matematica i. teoria de conjunto

7/23/2019 Matematica I. Teoria de conjunto

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Desarrollo

UNIDAD II

Teora de Conjuntos

1.-Conjunto:

En matemticas, un conjunto es un concepto fundamental, y como tal noadmite denicin en trminos de conceptos ms fundamentales. A veces se lopresenta como un concepto autoevidente, o por medio de sinnimos. Porejemplo, a veces se dice que un conjunto es una coleccin de objetos. Porobjeto aqu no debe entenderse slo las entidades fsicas, como las mesas y lassillas, sino todo objeto en el sentido ms amplio de la palabra mesas, sillas,personas, ideas, creencias, len!uajes, letras, otros conjuntos, etc. A los objetosque pertenecen a un conjunto se los llama miembros o elementos del conjunto

2.-Elementos

En teora de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto"o familia deconjuntos# es un objeto que forma parte de ese conjunto "o familia#.

Ejemplos:

Al escribir A $ %&,',(,)*, estamos diciendo que los elementos del conjunto Ason los n+meros &, ', ( y ). n !rupo de elementos de A sera, por ejemplo,%&,'*, el cual es un subconjuntode A.

-os elementos pueden ser conjuntos en s mismos. Por ejemplo, consideremosel conjunto $ %&,',%(,)**. -os elementos de no son &, ', (, y )/ en efecto, tiene slo tres elementos &, ' y el conjunto %(,)*.
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Familia_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Familia_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Subconjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Familia_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Familia_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Subconjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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-os elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, 0 $%rojo, verde, a1ul*, es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo, verde ya1ul.

3.-Pertenenca:es cuando un elemento 2ace parte de un conjunto. 3e

presenta con el smbolo . 4 se lee pertenece. 3i el elemento no forma partedel conjunto se presenta con el smbolo se lee que no perteneceEjemplosa-. Cuando Pertenece

3e puede decir que!-. Cuando no Pertenece

se pude decir que

".-Da#rama de $ennEstos dia!ramas se usan para mostrar !rcamente la a!rupacin de cosaselementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un crculo o un

valo

Ejemplos:

&. 5ados los conjuntos A $ % a, b, c, d, e *, $ % a, e * y 0 $ % d, f, ! *,efectuar y construir los dia!ramas respectivos

a)

Tenemos:

a% A & ' a( !( c( d( e ) * C & ' d( +( # )

A 6 0 $ % a, b, c, e *

7epresentacin !rca de la diferencia deconjuntos A y 0
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos


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!% , & ' a( e ) * C & ' d( +( # )

B - C = { a, e }

7epresentacin !rca de la diferencia deconjuntos y 0

c% A & ' a( !( c( d( e ) * , & ' a( e )

A 6 $ % b, c, d *

7epresentacin !rca de la diferencia deconjuntos A y


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c% Dados los s#uentes conjuntos: A & '2("(((1/)( , & '/(1(2(3 )( C

& ' -1(-2( /(3) constru*e los da#ramas de $enn-Euler de a%.- A,( !%.-

AC( c%.- ,C

0.-Cardnal de un Conjunto:El 0ardinal de indica el n+mero o cantidad de elementos de un conjunto, seaesta cantidad nita o innita.EjemplosA $ %&,',(,)* -a 0ardinalidad de A es i!ual a )

$ %&,',%(,)**. -a 0ardinalidad de es i!ual (

0 $ %rojo, verde, a1ul*, -a 0ardinalidad de 0 es i!ual (

P$ % ',(,8,9,&&,&(:* -a 0ardinalidad de P "los n+meros Primos#es innita

.-Conjunto !en dendo:n conjunto est bien denido, si podemos determinar claramente si unelemento dado pertenece o no a dic2o conjunto.Ejemplos:


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El conjunto de los oli!rafos a1ules est a1ules est bien denido porque a lavista de un bol!rafo se puede saber si es a1ul o no.

.-Conjunto un4ersalEl conjunto universal, que siempre representaremos con la letra "umay+scula#, es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando.

As, si 2ablamos de n+meros enteros entonces es el conjunto de los n+merosenteros, si 2ablamos de ciudades, es el conjunto de todas las ciudades, esteconjunto universal puede mencionarse e;plcitamente, o en la mayora de loscasos se da por supuesto dado el conte;to que estemos tratando, pero siemprees necesario demostrar la e;istencia de dic2o conjunto previamente.Ejemplo

o 0$%


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1/.-Interpretac8n

5entro de los conjuntos A podemos seleccionar al!unos elementos concaracterstica aun ms especiales tales como el conjunto y 0, se diceentonces que tanto como el conjunto y el conjunto 0 son subconjuntos del

conjunto A

11.-I#ualdad de Conjuntos

-a i!ualdad de conjuntos en matemticas/ dados dos conjuntoscualesquiera Ay diremos que son i!uales y lo notaremos como A $ si ambos conjuntosposeen e;actamente los mismos elementos. As pues, el cardinalde los dosconjuntos ser el mismo.

A $

"A @ # " @ A#

"; B A C ; B # "; B C ; B A#

"; B A# D66 "; B #

Por ejemplo:

3ea 0 $ %&, (, F* y G $ %&, (, F*/ podremos escribir 0 $ G. -o mismo ese;tensible a ms de dos conjuntos.

12.-Inclus8n:

Hnclusin de un conjunto en otro sean A y dos conjuntos. El conjunto A estincluido en el conjunto si se verica que cada elemento de A pertenece a .

13.-Complemento:

El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos quepertenecen a al!+n conjunto pero no pertenecen a A, que lo representaremos

por . Es decir
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinal


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El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal queestamos tratando, esto es, si 2ablamos de n+meros enteros, y denimos elconjunto de los n+meros pares, el conjunto complemento de los n+merospares, es el formado por los n+meros no pares. 3i estamos 2ablando depersonas, y denimos el conjunto de las personas rubias, el conjuntocomplementario es el de las personas no rubias.

En vista de que y , entonces

,

de manera que

Pero tambin

de modo que

1".-Un8n de Conjuntos

Para cada par de conjuntos A y e;iste un conjunto ninde los dos, que sedenota como el cual contiene todos los elementos de A y de . 5emanera ms !eneral, paracada conjunto 3 e;iste otro conjunto denotado como
http://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n


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de manera que sus elementos son todos los tales que . 5e

esta manera es el caso especial donde .

Es claro que el 2ec2o de que un elemento ; pertene1ca a es condicinnecesaria y suciente para armar que ; es un elemento de A o al menos de .

Es decir

Ejemplos:si tenemos los conjuntos

Entonces

10.-Intersecc8n de Conjuntos:-os elementos comunes a y forman un conjunto denominado interseccinde y , representado por . Es decir, es el conjunto que contiene atodos los elementos de A que al mismo tiempo estn en
http://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n


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.

3i dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice queson conjuntos disjuntos.Es claro que el 2ec2o de que es condicin necesaria y sucientepara armar que y . Es decir

Ejemplos si tenemos los conjuntos

Entonces

1.-D+erenca de Conjuntos

-os elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto ,

forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por . Esdecir

.

o dic2o de otra manera


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Al!unas personas preeren denotar la diferencia de y como .

na propiedad interesante de la diferencia es que

eso es porque

Ejemplos:3in importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple

1.-Conjunto por E9tens8nn conjunto est determinado por e;tensin cuando se escriben uno a unotodos sus elementos.

Ejemplos:el conjunto de los n+meros naturales menores que I

A$%&,',(,),8,F,9,J,I*

1.-Conjunto por comprens8n3e nombra una caracterstica !eneral de los elementos

EjemploA$ % conejo, vaca ,caballo*A$%Animales*A$ % ',),F,J,&=*


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A$ %K+meros Pares*

15.-El Conjunto de los Nmeros Naturales3ur!i de la necesidad de contar, lo cual se maniesta en el ser 2umano desdesus inicios. Este conjunto se caracteri1a porque tiene un n+mero innitoelementos cada elemento tiene un sucesor y todos, e;cepto el &, un antecesor.

2/.-Conjunto de los Nmeros cardnalesAl 0onjunto de los nueros naturales se le a!re! el = "cero# y se forma elconjunto de los n+meros cardinalesK = $ % =, &, ', (, ), 8, F,.....*21.-Conjunto de los Nmeros enteros L $ % ..... M(, 6', 6&, =, &, ', (,...*

El 0onjunto de los K+meros Enteros sur!e de la necesidad de dar solucin!eneral a la sustraccin, pues cuando el sustraendo es mayor que el

minuendo, esta sustraccin no tiene solucin en los 0onjuntos Katurales y

0ardinales "por ejemplo 8 M '= $ NO#. 5ebido a esto, la recta numrica see;tiende 2acia la i1quierda, de modo que a cada punto que representa unn+mero natural le corresponda un punto simtrico, situado a la i1quierda del

cero. Punto simtrico es aquel que est ubicado a i!ual distancia del cero "unoa la derec2a y el otro a la i1quierda de l#.

22.-Conjunto de los nmeros raconales

$ %....6 Q, 6 R, 6 S , =, S , R, Q,.....*

El conjunto de los K+meros 7acionales se cre debido a las limitacionesde clculo que se presentaban en el conjunto de los K+meros Katurales,

K+meros 0ardinales y K+meros Enteros. Por ejemplo, slo se puede dividir enel conjunto de los K+meros Enteros si y slo si el dividendo es m+ltiplo, distintode cero, del divisor. Para solucionar esta dicultad, se cre este conjunto, elcual est formado por todos los n+meros de la forma a ? b. Esta fraccin en lacual el numerador es a, es un n+mero entero y el denominador b, es unn+mero entero distinto de cero

23.-Conjunto de nmeros rraconalesH $ 0onjunto de K+meros 5ecimales Hnnitos no Peridicos

Este conjunto sur!i de la necesidad de reunir a ciertos n+meros que nopertenecen a los conjuntos anteriores/ entre ellos se pueden citar a las races

ine;actas, el n+mero Pi, etc. A l pertenecen todos los n+meros decimalesinnitos puros, es decir aquellos n+meros que no pueden transformarse en unafraccin. Ko deben confundirse con los n+meros racionales, porque stos sonn+meros decimales nitos, innitos peridicos e innitos semiperidicos que spueden transformarse en una fraccin

2".-;peracones en < =con enteros post4os * ne#at4os%
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numero_Pi.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numero_Pi.htm


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3uma en L conjunto de K+meros Enteros positivos y ne!ativos#

E;isten +nicamente dos casos n+meros de i!ual si!no y n+meros con si!nodistinto. -as re!las a memori1ar son las si!uientes

a%Nmeros de #ual s#no:cuando dos n+meros tiene i!ual si!no se debe

sumar y conserar el si!no.

Ejemplos6( T 6J $ 6&& "sumo y conservo el si!no#

&' T '8 $ (9"sumo y conservo el si!no#

Kumero con distinto si!no cuando dos n+meros tienen distintos si!no se deberestar y conservar el si!no del n+mero que tiene mayor valor absoluto"recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia , lo cual si!nicaque se debe considerar el n+mero sin un si!no#

Ejemplo

69 T &' $ 8 "tener &' es lo mismo que tener T&', por lo tanto, los nueros sondistinto si!no y se deben restar &' M 9 $ 8 Ncon cual si!no quedaO El valorabsoluto de 69 es 9 y el valor absoluto de T&' es &', por lo tanto . el n+meroque tiene mayor valor absoluto es el &' / debido a esto el resultado es unn+mero positivo#

8 6 68& $ 6)F " es ne!ativo por el 8& tiene mayor valor absoluto#

6&) T () $ '=

20.-7esta en ultplcac8n * d4s8n en

matematica i. teoria de conjunto

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