teoria de conjunto (1).pdf

Smbolos E . Se lee pertenece ~ Se lee no pertenece. . = IguaL :F. . Diferente. ~ Se lee entonces. ~ Se lee si y solo si. ';/ Se lee para todo /\ . Se lee "y" V Se lee "o" . . > Significa es mayor que . < . Significa es menor que e Se lee inchlido . a: Se lee no est inchlido. . (1 Se lee interseccin u Se lee unin

Por eso el estudio de la Teora de Conjuntos es hoy en da la base fundamental de las matemticas modernas.

Es decir, en la vida diaria y para el desarrollo de las disciplinas se agrupan a los objetos o cosas en cada momento, ya sea por su forma, tamao, calidad, especie, color, etc.

Por ejemplo, si queremos estudiar el peso de los pollos con relacin al peso de los patos, para realizar dicho anlisis, todos los pollos estarn agrupados en un conjunto as como los patos en otro conjunto y analizaremos sus respecti vos elementos.

Si quisieramos realizar un estudio de objetos que poseen caractersticas co munes, hay la necesidad de agruparlos en conjuntos, ya agrupados podemos analizar y relacionarlos con otros grupos de objetos coleccionados tambin por otras caracterfsticas comunes.

Sabas que: Uno de los temas ms importantes para el desarrollo de las matemticas lo constituye la "Teora de Conjuntos". Nosotros, los seres humanos, vivimos ro deados de conjuntos: alumnos, carpetas, personas, libros, etc.

Introduccin

A .1 .t .i .r .e

El cual se lee: "A" es el conjunto cuyos elementos son: t,r,i,l,c,e

Si a este conjuntn "A" lo representamos a travs del diagrama de Venn Euler,se graficar corno:

Ejemplo 1 Al grupo de letras de la palabra "trilce", las cuales son:

t, r, i, I, c, e Si a este grupo de letras se le representa por "A", se puede escribir lo siguiente:

A= {t,r,i,l,c,e}

Tambin lo podemos representara travs del Diagrama de Venn Euler que se trata de curvas simples y cerradas.

REPRESENTACIN DE CONJUNTOS A los conjuntos generalmente se les representa por letras maysculas de nuestro alfabeto y a sus elementos por letras minsculas separadas por comas y encerradas entre llaves: { } o escribiendo entre llaves la propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto.

De acuerdo a lo ledo, puede decirse que el colegio TRILCE es un conjunto, por qu? Si es as cules son sus elementos?

NOCIN O IDEA DE CONJUNTOS Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupacin, reunin o coleccin de objetos debidamente determinados, a los cuales se les denomina elementos del conjunto.

Conjuntos

"B" cuyos elementos son los nueve primeros nmeros impares. B={ J

"A" cuyos elementos son las siete notas musicales. A={_ }

1. Utilizando las llaves, escribe los siguientes conjuntos, representados por las letras maysculas:

EJERCICIOS

i't entiendo! Un conjunto cualquiera lo podemos representar

mediante llaves o encerrado por una figura cerrada.

e={_ } e En diagrama de Venn Euler Entre llaves

Ejemplo 3 Representar al conjunto "C", cuyos elementos son las estaciones del ao; mediante llaves y el diagrama de Venn Euler.

B={_ J En diagrama de Venn Euler Entre llaves

Veamos:

Ejemplo 2 Representar al conjunto B, cuyos elementos son los nmeros impares menores que 12; mediante llaves y el diagrama de Venn Euler.

f. M = {1; 4; 6; 8; 9; 13} e. T = {2; 4; 6; 7; 8; 9}

d. Q={e,s,t,u,d,i,o} c. R={costa,sierra,selva}

b. N = {norte, sur, este, oeste} a. P = {1; 3; 5; 7; 9}

2. Representa en diagrama de Venn Eulercada conjunto:

"E" cuyos elementos son los nmeros pares mayores que 8 y menores que 20. E=L J

"D" cuyos elementos son las cinco primeras consonantes del alfabeto. D = { }

"C" cuyos elementos son los das de la semana. C=L J

iQu fcil! Si el elemento forma una parte del conjunto dir que

pertenece (E) y si no forma parte del conjunto dir que no pertenece Is )

Se tiene que: t B a B 1 B s B e B y B

B n B

Ejemplo 2: Dado el conjunto "B": B = {t,r,i,l,c,e};

A Se tiene que: .2 7 e A 8 ........ A .6 .8 .3

.7 3 e A 5 ........ A .1 1 e A 9 ........ A 6 e A 4 ........ A

Ejemplo 1: Del siguiente diagrama de Venn Euler:

La relacin de pertenencia se da de elemento a conjunto.

RELACIN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece (E) a este conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece ("')a dicho conjunto.

a. M = {do, re, mi, fa, sol, la, si} b. N = {1; 6; 9; 13; 18} c. p = {9; 15; 19; 23; 29} d. Q = {x + 2/x EN, 11x11 es impar, 6 < x < 12}

3. En cada caso construye un diagrama para cada conjunto:

a. b. 8

.11 A

h .s

.8 .15 D

A= { } A= } B= } B= _} C= __ } C= } D= }

2. Cl::>9al"Va 1 osdi agramas y esr be da'rtro de las llaves los el ernertos de cada a:nj unto.

2 B 7 e a D 9 A 5 D A 6 D p e 10 B D e A 4 A 5 D 1 e D 6 A 10 B t e u A 3 B

Escribe los signos 11e11 (pertenece) o 11~11 (no pertenece) segn corresponda: A= {a,e,i,o,u}; B = {2; 4; 6; B; 10}; C = {1; 3; 5; 7; 9}; D = {p,q,r,s,t,u}

EJERCICIOS

Dados los conjuntos:

8765 r d. 7845 c. b. 8 7 6

X 63 a. 7 4 8

X 76

2. Halla el producto y cociente segn sea el caso:

76500 - 68637

h. 87000 - 78932

g.

f. 4 3 o o o - 34525

e. 7 8 O O - 6834

d. 7 3 6 27

+ 8 3 21 c. 8 9

765 + 6 9 8 7

5876 29

+ 9 7 6 4

b. 3789 6532

+ 76

a.

l. Halla la suma y diferencia segn sea el caso:

Esto es divertido!

TAREA DOMICIUARIA

l. Observa los diagramas y escribe dentro de las llaves los elementos de cada conjunto. a. A .1 .2 A= }

.s .6 .3 B= .5 .7

B b. B

A={ } B= } C= }

.4 e

c. B

A A={ } B={ } C={ }

.1 .6 .13

d. A= } B= } C= } D={ }

Sea el conjunto "B", hallar n(B), si: B = {x/x E N; ''x" es par; 5 < x < 15} entonces: B = { } y su n(B) es: _

Dado el conjunto: A = {2; 2; 3; 3; 3; 4; 3; 2} = { } entonces: n(A) = _

Ejemplos:

CARDINAL DE UN CONJUNTO Nos indica la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto. Se denota n(A) y se lee cardinal del conjunto "A" o nmero de elementos de "A".

yse lee: "A" es el conjunto formado por los elementos "x", tal que "x" es un nmero natural e impar menor que 12.

simlxlicamente se escribe: A = {x/x E N, "x" es impar, x < 12}

b. Por Comprensin Cuando solamente se dice la caracterstica comn que tiene todos sus elementos. Veamos el ejemplo anterior.

A= {nmeros impares menores que 12}

a. Por Extensin: Cuando se nombra a cada uno de sus elementos. Ejemplo: El conjunto de los nmeros impares menores que 12 Veamos: A={~~~~~~~~~~__,

DETERMINACIN DE CONJUNTOS Los conjuntos se determinan de dos formas:

Detenninacin de conjuntos

d. D = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90}

c. e = {6; 8; 10; 12; 14; 16}

b. B = {l; 3; 5; 7; 9; 11; 13}

a. A = {l; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 2. Determine por comprensin los siguientes conjuntos:

f. F = {2x + 3/x E N, 3 < X s 9} F = { _,; n(F) = __

e. R ={es una consonante de la palabra "bilce"} R = { }; n(R) = __

d. M = {3x/x E N; 2 s; X< 7} M = { .}; n(M) = __

c. Q ={es una vocal} Q = { _,; n(Q) = --

b. S= {x/x e N, 4 < x < 10} S = { }; n(S) = __

a. P = {es una nota musical} P = { }; n(P) = __

l. Determina por extensin los siquientes conjuntos, adems sus cardinales.

EJERCICIOS

d. D = {6; 11; 16; 21; 26; 31}

c. C = {4; S; 12; 16; 20}

b. B = {5; 6; 7; S; 9; 10; 11}

a. A = {3; 6; 9; 12; 15; 18}

4. Determinar por comprensin los siguientes conjuntos:

___________ ; n(E)= __ e. E ={es una vocal de la palabra "trilce"}

d. D = {2x + 5/x E N; "x" es par, 3 < x < 9} ----------~ n(D)= __

c. e = {x2 - 3/x E N; "x" es par, 1 s x < 10} ----------~ n(C)= __

b. B = {x2 + 2/x E N, "x" es impar, x < 10} ----------~ n(B)= __

----------~ n(A)= __ a. A = {x + 3/x E N; "x'' es par, 1 < x s 9}

3. Determine por extensin los siguientes conjuntos y sus respectivos ca rd i na les.

f. F = {primavera, verano, otoo, invierno}

e. E= {do, re, mi, fa, sol, la, si}

B = {O; 1; 4; 9; 16; 25}

A= {6; 12; 18; 24; 30}

2. Determine por comprensin los siguientes wnjuntos:

a. P = {x + 5/x E N, "x" es impar, x s 7} b. Q = {3x + 6/x E N; "x" es par, 5 < x !> 12} c. R = {x2 + 3/x E N; 3 < x < 12} d. S ={es un mes del ao}

1. Determinar por extensin los siguientes conjuntos y dar su cardinal.

8 ........ R 17 ........ Q 10 ........ p 27 . ....... s 14 ........ Q 23 ........ R 5 ........ p 10 . ....... s 1 ........ s 27 ........ R 20 ........ R 23 . ....... p 6 ........ p 9 ........ R 12 . ....... R 8 s 14 ........ p 14 ........ s o . ....... s 5 p

TAREA DOMICIUARIA

------------~ n(S)= __ S = {x3/x E N,x ~3}

------------~ n(R) = __ R = {3x + 2/x E N; 4 ~X ~ 7}

___________ _, n(Q)= __ Q = {x + 4/x E N; "x'' es par, 2 < x < 9}

------------~ n(P)= __ p = {x2 + 5/x E N; X< 4}

5. Dados los siguientes conjuntos, despus de determinarlos por extensin y dar sus cardinales, escribe los signos 11E11 o 11(,;11 segn corresponda.

3. Observa los diagramas, escribe los signos "e" o "s" segn corresponda: a.

A .1 6 B 13 A 12 A 9 B .3 .10 7 e 2 e 3 e 5 B

.6 4 A 4 B e b.

e e b D n t B B s A t e

D e D q A m A

D = {l; 2; 5; 10; 17}

e = {l; 4; 7; 10; 13; 16}

Indique cinco ejemplos de conjuntos unitarios.

Ejemplo: N ={es un stelite natural de la Tierra} Veamos: N = {Luna}

Ejemplo: P = {x/x E N, 5 < x < 7} Veamos: corno 6 es el nico nmero natural comprendido entre 5 y 7, entonces: P = {6}

2. CONJUNTO UNITARIO Es aquel conjunto que posee un solo elemento.

Indique cinco ejemplos ms de conjuntos nulos o vacos.

Ejemplo: B = {x/x E N; 7 < x < 8} Veamos: no existe ningn nmero natural que sea mayor que 7 y menor que 8 a la vez, entonces: B = 0

Ejemplo: A = {x/x es un nmero impar que tennina en 2} Veamos: corno ningn nmero impar termina en 2, entonces el conjunto "A" es igual al vaco y se le representa as: A= 0

1. CONJUNTO NULO O VACO Es aquel conjunto que no posee elementos.

Se le representa corno: "0" o tambin as: { } Y se lee: el conjunto vaco.

SEGN SU NMERO DE ELEMENTOS

Clases de conjuntos

Los conjuntos infinitos ms conocidos son los conjuntos numricos: Conjunto de los nmeros naturales (N) Conjunto de los nmeros enteros (Z) Conjunto de los nmeros racionales (Q) Conjunto de los nmeros irracionales (I) Conjunto de los nmeros reales (R)

Ejemplo: Q = {x/x E N, "x" es par, x ~ 3} Veamos: Q = { 4; 6; 8; 10; 12; ... }; como los elementos de "Q" no tienen fin, entonces es un conjunto infinito.

Ejemplo: M = {x/x E N, x > 2} Veamos: M = {3; 4; 5; 6; 7; ... }; como los elementos de "M" no tienen fin, entonces es un conjunto infinito.

4. CONJUNTO INFINITO Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes.

Indique cinco ejemplos ms de conjuntos finitos.

Ejemplo: B = {x/x EN, "x'' es par, 9 < x < 13} Veamos: pasando a extensin el conjunto "B" se tendr: B = { }; entonces es un conjunto finito.

Ejemplo: A= {x/x E N; x < 8} Veamos: pasando a extensin el conjunto "A" se tendr: A = { }; entonces es un conjunto finito.

3. CONJUNTOS FINITOS Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada de elementos diferentes.

iEsfurzate para lograr tus objetivos!

Indique cinco ejemplos de conjunto universal.

Ejemplo: P = {2; 4; 6; 8}; Q = {6; 8; 10}; R = {8; 10; 12; 14} Veamos: un conjunto universal ser: U= {x/x E N, "x" es par, x !> 14}, ya que "U" contiene a los conjuntos "P'', "Q" y "R".

Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {1; 2; 3}; B = {4; 5; 6}

Luego: un conjunto universal ser: U = {x/x E N, 1 !> x s 6}, ya que "U" contiene a los conjuntos "A" y "B".

5. CONJUNTO UNIVERSAL Es aquel conjunto que contiene a todos los elementos de dos o ms conjuntos en referencia. Al conjunto universal se le representa por: "U"

A= {2x/x E N; X< 100} B = {2; 3; 4} y C = {x/x E N, 1 < X< 5} P = {3x/x e N; "x" es par, 2 < x < 4} M = {t,r,i,l,c,e} y N = {x/x E N; X< 8} R = {x/x EN}

4. En cada caso completar la clase de conjunto(s):

3. Si los conjuntos: A= {m; n}; B = {n; p}; C = {2p-1; 3};son unitarios,hallar "rn + n + p"

2. Dado el conjunto unitario: B = {8; a - 5; b + 3}, hallar "a + b''

1. Dado el conjunto unitario: A= {6; m + 2}, hallar "rn"

PRACTIQUEMOS

.iU .a .e A .o

Ejemplo: Dados los conjuntos:

A= {a,e,o} y B = {x/x es una vocal} Se observa que toda vocal fuerte es una vocal, entonces afirmamos que: "A e B" Su diagrama de Venn:

B .1

~

2 .3 .5 .7 4 .6 . .8

Su diagrama de Venn - Euler es:


A = {2; 3; 4; 6} y B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Se observa que todo elemento de "A" pertenece al conjunto "B", entonces afirmamos que: "A" est incluido en "B", lo cual lo indicamos de la siguiente manera: "A e B"

Su diagrama de Venn - Euler ser:

Selee: - "A est incluido en B", "B incluye a A" - "A est contenido en B", "B contiene a A" - "A es un subconjunto de B", "B es superconjunto de A"

1. INCWSIN Se dice que un conjunto "A" est induido en otro conjunto ''B", si todos los elementos de "A" pertenecen al conjunto "B". Se denota: "A e B"

SEGN SU RELACIN ENTRE CONJUNTOS

Ejemplo: Sean los conjuntos:

A= {i, u} y B = {x/x es una vocal dbil} Veamos: los conjuntos "A" y "B" tienen los mismos elementos, entonces podemos afirmar que: A= B

Se lee: el conjunto "A" es igual al conjunto "B".

Dos conjuntos "A" y "B" son iguales slo si tienen los mismos elementos. Se denota: A= B

2. CONJUNTOS IGUALES

Observaciones: i. Todo conjunto "A" est incluido consigo mismo y se denota: A e A. ii. El conjunto vaco "0" est incluido en todo conjunto "A": 0 e A

A B D D

B e A e

e A B e

B D A D

Ejemplo: Observa los diagramas de cada conjunto e indica los signos de "e" o "a:" segn corresponda:

Q p p Q

Q R R Q

R p p R


P = {2; 3; 4; 6; 8; 10}; Q = {3; 6; 8; 10}; R = {6; 10} indicar los signos de "e" o "a:" segn corresponda.

iYa entend! Si todos los elementos de un conjunto "A" pertenecen a otro conjunto "B", dir que:

"A es subconjunto de B".


A = {2; 3; 5} y B = {l; 4; 6} Veamos: como los elementos de "A" son diferentes a los elementos de "B", entonces "A" y "B" son disjuntos.

~~ ~ ~ "A" y s son disjuntos

3. CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos "A" y "B" son disjuntos si no tienen ningn elemento en comn. Su diagrama de Venn:

iYa veo! Quiere decir que si un conjunto "A" tiene los mismos elementos que otro conjunto "B", no

interesando el orden como estn escritos, ambos conjuntos son iguales.


M = {1; 3; 5} y N = {3; 5; 1} Veamos: los conjuntos "M" y "N" tienen los mismos elementos, ya que el orden de sus elementos no interesa, entonces podemos afirmar que: M = N

Observaciones: i. En un conjunto slo se puede escribir una sola vez cada uno de sus elementos. ii. En un conjunto sus elementos pueden ser escritos en cualquier orden.


P = {l; 3; 5; 7; .... } y Q = {x/x E N, ''x" es impar} Veamos: los conjuntos "P" y ''Q" tienen los mismos elementos, entonces podemos afirmar que: P = Q

{x/x es un nmero impar}

{x/x es una vocal}

{x/x es un nmero par}

{x/x es una nota musical} a. {do, re, sol}

b. {2; 6; 8; 10}

c. {a ,e, i, m, r}

d. {9; 7; 6; 5; 3; l}

1. Escribe el smbolo "e" o "a:" segn corresponda:

PRACTIQUEMOS

Veamos:


M = {x/x es un hombre} N = {x/x es una mujer}

iYa entiendo! Si todos los elementos de un conjunto "A" son

diferentes a los elementos de otro conjunto "B", entonces los conjuntos "A" y "B" son disjuntos.


M = {x/x es un nmero par} y N = {x/x es un nmero impar} Veamos: como los elementos de "M" son diferentes a los elementos de "N", entonces "M" y "N" son disjuntos.

D A B C B A

A B D B C A

C B A D C D

1. Dados los conjuntos: A = {2x + 1/x E N, X < 8}; B = {x/x E N, "x" es impar, 3 < X ~ 11} C = {9; 11; 13; 15}; D = {11; 15}

escribe los signos "e" o "a:" en cada caso

TAREA DOMICIUARIA

e D A D

B e e B

A D B D

A B B e D

A e

4. Observa los diagramas y escribe los smbolos "e" o "a:" en cada caso:

{3} e A ( {{3}} e A ( 0c A (

{2} e A ( {{5}} e A ( {2} a: A (

2 ~A ( {3} e A ( 3 e A (

3. Dado el conjunto: A= {2; {3}; 3; {5}} Sealar verdadero o falso:

c ....... A c ....... D A ....... e B ....... D A ....... B B ....... A c ....... B D ....... C D ....... A D ....... B B ....... e A ....... D

2. Dados los conjuntos: A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}; B = {1; 4; 5; 7}; C = {2; 4; 6}; D = {1; 5} escribe los smbolos "e" o "a:" en cada caso:

{{2}}cA ( {6} e A ( 0E A (

{l} e A ( 2 E A ( {6} ([.A (

{2} e A ( 4 E A ( 2eA (

5. Dado el conjunto: A= {l; {2}; {4}; 6} sealar verdadero o falso:

hallar "a+ b''

4. Dado los conjuntos unitarios: P = {2a - 3; 7} y Q = {a; b + 2}

3. Si: A = B; hallar "m2 + p2" donde: A = {2m + 6; 2} y B = {10; p - 3}

a. A = {x/x E N; X > 5} b. M = {x/x es una vocal} y N = {2; 4; 6; 8} c. C = {3x/x E N; x > O} d. D = {4; 4; 7; 7; 7; 4; 4} y E= {7; 4} e. P = {x/x E N; 5 < x < 7} y Q = {2} f. M = {O; 1; 2; 3; .... ; 99} g. N = {x/x E N; "x" es par, 6 < x < 8}

2. Completar en cada caso la clase o clases de conjuntos:

AvB

Comparables Para conjuntos, en la

cual, uno de ellos est incluido en el otro.

B

2. Si: P = {2; 6; 9; 10}; Q = {1; 3; 5} entonces: PvQ={~~~~~~~~~~ Como ambos conjuntos no tienen ningn elemento en comn, su grfico ser:

1. Si: A= {1; 2; 4; 5; 7}; B = {3; 4; 6; 7; 8} entonces: AvB={~~~~~~~~~-} Como ambos conjuntos tienen elementos comunes, su grfico ser:

Av B 00

Disjuntos Para conjuntos que no tengan ningn

elemento en comn.

Ejemplos:

AvB

No disjuntos Para conjuntos que tengan elementos

comunes

Representacin grfica:

I. UNIN O REUNIN DE CONJUNTOS La unin de dos conjuntos "A" y "B" es el conjunto formado por la agrupacin de todos los elementos de "A" con todos los elementos de "B".

Se denota: Av B Se lee: Ao B Se define:

1 A u B = {x/x e A o x e B} 1

Operaciones entre conjuntos

Solucin: Mu N = { }

Diagrama:

2. Dados los conjuntos: M = {2x + l/x E N; X < S} = { ~ N = {x/x E N; "x" es par, 4 ::; x < 12} = { } Hallar "M u N" y su diagrama de Venn Euler.

Solucin: A u B = { }

Diagrama:

l. Sean los conjuntos: A = {4; 5; 6; 7; B; 9; 10} B = {x/x E N; "x" es impar, 6 < x ~ 13} = { } Hallar "A u B" y su diagrama de Venn Euler.

EJERCICIOS

Ya entiendo! En la unin de dos o ms conjuntos

se sombrea todos los conjuntos

3. Si: M = {l; 3; 4; 6; 7}; N = {3; 4; 7} entonces: Mu N = { ~ Como todos los elementos de uno de los conjuntos pertenecen al otro conjunto, (uno est incluido en el otro) su grfico ser:

As: 1 Av U= U

c. La unin de cualquier conjunto "A" con el conjunto universal, es igual al mismo conjunto universal.

As: 1 A u 0 = A 1

b. La unin de cualquier conjunto "A" con el conjunto vaco, es igual al mismo conjunto "A".

As: 1 Av A= A

a. La unin de cualquier conjunto "A" consigo mismo, es igual al mismo conjunto "A".

c. M vN

Diagrama:

PROPIEDADES

A b. PvQ

p [Q] a. AvB

4. Sombrear en cada caso:

Solucin: PvQ={~~~~~~~~.}

3. Sean los conjuntos: P ={es una consonante de la palabra "trilce"} Q = {t,r,i,l,c,e} Hallar "P v Q" y su diagrama de Venn Euler.

iya entend! En la interseccin de dos conjuntos

se sombrea slo la parte comn a ambos

A(! B

Comparables Para conjuntos, en la


B

2. Si: P = {a,e,o,u} Q = {m,n,p} entonces: Pn Q = { } Como ambos conjuntos no tienen ningn elemento en comn, su grfico ser:

An B = { } Como ambos conjuntos tienen elementos comunes, su grfico ser:

1. Si: A= {3; 5; 6; 7; 9; 10}; B = {6; 9; 11; 12} entonces:

A(')B 00

Disjuntos Para conjuntos que no rengan ningn

elemento en comn.

Ejemplos:

A(! B

No disjuntos Para conjuntos que tengan elementos

comunes.


U. INTERSECCIN DE CONJUNTOS La interseccin de dos conjuntos "A" y "B" es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.

Se denota: An B Se lee: "A y B" Se define:

1 A n B = {x/x e A y x e B} 1

c. M ("\ N

Diagrama:

b. p" Q


Solucin: p () Q = { }

2. Dados los conjuntos: P = {x - l/x E N, 1 < x < 12} = { _, Q = {x2/x E N; "x" es impar, x < 4} = { ~ Hallar "P" Q" y su diagrama de Venn Euler.

Diagrama: Solucin: M n N = { }

1. Sean los conjuntos: M = {x/x E N; "x" es par, 2 :s: x :s: 10} = {. } N = {l; 2; 3; 5; 7; 8; 9; 10; 11} Hallar "M "N" y su diagrama de Venn Euler.

EJERCICIOS

A-B

Comparables Para conjuntns, en la


A-B 00

Disjuntns Para conjuntns que no rengan ningn

elemento en comn.

A-B

No disjuntns Para conjuntos que tengan elementns

comunes.


111. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de dos conjuntos "A" y "B", es el conjunto formado por los elementos de "A" pero no de "B".

Se denota: A - B Se lee: "A pero no B" (slo "A") Se define:

1 A - B = {x/x E A y X E B} 1

As: 1 A "" U = A

c. La interseccin de cualquierconjunto "A" con el conjunto universal es igual al mismo conjunto "A".

As: 1 A ri 0 = 0

b. La interseccin de cualquieroonjunto "A"con el conjunto vaco, es igual al oonjunto vaco.

As: 1 AnA =A

a. La interseccin de cualquier conjunto "A" consigo mismo, es igual al mismo conjunto "A".

PROPIEDADES

iYa entend! En la diferencia de dos conjuntos se sombrea la parte que no pertenece

al otro conjunto.

conjuntos pertenecen al otro conjunto (uno est incluido en el otro), su grfico ser:

Como todos los elementos de uno de los

P-Q = { } Q-P={ }

entonces: 3. Si: P = {4; 5; 7; 8; 9; 10}; Q = {5; 8; 9}

Como ambos conjuntos no tienen ningn elemento en comn, su grfico ser:

M - N = {. } N-M={ }

entonces: 2. Si: M = {2; 4; 6; 8; 10}; N = {1; 3; 5; 7; 9}

Como ambos conjuntos tienen elementos comunes, su grfico ser:

A-B={~~~~~~-} B-A={ }

entonces: l. Si: A= {l; 2; 4; 5; 6; 8}; B = {2; 3; 5; 7; 8; 9}

Ejemplos:

Diagrama: Diagrama:

3. Sean los conjuntos: P={2xlXEN;x

IA .. B =(A V B) - (A("\ B) 1

1 A .. B = {x/x e (Av B) /\X ~ (A n B)} 1 Recordar:

As: l "i/A; A - 0 = A 1 c. Para todo conjunto "A"; la diferencia del conjunto "A:' con el conjunto vaco es igual

al conjunto "A".

As: l "i/A; A -A= 0 I b. Para todo conjunto "A", la diferencia del conjunto "A" consigo mismo es igual al

conjunto vaco.

As: 1 Si: A e B ~A- B = 0 I

a. Si un conjunto "A" est incluido en otro conjunto "B", entonces la diferencia de los conjuntos "A - B", es igual al conjunto vaco.

R

o c. S - R b. Q-P Q PROPIEDADES

a. M - N


c. DAE

Diagrama:

Diagrama:

Diagrama:

b. BAC B

a. AA B 4. Sombrearen cada caso:

3. Sean los conjuntos: B = {x2 + 1/x EN; X< 4} = { } C = {x - 3/x E N; 3 < X s 13} = { _, Hallar:"B A C" y su diagrama de Venn Euler. Solucin: BAC={ }

PAQ={ }

1. Sean los conjuntos: P = {3x/x e N; 1 < x s6} = { } Q = {x + 1/x EN; X< S} = { } Hallar: P A Q y su diagrama de Venn Euler. Solucin:

EJERCICIOS

2. Dado los conjuntos: M = {2x + 3/x E N; 2 s X < 7} = { _, N = {x - 1/x e N; "x" es par, 5 < x s 12} = {. } Hallar: "MAN" y su diagrama de Venn Euler. Solucin: MAN= { }

Solucin: P' = U - P = { ~ graficamentE:

1. Sean: U = {x + 2/x E N; x < 9} = { } P = {x/x E N; "x" es impar; x < 10} = ._ }

Hallar P' y su diagrama de Venn Euler.

EJERCICIOS

e. El complemento del complemento del conjunto "A" es igual al mismo conjunto "A". As: 1 (A')' = A 1

d. El complemento del conjunto universal es igual al conjunto vaco. As: 1 U'= 0 1

c. El complemento del conjunto vaco es igual al conjunto universal. As: 1 0' =u 1

b. Para todo conjunto "A"; la interseccin del conjunto "A" con su complemento es igual al conjunto vaco.

As: l vA; A('\ A' = 0 I

a. Para todo conjunto "A"; la unin del conjunto "A" con su complemento es igual al conjunto universal.

As: l vA; A u A' = U l

PROPIEDADES

MA.N={ } (M A. N)' = U - (M A. N) (M A. N)' = { } Diagrama:

M-N={ } (M - N)' = U - (M - N) (M -N)' = { } Diagrama:

4. Sean: U= {x/x E N; x z l} = { ~ M = {2; 3; 5; 7; B; 9}; N = {O; 1; 2; 6; 7; B}

Hallar: (M - N)', (M A. N)' con sus diagramas de Venn Euler. Solucin:

Diagrama: Diagrama:

3. Sean: U={x-5/xEN;6sxs14}={ } A={x2/xEN;lsx

5. Dados los conjuntos: M = {x/x E N; "x" es impar, x ::;; 9} P = {O; 3; 4; 6; 8} Q = {2; 3; 5; 6; 7; 9}

Hallar "M r"\ P"; "M r"\ Q"; "Q r"\ P'', con sus respectivos diagramas de Venn.

c. PvQ p

b. M vN a. AvB


3. Dados los conjuntos: A = {x + 1/x E N, "x'' es par, 1 < x < 10} B = {2; 3; 4; 5; 7; 8} e = {4; 5; 6; 8; 9}

Hallar "Av B"; "Av C"; "B v C", con sus respectivos diagramas de Venn.

2. Dados los conjuntos: M = {2x + 3/x E N, X ::;;4} N = {4x - 1/x E N, 1::;; X< 5} Q = {x2/x E N; X < 1}

Hallar: "M ("\ Q"; "N r"\ M"; "Q r"\ N"; con sus respectivos diagramas de Venn.

1. Dados los conjuntos: A = {3x - 1/x E N, 1 ::;; X < 6} B = {2x/x E N, o < X < 8} e = {x2 + 1/x EN, X< 4}

hallar: "Av B"; "Av C"; "B v C"; con sus respectivos diagramas de Venn.

TAREA DOMICIUARIA

p 9. En cada caso, hallar la expresin que representa a la zona sombreada:

8. Dados los conjuntos; en cada caso hallar su cardinal: A = {l; 2; 3; 3; 2; 2; 5; l} B = {x/x es una nota musical} e = {x2 - l/x E N; "x" es par, 1 < X < 7} D = {l; 3; {5}; {1;5}; {3}; {5;1}}

7. Cedo el ccnjunto universal: U= {3x/x e N; x s 10} y los conjuntos: A = {O; 3; 9; 12; 18}; B = {6; 9; 15; 18; 21}

hallar: A'; B'; (Av B)' con sus respectivos diagramas de Venn.

B

c. AvB b. M nN a. P n Q 6. Sombrear en cada caso:

Segundo paso, (B- C) lo intersectamos con "A": (B - C) (1 A={ _,

3. Dados los conjuntos: A= {l; 2; 4; 5; 7}; B = {l; 3; 5; 6}; C = {4; 5; 6; 8} Diagrama Hallar: (B - C) n A y su diagrama de Venn. ~--------~ Resolucin:

Primero, hallamos lo que est dentro del parntesis: B -C = { }

Diagrama

Diagrama

Segundo paso, hallamos: (A(l B)(lC = { }

2. Sean los conjuntos: A = {3; 4; 5; 6}; B = {4; 5; 7; 8}; C = {2; 3; 4; 6; 8} Hallar: (A (1 B) (1 C y su diagrama de Venn Resolucin:

Primero, hallamos lo que est dentro del parntesis: A (1 B = { }

Segundo paso, hallamos: (AvB)vC={ }

Resolucin: Primero, hallamos lo que est dentro del parntesis:

AvB={ .}

1. Dados los conjuntos: A = {O; 1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {3; 4; 5; 6; 8} e = {5; 8; 9; 10}

Hallar: (A V B) V e y su diagrama de Venn

Operaciones con ms de dos conjuntos

Prefieren solamente ma r..,ista

No prieren 'B'.

Noprieren ni 'A' ni 'B'.

Prefieren la revista 'B'.

Prefieren A o B1

No prefieren 'A'.

Prefieren 'A' y 'B'.

Prefieren la revista' A'.

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON CONJUNTOS Para resolver problemas con dos conjuntos, se debe identificaren su diagrama de Venn, las diferentes zonas que se presentan; para eso veamos con un ejemplo, sobre una encuesta a un grupo de personas sobre la preferencia por las revistas "A" o "B".

8. Cien alumnos de un colegio solicitan beca y al hacer su estudio socio econmico, se establece que 60 tienen televisor y 78 tienen radio. cuntos tienen slo radio, si se sabe adems que 9 no tienen ni televisor ni radio?

7. En una encuesta a 80 personas, 47 tienen refiigeradora, 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los dos artefactos. lCuntas personas tienen computadora solamente?

6. En un restaurante donde asisten 40 personas, 19 toman slo caf, 10 caf con leche, el resto slo leche. d:untos toman leche?

S. En el problema (3), cuntas personas emplean solamente relojes?

4. En el problema anterior, cuntas personas usan solamente pulseras?

3. Se observ en una reunin que: 46 personas usaban relojes; 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas. cuntas personas asistieron a la reunin si todos llevaban al menos una de las dos prendas?

2. De un grupo de personas que leen revistas GENTE o CARETAS, se conocen que 72 leen GENTE, 51 leen CARETAS y 34 leen slo GENTE. euntas personas leen slo CARETAS?

l. Si el conjunto "A" tiene 34 elementos, el conjunto "B" tiene 18 elementos y ambos conjuntos tienen 9 elementos comunes. d:untos elementos pertenecen a "A" pero no a "B"?

Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno:

EJERCICIOS

b. INTERSECCIN a. UNIN

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON TRES CONJUNTOS

17. En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen solamente la revista "Gente", 60 leen solamente la revista "Caretas", 12 no leen ninguna de estas revistas. cuntos no leen la revista "Caretas"?

16. En un saln de 100 alumnos, 6S aprobaron Razonamiento Matemtico, 2S Razonamiento. Matemtico y Razonamiento Verbal, lS aprobaron solamente Razonamiento Verbal. cuntos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados?

lS. De SO estudiantes encuestados: 20 practican slo ftbol 12 practican ftbol y natacin, 10 no practican ninguno de estos deportes. lCuntos practican natacin y cuntos solo natacin?

14. De un grupo de 6S alumnos, 30 prefieren Lenguaje, 40 prefieren Matemtica, S prefieren otros cursos. cuntos prefieren Matemtica y Lenguaje?

13. De la pregunta anterior, ta cuntos les gusta slo una golosina?

lA cuntos nios no les gusta golosinas?

31 nios le gustan los caramelos. 33 nios le gustan los chocolates. 29 nios le gustan las galletas. 19 nios le gustan caramelos y chocolates. 17 nios le gustan caramelos y galletas. 18 nios le gusta chocolates y galletas. 10 nios le gusta chocolates, caramelos y galletas.

12. En un jardn de infancia se consulta a SS nios sobre la preferencia de golosinas y contestan lo siguiente:

11. Se tiene 80 personas de las cuales 6 juegan ftbol y bsquet, 30 no juegan ftbol ni bsquet y 20 juegan ftbol. cuntos solamente juegan bsquet?

10. Jos realiza un viaje mensual durante todo el ao a Chiclayo o Trujillo. Si 8 viajes fueron a Chiclayo y 11 viajes fueron a Trujillo, cuntos meses visit los dos lugares?

9. Durante todas las noches del mes de mayo, Mariene escucha msica o lee un libro. Si escucha msica 21 noches y lee un libro lS noches, cuntas noches escucha msica y lee un libro solamente?

n(D - C) n(B - A) n(A .& D) n(D n C)

Hallar: n(B n D); n(A v C); n(B .& C); n(A v D);

2. Del grfico:

1. Dados los conjuntos: A = {2x/x E N; 3 < X < 10}; B = {S; 6; S; 9; 12; 14} c = {7; 9; 10; 12; 13; isj

Hallar: n(A -C); n[(B -A) n C]; n[(B t,. C) -A]

TAREA DOMICUARIA

22. Durante el mes de febrero de 1999, Santiaguito solo desayun jugo de naranja y/o jugo de papaya. Si 12 das desayun solamente jugo de naranja, 3 das desayun jugo de naranja y jugo de papaya, cuntos das desayun solamente jugo de papaya?

21. En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican bsquet, 35 practican bsquet y ajedrez, 90 practican solo ajedrez, 105 no practican bsquet.

6. De 100 estudiantes que rindieron examen de matemtica y comunicacin, 74 aprobaron matemtica, 40 aprobaron comunicacin. lCuntos aprobaron matemtica solamente?

S. En una fbrica de 200 obreros; 45 compran ''El Comercio"; 53 "La Repblica" y 17 los dos peridicos. cuntos compran "El Comercio" solamente?

4. Un conjunto "A" tiene 60 elementos y otro "B" tiene 40 elementos. Si hay 80 elementos en "Av B", cuntos elementos hay en A - B?

3. Dados los conjuntos: A= {t.ti.l,c,e}: B = {e,x,i,t,o}; e= {s,e,g,u,r,o}

Hallar "E", si: E = n(A n B) + n(B - C) + n(A 8 C)

teoria de conjunto (1).pdf

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