •

vvvv (5, 0) (8, 0) (0, 0) •

Naturalmente, no todos los puntos anteriores son vértices de la región factible, sino sólo aquellos cuyas coordenadas verifiquen lascuatro desigualdades que la definen. Por otra parte, una vez hallados tales vértices, bastará –en virtud de la propiedad antes admitida–con calcular el valor de la función objetivo en ellos para, visto en qué vértice toma dicha función el valor máximo o mínimo, según loscasos, tener resuelto el problema.

Es aconsejable disponer los cálculos en una tabla en la que, tras anotar todos los puntos en los que se cortan dos a dos las rectas,se indique cuáles de ellos son vértices de la región factible (por cumplir todas sus restriciones) y cuál es el valor, en los vértices, de lafunción objetivo. Bastará con echar un vistazo a tales valores para saber cuál es el óptimo. Eso es lo que hacemos en la página siguiente:

Posibles vértices de laregión factible

¿Son vertices?Valor en ellos de la

función objetivo

( 4, 1 ) Sí 6

( 0, 5 ) No •

( 0, 2 ) Sí 4

( 5, 0 ) Sí 5

( 8, 0 ) No •

( 0, 0 ) Sí 0

➠ Por tanto, los valores de x e y buscados son x = 4 , y = 1, para los cuales se obtiene el valor máximo de la funciónobjetivo: FFFF = 6 .

Problema del transporteEs el problema más clásico para ser resuelto por la Programación Lineal y admite diferentes enunciados. Veremos un caso sencillo:

Cierta empresa posee dos fábricas FFFF 1111 , FFFF 2222 y tres almacenes AAAA 1111 , AAAA 2222 , AAAA 3333 situados en diferentes ciudades. Las fábricas producen unacantidad fija de artículos iguales que han de ser transportados en su totalidad a los almacenes. Se supone que cada almacén tiene unacapacidad limitada fija por mes (demanda) y que la producción que sale de las fábricas (salida) también es constante. Admitimos tambiénque la cantidad total de artículos recibida por los tres almacenes mensualmente coincide con la producción total. Los datos concretos sonlos expuestos en la siguiente tabla:

AAAAllllmmmmaaaacccceeeennnneeeessss

AAAA 1111 AAAA 2222 AAAA 3333 Salidas de fábricas

FFFFáááábbbbrrrriiiiccccaaaassssFFFF 1111 5555 2222 1111 10

FFFF 2222 3333 3333 4444 15

Demandas 8 10 7

En ella los números en negrita indican el coste de transporte de una unidad desde cada fábrica a cada almacén. Así, el coste deltransporte de una unidad desde la fábrica FFFF 2222 al almacen AAAA 3333 es 4, etc.

Pues bien, lo que se desea conocer es cuántos artículos hay que enviar desde cada fábrica a cada almacén para que el coste detransporte mensual sea mínimo.

– 37 –


(Seguiremos el proceso habitual de resolución, aunque las tres fases las reduciremos a dos, al determinar por el procedimientoabreviado anterior los vértices de la región factible y los valores de la función objetivo en ellos).


Estableceremos, como siempre:

➀ Las variables que intervienen en el problema.

➁ La función objetivo.

③ Las restricciones a cumplir por las variables.

En este caso:

➀ Existen varias posibilidades a la hora de definir las variables que intervienen en el problema. Una de ellas es ésta:

x = Unidades transportadas desde FFFF 1111 a AAAA 1111

y = Unidades transportadas desde FFFF 1111 a AAAA 2222

Entonces, dado que la totalidad de la producción sale de las fábricas y los almacenes se "llenan", la tabla del transporte será ésta:

AAAA 1111 AAAA 2222 AAAA 3333

FFFF 1111 x y 10 – (x+y)

FFFF 2222 8 – x 10 – y (x+y) – 3

➁ La función objetivo es la que da el coste mensual del transporte. Si la representamos por FFFF :

FF = + + ( + )+ ( )+ ( )+ [( + ) ]5 2 10 3 8 3 10 4 3x y x y x y x y- - - -es decir:

FF = + + 25 2 5x y

③ Las restricciones que han de cumplir las variables se deducen del hecho de que las cantidades transportadas desde cadafábrica a cada almacén no pueden ser negativas:

x x y

y x y x y

! £ !£ + £ + !

0 8 0

10 10 3


De acuerdo con el procedimiento abreviado anterior, hallaremos en primer lugar los puntos de corte, dos a dos, de las rectas:

rr ss tt

uu vv ww

: : :

: : :

x x y

y x y x y

= = == + = + =

0 8 0

10 10 3

rrrr ssss tttt uuuu vvvv wwww

rrrr • • • • • •

ssss • • • • • •

tttt ( 0, 0 ) ( 8, 0 ) • • • •

uuuu ( 0, 10 ) ( 8, 10 ) • • • •

vvvv ( 0, 10 ) ( 8, 2 ) ( 10, 0 ) ( 0, 10 ) • •

wwww ( 0, 3 ) ( 8, –5 ) ( 3, 0 ) ( –7, 10 ) • •

– 38 –


Y, a continuación, escribiremos en una tabla todos esos puntos, veremos cuáles son vértices de la región factible (porque suscoordenadas verifiquen las seis restricciones) y calcularemos el valor de FFFF en cada uno de los que, efectivamente, sean vértices.

Posibles vértices de laregión factible

¿Son vertices?Valor en ellos de la

función objetivo

( 0, 0 ) No •

( 0, 10 ) SSSSíííí 72

( 0, 3 ) SSSSíííí 58


( 8, 10 ) No •


( 8, –5 ) No •

( 10, 0 ) No •


( –7, 10 ) No •

➠ Por tanto, el coste mínimo, pues, es 58 y corresponde a una distribución de transporte en la que x = 0 e y = 3. La tablade transporte será, en consecuencia:


FFFF 1111 0 3 7

FFFF 2222 8 7 0

Otro ejemploUn negocio de frutos secos dispone de dos almacenes y tres tiendas. La capacidad del primer almacén es de 20000 kg de frutos y

la del segundo, 30000 kg. Las necesidades de cada una de las tres tiendas son de 5000, 35000 y 10000 toneladas, respectivamente.Los costes del transporte de los frutos secos desde los almacenes a las tiendas se indican en el siguiente gráfico.

AA 11

AA 22

TT 11

TT 33

TT 22

10

20

30

20

17,5

15

Comprueba que la forma más económica de distribución de los frutos a las tiendas es la indicada por la matriz:

5000 15000 0

0 20000 10000

È

ÎÍ

– 39 –


5. EJERCICIOS1111 .... ---- Dibuja las regiones factibles correspondientes a los siguientes sistemas de inecuaciones:

2 12

4 20

8

2 3

2

0

1 2

2 2

0

0

5 47

9 2 0

2 22

0

x y

x y

x

x y

x y

x

y

x y

x y

x

y

x y

x y

x y

x

+ !+ £

£

¸

Ô

Ô

+ £+ £

£!

¸

ÔÔ

ÔÔ

- ! -!!!

¸

ÔÔ

ÔÔ

+ !- !+ £

!

¸

ÔÔ

ÔÔ/

2222 ....---- Dibuja el pentágono de vértices O(0, 0), A(0, 3), B(5, 4), C(7, 4) y D(7, 0). Escribe, a continuación, un sistema de inecuaciones delcual dicho pentágono (incluyendo los lados) sea la región factible.

3333 ....---- Minimiza la función F( , )x y x y= +3 5 , sujeta a las siguientes restricciones:

x y x y x y! ! + £ + £0 0 3 20 10

4444 ....---- Minimiza la función z x y= + , sujeta a las siguientes restricciones:

x y x y x y x y+ £ + £ + £ ! !3 26 4 3 44 2 3 28 0 0

5555 ....---- Se considera la región factible determinada por el pentágono de vértices A ( 2, 1 ) , B ( 5, 0 ) , C ( 6, 2 ) , D ( 5, 5 ) , E ( 0, 4 ) , ¿En quévértices toma la función z x y= + los valores máximo y mínimo? ¿Cuáles son dichos valores?

6666 ....---- Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1.5 g de plata, vendiéndose a 40 € cada una. Las del tipoB necesitan 1.5 g de oro y 1 g de plata y se venden a 50 € ¿Cuántas joyas ha de fabricar el buen hombre para que el importe de laventa sea máximo, si sólo dispone de 750 g de cada metal?

7777 ....---- Cierta empresa fabrica lápices de dos clases: De clase A, a 0.2 € la unidad, y de clase B, a 0.15 € la unidad. La producción diariano puede superar las 3.000 unidades y el número de lápices del tipo B que se fabriquen, que ha de ser como mínimo 1.000, nopuede superar en más de 1.000 a los que se fabriquen del tipo A. Determina las producciones diarias correspondientes a losimportes máximo y mínimo.

8888 ....---- Una empresa fabrica dos tipos de televisores: en blanco y negro y en color. Todos ellos han de pasar por los departamentos deelectrónica y de montaje, cada uno de los cuales dispone semanalmente de 100 horas. Un televisor en color necesita 3 horas en eldepartamento de electrónica y de 1 hora en el de montaje, mientras que uno en blanco y negro requiere 1 y 2 horas, respec-tivamente. ¿Qué cantidad de televisores de cada tipo han de fabricarse semanalmente para que, siendo el beneficio que produceuno de color de 50 € y uno de blanco y negro 40 €, el beneficio total sea máximo?

9999 ....---- Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Se obtiene un beneficio de 4.5 € por cada broche sencillo yde 6 € por cada broche de fiesta. En un día no se pueden fabricar más de 400 broches sencillos ni más de 300 de fiesta ytampoco pueden producirse más de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción de un día, ¿cuál esel número de broches de cada clase que conviene fabricar para obtener el máximo beneficio? Calcula la producción necesaria paraobtener el máximo beneficio si se obtuvieran 6 € por cada broche sencillo y 4.5 € por cada broche de fiesta.

11110000....---- Los alumnos de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragarse los gastos del viaje de estudios. Cada lotede tipo A consta de una caja de mantecados y cinco participaciones de lotería; cada lote de tipo B consta de dos cajas demantecados y dos participaciones de lotería. Por cada lote de tipo A vendido, los alumnos obtienen un beneficio de 11.25 € y porcada lote de tipo B, de 12.5 €. Los alumnos disponen de 400 cajas de mantecados y de 1.200 participaciones de lotería. ¿Cuántasunidades de cada tipo de lote deben vender para que el beneficio obtenido sea máximo? Calcula dicho beneficio.

11111111....---- En una granja se necesita alimentar a las gallinas con un mínimo de 30 unidades de una sustancia A y otras 30 de otra sustancia B.Hay dos tipos de pienso con tales productos, X e Y. Cada paquete de tipo X contiene 1 unidad de A y 5 de B; y cada paquete detipo Y, 5 unidades de A y 1 de B. Los primeros cuestan 1 € cada uno y los segundos 3 € ¿Cuántos paquetes hay que comprar decada tipo para dar la dieta a un coste mínimo?

– 40 –


11112222 .... ---- Una empresa constructora dispone de 93.000 m 2 de terreno urbanizable y decide construir dos tipos de viviendas unifamiliares:

unas en parcelas de 400 m 2, que albergarán a familias de una media de cinco miembros y cuyo precio de venta será de 20000 €;

otras, en parcelas de 300 m 2 en donde vivirán familias de una media de 4 miembros, y costarán 16000 €. El Ayuntamiento le

impone dos condiciones: ni el número de casas puede superar las 275 ni el número de habitantes puede ser superior a 1.200personas. ¿Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para maximizar los ingresos por ventas?

11113333 .... ---- Los 400 alumnos de cierto instituto organizan un viaje cultural a la playa más cercana. Se contrata el viaje con una empresa quedispone de 8 autobuses de 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero de sólo 9 conductores. El alquiler de cada autobús grande cuesta80 € y el de cada autobús pequeño, 60 €. ¿Cuántos autobuses de cada tipo conviene alquilar para que el coste sea mínimo?

11114444 .... ---- Una fábrica textil elabora prendas de punto de calidades A y B. Las de calidad A se fabrican con 1 unidad de lana y 2 unidades defibra sintética y las de calidad B con 2 unidades de lana y 1 de fibra sintética. Los beneficios obtenidos en la venta de las prendasson de 15 € para las de calidad A y 10 € para las de calidad B. Sabiendo que sólo se dispone de 180 unidades de lana y 240 defibra sintética y que la producción no puede ser superior a 1.000 prendas, determina cuántas prendas de cada tipo debenelaborarse para obtener un beneficio máximo. ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio?

11115555 .... ---- Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27,5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P1 y P2.Para hacer una docena de pasteles de tipo P1 necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docenade tipo P2 necesita 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P1 es0,2 € y por una docena de tipo P2 es 0,3 € Halla el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficiosea máximo.

11116666---- Dos refinerías, RRRR 1111 y RRRR 2222, suministran el gas necesario semanalmente en tres ciudades, CCCC 1111 , CCCC 2222 y CCCC 3333. La producción semanal delas refinerias RRRR 1111 y RRRR 2222 es de 30 y 26 millones de m3 de gas, respectivamente, y las necesidades de las ciudades son de 20, 22 y14 millones de m3. Sabiendo que los costes de transporte por m3 desde cada refinería a cada ciudad son los indicados en lasiguiente tabla, obtén la distribución de transporte de coste mínimo.

CCCC1111 CCCC2222 CCCC3333

RRRR 1111 8 10 7

RRRR 2222 4 3 4

11117777 .... ---- Dos fábricas de motocicletas FFFF 1111 y FFFF 2222 producen, respectivamente, 5.000 y 8.000 motocicletas, que deben distribuirse a tres cen-tros de ventas CCCC 1111 , CCCC 2222 y CCCC 3333, en cantidades de 4.500, 3.000 y 5.500, respectivamente. El coste del transporte a los puntos deventa viene dado en la tabla:

CCCC1111 CCCC2222 CCCC3333

FFFF 1111 30 25 40

FFFF 2222 35 30 35

Calcula las motocicletas que habrá que transportar desde cada fábrica a cada centro para que el transporte resulte lo máseconómico posible.

11118888 .... ---- Una empresa fabrica 3.000 y 2.000 unidades de un determinado producto en cada una de sus dos fábricas: PPPP 1111 y PPPP 2222, respecti-vamente. Dicho producto se reparte a tres almacenes AAAA 1111 , AAAA 2222 y AAAA 3333, cuyas necesidades respectivas son 1.200, 2.000 y 1.800unidades. Si los costes del transporte por unidades de las fábricas a los almacenes son los que se indican en la siguiente tabla,obtén el programa de transporte de costo mínimo.


FFFF 1111 6 8 9

FFFF 2222 8 6 10

– 41 –

Tema 4

Límites y continuidad

!"#$%&'()(*+,%$,-$./.

1. INTRODUCCIÓN0,(1/('&2-,./(3/4%&(.&1(*-4'+5(6-&(&#3&7/#+'(*+,(&'%&(*/3$%-1+5(,+'(.&.$*/4&#+'(8-,./#&,%/1#&,%&(/(%4/9/:/4(*+,(8-,*$+,&'5

-,+(.&(1+'($,'%4-#&,%+'(#;'(&8$*/*&'(6-&(1+'(#/%&#;%$*+'(</,(*4&/.+(3/4/(&1(#&:+4(*+,+*$#$&,%+()(*+,%4+1(.&(-,('$,,=#&4+(.&(8&,>?

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1/(34&'&,%/*$>,(.&(1/'(8-,*$+,&'(&1&#&,%/1&'(D1/'(3+1$,>#$*/'5(1/'(&E3+,&,*$/1&'5(1+2/4"%#$*/'BBBF5(&,(G'%&(A/#+'(/(.&%&,&4,+'(&,(/12-,+'

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&'()(3/4/(6-G('$4A&(1/($,%&24/1B

2. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN

El conjunto de los números reales

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Vocabulario básico

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Funciones reales de variable real

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Dominio y recorrido de una función

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3. EL CONCEPTO DE LÍMITE

Ejemplo previo

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Definición (de límite de una función en un punto)

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Ejemplo previo

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Definiciones (de límites laterales)

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Consecuencia

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Ejemplo

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Límite de la suma, producto y cociente de funciones

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4. LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITOJ.&#;'(.&(1+'(/,%&4$+4&'5(&E$'%&,(+%4+'(%$3+'(.&(1"#$%&'B(J-,6-&(*/./(-,+(.&(1+'(*/'+'('$2-$&,%&'(/.#$%&(-,/(.&8$,$*$>,(4$2-4+'/5

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5 INDETERMINACIONES

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6. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO

Consideraciones previas

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Ejemplos previos

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Definición (de función continua en un punto)

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Observación

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7. FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO

Definiciones (de función continua en intervalo abierto y cerrado)

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Dos propiedades

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8. EJERCICIOS

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Tema 5

Derivada de una función.Aplicaciones

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1. INTRODUCCIÓN41(,2*,"052('"('"#$%&'&("3()*2('"( 123(673( $602#5&*5"3(,2*,"0523(6&5"675$,23.(8)( $*5"#93(#&'$,&:(;73$,&6"*5":("*(<)"("3("1

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2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Primer ejemplo

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Ejemplos

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3. FUNCIÓN DERIVADA

Ejemplo previo

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Definición (de función derivada)

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Ejemplo

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Definición (de derivada segunda)

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4. DERIVACIÓN^262(&,&;&623('"(%"#:("1(,2*2,$6$"*52('"( 1&( +)*,$-*('"#$%&'&(I2:(3$601"6"*5":( 1&('"#$%&'&J('"( )*&( +)*,$-*( ((((+ EI J( 0"#6$5"( "1

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Derivadas de las funciones elementales

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Derivadas de funciones obtenidas a partir de otras

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Ejemplos

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5. CRECIMIENTO Y EXTREMOS LOCALES

Crecimiento y decrecimiento de una función

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6. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

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Tema 6

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Tema 6: Probabilidad

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1. INTRODUCCIÓN

El cálculo de probabilidades nació en 1652 en la correspondencia mantenida entre el Caballero De Meré y el filósofo, matemático e inventor Blas Pascal (1623-1662) a propósito del juego de dados. Y aún en nuestros días sigue presentándose tal teoría utilizando naipes y monedas. Sin embargo, sería un error pensar que el cálculo de probabilidades se reduce a un juego. En la actualidad, cuando la inferencia estadística desempeña un papel fundamental en las ciencias sociales, conviene saber que para obtener conclusiones válidas para una pobla-ción a partir de los datos de una muestra es necesario utilizar el concepto de probabilidad.

Como sabes, existen situaciones deterministas, en las que las condiciones iniciales de-terminan los resultados, y situaciones aleatorias, en las que iguales condiciones pueden dar lugar a diferentes resultados; así, mientras que podremos asegurar que si sueltas una maceta por el balcón al poco tiempo se habrá estrellado contra el suelo (o contra algún peatón), en cambio, si lanzas una moneda al aire resultará imposible predecir si saldrá cara o cruz. Pues bien, llamaremos experimento aleatorio al que podamos realizar en igualdad de condiciones tantas veces como queramos, sin que sea posible predecir el resultado cada vez que vayamos a efectuar una prueba, y llamaremos suceso, provisionalmente, a cada uno de los resultados que pueden presentarse al realizar una prueba de un experimento aleatorio.

Es importante observar que cuando se realiza un gran número de pruebas los experi-mentos aleatorios presentan regularidades. Así, si tras efectuar varios ensayos de un experi-mento anotamos la frecuencia relativa de cierto suceso (cociente entre el número de veces que ha ocurrido tal suceso y el número de pruebas), y ello lo hacemos en repetidas ocasio-nes, puede comprobarse experimentalmente que tal cociente tiende a estabilizarse en torno

a un número fijo al aumentar el número de pruebas. Tal hecho constituye la base del Cálculo de Probabilidades, “modelo matemático de las regularidades que se observan en las series de frecuencias correspondientes a los fenómenos aleatorios”. Gracias a él podremos asignar a cada suceso de un experimento aleatorio un número que nos medirá la duda, o la certeza, de que tal suceso ocurrirá: su probabilidad.

2. SUCESOS

Definiciones

1. Fijado un experimento aleatorio, se llama suceso elemental a cada uno de los resulta-dos que son posibles tras la realización de una prueba del experimento y admiten una forma única de realización.

Por ejemplo: excluido que tras lanzar un dado pueda quedar apoyado sobre uno de sus vértices o aristas, un suceso elemental consistirá en obtener un 1; lo designaremos por !1; otro, en obte-ner un 2, !2; etc. No es suceso elemental obtener una puntuación impar, resultado que puede darse de tres formas diferentes.

2. Llamaremos espacio muestral de un experimento aleatorio, y representaremos por E, al conjunto de todos los sucesos elementales. Si el espacio muestral es numerable (se pueden contar sus elementos) se dirá discreto; en caso contrario, continuo.

Siguiendo con el ejemplo: El espacio muestral, discreto, correspondiente al lanzamiento de un dado será: E = {!1, !2, !3, !4, !5, !6}

3. Llamaremos suceso a cualquier conjunto de sucesos elementales, es decir, a cualquier subconjunto de E, incluidos tanto él mismo como el subconjunto vacío, Ø, o suceso imposi-

ble. Si un suceso elemental ! forma parte del suceso A, escribiremos ! "A .


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Otra vez el dado: El suceso A = { !1, !2 }, por ejemplo, consistirá en obtener un 1, ó un 2.

4. Diremos que ha ocurrido un suceso A siempre que haya ocurrido cualquiera de los sucesos elementales que lo forman. Por esta razón, a E, conjunto de todos los sucesos ele-mentales, se le llama también suceso seguro.

Ejemplo (de espacio continuo)

Supongamos, lo cual es mucho suponer, que un autobús pasara por la parada exacta-mente cada 15 minutos. Un experimento aleatorio podría consistir en acudir a dicha parada y medir el tiempo que tardase en llegar el autobús. Se trataría de un experimento de espacio muestral continuo pues los sucesos elementales serían innumerables:

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(El ejemplo está traído por los pelos y adolece de los problemas propios de pretender ilustrar un concepto abstracto con una situación real. Además, E sería de tipo continuo sólo en teoría, porque en la práctica, y por muy preciso que fuera nuestro reloj, el conjunto de valores de ! sería finito.)

Operaciones con sucesos

1. Considerado un experimento aleatorio, llamaremos suceso contrario de un suceso A al suceso, A’, consistente en que no ocurra A; es decir, A’ es el conjunto formado por todos los sucesos elementales que no están en A.

Ejemplo: Supuesto que nos dedicásemos a lanzar un dardo a un blanco y que, por malos que fuésemos, siem-pre lo clavásemos en el rectángulo E, si el suceso A con-sistiera en clavar la flecha en el círculo, el suceso A’ con-sistiría en clavar la flecha en la zona gris.

2. Se llama unión de dos sucesos A y B y se representa por A !B al suceso consistente en que uno al menos de ellos se realice; es decir, A !B está formado por todos los sucesos elementales pertenecientes a uno al menos de los sucesos A o B.

Ejemplo: Sigamos con las flechas. Si el suceso A es el anterior y el suceso B el consistente en clavar la flecha en el correspondiente círculo, la unión de los sucesos A y B consistirá en clavar el dardo el cualquier punto del re-cinto en blanco

3. Se define la intersección de dos sucesos A y B y se representa por A !B como el suceso consistente en que se realicen tanto A como B; es decir, está formado por todos los sucesos elementales comunes a A y B.

Ejemplo: La intersección de los sucesos A y B de la figura consistirá en que la flecha quede clavada en cual-quier punto de la zona rayada.

4. Dos sucesos A y B se dicen incompatibles si al ocurrir uno cualquiera de ellos no puede ocurrir el otro; es decir: A y B son incompatibles si y sólo si: A !B = " .


71

Ejemplo: Los sucesos A y B representados a la de-recha, por seguir con el juego de los dardos, son incom-patibles. No hay forma de clavar la flecha simultánea-mente en ambos círculos; si acertamos en uno de los blancos no lo haremos en el otro.

5. Si A y B pueden ocurrir simultáneamente, o sea, si su intersección no es el suceso imposible, se dice que son compatibles.

Otro ejemplo

Sea el experimento aleatorio consistente en sacar una carta de una baraja española de 40 naipes y los sucesos: A = obtener una espada. B = obtener un caballo. Entonces:

• A’ consiste en sacar un oro, una copa o un basto.

• A !B consiste en sacar una espada o un caballo.

• A y B son sucesos compatibles.

• A !B consiste en obtener el caballo de espadas.

Observación: Cuando se estudian estos asuntos con más rigor ha de precisarse qué tipos de sucesos se pueden considerar, ya que si el espacio muestral es continuo, el conjunto de todos sus subconjun-tos es demasiado amplio. Nosotros consideraremos sólo experimentos de espacio muestral finito y podremos tomar como suceso cualquier subconjunto de E.

3. PROBABILIDAD

Una experiencia previa

Dijimos en la introducción que para el estudio de los fenómenos aleatorios es importan-te considerar ciertas regularidades que aparecen tras efectuar un gran número de pruebas. Nosotros hemos realizado, con la ayuda de un ordenador, la siguiente experiencia.

En una urna hemos colocado cinco bolas, iguales en to-do, salvo en el color. Tres de ellas eran blancas y dos negras. A continuación hemos extraído una bola, hemos visto su color y la hemos devuelto a la urna. Y hemos repetido esa operación un total de 10 veces. Ha salido bola blanca en 5 ocasiones. Ése ha sido el primer ensayo o conjunto de prue-bas.

El segundo conjunto de pruebas ha consistido en extraer bola, devolviéndola a la urna cada vez que se anotaba su color, 20 veces. Ha vuelto a salir bola blanca en 5 ocasiones. Lo hemos anotado.

En el tercer conjunto de pruebas hemos extraído bola 30 veces; en el cuarto, 40… en el décimo, 100, en el undécimo hemos sacado bola 200 veces, después 300, y así hasta el vigé-simo ensayo, en el que hemos extraído una bola 2.000 veces. En esta última ocasión salió bola blanca 1.181 veces.

A continuación hemos calculado la frecuencia relativa del suceso extraída una bola de

la urna, es blanca, en cada uno de los veinte ensayos. Es decir, hemos calculado el cociente entre el número de veces que ha salido bola blanca en cada ensayo y el número de extrac-ciones de que dicho ensayo constaba. Por último, hemos representado dichas frecuencias relativas en el siguiente gráfico:


72

El gráfico muestra algo ya anunciado: la frecuencia relativa de un suceso tiende a esta-

bilizarse en torno a un número fijo al aumentar el número de pruebas. En tal verdad de ca-rácter empírico, conocida como ley de azar —aunque quizás fuera mejor hablar de hipótesis

de azar, por tratarse de algo indemostrable— tiene su base la Teoría de la Probabilidad. La probabilidad de un suceso constituirá una idealización del número al que hemos llamado frecuencia relativa. Convendrá por ello mencionar algunas propiedades de ésta, pues es ra-zonable que en la definición de probabilidad se incluyan como exigencias lo que en el caso de la frecuencia relativa son propiedades fácilmente comprobables.

(Por cierto: El número al que tienden las frecuencias relativas de nuestra experiencia es 0'6, o sea, 3/5. Y recuerda que había tres bolas blancas de un total de cinco…)

Frecuencia relativa. Propiedades

Supongamos que tras efectuar N pruebas de un experimento aleatorio un suceso A ha ocurrido nA veces. Se define la frecuencia relativa de A en dicha muestra de N pruebas me-diante la igualdad:

f

r( A) =

nA

N

Como consecuencia de la definición anterior resulta que:

1. Para cualquier suceso A y cualquier número de pruebas:

0 ! f

r( A) ! 1

2. Si E es el suceso seguro:

f

r(E) = 1

3. Si B es otro suceso, incompatible con A, que en las N pruebas ha ocurrido nB veces:

f

r(A !B) =

nA+ n

B

N=

nA

N+

nB

N= f

r(A) + f

r(B)

Definición (de probabilidad)

Considerado un experimento aleatorio, llamaremos probabilidad de un suceso A a un número, P(A), obtenido de tal manera que se cumpla:

P(A) ! 0, cualquiera que sea el suceso A.

P(E) = 1, es decir, el suceso seguro ha de tener probabilidad igual a la unidad.

Si A y B son incompatibles, entonces: P(A !B) = P(A) + P(B)


73

Observaciones

1.- La primera de las condiciones anteriores se expresa a veces como 0 ! P(A) ! 1 , que guarda una mayor semejanza con la correspondiente propiedad de la frecuencia relativa; como veremos, de las tres condiciones exigidas se deduce que P(A) ! 1 (ningún suceso puede tener probabilidad mayor que 1), por lo que no es necesario imponer dicho requisito expresamente.

2.- La probabilidad de un suceso, que es un número comprendido entre cero y uno, se expresa a menudo en forma de porcentaje, y así diremos que un suceso tiene una probabili-dad del 80%, por ejemplo, queriendo decir que su valor es 0'8.

Propiedades de la probabilidad

Si hemos logrado asignar a cada suceso A de un experimento una probabilidad P(A), se habrá de verificar:

P(!) = 0, o sea, el suceso imposible tiene probabilidad nula.

P(A') = 1! P(A), cualquiera que sea el suceso A.

Si A y B son compatibles, entonces: P(A !B) = P(A) + P(B) " P(A #B)

Observa que de la igualdad P(A) + P(A') = 1 se deduce que:

La probabilidad de cualquier suceso ha de ser menor o igual que 1.

Las propiedades anteriores no son difíciles de demostrar:

• La primera se deduce de que cualquiera que sea el suceso A, como A y Ø son incom-patibles, se tendrá: P(A) = P(A !") = P(A) + P(") , luego: P(") = 0

• La segunda es consecuencia de que siendo un suceso A y su contrario A' incompati-bles y tales que: A ! A' = E , resulta: 1= P(E) = P(A ! A') = P(A) + P(A')

• En cuanto a la tercera, se tiene:

A = (A !B)" (A !B')

B = (A !B)" (A'!B)

A "B = (A !B)" (A !B')" (A'!B)

y como (A !B) , (A !B') y (A'!B) son incompatibles dos a dos:

P(A) = P(A !B) + P(A !B')

P(B) = P(A !B) + P(A'!B)

P(A "B) = P(A !B) + P(A !B') + P(A'!B)

Despejando en la primera igualdad P(A !B') ; en la segunda P(A'!B) , y llevando ambos valores a la tercera, resulta, finalmente:

P(A !B) = P(A) + P(B) " P(A #B)


74

4. CÓMO ASIGNAR PROBABILIDADES

Llegados aquí, el paso siguiente es el más delicado: cómo asignar probabilidades. A tal fin pueden seguirse básicamente dos procedimientos, que dan lugar a las probabilidades lla-madas a posteriori y a priori, respectivamente.

Probabilidades a partir de las frecuencias relativas

Este procedimiento, basado en la hipótesis de estabilidad de las frecuencias relativas, consiste en determinar experimentalmente las probabilidades de los sucesos anotando sus frecuencias relativas tras realizar un gran número de pruebas. Ese modo de proceder, único posible en la mayoría de las aplicaciones reales del cálculo de probabilidades, es normal-mente correcto. Las probabilidades así obtenidas se llaman probabilidades a posteriori.

Ejemplo

Coge una chincheta y lánzala al aire primero en una tanda de 10 lanzamientos, luego en otra de 20, después, de 30… veces y anota la frecuencia relativa, en cada grupo de lanza-mientos, del suceso consistente en que quede con la punta hacia arriba. Haz la gráfica de esas frecuencias relativas. ¿Se aproximan éstas cada vez más a algún número? ¿Cuál dirías que es la probabilidad de dicho suceso?

Probabilidades a partir de casos igualmente probables: Ley de Laplace

Este segundo procedimiento, limitado a experimentos en los que el espacio muestral E está formado por n sucesos elementales:

E = !

1,!

2,!

3... !

n{ }

consiste en admitir el llamado postulado de indiferencia, esto es, en aceptar que no existien-do ninguna razón que favorezca la realización de uno de los sucesos elementales respecto de los otros, todos ellos son equiprobables:

P(!

1) = P(!

2) = P(!

3) = ... = P(!

n)

Aceptada tal hipótesis, como los sucesos !

i son incompatibles dos a dos y, además:

E = !

1"!

2"!

3" ..."!

n

resulta:

P(E) = P(!

1) + P(!

2) + P(!

i) + ...+ P(!

n) = 1

y, por consiguiente:

P(!

i) =

1

n

Considerado, ahora, un suceso A, bastará con determinar los h sucesos elementales que

lo formen (podemos suponer que son !

1,!

2...!

h):

A = !

1,!

2...!

h{ } para poder escribir:

P(A) = P(!

1) + P(!

2) + ...+ P(!

h) =

h

n

La probabilidad de un suceso vendrá dada por el cociente entre el número de casos fa-

vorables a la verificación de dicho suceso y el número de casos posibles, que es la clásica Regla de Laplace. (De una probabilidad así calculada se dice que es una probabilidad a prio-

ri porque para ser establecida no necesita de experimentación previa).


75

Regla de Laplace:

Probabilidad de un suceso =Núm. de casos favorables

Núm. de casos posibles

Ejemplos

1.- Lanzamos un dado. Considerados los seis sucesos elementales !

i, donde

!

i consis-

te en obtener i puntos, se tendrá: P(!

i) =

1

6. Entonces, si el suceso A consiste, por ejemplo,

en obtener puntuación impar, se tendrá:

P(A) = P(!

1"!

3"!

5) = P(!

1) + P(!

3) + P(!

5) =

3

6

resultado al que también hubiéramos llegado dividiendo el número de casos favorables a la obtención de puntuación impar entre el número de casos posibles.

2.- Lanzamos al aire tres monedas. Los casos posibles son ocho. Los casos favorables a obtener 2 caras, son tres. La probabilidad de obtener dos caras será, por consiguiente 3/8.

5. ALGO DE COMBINATORIA

La aplicación de la regla de Laplace se ve facilitada si se manejan con soltura algunos conceptos de combinatoria ya estudiados en otros cursos. Los recordamos brevemente en lo que sigue, pero con el consejo de que para resolver un problema de probabilidad, más que de utilizar fórmulas irreflexivamente, trates de hacer un razonamiento específico para el caso del que se trate.

Variaciones sin repetición

Supongamos que disponiendo de cuatro elementos distintos: a, b, c y d, quisiéramos formar tantos grupos como fuera posible con tres de ellos, considerando distintos dos de tales grupos cuando, aun constando de los mismos elementos, éstos se hallaran en distinto orden. Una forma de proceder sería construir el siguiente diagrama en árbol:

Tendríamos entonces las variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3. Su número se representa por V4,3 y, como se observa:

V

4,3= 4 !3 !2

En general, si disponiéndose de m elementos distintos entre sí se forman todos los gru-pos posibles con n de dichos elementos (supuesto m ! n ), considerando dos grupos diferen-tes cuando difieren en algún elemento o en el orden en que éstos aparecen, se obtienen las llamadas variaciones de orden n de los m elementos. Su número es:

V

m,n= m ! (m "1) ! (m " 2) ! ... ! (m " n +1)


76

Variaciones con repetición

Supongamos que disponiendo de cuatro elementos distintos: a, b, c y d, quisiéramos formar tantos grupos como fuera posible con tres de ellos, pudiéndose repetir los elementos y considerando distintos dos de tales grupos cuando, aun constando de los mismos elemen-tos, éstos se hallaran en distinto orden. Una forma de proceder sería construir el siguiente diagrama en árbol:

Tendríamos entonces las variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3. Su número se representa por VR4,3 y, como se observa:

VR

4,3= 4 !4 !4 = 4

3

En general, si disponiéndose de m elementos se forman todos los grupos posibles con n de dichos elementos, pudiéndose éstos repetir y considerando dos grupos diferentes cuando difieren en algún elemento o en el orden en que éstos aparecen, se obtienen las llamadas variaciones con repetición de orden n de los m elementos. Su número es:

VR

m,n= m

n

Permutaciones sin repetición

A las variaciones sin repetición de orden m de m elementos (en cada una aparecen todos los elementos y sólo se distinguen en el orden en que éstos aparecen) suele llamárselas per-

mutaciones de m elementos, utilizándose el símbolo Pm para indicar su número:

P

m= m ! (m "1) ! (m " 2) ! ... !3 !2 !1

producto que también se representa por m! (factorial de m).

(En el caso particular de que m = 0, se define 0! = 1).

Combinaciones sin repetición

Hasta ahora el orden en el que aparecían los elementos de un grupo influía en el resulta-do final; y así, por ejemplo, AMOR y ROMA son palabras distintas aunque estén formadas por las mismas letras. Pero no siempre sucede eso: Si las letras a, b, c y d representan cuatro preguntas de un examen, de las que hay que elegir tres, daría lo mismo elegir las preguntas a, b y c que las c, a y b, o las c, a y b, etc. Es decir, las 6 variaciones de cuatro elementos tomados de tres en tres: abc, acb, bac, bca, cab, cba quedan reducidas a una sola. El núme-ro total de grupos que podrían formarse con este nuevo criterio sería el resultado de dividir V4,3 entre 6; es decir, entre P3.


77

Llamaremos combinación de m elementos tomados de n en n a cada uno de los grupos que pueden formarse con n de entre los m elementos (supuesto m ! n ), considerándose dos grupos diferentes sólo si se distinguen en algún elemento. Su número, al que representare-mos por Cm,n, viene dado por la igualdad:

Cm,n

=V

m,n

Pn

=m ! (m "1) ! (m " 2) ! ... ! (m " n +1)

n ! (n "1) ! (n " 2) ! ... !3 !2 !1

Es fácil comprobar —basta con multiplicar numerador y denominador por (m – n)!— que el cociente anterior puede expresarse de esta otra forma, conocida como número combi-

natorio m sobre n:

Cm,n

=m

n

!

"#$

%&=

m !

n ! (m ' n) !

Ejemplo

En la Lotería Primitiva hay que acertar 6 números de entre 49. Para asegurarse el primer premio hay que efectuar sólo C49,6 apuestas, o sea, 13.983.816

6. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Los conceptos de probabilidad condicionada y de independencia estocástica son de im-portancia capital en la teoría de probabilidades. Para definir la probabilidad condicionada procederemos de forma semejante a como hicimos al definir la probabilidad: nos apoyare-mos en las propiedades de las frecuencias relativas. Adelantemos que si con la probabilidad simple lo que pretendíamos era medir la duda o la certeza de que se produjera un suceso sin más, con la probabilidad condicionada lo que intentaremos medir será la duda (o la certeza) de que ese suceso se verifique, supuesto que se haya verificado otro.

Cuestión previa

Supongamos que tras efectuar N pruebas de un experimento aleatorio, cierto suceso A ha ocurrido nA veces y, de entre esas nA veces que ha ocurrido A, otro suceso B ha ocurrido nAB veces. Se tendrá:

fr(A !B) =

nAB

N=

nAB

nA

"n

A

N=

nAB

nA

" fr(A)

Es decir:

nAB

nA

=f

r(A !B)

fr(A)

cociente que mide la frecuencia relativa con la que ocurre B, en relación con el número total de veces en que ocurre A. De dicho cociente surge el concepto de probabilidad condicional.

Probabilidad condicional

Considerados un experimento aleatorio y uno de sus sucesos, A, al que corresponde una probabilidad P(A) > 0 , llamaremos probabilidad condicional de otro suceso, B, respecto

del suceso A, al número:

P(B / A) =P(A !B)

P(A)


78

Ejemplos

1.- Supongamos que de la urna de la figura extrae-mos una bola. Vamos a considerar los siguientes suce-sos y sus probabilidades:

A: La bola extraída es par. P(A) =

2

5

B: La bola extraída es blanca. P(B) =

3

5

Antes de saber si la bola elegida es par o impar, la probabilidad que asignamos a que sea blanca es 3/5. Pero supongamos que ya supiéramos que la bola elegida es par. En ese caso, parece razonable que la probabilidad que le asignásemos al suceso la bola es blanca fuera 1/2 y no 3/5. Notemos que:

P(B / A) =P(A !B)

P(A)=

1 / 5

2 / 5=

1

2"

3

5

Como vemos, P(B / A) ! P(B) , por lo que diremos que A y B son dependientes.

[Es fácil probar que, en este caso, también es P(A / B) ! P(A) ]

2.- Supongamos ahora que la composición de la ur-na fuera ésta otra. Entonces:

A: La bola extraída es par. P(A) =

3

6

B: La bola extraída es blanca. P(B) =

2

6=

1

3

En este caso:

P(B / A) =P(A !B)

P(A)=

1 / 6

3 / 6=

1

3

Al ser P(B / A) = P(B) diremos que los sucesos A y B son independientes.

[Es fácil probar que, en tal caso, también es P(A / B) = P(A) ]

Probabilidad compuesta

La fórmula de la probabilidad condicional de un suceso B respecto de otro A:

P(B / A) =P(A !B)

P(A)

puede ser escrita de esta otra forma:

P(A !B) = P(A) " P(B / A)

expresión llamada fórmula de la probabilidad compuesta.

Para el caso de tres sucesos se tendría:

P(A !B!C) = P([A !B]!C) = P(A !B) " P[C / (A !B)] = P(A) " P(B / A) " P[C / (A !B)]

Y para el caso de cuatro sucesos se llegaría a:

P(A !B!C! D) == P(A) " P(B / A) " P[C / (A !B)] " P[D / (A !B!C)] procediéndose de forma semejante para cuando fueran cinco, seis sucesos, etcétera.


79

Sucesos dependientes e independientes

Hemos visto antes que si A y B son sucesos de un cierto experimento aleatorio, en gene-ral es P(B / A) ! P(B) , P(A / B) ! P(A) y se dice que A y B son sucesos dependientes.

Se tendrá, recordemos: P(A !B) = P(A) " P(B / A)

Por el contrario, si P(B / A) = P(B) y P(A / B) = P(A) diremos que A y B son sucesos independientes.

En este caso: P(A !B) = P(A) " P(B)

En general, diremos que n sucesos A1, A2 … An son mutuamente independientes si la probabilidad de que se verifiquen simultáneamente cualquier número de ellos es igual al producto de sus probabilidades respectivas.

7. PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES

Ejemplo

Celebradas elecciones en una ciudad, los partidos X1, X2 y X3 obtuvieron el 40%, el 35% y el 25%, respectivamente, de los concejales. Se sabe que la probabilidad de que un miembro del partido X1 sea mujer es 0,3; la de que lo sea alguien del partido X2, 0,2; y la de que lo sea alguien del partido X3, 0,4. Se celebra la primera sesión del ayuntamiento y hay que elegir por sorteo un concejal para que la presida. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte elegida una mujer?

Considerados los sucesos: B: La persona elegida es mujer, Ai: La persona elegida per-

tenece al partido Xi (i = 1, 2, 3), se tiene:

P(A1) =

40

100P(A

2) =

35

100P(A

3) =

25

100

P(B / A1) = 0,3 P(B / A

2) = 0,2 P(B / A

3) = 0,4

Por otra parte, los sucesos A1, A2 y A3, incompatibles dos a dos, cumplen:

A

1! A

2! A

3= E (suceso seguro)

Además, B = B!E , luego:

P(B) = P[B! (A

1" A

2" A

3)] = P[(B! A

1)" (B! A

2)" (B! A

3)]

y al ser los sucesos B! A

i incompatibles dos a dos:

P(B) = P(B! A

1) + P(B! A

2) + P(B! A

3)

Por último, aplicando la fórmula de la probabilidad compuesta:

P(B) = P(B / A

1) ! P(A

1) + P(B / A

2) ! P(A

2) + P(B / A

3) ! P(A

3) =

29

100

Caso general

La fórmula anterior es generalizable al caso de n sucesos A1, A2, A3 … An , incompati-bles dos a dos, tales que

A

1! A

2! A

3! ...! A

n= E . Siendo B otro suceso, se tendrá:

P(B) = P(B / A

1) ! P(A

1) + P(B / A

2) ! P(A

2) + P(B / A

3) ! P(A

3) + ...+ P(B / A

n) ! P(A

n)

igualdad que se conoce como fórmula de la probabilidad total.


80

Teorema de Bayes

En las condiciones del ejemplo anterior, ¿cuál sería la probabilidad de que habiendo re-sultado elegida una mujer perteneciera al partido X2, es decir,

P(A

2/ B) ? Se tendría:

P(A2

/ B) =P(A

2!B)

P(B)=

P(B! A2)

P(B)=

P(B / A2) " P(A

2)

P(B / A1) " P(A

1) + P(B / A

2) " P(A

2) + P(B / A

3) " P(A

3)=

7

25

En el caso general de n sucesos A1, A2, A3 … An , incompatibles dos a dos y tales que

A

1! A

2! A

3! ...! A

n= E , siendo B otro suceso, se tendría

P(Ai/ B) ==

P(B! Ai)

P(B)=

P(B / Ai) " P(A

i)

P(B / A1) " P(A

1) + P(B / A

2) " P(A

2) + ...+ P(B / A

n) " P(A

n)

La importancia de la igualdad anterior, conocida como fórmula de Bayes estriba en que mediante ella pueden calcularse probabilidades a posteriori; esto es, probabilidades de lo

que podrían considerarse las causas, conocidos los efectos.

8. PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS SUCESIVOS

Hasta ahora sólo hemos considerado experimentos simples, que no pueden descompo-nerse en otros más sencillos. Pero a menudo un experimento consiste en la realización, uno tras otro, de varios experimentos más sencillos. Tal cosa sucede si, por ejemplo, lanzamos una moneda y, luego, un dado. Los espacios muestrales en estos casos pueden construirse mediante diagramas de árbol, como se ve en el siguiente diagrama:

¿Cómo asignar probabilidades a los sucesos de los experimentos compuestos?

Para responder, distinguiremos entre dos supuestos: que los experimentos simples que forman el experimento compuesto sean físicamente independientes o dependientes. Dedica-remos las siguientes líneas a precisar esta idea.


81

Experimentos independientes

Sea un experimento consistente en la realización sucesiva de otros dos experimentos, ta-les que el resultado que se produzca al realizar el primero de ellos no modifique las condi-ciones en que se efectúa el segundo. Y sean E y F los correspondientes espacios muestrales. Pues bien:

Si (! ,") es un suceso elemental correspondiente al experimento compuesto, tomaremos como base la fórmula de la probabilidad compuesta para sucesos independientes para establecer como probabilidad de (! ,") :

P(! ,") = P(! ) # P(")

En el ejemplo anterior, al tratarse de experimentos independientes, en tanto que el resul-tado del lanzamiento de la moneda no influye en las condiciones en que se efectúa el lanza-miento del dado, se tendría, pongamos por caso:

P(C,5) = P(C) ! P(5) =

1

2!

1

6=

1

12

La probabilidad de un suceso que consista en la realización de varios sucesos elementa-les del experimento compuesto la calcularemos como hasta ahora, sumando las probabilida-des de cada uno de dichos sucesos elementales. Así, en nuestro ejemplo:

P[(C,3), (X,3),(X,6)] = P(C) ! P(3) + P(X) ! P(3) + P(X) ! P(6) =

1

2!

1

6+

1

2!

1

6+

1

2!

1

6+ =

1

4

Si uno o los dos sucesos que forman el suceso del experimento compuesto no son ele-mentales, el problema se resuelve expresando tal suceso como unión de los oportunos suce-sos elementales. En nuestro ejemplo, la probabilidad de obtener cara y puntuación impar, pongamos por caso, sería:

P[(C,3), (X,3),(X,6)] = P(C) ! P(3) + P(X) ! P(3) + P(X) ! P(6) =

1

2!

1

6+

1

2!

1

6+

1

2!

1

6=

1

4

Observa que esta probabilidad coincide con el producto de las probabilidades de uno y otro suceso por separado:

P(C,puntuación impar) = P(C) ! P(puntuación impar) =

1

2!

3

6=

1

4

Experimentos dependientes

Cuando en un experimento compuesto de otros dos el resultado del primero sí modifi-que las condiciones en que se efectúa el segundo, procederemos de forma semejante a la anterior, pero tomando como base la fórmula de la probabilidad compuesta para sucesos dependientes, entendiendo la probabilidad condicional en el segundo experimento como la probabilidad de que habiendo ocurrido cierto suceso en el primer experimento, en el segun-do ocurra otro. Veamos un ejemplo sencillo.

Ejemplo

Se tienen un dado y dos urnas. En la primera, U1, hay 2 bolas negras (N) y 1 bola blan-ca (B); en la segunda, U2, 1 bola negra y otra blanca. El experimento que vamos realizar consiste en lanzar el dado, en primer lugar, y observar su puntuación. Si sale un 1 ó un 2, (suceso A1), extraeremos una bola de U1. Si la puntuación obtenida es superior a 2 (suceso A2), la bola la extraeremos de U2:


82

Como la probabilidad de que la bola que se extraiga sea blanca o negra se modifica se-gún sea la puntuación obtenida tras lanzar el dado, se trata de experimentos dependientes. Las probabilidades condicionadas, de acuerdo con la regla de Laplace, serán:

P(B / A

1) =

1

3; P(B / A

2) =

1

2; P(N / A

1) =

2

3; P(N / A

2) =

1

2

donde P(B / A

1) , por ejemplo, es la probabilidad de que habiéndose obtenido un 1 ó un 2 al

lanzar el dado y, en consecuencia, habiendo extraído una bola de U1, ésta sea blanca.

Llegados aquí, las probabilidades que pueden interesar son de uno de estos dos tipos:

1.- Probabilidad de obtener una puntuación igual a 1 ó 2 y bola negra, por ejemplo Bas-taría con que calculásemos:

P(A

1,N) = P(A

1) ! P(N / A

1) =

2

6!

2

3=

2

9

2.- Probabilidad de que la bola extraída sea negra, también por ejemplo. Basándonos en la fórmula de la probabilidad total, escribiríamos:

P(N) = P(N / A

1) ! P(A

1) + P(N / A

2) ! P(A

2) =

2

3!

2

6+

1

2!

4

6=

5

9

Si prefiriésemos ayudarnos de diagramas de árbol observaríamos que para calcular P(B), por ejemplo, bastaría con sumar las probabilidades de llegar a B por todos los cami-

nos posibles.


83

Observaciones finales

Lo dicho líneas atrás es fácilmente generalizable al caso de experimentos compuestos de más de dos experimentos simples. Y, en particular, al caso, bastante frecuente, de que el experimento que efectuemos consista en realizar repetidamente un mismo experimento sim-ple. El caso más común puede ser el de la extracción, una tras otra, de varias bolas de una urna. Según se trate de extracciones con devolución (cada bola extraída se reintegra a la urna antes de extraer la siguiente) o sin devolución, estaremos ante una composición de experi-mentos independientes o dependientes.

Así, por ejemplo, si de una urna en la que hay 4 bolas blancas (B), 2 rojas (R) y 6 negras (N), se extraen una tras otra, con devolución, tres bolas, la probabilidad de (R, B, B) será:

P(R, B, B) = P(R) ! P(B) ! P(B) =

2

12!

4

12!

4

12

En cambio, si la extracciones se hicieran sin devolución, la probabilidad de ese mismo suceso sería:

P(R, B, B) = P(R) ! P(B/R) ! P[B/(R,B)] =

2

12!

4

11!

3

10

Añadiremos, para finalizar, que el experimento que consiste en extraer una tras otra va-rias bolas de una urna, sin devolución, o varias cartas de una baraja, también sin devolución, es equivalente, a todos los efectos, al consistente en sacar simultáneamente dichas bolas o dichos naipes.


84

7. EJERCICIOS

1.- Se extrae una carta de una baraja española y se consideran los sucesos: A = Sale una sota. B = Sale una espada. Di qué sucesos elementales forman los sucesos:

A !B , A'"B , A "B' , A !B'

2.- A y B son tales que P(A) =

3

4, P(B') =

2

3, P(A !B) =

1

4. Halla P(A') y P(A'!B).

3.- Se lanzan 2 dados. Siendo A el suceso la suma de puntos es par y B el al menos se ob-

tiene un uno, calcula P(A !B) .

4.- Un jugador empedernido se dirigió a Galileo extrañado de que al lanzar tres dados la suma 10 apareciera con más frecuencia que la 9, cuando, según él, los casos favorables a la suma 9 serían seis (126, 135, 144, 225, 234, 333) y los favorables a 10 (136, 145, 226, 235, 244, 334) también serían seis. ¿Qué opinas tú sobre eso?

5.- De una urna que contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras se extraen simultáneamente 3 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean blancas? ¿Y de que sean de distinto color? ¿Y la de que dos sean rojas y la otra negra?

6.- Un profesor distraído escribe tres cartas a tres amigos diferentes y, al introducirlas en los sobres, lo hace al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que cada uno de sus amigos reci-ba su carta? ¿Y la de que ninguno reciba la suya?

7.- En cierto país, la probabilidad de que un hombre de 25 años llegue a los 75 años es de 0,8. Calcula la probabilidad de que si elegimos tres hombres de 25 años de dicho país: a) Sólo uno llegue a los 75 años. b) Al menos uno llegue a los 75 años.

8.- De una baraja española de 40 naipes se extraen simultáneamente 3 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo palo?

9.- ¿Cuál es la probabilidad de que lanzando una moneda 12 veces salga al menos una ca-ra? ¿Y la de lograr 12 caras o 12 cruces?

10.- Calcula la probabilidad de que en un grupo de diez personas haya dos, al menos, que cumplan años el mismo día.

11.- De una urna en la que hay cuatro bolas blancas y seis negras se extraen una tras otra, con devolución, cinco bolas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar tres blancas?

12.- Una caja contiene cinco lámparas eléctricas, de las que dos están defectuosas. Si pro-bamos una tras otra hasta localizar las dos defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de sus-pender el proceso en la tercera prueba?

13.- El problema que el Caballero de Meré propuso a Pascal consistía, más o menos, en ave-riguar cuántas veces había que lanzar un par de dados para que la probabilidad de obte-ner un 6 doble fuera mayor que la de no obtenerlo. ¿Cuál es la respuesta?

14.- Se tiene una baraja española de 40 naipes y se extraen uno tras otro, sin devolución, tres de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as, un rey y otro as, en ese orden?

15.- Una urna contiene 10 bolas blancas, 6 negras y 4 rojas. Si se extraen tres bolas con re-emplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos blancas y una roja?

16.- Un examen consiste en elegir al azar 2 temas de entre los diez del programa y desarro-llar uno de ellos. Un alumno sabe 6 temas. ¿Qué probabilidad tiene de aprobar el exa-men? ¿Qué probabilidad tiene de saberse uno de los temas elegidos y el otro no?


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17.- Un aparato eléctrico está constituido por dos componentes A y B. Sabiendo que hay una probabilidad igual a 0,58 de que no falle ninguno de los componentes y que en el 32% de los casos falla B no habiendo fallado A, determina la probabilidad de que en uno de tales aparatos no falle la componente A.

18.- Calcula la probabilidad de que un lanzador de arco acierte en un blanco, sabiendo que puede hacer tres intentos y que la probabilidad de acierto en cada intento es 0'25.

19.- Un alumno hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5. Se pide: a) Probabilidad de que pase al menos una prueba. b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba. c) ¿Son las pruebas sucesos independientes? d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera.

20.- Las probabilidades que tienen tres personas de resolver cierto problema de probabilida-des son 1/3, 1/4 y 1/5, respectivamente. Calcula la probabilidad de que, propuesto tal problema a las tres personas: a) el problema sea resuelto; b) el problema sea resuelto exactamente por dos personas.

21.- El 30% de las ratas inyectadas con una sustancia mueren antes de los 2 días, y el 60% sobreviven 3 días. Calcula la probabilidad de que una rata que ha sobrevivido 2 días so-breviva 3 días.

22.- Se dispone de tres urnas: la A que contiene dos bolas blancas y cuatro rojas, la B con tres blancas y tres rojas; y la C con una blanca y cinco rojas. a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella. ¿Cuál es la probabilidad de que esta bola sea blanca? b) Si la bola extraída resulta ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?

23.- En cierto curso de inglés se han matriculado el doble de chicas que de chicos. Sabiendo que el 25% de las mueres fuman y que no lo hace el 60% de los varones, determina la probabilidad de que seleccionada al azar una persona de ese curso sea fumadora.

24.- Una urna contiene 6 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas. Si se extraen tres bolas con reem-plazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto color? ¿Y la de que sean del mismo color?

25.- Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resultan ser blancas. Halla la pro-babilidad dad de que la urna elegida haya sido la A.

26.- Se dispone de 3 urnas: la A que contiene dos bolas blancas y cuatro rojas, la B con tres blancas y tres rojas; y la C con una blanca y cinco rojas. a) Se elige una urna al azar y se extraen de ella dos bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean rojas? b) Si las dos bola extraídas son rojas, ¿cuál es la probabilidad de que procedan de la urna B?

27.- Una urna contiene tres bolas blancas y cinco negras. Otra, dos bolas blancas y tres ne-gras. Se extrae una bola de la primera urna, se introduce en la segunda y, a continua-ción, se extrae bola de ésta última. Calcula la probabilidad de que esta bola sea blanca. ¿Y si la primera bola se hubiera extraído de la segunda urna y la segunda de la primera?

28.- En cierta ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene los ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cabellos castaños? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?


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29.- En un país, el 12% de la población padece cierta enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar la enfermedad, pero no es totalmente fiable, ya que da positiva en el 90% de los casos de personas realmente enfermas y también da positiva en el 5% de personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha da-do positiva?

30.- En tres máquinas, A, B y C, se fabrican piezas de la misma naturaleza. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es, respectivamente, 1%, 2% y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina, y se elige una pieza al azar, que resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina A?

31.- Una caja A contiene dos bolas blancas y dos rojas, y otra caja B contiene tres blancas y dos rojas. Se pasa una bola de A a B y después se extrae una bola de B, que resulta blan-ca. Determina la probabilidad de que la bola trasladada haya sido blanca.

32.- Una urna A contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna B, 6 blancas y 4 negras. Ele-gimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resultan ser negras. Halla la probabi-lidad de que la urna elegida haya sido la B.

33.- Tengo dos urnas, dos bolas blancas y dos bolas negras. Se desea saber cómo debo dis-tribuir las bolas en las urnas para que, al elegir una urna al azar y extraer de ella una bo-la al azar, sea máxima la probabilidad de obtener bola blanca. La única condición exigi-da es que cada urna tenga al menos una bola.

34.- Sean A y B dos montones de cartas. En A hay ocho oros y cinco i y, en B, cuatro oros y siete espadas. Sacamos dos cartas del mismo montón y resulta que ambas son espadas. Halla la probabilidad de que las hayamos sacado del montón B.

35.- El 60% de los alumnos de un instituto son chicas. Fuman el 40% de las chicas y el 30% de los chicos. Se ve a cierta persona en unos lavabos, escondiéndose para la práctica de tan nefasto vicio. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

36.- Escogidas cinco personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas hayan nacido en el mismo día de la semana (es decir, en lunes, martes, etc.)? ¿Y la de que hayan nacido en el mismo mes?

37.- Dos jugadores (A y B) inician cierto juego con 3 ! cada uno. Al finalizar cada partida, el ganador recibe 1 ! del perdedor. Sabiendo que A tiene probabilidad 0,6 de ganar cada partida y que el juego finaliza cuando alguno de los dos se queda sin dinero, a) ¿cuál es la probabilidad de que A tenga 200 ! tras jugar 2 partidas? b) ¿cuál es la probabilidad de que A tenga 4 ! tras jugar 3 partidas? c) ¿cuál es la probabilidad de finalizar el juego tras jugar 3 partidas?

38.- A partir de la información recogida en el censo municipal de cierta ciudad, se ha deter-minado que un 40% de sus residentes tienen menos de 30 años, y que un 5% del total de personas con menos de 30 años, tienen menos de 10 años. Si se elige al azar una perso-na en dicha ciudad y denotamos por X su edad en años cumplidos obtén: a) P (X " 10) b) P(10 # X < 30).

39.- En una empresa figuran en nómina un total de 1000 personas, de las cuales 350 son mu-jeres. Sabiendo que los transportes públicos son utilizados para acudir al trabajo, por un 40 % de los varones, y no son utilizados por el 25 % de las mujeres, obtén la probabili-dad de que elegida al azar una persona en dicha empresa, resulte ser usuaria de los transportes públicos para acudir a su trabajo.


87

40.- El personal de cierta empresa está constituido por un 60% de personal obrero, un 25% de personal técnico, siendo el resto personal administrativo. A todos los trabajadores de dicha empresa se les pregunta si estarían dispuestos a admitir una reducción en el núme-ro de horas semanales de trabajo con la consiguiente disminución económica en su nó-mina. Contesta afirmativamente un 40% del personal obrero, un 30% del personal técni-co y un 60% del personal administrativo. Si seleccionamos al azar un trabajador en esa empresa, determina la probabilidad de que: a) Haya contestado afirmativamente. b) Per-tenezca al personal administrativo y haya contestado negativamente.

41.- El equipo directivo de cierta empresa del sector de la hostelería está constituido por 25 personas, de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda; si sale cara selecciona a una mujer y si sale cruz a un hombre. Sa-biendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés, determina la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés.

42.- En un laboratorio se estudia el comportamiento de ciertos ratones ante una vacuna. El 60% de los ratones son machos y el resto hembras. Por experiencias anteriores se sabe que la probabilidad de que uno de los ratones macho reaccione ante la vacuna es 0,25, y la de que reaccione una hembra 0,4. Se elige un ratón al azar y se comprueba que no ha reaccionado ante la vacuna. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hembra?

43.- En un estudio realizado en cierta universidad se ha determinado que un 20% de sus es-tudiantes no usan los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 65% de los estudiantes que utilizan los transportes públicos también hacen uso del comedor univer-sitario. Calcula la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa univer-sidad resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario.

44.- Una empresa dedicada a la fabricación de componentes eléctricas somete su producción a un control de calidad. En el proceso de control la componente ha de superar tres con-troles (C1, C2 y C3, en ese orden). El control C1 la rechaza con probabilidad 0,15 o la pa-sa al control C2, quien a su vez la rechaza en el 7% de los casos o la pasa al control C3. Finalmente, en C3 se rechaza con probabilidad 0,02 o se etiqueta como correcta. Deter-mina la probabilidad de que una componente eléctrica seleccionada al azar en la pro-ducción de dicha empresa, sea rechazada.

45.- El ganado ovino de una región es sometido a un control sanitario para comprobar que está libre de cierta enfermedad infecciosa. En el proceso de control cada animal es so-metido a las pruebas P1, P2 y P3 (en ese orden). Por la experiencia se sabe que en el 95% de los casos P1 da resultado negativo, que 10 de cada 100 ovejas sometidas a P2 dan re-sultado positivo y que, con probabilidad 0,03, P3 da resultado positivo. Sabiendo que si una prueba da resultado positivo el animal es sacrificado, determina la probabilidad de que una oveja sometida a dicho proceso de control no sea sacrificada.

46.- Los hábitos de estudio de un estudiante son: si estudia una noche, con probabilidad 0,25 lo hace la noche siguiente y, si no estudia una noche, con probabilidad 0,6 lo hace la no-che siguiente. Cierto lunes por la noche lanza un dado y si sale 4 ó 6 estudia. Teniendo en cuenta sus hábitos de estudio ¿qué probabilidad hay de que estudie el miércoles si-guiente por la noche?

Tema 8

Distribuciones binomial

y

normal

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1. INTRODUCCIÓN1*,+/,('%#),2.#.3),+#$'3".#$+,/.#,#+%"+#,),3"#$%"&'(")*+#,+#$.34#$"(.#5,6+,()*#"3+%.&.,'*.,7.%".&/+,+#$.34#$"(.8,#+,)&#+%7.&.,9':

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2. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Ejemplo

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Otro ejemplo

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3. PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓNI)-),7+-)#8, /.#,3"#$%"&'(")*+#,3+,2%)&.&"/"3.3,#)*,#+-+@.*$+#,.,3"#$%"&'(")*+#,3+, <%+('+*(".#, %+/.$"7.#=,C)3%4.-)#,3+("%8,#"*

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Definición (media de una variable aleatoria discreta)

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Observación

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Definiciones (varianza y desviación típica)

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4. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ejemplo

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Definición (distribución binomial)

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Consecuencias

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5. ALGUNAS APLICACIONES

Primer ejemplo

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Segundo ejemplo

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Ajuste de la binomial a una distribución de frecuencias

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Ejemplo

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6. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Variable aleatoria continua

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Una experiencia previa

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Definición (distribución normal)

Z.,3"#$%"&'(";*,3+,2%)&.&"/"3.3+#,()%%+#2)*3"+*$+,.,/.,('%7.,#"D'"+*$+,%+("&+,+/,*)-&%+,3+,3"#$%"&'(";*,*)%-./8,0,#+,3+#"D*.%>,2)%llll GGGG""""-&&&&HHHH=,6',-+3".,0,3+#7".(";*,$42"(.,#)*,"D'./+#,.,"""",0,&&&&8,%+#2+($"7.-+*$+=,1*,('.*$),.,/.,+J2%+#";*,./D+&%."(.,3+,/.,<'*(";*8,2)3+-)#2%+#("*3"%,3+,+//.8,3.3),+/,(.%>($+%,2%>($"(),9'+,2%+$+*3+-)#,3.%,.,+#$.#,/4*+.#=

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7. INTERVALOS CARACTERÍSTICOS

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8. RELACIÓN BINOMIAL–NORMAL1J"#$+*,)(.#")*+#,+*,/.#,9'+,$+*":*3)#+,9'+,?.//.%,2%)&.&"/"3.3+#,&"*)-"./+#8,/)#,(>/('/)#, #)*,-'0, /.&)%")#)#, 08, #"*, +-&.%D)8

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Tema 9

Inferencia estadística

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Tipos de muestreos

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3. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Distribución de medias muestrales

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Teorema central del límite (TCL)

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Ejemplo

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Intervalos de confianza

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Intervalos de centro una media muestral

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Relación entre nivel de confianza, error admisible y tamaño de la muestra

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Distribución muestral de proporciones

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Otro ejemplo

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Estimación de una proporción

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Determinación del tamaño de la muestra para un nivel de confianza

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Primer caso

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Segundo caso

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Contraste de hipótesis para el caso de la moneda

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Contraste de hipótesis para el caso de los estudiantes

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Último ejemplo de contraste de hipótesis para la media

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Último ejemplo de contraste de hipótesis para la proporción

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matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii

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