Teoría Matemática 3° Año E.T. n° 31 Prof.: Leal Gastón

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Escuela Técnica n° 31

Maestro Quinquela

Teoría Matemática

3 año

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Racionalización

Si un numero irracional expresado por un radical en su denominador o en su numerador, a veces

es necesario encontrar otro irracional equivalente pero sin ese radical en el denominador o

numerador.

A esa transformación se la llama racionalización del denominador o numerador, según

corresponda.

Para poder llevar a cabo esto, se debe recordar las siguientes propiedades:

(n par)

(a-b) * (a+b) = diferencia de cuadrados

Racionalizar el denominador de la siguiente expresión :

En el denominador hay un solo radical , por eso se multiplica por otro radical de modo tal que el

producto de estos factores de por resultados un numero racional. Apoyándose en la primera de la

propiedades de las mencionadas, resulta que el radical buscado es pues cumple que :

=

= 5

Por lo que , el multiplicar y dividir la expresión por , resulta:

El multiplicar y dividir por un mismo numero a una expresión es en realidad una multiplicación por

1, el elemento neutro de la multiplicación, por lo que en nada se afecta a la expresión.

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Racionalizar el denominador de la siguiente expresión:

Aquí se debe multiplicar y dividir por una expresión tal que permita, posteriormente realizar la

simplificación entre índice y exponente. Se conviene en que m es un número real distinto de cero.

Para racionalizar una expresión en la cual figure un único radical, se debe multiplicar y dividir por

otro radical en el que tanto el índice como el radicando son iguales a los del radical dado, pero el /

los exponentes de este ultimo son iguales a la diferencia índice –exponentes del radicando del

primero.

Racionalizar el denominador en la siguiente expresión:

En este caso en el denominador hay dos términos.

Teniendo en cuenta la segunda propiedad enunciada , tratamos de formar una diferencia de

cuadrados. Si tenemos el factor donde los dos términos son positivos, lo multiplicamos por el

factor que tienen un termino positivo y otro negativo y viceversa.

En el ejemplo : *

De modo que si se multiplica y divide la expresión por (4-2 , esto resulta :

Obsérvese, entonces la racionalización del denominador de la siguiente expresión:

Para racionalizar expresiones binomicas de radicales cuadráticas, se debe multiplicar y dividir la

expresión dada por el binomio de modo tal que se obtenga una diferencia de cuadrados y así

simplificar índice y exponente convenientemente.

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Números complejos

Dentro del conjunto de números reales, las raíces de índice par y radicando negativo:

=25

=25

Para que la radiación sea posible en todos los casos se crean los números imaginarios.

Definición de números complejos:

Un numero complejo se define por un par de números reales, siendo ( a;b) distintos de cero.

(a:b) : a = complejo real

b=complejos imaginario

(3;2) : 3= complejo real

2 = complejo imaginario

Representación grafica :

Z1=(3;2) = 3+2i

Z2=(2;-2)= 2-2i

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Potencia de la unidad imaginaria:

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3

= − i

i4 = 1

La potencia de la unidad imaginaria se repite de cuatro en cuatro

Para saber cuánto vale una determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4, y el

resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i22

i22 = (i4)5 · i2 = − 1

i27 = − i

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Pasaje de la forma cartesiana a la polar:

Forma cartesiana:

Z= (a+bi)

Forma polar:

Z= ( p; w) p = modulo del vector

W= Angulo

El modulo del vector se obtiene

P=

El Angulo se obtiene por la inversa de la tangente =

Tag w =

si despejamos W

W = arc tag

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Ejemplos :

Pasaje de coordenadas polares a cartesianas

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Pasar de ( p;w) a ( a+bi)

Sen W =

b= p *sen W

Cos W=

a = p * cos W

Ejemplo :

Z= ( 2;120°)

Z = ( -1+

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Función lineal

En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.

En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es

una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el

plano cartesiano como una línea recta.

Esta función se puede escribir como

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente

de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m

modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o

abajo.

En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que

es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva

la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una

aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de

la forma f(x) = mx mientras que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = mx + b

cuando b es distinto de cero.

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Encontrar la ecuacion de la recta S paralela a R, y M perpendicular a R que pase por el

punto D:

S paralela a R

Paralela : tiene la misma pendiente

Dada R : y=

x-5 p: (-3;-5)

S= m x + b

+b

+b

b = -

Si S es paralela a R la pendiente tiene que ser la misma, entonces la ecuación es :

S =

x-

M perpendicular a R

Perpendicular : tiene que tener la pendiente inversa y de signo contrario, entonces:

S= m x + b

+b

b= 4+5

b= 9

Entonces :

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M : y = -

x +9

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Dados los puntos A (4,3) B(-4,2) encontrar la ecuación de la recta que pasa por lo puntos.

Y1 = m x + b Y2 = m x + b

3= 4 *m + b 2=-4 * m + b

b = 3-4m b= 2+4m

3-4m = 2+4m

3-2=4m+4m

1=8m

reemplazando en y2

Y2: b= 2 + 4 *

b= 2+

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Función Cuadrática

Una función de la forma:

f (x) = a x ² + b x + c

con a, b y c pertenecientes a los reales y a 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.

En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función

le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Raíces : Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los

cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente

corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a

continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

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Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) =

0, entonces

ax² + bx +c = 0

Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las

propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término

de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para

resolverla podemos hacer uso de la fórmula:

Simetría

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si

conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por

el punto medio entre estos, o sea

Vértice

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su

coordenada x, que notaremos xv vale:

Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se

calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.

En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo

a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo veremos a continuación).

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Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los

coeficientes de la función de la siguiente manera:

Pasar de la forma canonica a la forma polinomica :

La fórmula de una función cuadrática también puede expresarse en forma canónica, así

y = a ( x - xv)2 + yv

donde a es el coeficiente cuadrático, y ( xv: yv) son las coordenadas del vértice.

Consideremos una función cuya fórmula está expresada en forma canónica:

f (x)= a ( x - xv)2 + yv

Aplicamos cuadrado de un binomio f (x)= a ( x2 - 2. x. xv + xv2) + yv

Aplicamos propiedad distributiva f (x) = a x2 - 2.a. x. xv +a xv2 + yv

Agrupamos los términos según las potencias de x: f(x)= a x2 - 2 a xv x + a. xv2 .yv

Así, obtuvimos una fórmula de f(x) que está expresada en forma polinómica, es decir,

en la forma: f (x) = a x2 + b x + c

Pasar de la forma poli nómica a la canoníca :

f (x) = a x2 + b x + c a y = a ( x - xv)2 + yv

y =

primero se completa cudrados: 2*a*b = -6X

como a = x entonces

2x * b = -6x

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b=

=-3

y=

resolver:

Y=

Vértice : (3;1)