teoria de conjuntos - · pdf fileteoria de conjuntos 1. nocion de conjunto un conjunto es la...

ARITMETICA ACADEMIA PREUNIVERSITARIA

Lic. F. Alberto Quispe Ayala 1

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS

1. NOCION DE CONJUNTO Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos que tienen características similares. A estos objetos se les denomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre llaves, por ejemplo: ��

====

====

====

2. DETERMINACION DE CONJUNTOS

A) Por extensión: Un conjunto esta determinado por extensión cuando se observa todos y cada uno de los elementos del conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida:

Ej.: u}o,i,e,{a,C

25,36}{1,4,9,16,B

{1,2,3,4}A

========

====

B) Por comprensión: Un conjunto esta determinado

por comprensión cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad o característica común. Ej.: De los ejemplos anteriores

}vocalunaesx/x{C

}6xNx/x{B

}4xNx/x{A2

====

≤≤≤≤∧∧∧∧∈∈∈∈====

≤≤≤≤∧∧∧∧∈∈∈∈====

OJO: No todo conjunto de puede expresar por comprensión y No todo conjunto de puede expresar por comprensión y No todo conjunto de puede expresar por comprensión y No todo conjunto de puede expresar por comprensión y

extensión a la vez.extensión a la vez.extensión a la vez.extensión a la vez. En general:

====)spropiedade(

ticasCaracteris

elemento

delformaConjunto

3. RELACION DE PERTENENCIA:

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de el. Además se dice que pertenece )(∈∈∈∈ a dicho conjunto, en caso contrario “no pertenece” (∉∉∉∉) a dicho conjunto. OJO: La relación de pertenencia se da entre un elemento y un La relación de pertenencia se da entre un elemento y un La relación de pertenencia se da entre un elemento y un La relación de pertenencia se da entre un elemento y un conjunto sabiendo que un elemento puede conjunto sabiendo que un elemento puede conjunto sabiendo que un elemento puede conjunto sabiendo que un elemento puede tener forma de tener forma de tener forma de tener forma de conjunto.conjunto.conjunto.conjunto.

4. RELACION ENTRE CONJUNTOS

A) INCLUSION: Se dice que B está incluido en el conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A.

Esta denotado por )AB( ⊂⊂⊂⊂ . Se lee: B esta incluido en A

B esta contenido en A B es subconjunto de A

Ejemplo: Sea: 6} 5, 4, 3, 2, {1, A ====

5} 4, {3, B ====

Luego )AB( ⊂⊂⊂⊂ Pero )BA( ⊄⊄⊄⊄ Observación: Ø Todo conjunto esta incluido en si mismo. Ø Todo conjunto es subconjunto de si mismo Ø El conjunto vacío esta incluido en todo conjunto Ø Sea n(A) el número de elementos del conjunto A, entonces: Número de subconjuntos

)A(n2Adessubconjutoºn ==== Número de subconjuntos propios

12Adepropiosssubconjutoºn )A(n −−−−====

B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales (=) si tienen los mismos elementos sin importar el orden.

ABBABA ⊂⊂⊂⊂∧∧∧∧⊂⊂⊂⊂⇔⇔⇔⇔====

C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos son

diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un elemento que no posee el otro.

ABBABA ⊄⊄⊄⊄∨∨∨∨⊄⊄⊄⊄⇔⇔⇔⇔≠≠≠≠

D) Conjuntos comparables: Dos conjuntos son

comparables sólo cuando uno de ellos esta incluido en el otro.

ABBA ⊂⊂⊂⊂∨∨∨∨⊂⊂⊂⊂ .

E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son

disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.

F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto son

equivalentes cuando tienen la misma cantidad de elementos.

)B(n)A(nBA ====⇔⇔⇔⇔<><><><>

5. CLASES DE CONJUNTOS:

A

B3

6

2

54

1



A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de elementos es limitada; es decir se puede contar desde el primero hasta el último.

B) Conjunto Infinito: Cuyo número de elementos es ilimitado.

6. CONJUNTOS ESPECIALES:

A) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto que no tiene elementos. Este conjunto tiene la particularidad de ser subconjunto de todo conjunto

B) Conjunto Unitario: También llamado Singleton, es aquel que tiene un solo elemento.

C) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que

contiene todos los demás conjuntos, simbolizado por la letra U. No existe un conjunto universal absoluto.

D) Conjunto Potencia o conjunto de partes:

Conjunto formado por todos los subconjunto que es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es potencia del conjunto A. Ej.: Sea c} b, {a,A ==== entonces los subconjuntos de A son:

∅∅∅∅ c},b;{a;c},{b;c},{a;b},{a;{c},{b},{a},

OJO: El conjunto vacióEl conjunto vacióEl conjunto vacióEl conjunto vació )(∅∅∅∅ es subconjes subconjes subconjes subconjunto de todo unto de todo unto de todo unto de todo

conjuntoconjuntoconjuntoconjunto Entonces

} c};b;{a;c};{b;c};{a;b};{a;{c};{b};{a}; {=P(A) ∅∅∅∅ Luego el número de elementos del conjunto potencia de A es:

n(A)2 = Ade ossubconjunt =#n[P(A)] 7. CONJUNTOS DE NÚMEROS: Veamos el siguiente

grafico:

Donde: C=C=C=C=Conjunto de los números complejos R=R=R=R=Conjunto de los números reales Q=Q=Q=Q=Conjunto de los números racionales Z=Z=Z=Z=Conjunto de los números enteros N=N=N=N=Conjunto de los números naturales

8. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

A) Unión ( AUB ): La unión de dos conjuntos A y

B es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de A con todos los elementos de B.

}BxAx/x{AUB ∈∈∈∈∨∨∨∨∈∈∈∈====

Propiedades:

�� BUAAUB ====

�� )AUB(A ⊂⊂⊂⊂

�� )AUB(B ⊂⊂⊂⊂

�� AAUA ====

�� AAU ====∅∅∅∅

B) Intersección: )BA( I La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. (Elementos comunes a ambos). Simbólicamente se define:

}BxAx/x{BA ∈∈∈∈∧∧∧∧∈∈∈∈====I

Propiedades:

�� ABBA II ====

�� ABA ⊂⊂⊂⊂I

�� BBA ⊂⊂⊂⊂I

�� )BA()BA( UI ⊂⊂⊂⊂ AAA ====I PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS: DISTRIBUTIVAS:

�� )CA()BA()CB(A UIUIU ====

�� )CA()BA()CB(A IUIUI ==== DE ABSORCION:

�� A)BA(A ====UI

�� A)BA(A ====IU

�� AUB)B'A(A ====IU

�� BA)B'A(A IUI ====



C) Diferencia (A-B): La diferencia de dos conjuntos

A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B. Simbólicamente se define:

}BxAx/x{BA ∉∉∉∉∧∧∧∧∈∈∈∈====−−−−

Propiedades:

�� ABBA −−−−≠≠≠≠−−−−

�� A)BA( ⊂⊂⊂⊂−−−−

�� B)BA( ⊄⊄⊄⊄−−−−

�� A)BA()BA( ====−−−− IU

D) Diferencia Simétrica: ( BA∆ ): La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Simbólicamente se define:

)}BA(x)BA(x/x{BA IU ∉∉∉∉∧∧∧∧∈∈∈∈====∆

Propiedades:

�� ABBA ∆∆ ====

�� )BA()BA( U⊂⊂⊂⊂∆

��Si BABABA UI ====⇒⇒⇒⇒∅∅∅∅==== ∆

�� ∅∅∅∅====AA∆

�� AA ====∅∅∅∅∆

E) Complemento de un conjunto (A’),( CA ): Conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A. Simbólicamente se define:

}AxUx/x{AC ∉∉∉∉∧∧∧∧∈∈∈∈==== Propiedades:

�� U'AA ====U

�� ∅∅∅∅===='AA I

�� A)''A( ====

�� ∅∅∅∅====∧∧∧∧====∅∅∅∅ )'U(U)'(

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS:

LEYES DE D´MORGAN

�� 'B'A)'BA( IU ====

�� 'B'A)'BA( UI ==== NUMERO DE ELEMENTOS

��El cardinal de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto:

0)(n ====∅∅∅∅

)A(n)B(n)A(n)BA(n B∩∩∩∩−−−−++++====∪∪∪∪

)CBA(n)CB(n

)CA(n)A(n

)C(n)B(n)A(n)CBA(n

∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩

−−−−++++++++====∪∪∪∪∪∪∪∪

B

9. PAR ORDENADO: Es un conjunto que tiene dos

elementos (no necesariamente diferentes), en la cual interesa el orden de estos, llamados también componentes. Se denota (a;b)

10. PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos conjuntos

A y B diferentes del vacío, se denomina producto cartesiano de A y B (AxB), en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a;b) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B. Simbólicamente se define:

}BbAa/)b;a{(AxB ∈∈∈∈∧∧∧∧∈∈∈∈====

n(AxB)=n(A).n(B)

SISTEMA DE NUMERACIOSISTEMA DE NUMERACIOSISTEMA DE NUMERACIOSISTEMA DE NUMERACIONNNN NUMERACIÓN es la parte de la aritmética cuyo objetivo consiste en expresar y escribir los números. Es decir que es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad. 1. PRINCIPIOS Ø DEL ORDEN: Toda cifra en el numeral tiene un

orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.



Ø DE LA BASE: Es un numeral referencial que nos

indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden

inmediato superior. )n(abcd donde “n” es la base del numeral

Ø DE LAS CIFRAS: Las cifras son números naturales

inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleados o utilizados.

)n(abcd

nd;nc;nb;na <<<<<<<<<<<<<<<< 2. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION:

3. NÚMERO CAPICÚA:

Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales Se leen igual por ambos lados. Ej. 44, 343, 67876, etc. En general:

.etc;atinaanitalaval;abba;aba;aa

4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO: Es expresarlo como la suma de los valores relativos da cada una de las cifras de dicho número.

Sea: )n(

cifrasm

xyz...abcN 43421==== ;

Descomponiendo polinómicamente se tiene:

zyn.....cnbnanN 13m2m1m ++++++++++++++++==== −−−−−−−−−−−−

Ej. 34x24x14x33123 23)4( ++++++++++++====

5. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:

Se llamara “bloque” a un grupo de cifras.

Ej: Descompongamos )n(abcd en bloques:

)n(2

)n()n( cdn.ababcd ++++====

6. PROPIEDADES: Ø El mayor numeral de “x” cifras de base “n”.

1n)1n)...(1n( x)n(

cifrasx

−−−−====−−−−−−−− 44 344 21

Ø xana1

vecesx

)n(a1a1

++++====

43421O

Ø ap...nmm1

)a(p1

n1 ++++++++++++++++====O

7. CONVERSION DE NÚMEROS A DIFERENTES

BASES:

A) CASO 1: De base “n” a base 10 Tenemos dos formas de conversión: Ej. Convertir )5(321 al sistema decimal:

Por descomposición polinómica:

15X25X3321 2)5( ++++++++====

86321 )5( ====

Por método de Ruffini:

∴∴∴∴ 86321 )5( ====

B) CASO 2: De base 10 a base “n”

Se convierte por medio de las divisiones sucesivas Ej. Convertir 329 al sistema quinario: Por divisiones sucesivas:

)5(2304329 ====∴∴∴∴

C) CASO 3: De base “n” a base “m” donde

10mn ≠≠≠≠≠≠≠≠ .

��El primer paso, es convertir de base “n” a base 10

��El segundo paso, es convertir el número obtenido a base “m”.



8. REGLAS PRÁCTICAS: Ø Todas las cifras son menores que la base:

CIFRA < BASE Ø Si un número se expresa en dos sistemas

distintos, se cumple que:

9. CONVERSION DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUE LA UNIDAD:

A) CASO 1: De base “n” a base 10

4321)n( dncnbnanabcd,0 −−−−−−−−−−−−−−−− ++++++++++++====

Ej: Convertir )4(32,0 a base 10 21

)4( 4x24x332,0 −−−−−−−− ++++====

2)4( 42

43

32,0 ++++====

162

43

32,0 )4( ++++====

875,032,0 )4( ====

B) CASO 2: De base 10 a base n

Ej. Convertir: 0,390625 a base 4 Se multiplica solo la parte decimal 0,390625x4 = 1,5625 0,5625x4 = 2,25 0,25x4 = 1,00 )4(121,0390625,0 ====∴∴∴∴

10. CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCION EN

DIFERENTES SISTEMAS

��Número decimal exacto:

)n(

)n()n(

1000abc

abc,0 ====

��Número decimal periódico puro:

)n(

)n()n(

)1n)(1n)(1n(

abc...abcabcabc,0

−−−−−−−−−−−−====

��Número decimal periódico mixto:

)n(

)n()n()n(

000)1n)(1n(

abcabcde...abcdedede,0

−−−−−−−−−−−−

====

11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN:

A) DE BASE n A BASE kn : Dado el número en base “n” se le separa en grupos de k cifras a partir de la derecha Ej. Expresar )2(10011101 a base 8

Vemos que 328 ==== ; se separa en grupo de 3 cifras Base 2: {{{ )2(

532

10101110

Base 8: )8(235

B) DE BASE kn A BASE n:

Dado el número en base kn de cada cifra se obtiene k cifras al convertirse a base n: Ej. Convertir: )8(235 a base 2

2 3 5

↓ ↓ ↓ 010 011 101

)2()8( 10011101235 ====

12. TABLA DE NUMERACIÓN



CUATRO OPERACIONESCUATRO OPERACIONESCUATRO OPERACIONESCUATRO OPERACIONES

Al estudiar los números, se observa que determinados valores se modifican según la aplicación que se les da, este proceso origina un valor final que reemplaza a los iniciales. Esto ocurre en un conjunto de números señalado debidamente. Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la aritmética que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, en el conjunto de los números naturales y luego por extensión en el conjunto de números enteros. Una operación aritmética será: DIRECTA: O de composición, cuando señalados dos números cualesquiera, se obtiene un tercer número como único resultado de dicha operación.

INVERSA: O de descomposición, cuando conocido el resultado de una operación directa y uno de los números que intervino en dicha operación, se halla el otro numero. 1. ADICION: Operación que tiene por finalidad reunir

varias cantidades en una sola.

4444 34444 21sumandosn

n4321 a...aaaaS ++++++++++++++++++++====

Donde “S” es la suma total 2. RESTA O SUSTRACCION: Operación inversa a

la suma.

PROPIEDADES:

Ø M+S+D=2M

Ø Si: mnpcbaabc ====−−−− , Se cumple que: n=9 y m+p=9

3. MULTIPLICACIÓN: Operación donde dada dos

cantidades multiplicando y multiplicador, se halla una tercera llamada producto.

Donde: A es el multiplicando B es el multiplicador P es el producto

4. DIVISION: En una división se identifican los

siguientes elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo

Donde D: Dividendo d: divisor q: cociente r: residuo ALGORITMO DE EUCLIDES: A la división también la podemos expresar de la siguiente forma:

CLASES DE DIVISION:



Ø DIVISION EXACTA: Cuando el residuo es cero D=d.q r=0

Ø DIVISION INEXACTA

�� POR DEFECTO: D=d.q+r donde: 0<r<d

��POR EXCESO:

D=d. (q+1)-R donde 0<R<d

PROPIEDADES: Ø r+R=d Ø El residuo máximo es una unidad menos que el

divisor 1drmax −−−−====

Ø El residuo mínimo en cualquier división inexacta

es 1 1rmin ====

5. COMPLEMENTO ARITMÉTICO DE UN NÚMERO

NATURAL: Es lo que le falta a este para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden:

xyz...abc10)xyz...abc.(A.C m

cifrasm

−−−−====43421

OTRO MÉTODO: Para hallar el complemento aritmético del mayor orden de un número, se restan las cifras de nueves y la última cifra significativa de 10. Si hay ceros al final, estos permanecen en el complemento.

44444 344444 2143421cifrasmcifrasm

)z10)(y9)...(b9)(a9()yz...ab.(A.C −−−−−−−−−−−−−−−−====

6. COMPLEMENTO ARITMÉTICO EN SISTEMAS

DIFERENTES DE 10:

0c;mnp)abc.(A.C )8()8( ≠≠≠≠====

Se cumple:

−−−−

====++++

====++++

====++++

)1baseladevalor(7ma

7nb

)baseladevalor(8pc

7. SUMAS NOTABLES:

��Sea: 44 344 21osmintern

n321 t,...,t,t,t una progresión aritmética,

entonces la suma será:

2n).tt(

t...tttS n1n321

++++====++++++++++++++++====

��2

)1n(nn...321S

sumandosn

++++====++++++++++++++++==== 44 344 21

�� 2

sumandosn

n)1n2(...531S ====−−−−++++++++++++==== 444 3444 21

�� )1n(nn2...642Ssumandosn

++++====++++++++++++++++==== 444 3444 21

��6

)1n2)(1n(nn...321S

sumandosn

2222 ++++++++====++++++++++++++++==== 444 3444 21

��

2

sumandosn

3333

2)1n(n

n...321S

++++====++++++++++++++++==== 444 3444 21

8. CONTEO DE CIFRAS:

Para calcular la cantidad de cifras usadas en una serie de números del 1 hasta N se usa la formula siguiente:

321cifrask

N1 11...11k)1N(CF −−−−++++====→→→→

Donde k es la cantidad de cifras que tiene N

TEORITEORITEORITEORIA DE LA DIVISIBILIDADA DE LA DIVISIBILIDADA DE LA DIVISIBILIDADA DE LA DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD: Parte de la teoría de los números que estudia las condiciones que debe cumplir un número entero para ser dividido exactamente entre otros. 1. Divisor:

Se denomina divisor de un número, a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera. Ejemplo: Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6,12 Divisores de 15: 1, 3, 5,15

2. Divisibilidad de un número: Un número entero A es divisible entre otro entero B (módulo), si al dividir A entre B resulta una división exacta (cociente entero y residuo cero).

Ø El cero (0) siempre es múltiplo de todo entero

positivo. Ø Un número entero negativo puede ser múltiplo

de un número entero positivo. 3. Multiplicidad de números:

Se dice que un número entero es múltiplo de otro entero positivo llamado modulo, si el primero es el



resultado de multiplicar el segundo por otro factor entero. Si A es múltiplo de B lo representaremos como:

A=KB donde K={…,-2,-1,0,1,2…}

o

BA ==== (Notación de Leibnitz)

Si un número entero no es divisible entre cierto modulo (divisor), se puede representar como un múltiplo del modulo más cierto residuo por defecto:

rBAórk.BA ++++====++++====o

Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuando esta contenido un número entero y exacto de veces.

4. Principios de la divisibilidad

Ø ooo

�� ====++++

Ø ooo

�� ====−−−−

Ø ooo

�� ====.

Ø oo

�� ====.k

Ø oo

�� ====n)(

Ø z....b.a)z)...(b)(a(oooo

++++====++++++++++++ ��

Ø Si o

c.b.aNc.b.aN ====⇒⇒⇒⇒====

Ø °°°°

====⇒⇒⇒⇒°°°°

°°°°

====

)b;a(MCMN

b

aN

Ø r)b;a(MCMN

rb

raN ±±±±====⇒⇒⇒⇒

±±±±

±±±±====

o

o

o

Ø Si a una cantidad “n” se le multiplica por una fracción irreducible y el resultado es un número entero, entonces “n” es el múltiplo del denominador.

Sea Zm,n ∈∈∈∈ yba

f ==== (fracción irreducible).

Si o

bnmn.ba

====⇒⇒⇒⇒====

Ø Principio de Arquímedes: Dados dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto modulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el modulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho modulo. Ej.:

Si oo

7a7a5 ====⇒⇒⇒⇒====

Si ooo

5a5a335a21 ====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====

Ø Todo número es múltiplo de la base en la cual esta escrito mas la última cifra

dnabcdo

)n( ++++==== 5. Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton

Ø ++++∈∈∈∈++++====++++ Zksira)ra( ko

ko

Ø

⇔⇔⇔⇔−−−−

⇔⇔⇔⇔++++====−−−−

impareskra

pareskra)ra(

ko

ko

ko

6. Criterios de divisibilidad:

Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral. Ø Divisibilidad por 2:

Un número es divisible por dos cuando termina en cifra par o cero.

Ø Divisibilidad por n2 :

Es divisible por n2 si sus “n” ultimas cifra son

ceros o forman un número divisible por n2 . Ø Divisibilidad por 5:

Un número es divisible por 5 cuando termina en cifra 5 o cero.

Ø Divisibilidad por n5 :

Es divisible por n5 si sus “n” ultimas cifras son

ceros o forman un número divisible por n5 . Ø Divisibilidad por 3 o 9:

Un número es divisible por 3 o 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 o 9 respectivamente.

Si o

3abcd ==== entonces o

3dcba ====++++++++++++

Si o

9abcd ==== entonces o

9dcba ====++++++++++++

Ø Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar con la suma de las cifras de orden par deberá ser cero o múltiplo de 11.

Ej.: Si o

11abcdefg ==== ⇒⇒⇒⇒

++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++

====1111111

11gfedcbao

011)fdb(gecao

∨∨∨∨====++++++++−−−−++++++++++++

Ø Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1… respectivamente, deberá ser 0 ó múltiplo de 7.



{ 32143421++++−−−−++++

====

13213231

7hgfedcbao

o

7hg3f2)ed3c2(b3a ====++++++++++++++++++++−−−−++++

Ø Divisibilidad por 13 Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,-3-4,-1,3,4,1,… respectivamente, deberá ser múltiplo de 13.

o

13abcdefgh ====

{ {++++−−−−++++−−−−

====

13413413

13hgfedcbao

321321

o13a3bc4d3)ef4g3(h ====−−−−++++++++++++++++++++−−−−

Ø Divisibilidad por 33 Y 99:

Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1 y 10 respectivamente, deberá ser múltiplo de 33 o 99.

o

33abcdefgh ====

1101101101

33gfedcbao

====

o

33gf10ed10cb10a ====++++++++++++++++++++++++

Respectivamente:o

99abcdefgh ====

1101101101

99gfedcbao

====

o

99gf10ed10cb10a ====++++++++++++++++++++++++

7. RESTOS POTENCIALES: Son todos los residuos que dejan las potencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de cero) al ser divididos entre otro “m” (modulo).

Potencias sucesivas

Resultados en función de “m”

Restos potenciales

0N 1N 2N 3N 4N

1mo

++++

1

o

rm++++

2

o

rm++++

3

o

rm++++

4

o

rm++++

1

1r

2r

3r

4r

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROSPROPIEDADES DE LOS NÚMEROSPROPIEDADES DE LOS NÚMEROSPROPIEDADES DE LOS NÚMEROS 1. NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO:

Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos la unidad y el mismo. Ej.: 2, 3, 5, 7, etc.

2. NÚMERO COMPUESTO: Son números que admiten más de dos divisores. Ej.: 4, 6, 8, 10, 12,…etc.

3. LA CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO N ES:

1CDCDCD primoscompuestosN ++++++++====

4. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI):

Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único divisor común a la unidad. Ej.: 4 y 9, 8 y 15, etc.

NOTAS: Ø Todo número primo mayor que 3 siempre es de

la forma 16o

±±±± : lo contrario no siempre se cumple.

Ø Algunos números primos descubiertos por

matemáticos son:

Lucas: 12127 −−−− que tiene 39 cifras

Ø Algo probablemente cierto, pero aun no demostrable: Todo número par, es la suma de los números primos

Fermat: 12n2 ++++

Ø Formulas del calculo de números primos:

41nn2 ++++−−−− valida únicamente para ++++∈∈∈∈ Zn y 40n ≤≤≤≤

5. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES

PRIMO O NO:

Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplicando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o iguales a dicha aproximación: Ej.: ¿El número 139 es primo?

6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA:

“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos



diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única.” Llamada también “DESCOMPOSICION CANONICA” OJO: No confundir con la descomposición polinómica que No confundir con la descomposición polinómica que No confundir con la descomposición polinómica que No confundir con la descomposición polinómica que vimos en sistema de numeración.vimos en sistema de numeración.vimos en sistema de numeración.vimos en sistema de numeración. Sea “N” un número mayor que 1, entonces dicho número lo podemos expresar de la siguiente manera:

...C.B.AN λβα==== Donde: A, B, C;…; Factores primos

...,,, λβα ; Exponentes Ej.: Descomponer en sus factores primos el número 360.

5.3.2360 23====

7. DIVISORES DE UN NUMERO “N”

Ø Cantidad de divisores de un número: Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previamente aumentados en la unidad.

)....1)(1)(1()N(CD ++++++++++++==== λβα

Ø Suma de divisores de un número

.....1C1C

.1B1B

.1A1A

)N(SD111

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

====++++++++++++ λβα

Ø Producto de los divisores de un número:

)N(CDN)N(PD ====

Ø Suma de las inversas de los divisores de un número:

N)N(SD

)N(SID ====

8. INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE

EULER Es la cantidad de números enteros positivos menores que un número dado y primos con él. Sea el número N descompuesto canónicamente

...C.B.AN λβα====

−−−−

−−−−

−−−−====C1

1.B1

1.A1

1.N)N(Ψ

9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones: Ø Es un divisor común de todos Ø Es el mayor posible

10. DETERMINACIÓN DEL MCD

Ø Por descomposición Canónica: El MCD es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.

Ej.: Sea 2322 5.3.2By5.3.2A ======== Entonces

5.3.2MCD 2====

Ø Por descomposición simultáneamente: El MCD es el producto de los factores comunes extraídos a los números hasta que sean PESI.”Se busca solo los factores comunes”. Ej.: Hallar el MCD de 12 y 18

Ø Algoritmo de Euclides o Divisiones sucesivas: Es un procedimiento que se utiliza para calcular el MCD de solo 2 números. Su desarrollo se fundamenta en la teoría de la división.

1q 4q 5q3q2q

4r2r1r1r 2r 3r

5r4r

3r

}}}}

}}}}

++++====

++++====

++++====

⇒⇒⇒⇒====

11

221

4432

4

rq.BA

rq.rB

rq.rr

r)B;A(MCD

11. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones: Ø Es un múltiplo de todos Ø Es el menor posible

12. DETERMINACIÓN DE MCM

Ø Por descomposición Canónica: El MCM es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los mayores exponentes posibles.

Ej.: Sea 2322 5.3.2By5.3.2A ========

entonces 223 5.3.2MCM ====



Ø Por descomposición simultáneamente:

El MCM es el producto de los factores comunes multiplicados con los respectivos PESI. Ej.: Hallar el MCD de 24, 18, 30

13. PROPIEDADES DEL MCD Y MCM:

Ø Si A y B son PESI, entonces:

MCD(A,B)=1 Ø Si A y B son PESI, entonces:

MCM(A,B)=A.B

Ø El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su MCM y el MCD. Es decir:

B.A)B;A(MCD).B;A(MCM ====

Ø Sea βBα KyKA ======== Donde: βα y son

primos entre si (PESI). Entonces:

βα..K)B;A(MCM

K)B;A(MCD

====

====

Ø Sea p)B,A(MCM ==== y q)D,C(MCM ==== ,

entonces:

)q,p(MCM)D,C,B,A(MCM ==== Ø Sea p)B,A(MCD ==== y q)D,C(MCD ==== ,

entonces:

)q,p(MCD)D,C,B,A(MCD ==== Ø Si un conjunto de enteros positivos se

reemplazan dos o más de ellos por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de dichos enteros no es alterado. Es decir:

)]D;C(MCM);B;A(MCM[MCM)D;C;B;A(MCM

))C;B(MCM);B;A(MCM(MCM)C;B;A(MCM

)]D;C(MCD);B;A(MCD[MCD)D;C;B;A(MCD

))C;B(MCD);B;A(MCD(MCD)C;B;A(MCD

====

====

====

====

14. CASOS ESPECIALES:

Ø MCD(a;a+b)=MCD(a;b) Ø Si a y b son primos entre si entonces

MCD(a+b; a-b)= 1 ó 2

Ø MCD(a,b)=MCD(a ±±±± b;m), Donde m=MCM(a,b)

Ø MCD(a,b,a+b)= 2d)ba(b.a ++++,

Donde d=MCD(a,b)

Ø )C;B;A(MCD.n)Cn;Bn;An(MCD ==== Ø )C;B;A(MCM.n)Cn;Bn;An(MCM ====

Ø n

)C;B;A(MCD)

nC

;nB

;nA

(MCD ====

Ø n

)C;B;A(MCM)

nC

;nB

;nA

(MCM ====

Ø 1p)1p;1p(MCD )h;k(MCDhk −−−−====−−−−−−−−

NÚMEROS FRACCIONNÚMEROS FRACCIONNÚMEROS FRACCIONNÚMEROS FRACCIONARIOSARIOSARIOSARIOS

adormindenonumerador

ba

f ========

1. CLASIFICACIÓN: Se puede clasificar:

Ø Por comparación de sus términos:

��Fracciones propias: Son aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en la que el numerador es menor que el

denominador es decir: 1ba<<<<

Ej.: .etc,137

,72

,53

��Fracciones impropias: Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella en la que el numerador es mayor que el

denominador, es decir: 1ba>>>>

Ej.: .etc,1315

,79

,34

��Fracciones iguales a la unidad: Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también en la que el numerador y el

denominador son iguales, es decir: 1ba====

Ej.: .etc,1313

,99

,44

Ø Por su denominador:

��Fracciones ordinarias o comunes: Son aquellas cuyo denominador es diferente a



una potencia de 10. Es decir ba; si:

Nn,10b n ∈∈∈∈≠≠≠≠

Ej.: etc,74

,3

14,

175

��Fracciones Decimales: Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10. Es decir:

ba; Nn,10b n ∈∈∈∈====

Ej.: etc,1000

4,

10014

,105

Ø Por la comparación de los denominadores:

��Fracciones homogéneas: Son aquellas cuyos denominadores son iguales. Ej.

etc,134

,1314

,135

��Fracciones heterogéneas: Son aquellas cuyos denominadores son diferentes. Ej.:

etc,114

,1514

,105

Ø Por la relación de los divisores de sus términos

��Fracciones reductibles: Son aquellas fracciones donde numerador y denominador se pueden simplificar.

Ej.: etc,5025

21

105

========

��Fracciones irreductibles: Son aquellas fracciones donde los términos son PESI.

etc,174

,1314

,103

NOTA:

Ø Se llama fracción equivalente, cuando una fracción tiene el mismo valor que la otra pero sus términos son diferentes:

Ej.: 21

105====

Ø Se llama número mixto, a aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria.

Ej.: .etc,137

3,72

1,53

4

2. MCD Y MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS:

Ø El MCD de varias fracciones irreductibles es

igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores.

Ø El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de los numeradores entre el MCD de los denominadores.

3. NÚMERO DECIMAL: Representación lineal de

una fracción. Consta de dos partes: parte entera y parte decimal. Ej.: 14,356

{ {decimalparteenteraparte

356,14

4. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

DECIMALES:

Ø Número decimal exacto: Cuando tiene un número limitado de cifras. Ej.: 0,2; 0,356; etc.

Ø Número decimal inexacto: Cuando tiene un número ilimitado de cifras. Ej.: 0,333…; 0,324444… Los números decimales inexactos pueden ser:

��Periódico puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal.

Ej.: 3,0...3333,0)

====

...8787,0

��Periódico mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo) después de la coma decimal. Ej.: 0,3424242…

0,45366666… 5. CONVERSIÓN DE DECIMALES A FRACCIÓN :

Ø Números decimales exactos: La fracción será igual al número formado por las cifras decimales divididos entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.

1000abc

abc,0 ====

Ej: 207

10035

35,0 ========

Ø Números decimales inexactos:

��Periódico puro: La fracción esta dada por el número formado por las cifras del periodo divido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo.



999abc

...abcabc,0 ====

Ej: 114

3312

9936

...363636,0 ============

��Periódico mixto: La fracción esta dada por el número formado por todas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica entre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

990aabc

...abcbcbc,0−−−−

====

Ej: 18037

900185

90020205

...205555,0 ========−−−−

====

RAZONES Y PROPORCIONESRAZONES Y PROPORCIONESRAZONES Y PROPORCIONESRAZONES Y PROPORCIONES

1. RAZONES:

Es la comparación matemática de dos cantidades. Es decir es el resultado de compara dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente. TIPOS:

��RAZON ARITMETICA: Es la razón por diferencia

a – c =r

Antecedente – Consecuente = Razón

��RAZON GEOMETRICA: Es la razón por cociente.

kba====

====uenteseccon

eantecedentRazón geométrica

2. PROPORCIONES:

Es la igualdad de dos razones. Es decir, es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas o geométricas.

3. PROPORCION ARITMETICA:

Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas, sabiendo que:

a-b=r y c-d=r

Entonces la proporción aritmética será:

a-b=c-d Donde:

a y d : extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes

4. TIPOS DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA:

��P.A. CONTINUA: Los términos medios son iguales.

a-b=b-c Donde:

b : Media aritmética o diferencial c : tercera diferencial

��P. A. DISCRETA: Los cuatro términos son diferentes.

a-b=c-d Donde: d : cuarta diferencial de a, b y c

5. PROPORCION GEOMETRICA:

Es la igualdad de dos razones geométricas dadas sabiendo que:

kba==== y k

dc====

dc

ba====

Donde:

a y d: extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes 6. TIPOS DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:

��P.G. CONTINUA: Cuando los términos medios son iguales. Es decir:

cb

ba====

Donde: b : media proporcional o geométrica a, c: tercera proporcional

��P.G. DISCRETA:



Cuando todos los términos son diferentes. Es decir:

dc

ba====

Donde: d: cuarta proporcional

7. PROPIEDADES DE LA PROPORCIÓN

GEOMÉTRICA

Si : dc

ba==== es una proporción geométrica.

Entonces:

��d

dcb

ba ±±±±====

±±±±

��c

dca

ba ±±±±====

±±±±

��dcdc

baba

−−−−++++

====−−−−++++

��cd

cab

a±±±±

====±±±±

��dbdb

caca

−−−−++++

====−−−−++++

��dc

ba

dbca

========±±±±±±±±

8. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS

EQUIVALENTES

Es la igualdad de dos o más razones geométricas. Sea:

;kba

;....;kba

;kba

n

n

2

2

1

1 ============

Entonces:

kba

...ba

ba

ba

ba

n

n

4

4

3

3

2

2

1

1 ========================

Donde: n321 a,...a,a,a : Antecedentes

n321 b,...b,b,b : Consecuentes

K= constante de proporcionalidad Se cumple que:

�� kb...bbba...aaa

n321

n321 ====++++++++++++++++++++++++++++++++

�� n

n321

n321 kb.....b.b.ba.....a.a.a

====

�� nn

nn

3n

2n

1

nn

n3

n2

n1 k

b...bbb

a...aaa====

++++++++++++++++

++++++++++++++++

REGLA DE TRESREGLA DE TRESREGLA DE TRESREGLA DE TRES La regla de tres puede ser: Simple o compuesta. 1. REGLA DE TRES SIMPLE:

Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (incógnita). Puede ser Directa o inversa.

Ø R3S DIRECTA:

Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son directamente proporcionales. Método 1: Aplicando la definición de magnitud directamente proporcional.

ABC

xxC

BA

====⇒⇒⇒⇒====

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en aspa.

Ax=BC A

BCx ====⇒⇒⇒⇒

Ø R3S INVERSA: Es el resultado de comparar 2 magnitudes que son inversamente proporcionales Método 1: Aplicando la definición de magnitud inversamente proporcional.

CAB

xx.CB.A ====⇒⇒⇒⇒====



Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en sentido paralelo.

AC=Bx B

ACx ====⇒⇒⇒⇒

MÉTODO PRÁCTICO: Si las cantidades proporcionales van de más a más o de menos a menos, la regla es directa; si van de menos a más o de más a menos, la regla es inversa. Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro dato. Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entre el otro dato del problema

2. REGLA DE TRES COMPUESTA:

Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitudes y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitudes mencionadas. La finalidad de la regla de 3 compuesta es determinar el valor desconocido de la segunda serie de valores. Método 1: “Ley de los signos” Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud estén en una misma columna. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con las demás magnitudes con el siguiente resultado

��Si son directamente proporcionales: arriba (-) y abajo (+)

��Si son inversamente proporcionales: arriba (+) y abajo (-)

El valor de la incógnita esta dado por un quebrado donde el numerador es el producto de los términos que tiene (+) y el denominador es el producto de los términos que tienen (-) Método 2: “De las rayas” Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes: 1º Causa o acción: Realizadores de la obra o acción y condiciones que tiene para realizarla.

Ej: Obreros, maquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc. 2º Circunstancias: Condiciones en el tiempo para realizarla. Ej.: días horas diarias, raciones diarias, etc. 3º Efecto: La obra en, si lo realizado y los inconvenientes o condiciones que pone el medio para la realización del trabajo. Ej. Las medidas de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.

acción circunstancia efecto

Serie 1

Serie 2

HombresAnimalesMaquinasHabilidad

DíasRapidez

característicash/d, raciones

Trabajo realizadoMedida de la obradificultades

Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran en una misma raya.

3. RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES MÁS

CONOCIDAS:

�� Nº de obreros DP obra

�� Nº de obreros IP eficiencia

�� Nº de obreros IP días

�� Nº de obreros IP horas diarias

�� Velocidad IP tiempo

�� Nº de obreros DP dificultad

�� Nº de dientes IP nº de vueltas

�� Obra DP días

�� Obra DP horas por día

PROMEDIOS Y PORCENTAJESPROMEDIOS Y PORCENTAJESPROMEDIOS Y PORCENTAJESPROMEDIOS Y PORCENTAJES

1. PROMEDIOS

Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la característica de ser mayor que el menor de ellos y menor que el mayor de ellos. Dadas las siguientes cantidades:

n321 a,...a,a,a

Donde: 1a : Menor cantidad

na : Mayor cantidad Se llama promedio P a una cantidad referencial y cumple:



n1 aPa ≤≤≤≤≤≤≤≤ TIPOS: Ø MEDIA ARITMETICA (Ma): Es aquel promedio

que provienen de la suma de n cantidades divididas entre n.

Pn

a...aaa n321 ====++++++++++++++++

Para dos números a y b:

2ba

Ma++++

====

Ø MEDIA GEOMETRICA (Mg): Es aquel promedio

que proviene de la raíz enésima del producto de n cantidades.

nn321 a.....a.a.aMg ====

Para 2 números a y b:

b.aMg ====

Ø MEDIA ARMONICA.(Mh): Es la inversa de la media aritmética de las inversas de las n cantidades dadas.

n321 a1

...a1

a1

a1

nMh

++++++++++++++++====

Para 2 números a y b:

baab2

Mh++++

====

Ø PROMEDIO PONDERADO (P). Promedio de

promedios, es cuando tenemos el promedio aritmética de dos o mas grupos y queremos determinar el promedio de todos en conjunto, aplicamos el promedio aritmético ponderado.

m321

mm332211

n...nnnnma...nmanmanma

P++++++++++++++++++++++++++++

====

Donde:

1ma : Promedio aritmético del primer grupo

2ma : Promedio aritmético del segundo grupo Y así sucesivamente; también

1n : Número de elementos del primer grupo

2n : Número de elementos del segundo grupo. Es decir el número de elementos del grupo correspondiente.

PROPIEDADES Ø Ma, Mg y Mh los promedios de n números;

entonces siempre se cumple:

MhMgMa >>>>>>>>

Ø Sean dos números y hallando su Ma y Mh siempre:

AxB=MaxMh

Ø Se cumple:

MaxMhMg ==== Ø La diferencia entre la media aritmética y la

media geométrica de 2 números A y B esta dado por:

)MgMa(4)BA(

MgMa2

++++−−−−

====−−−−

2. PORCENTAJES

Llamado también tanto por ciento. Se dice así, a una determinada cantidad con relación a 100 unidades. La regla del tanto por ciento es una aplicación de la regla de tres simple directa. NOTACION:

Sea: 100

5%5 ====

• 5% indica que de cada 100 unidades se consideran 5.

• Una cantidad total representa el 100% • Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%

• Una cantidad disminuida en un 10 % representa 90%

APLICACIONES:

�� DESCUENTOS SUCESIVOS: Cuando a una cantidad se le aplica mas de un descuento, los cuales equivalen a un descuento único que se obtiene de la siguiente forma:

%100xDD

DDD 2121u

−−−−++++====



�� AUMENTOS SUCESIVOS: Cuando una cantidad se le aplica más de un aumento, los cuales equivalen a un aumento único, que se obtiene de la siguiente forma:

%100xAA

AAA 2121u

++++++++====

OJO:

Si hubiera másSi hubiera másSi hubiera másSi hubiera más de dos descuentos primero se encuentra de dos descuentos primero se encuentra de dos descuentos primero se encuentra de dos descuentos primero se encuentra el descuento único de los dos primeros y luego se halla el descuento único de los dos primeros y luego se halla el descuento único de los dos primeros y luego se halla el descuento único de los dos primeros y luego se halla un nuevo descuento único con el valor encontrado y el un nuevo descuento único con el valor encontrado y el un nuevo descuento único con el valor encontrado y el un nuevo descuento único con el valor encontrado y el siguiente y así sucesivamente.siguiente y así sucesivamente.siguiente y así sucesivamente.siguiente y así sucesivamente. APLICACIONES COMERCIALES:

�� GBPCPV ++++====

�� GGNGB ++++====

�� DPVPF ++++====

��En caso de pérdida se cumple: perdidaPCPV −−−−====

Donde: PC=Precio de costo PV=Precio de venta PF=Precio fijado GB=Ganancia bruta D=Descuento o rebaja GN=Ganancia Neta G=Ganancia

teoria de conjuntos - · pdf fileteoria de conjuntos 1. nocion de conjunto un conjunto es la...

Documents