teoria matematica 2 año et n 14
TRANSCRIPT
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
1
Escuela Técnica n° 14
Libertad
Teoría Matemática
2 año
Profesor: Leal Gastón
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
2
Sistema sexagesimal
Desacuerdo al sistema sexagesimal el Angulo recto vale 90° llamamos grado a la 90 aba
parte de un Angulo recto.
El Angulo agudo vale menos de 90°, el Angulo obtuso vale de 90° a 180° que es lo que vale
un Angulo llano.
En este sistema el grado vale 60 minutos y un minuto vale 60 segundos.
E l s i s tema s exages i mal es un s i s tema de num erac i ón en e l qu e c ada
un i dad s e d i v i de en 60 un i dades de orden i n fer i or , es dec i r , es s u
s i s tema de numera c i ón en b as e 60 . Se ap l i ca en l a ac tual i dad a l a
medi da del t i empo y a l a de l a ampl i tud de l os ángu l os .
1 h 60 mi n 60 s
1º 60 ' 60 ' '
Op e r ac io ne s e n e l s i s te ma se xage s imal
Su ma
1 e r pas o
Se co l oc an l as horas deb ajo d e l as h oras ( o l os grados debajo de
l os grados ) , l os mi nutos debajo de l os mi nutos y l os s egundos debajo de
l os s egundos; y s e s uman.
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
3
2 o pas o
S i l os s egundos s uman más de 60 , s e d i v i de d i cho número entr e 60 ;
e l res to s er án l os s egundos y e l coc i ente s e añad i rá a l os mi nutos .
3 e r pas o
Se ha ce l o mi s mo par a l os mi nutos .
Re sta
1 e r pas o
Se co l oc an l as horas deb ajo d e l as h oras ( o l os grados debajo de
l os grados ) , l os mi nutos debajo de l os mi nutos y l os s egundos debajo de
l os s egundos.
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
4
2 o pas o
Se r es tan l os s egundos . Cas o de qu e no s ea pos i b l e , convert i mos
un mi nuto del mi nuendo en 60 s egundos y s e l o s umamos a l os s egundos
del mi nuendo. A cont i nuac i ón res t a mos l os s egundos .
3 e r pas o
Hacemos l o mi s mo con l os mi nutos .
Mu l t ip l i cac ió n po r un n ú me r o
1 e r pas o
Mul t i p l i camos l os s egundos, mi nutos y horas ( o grados ) por e l
número.
2 o pas o
S i l os s egundos s obrepas an l os 60 , se d i v i de d i cho número entr e
60 ; e l res to s er án l os s egundos y e l coc i ente s e añ ad i rán a l os mi nutos .
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
5
3 e r pas o ·
Se ha ce l o mi s mo par a l os mi nutos .
D i v i si ón p or u n nú mer o
Di v i di r 37º 48 ' 25 ' ' entre 5
1 e r pas o
Se d i v i den l as horas ( o grados ) en tr e e l número.
2 o pas o
E l coc i ente s on l os grados y e l res to , mul t i p l i cando por 60 , l os
mi nutos .
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
6
3 e r pas o ·
Se añ aden es tos mi nutos a l os que t enemos y s e r ep i te e l mi s mo
proces o con l os mi nutos .
4 o pas o
Se añ aden es tos s egundos a l os que tenemos y s e d i v i den l os
s egundos .
Me d id a co mpl e ja
Es aquel l a que expr es a d i s t i ntas c l a s es de un i dades :
3 h 5 mi n 7s
25° 32 ' 17 ' ' .
Me d id a i n co mpl e ja o s i mp le
Se expr es a ún i camen te con una c l as e de un i dades .
3 .2 h
5 .12º.
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
7
Paso d e me di d as co mp l e jas a i n co mp l e jas
Para pas ar d e medi das compl ej as a i ncompl ejas hay que
trans formar c ada un a de l as un i dades que t enemos en l a que queremos
obtener , como res u l tado f i na l .
Pas ar a s egundos 3 h 36 mi n 42 s .
Paso d e me di d as i n co mp l e ja s a co mp l e jas
Tenemos dos cas os :
1 - S i queremos pas ar a un i dades ma yores hay que d i v i d i r .
7520 ' '
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
8
2 - S i queremos pas ar a un i dades me nores hay que mul t i p l i car .
Triángulos
Dados 3 puntos A, B y C que no pertenecen a una misma recta, se llama triangulo ABC al conjunto
de intersección de los ángulos convexos ABC
Según sus lados los triángulos se clasifican en:
Escalenos (los tres lados desiguales), isósceles (dos lados iguales), equilátero (los tres lados
iguales).
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
9
Según sus ángulos se clasifican en:
Rectángulo (con un Angulo recto), obtusángulo (con un Angulo obtuso) y acutángulo (tres ángulos
agudos)
Propiedad fundamental: la suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a dos rectos.
En ABC a +b + c = 180°
Angulo exterior: Es cada uno de los ángulos adyacentes a un Angulo interior.
b + e = 180° 180°-a= b + c 180- a = e
(e) es un Angulo exterior del triangulo ABC.
Propiedad: todo Angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los ángulos no adyacentes a
él.
e = a + c
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
10
Teorema de Pitágoras:
En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
=
a= hipotenusa
b y c = catetos
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
11
Funciones Trigonométricas:
a= hipotenusa b= cateto = c
Seno de un Angulo agudo: se llama seno de un Angulo de un triangulo rectángulo a la razón entre
el cateto opuesto a dicho Angulo y la hipotenusa.
Sen g =
Sen e =
Coseno de un Angulo agudo: se llama coseno de un Angulo agudo de un triangulo rectángulo a la
razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Cos g=
Cos e=
Tangente de un Angulo agudo: se llama tangente de un Angulo agudo de un triangulo rectángulo
a la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a dicho Angulo.
Tag g =
Tag e =
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
12
Transformación de un polinomio en dos o más factores
Esta operación se denomina comúnmente factoreo. Como su nombre lo indica es obtener una
expresión equivalente que sea igual al producto de 2 o más factores.
Estos factores pueden ser:
Numéricos, monomios o polinomios
Primer caso:
Factor común:
ax + bx + cx = x * ( a+b+c)
En este caso siempre X es el factor común se repite en los tres términos, por lo tanto es un factor
común.
El polinomio será transformado en un producto de 2 factores , uno es X que es el factor común y el
otro es ( a+b+c) que resulta de dividir cada termino por el factor común. Por supuesto que si
efectuamos la operación indicada volveríamos a tener el polinomio dado.
a
=
=x
Cuando los termino del polinomio figura uno o varios factores comunes el polinomio es igual al
producto de los factores comunes con su menor exponente por el polinomio del mismo numero
de términos que se obtiene al dividir cada termino por el factor común.
Segundo caso:
Factor por grupos:
10ax + 6bx+35ay+21by =
=2x *(5a+3b) + 7y * (5a+3b) =
= ( 5a + 3b) * (2x+7y)
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
13
En un polinomio dado no podemos sacar factor común es decir las letras no se repiten en todos los
términos. Pero estudiando el mismo vemos que podemos sacar 2x como factor común de los 2
primeros términos y 7y como factor común de los 2 últimos términos. Efectuamos esta nueva
operación de factoreo obtenemos el polinomio factoreado.
El procedimiento es el siguiente :
Se descompone el polinomio en un grupo de términos que tengan factores comunes, sacados
estos factores , se establece si el polinomio que queda dentro de cada factor es el mismo, si esto
ocurre se lo saca a su vez como factor común.
+ax –bx-ab =
= x *( x+a) – b * (x +a) =
= (x+a) * ( x-b)
Tercer caso :
Trinomio cuadrado perfecto:
Se llama así al polinomio resultante de efectuar el cuadrado de un binomio.
Por lo tanto un trinomio cuadrado perfecto debe cumplir las condiciones siguientes:
1- Tener 3 términos
2- 2 de los términos deben ser cuadrados perfectos
3- En el termino restante + o – debe ser igual a 2 veces el producto de las bases de los
cuadrados perfectos.
Si todas estas condiciones se cumplen , el trinomio se puede factoriar y será igual al cuadrado
de un binomio, cuyos términos son las bases de los cuadrados perfectos.
Si el termino no elevado al cuadrado es + será un binomio suma, si es – será un binomio
diferencia.
=
a- 36 porque:
36
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
14
= 6a
= 2
Entonces:
b- 16 = porque:
16
=
= x
Entonces:
Cuarto caso:
Cuatrinomio cubo perfecto :
Las condiciones que debe cumplir el polinomio son las sig. :
1- Tener cuatro términos
2- Dos de los términos deben ser cubo perfecto.
3- Los dos términos restantes deben ser cubo perfecto, iguales al triplo del cuadrado de la
base de uno de los cubos perfectos por la base del otro cubo perfecto.
4- Si todos los términos son + y se cumple las condiciones anteriores el polinomio se puede
factoriar y será igual al cubo de la suma de un binomio.
5- Si los términos del cuatrimonio cubo perfecto son alternados el polinomio será igual al
cubo de la diferencia de un binomio.
=
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
15
8+12x+6 = porque :
8 y son cubos perfectos, por lo tanto
= 2
Entonces :
Quinto caso.
Diferencia de cuadrados .
En caso se presenta cuando el polinomio a factoriar es un binomio diferencia, cuyos
términos deben ser cuadrados perfectos.
Cuando efectuamos el producto de un binomio suma por su diferencia obtenemos como
resultado una diferencia de cuadrados.
Por lo tanto resulta :
=
estos términos se simplifican
Entonces : =
Al factoriar una diferencia de cuadrados obtenemos el productos de dos factores , cada
uno de los cuales es un binomio, uno suma y otro diferencia, siendo sus términos las bases
de los cuadrados perfectos, ejemplo :
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
16
Por :
son cuadrados perfectos, por lo tanto:
= x
= 5
Entonces:
Transformación de un polinomio en dos o más factores
sexto caso :
Reg l a de Ruf f i n i
Para exp l i car l os pas os a ap l i car en l a reg l a de Ruf f i n i vamos a
tomar d e e jempl o l a d i v i s i ón:
( x 4 − 3x 2 + 2 ) : ( x − 3 )
1 ) S i e l po l i nomi o no es compl eto , l o compl etamos añad i endo l os
térmi nos que fa l tan con ceros .
2 ) Co l ocamos l os coef i c i entes del d i v i dendo en una l í nea.
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
17
3 ) Abajo a l a izqu i erda co l ocamos e l opues to del térmi no
i ndependendi ente del d i v i s or .
4 ) Trazamos una raya y baj amos e l p r i mer coef i c i ent e.
5 ) Mul t i p l i camos es e coef i ci ente por e l d i v i s or y l o co l ocamos
debajo del s i gu i ente térmi no.
6 ) Sumamos l os dos coef i c i entes .
7 ) Repet i mos e l proces o an ter i or .
Vo l vemos a rep et i r e l proces o.
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
18
Vo l vemos a rep et i r .
8 ) E l ú l t i mo número obten i do , 56 , e s e l res to .
9 ) E l coc i ente es un po l i nomi o de grado i n fer i or en una un i dad a l
d i v i dendo y cuyos coef i c i entes s on l os que hemos obten i do.
x3 + 3 x2 + 6x +18
E jempl o :
Di v i di r por l a reg l a de Ruf f i n i :
( x 5 − 32) : ( x − 2 )
C( x ) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16
R = 0
Ecuaciones:
Métodos algebraicos :
Generalmente estos métodos permiten eliminar una de las incógnitas transformando un sistema
de dos ecuaciones en una sola ecuación con una sola incógnita. Al resolver esta ecuación se
obtiene una de las dos raíces del sistema. Al reemplazar el valor en cualquiera de las dos
ecuaciones del sistema se obtiene la otra raíz, asi se verifican las raíces obtenidas.
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
19
Método de sustitución :
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta
incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.
Método de igualación:
Para resolver el sistema por este método se despeja de ambas ecuaciones la misma incógnita se
igualan ambas ecuaciones resultantes quedando una ecuación de 1° con una incógnita. Se
resuelve la ecuación obtenemos una de las raíces. Con el valor hallado se reemplaza en cualquier
de las ecuaciones del sistema y se obtiene la otra raíz. Se verifica los resultados.
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que
podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
20
Método por determinantes o regla de Cramer
cuando una expresión matematica o alguna regla para determinada operación resultacomplicada
la matematica recurre a deteminados esquemas que junto con las instrucciones para aplicarlas se
llaman algoritmos. Un determinante es también un algoritmo.
Supongamos la diferencia del producto de 2 factores a*d ; b*c
Esta operación se puede esquematizar de esta manera
que se llama “una determinante
de 2do orden”
Una determinante de 2do orden es igual a la diferencia de los productos de las diagonales en el
orden en que se indican:
Por ejemplo :
)-(2*3)
Un sistema de 2 ecuaciones de 1° con 2 incognitas se puede resolver empleando determinantes
del 2do orden.
Lo representamos en forma de matrices:
Teoría Matemática 2 Año E.T. n° 14 Prof.: Leal Gastón
21
Entonces, x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de
determinantes, de la siguiente manera:
y
Ejemplo :
X+2y=-1
3x-4y=-8
X =
=
Y==
=
=