1

Hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar en especial cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos y representaban cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en

Introducción

LA RECTA NUMÉRICA, UN CAMINO AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS REALES

Descripción del conjunto de números enteros

el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de

Figura 1. El trampolín

Figura 2. Ascensor

Observa la animación de la introducción y tenla en cuenta para responder las preguntas de la actividad 1.

2

esos números en la contabilidad y otros contextos, ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. (Profesor en línea, (s.f))La historia de los números ha sido determinante para la invención de algunos artefactos que utilizan los números enteros como parte de su estructura.Algunos artefactos en los que se puede ver el uso de los números enteros son los ascensores, los cuales se mueven de manera vertical hacia arriba y hacia abajo. Aumentando hacia arriba los números de los pisos y disminuyendo hacia abajo, y en algunos sótanos o parqueaderos se usan los números enteros negativos para denominar que se encuentran debajo del primer piso.Otro de estos artefactos |es el termómetro, el cual nos permite medir la temperatura por encima y por debajo de cero, siendo las cantidades por debajo del cero las más frías.

100

120

80

60

40

20

- 40

- 20

0

50

40

-40

30

-30

20

-20

10

-10

0

°F °C

Figura 3. Termómetro

Figura 4. Ascensor en edificio

Determinar las características de los números enterosResolver operaciones en el conjunto de números enteros

De acuerdo a la animación de la introducción, y a la siguiente imagen, define que es el conjunto de los números enteros y cuáles son sus características.

Objetivos de aprendizajeReconocer el conjunto de los números enteros a partir de sus propiedades

Actividad 1Definición del conjunto de los números enteros y descripción de sus características

+ 4+ 3+ 2

+ 1

- 1

- 2

- 3

0

3

Figura 5. Conjunto de los números enteros

Conjunto de los números enteros

Actividad 2Reconocimiento de los conjuntos del conjunto de los números enteros

Definición del conjunto de los números enteros:

____________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________

Características:

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

1. Observa el siguiente diagrama del conjunto de los números enteros y luego completa la siguiente frase, para ello usa las palabras que te dan como opciones:

Entre otros, el conjunto de los números enteros contiene el _____________ de los ___________________ • principal• conjunto• números• elementos• naturales

Como pudiste darte cuenta, en el diagrama del ejercicio anterior se presentó el conjunto de los números enteros, señalando cada uno de los conjuntos de dicho conjunto (el conjunto de los números naturales o positivos y el conjunto de los números enteros negativos o también llamados opuestos), lo cual se puede denotar por Z= {N U (0) U Z- }.

4

Figura 6. Diagramas de Venn

Actividad 3Reconociendo el opuesto de un númeroPartiendo de tus saberes previos sobre el concepto de número opuesto, realiza el siguiente apareamiento: lee las situaciones de las columnas A y B y luego relaciona cada cifra que aparece en las situaciones de la Columna A, con la cifra que se le opone en la columna B. Para ello, escribe el número de la columna Número situación, hasta la columna Número situación con cifra opuesta que corresponda. Luego escribe en las columnas Cifra, la cifra que representa la misma.

2. Ahora escribe los números que están en el círculo de la izquierda y que pertenecen al conjunto de los números enteros en el círculo de la derecha.

Númerosituación Columna A Cifra

Númerosituación son cifras

opuestasColumna B Cifra

1Un avión se encuentra a una altura de 250km.

Martina ha per-dido una apuesta $250´000.000

2El polo sur presenta una temperatura de 35°C bajo cero

Un submarino se encuentra a una profundidad de 250km

3

Juan se ha ganadouna lotería por $250´000.000

Un gran VolcánExploto en el año 470 después de Cristo

4El fílosofo Sócrates nació en el año 470 antes de Cristo

La costa atlántica presenta una temperatura de 35°C

5

Figura 7. Sopa de números

Actividad 4Valor absoluto de un númeroDe acuerdo a tus saberes previos sobre Valor absoluto, resuelve los siguientes ejercicios. Para ello, haz clic en los botones de ejercicio.

1. Encuentra y señala en la sopa de números los valores absolutos de los números listados en la tabla de la izquierda. Mira las instrucciones.

Instrucciones:Primero, elige el número de la tabla de la izquierda al que le buscarás el valor abso-luto, y coloréalo con el color que desees. Luego, señala en la tabla de la derecha el valor absoluto, y coloréalo del mismo color que elegiste en la columna de la izquierda. Para señalar los valores absolutos que tengan más de un dígito, debes de colorear cada uno de los dígitos que conforman dicho número, con el mismo color que pintaste el número que elegiste en el primer paso.

Se pueden señalar números con varios dígitos de forma horizontal o vertical (no diagonal).

Sopa de Números

3

-297

6

-34

1

Números

6

Figura 8. Distancia

2250 km2250 km

Preguntas:

a. El carro negro va hacia el lado __________ y este se representa con el signo ______

b. El carro amarillo va hacia el lado ___________ y este se representa con el signo _______.

c. ¿Con cuál o cuáles signos puedes representar la distancia a la que se encuentran las ciudades? ¿Por qué?:

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

3. Responde las siguientes preguntas:

2. Si dos automóviles parten de un mismo punto cero a dos ciudades en sentido contrario, y cada ciudad está a 2250 km del punto de partida, y asociamos la imagen con la recta numérica, responde las siguientes preguntas:

¿Qué es el valor absoluto de un número?

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

¿Cómo se representa el valor absoluto de un número?

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

0

7

Escribe tres ejemplos de valor absoluto: Como definición de valor absoluto podemos decir:

Si tienes un número negativo, por ejemplo -5, su valor absoluto es su opuesto, es decir: |-5| = 5, y si tienes un número positivo por ejemplo 8, el valor absoluto del número es el mismo núme-ro positivo, es decir |8| = 8

Figura 9. Recta

Actividad 5Ubicando números enteros sobre la recta numéricaUbica el número dado sobre la recta y escribe el antecesor y el sucesor de dicho número señalándolos con A o S, según corresponda.

-5

12

+1

8

Actividad 6Ordenando y comparando números enterosUbica los números de la siguiente lista hasta el lugar correcto sobre la recta numérica, luego escríbelos de mayor a menor, y de menor a mayor en los recuadros, de tal forma que se cumplan las relaciones planteadas.Luego escribe algunas conclusiones sobre las relaciones de los números ordenados según los signos < y > y socialízalas en la clase.

-11 +13-7 +5+1 -1-2 +8 -6

-11

es >

< es

es >

< es

es >

< es

es >

< es

es >

< es

es >

< es

es >

< es

es >

< es

9

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Realiza las siguientes multiplicaciones con números enteros teniendo en cuenta las leyes de los signos. Copia en el espacio el factor o el producto que corresponda.

a) 4 • 5 • (-20) • 6 = 20 • ____ • 6 = _____ • 6 = ___

b) (-3) • (-4) • (-5) • (-6) • -2 = _____• 30 • (- 2) = _____ • (- 2) = _____

c) 8 • (-6) • (-4) • 5 • (-6) • 3 = (-48) • (-4) • 5 • _____= (-48) • ____ • -18 = (-48) • _____= _____

Ahora completa las frases y responde las preguntas

1. Multiplicar cuatro factores con signos iguales dan resultados ___________.

2. Multiplicar cuatro factores, tres con signos iguales y uno con signo contrario, dan resultados ___________.

3. Multiplicar cinco factores con signos iguales dan resultados _________ o ___________.

4. El producto entre dos números enteros es -1170 y uno de los factores es -26 ¿cuál es el valor del otro

factor?

Figura 10. Leyes de los signos

Entonces, ¿cuál es el resultado de multiplicar dos factores con signos iguales o hacerlo con factores de signos contrarios? Socializa tus respuestas en la clase.

Actividad 7Las leyes de los signosEn esta actividad recordaremos las leyes de los signos, necesarias para resolver operaciones de suma, resta y multiplicación con enteros. Observa la tabla con atención, en la cual se incluyeron números al azar, y luego resuelve los ejercicios:

10

hora resuelve los siguientes ejercicios:

{35+(54-(-37-35).(-25)+82)}

1. Realizar las operaciones intenas y eliminar signos de agrupación. {50+[-13]-25+[35-(65)]}, después {50+[-13]-25+[-30]}• Cambiar los signos de resultados de las operaciones, si están precedidos del signo menos: {50-13-25-30}• Sumar números positivos entre si y negativos entre sí. Efectuar la suma de los dos números enteros resultantes. -13+(-25)+(-30)=-68 -68+50=-18

Actividad 8Suma, resta y multiplicación de números enterosEn esta actividad resolveremos sumas, restas y multiplicaciones teniendo en cuenta los signos de agrupación. Para ello resolveremos un ejemplo.

Ejemplo: {50+[25-38]-25+[35-(45+20)]} =

Para resolverlo seguiremos los siguientes pasos• Elimina los signos de agrupación efectuando las operaciones de los signos de agrupación más internos, hasta efectuar las operaciones de los más externos. • Recuerda que si un signo de agrupación esta precedido de un signo menos, esto implica utilizar la ley de los signos.• Suma números positivos entre sí y negativos entre sí. Efectúa la operación sumando los dos resultados.

11

-{52-[36-58-(24+82)+36]+32+(-42)}

{-[27-3 •(120+(-170))+25]+5 •(34-49)}

12

Figura 11. Operaciones con numeros enteros

Ahora observa la animación de la actividad, y compara lo que hiciste con lo que plantea esta. ¿Se cumplen los casos presentados?, socializa tus conclusiones con los compañeros.

Aquí te presentamos un resumen

Suma de enteros

Signos de 1er sumando Operación Signos de 2do

sumarioSigno del resultado Ejemplo

Positivo (+) (+) Positivo (+) Positivo (+)5+7=+12

(se suman los valores absolutos de los números)

Negativo (-) (+) Negativo (-) Negativo (-)-5+(-7)=-12

(se suman los valores absolutos de los números)

Positivo (+) (+) Negativo (-) Signo del mayor-5+(-7)=-2

(se restan los valores absolutos de los números)

Negativo (-) (+) Positivo (+) Signo del mayor-5+7=12

(se restan los valores absolutos de los números)

Resta:Recuerda que la resta en los números enteros se puede definir como la suma de un número con el opuesto del sustraendo

En la multiplicación de dos factores: si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo, por ejemplo:

(+4)•(+3)= +12 (-4)•(+3)= -12(-4)•(-3)= +12 (+4)•(-3)= -12

13

El conjunto de los números enteros

Positivo un negativo

Signospositivos

Signoscontrarios

Signosnegativos

Positivo otro positivo

Negativo un postivo

Negativo otro negativo

Igual, dan un producto

positivo

Igual, dan un producto

positivo

Al conjunto de los números naturales y

sus opuestos

ContienePuede realizar operaciones como

Tiene características como

Donde factores

con signos

Donde sepueden restar,

de número

Donde todos los sumandos pueden

presentar

La multiplicaciónSon

infinitosSe pueden representar

por medio de la recta

númerica

Entre dos números

negativos, el mayor es el

que esté mas cercano al

cero

Todos tienen un antecesor y un sucesor

Entre dos números positivos, el mayor es que esté mas alejado

al cero

La resta La suma

14

A partir de los valores que aparecen en las columnas a, b y c, resuelve las operaciones que se indican en las siguientes tres columnas:

Realiza aquí los respectivos desarrollos:

Actividad 1

a b c a+(b + c) b • [c-(a + b)] - [a + b • (- c)]2 6 34 -2 5-3 3 4-4 1 -2

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Lee la siguiente situación y después responde:

Un termómetro marca a las 7 a.m., una temperatura de 8°C, y durante el día tiene los siguientes movi-mientos:

• A las 10:00 a.m. la temperatura sube 25°C.• A la 1:00 p.m. baja 17 °C.• A las 4:00 p.m. el termómetro está marcando 22°C• A las 7:00 p.m. la temperatura baja a 15°C.

A partir de la siguiente situación resuelve:

En un tanque hay 200 L de agua. Si se abre una llave en la parte superior para que deposite 23 litros del líquido por minuto, y al mismo momento se abre otra llave que se encuentra en la parte inferior del depósito para que riegue externamente 14 L de agua por minuto, si se dejan abiertas las dos llaves por 12 minutos

a. ¿Cuántos litros de agua quedan en el tanque al cerrar las llaves? _______b. ¿Cuántos litros de agua hay a los 8 minutos de haber abierto las llaves? ______

Responde:• ¿Qué temperatura marca el termómetro a las 10:00 a.m.? ____• ¿Cuál es la temperatura a la 1:00 p.m.? _____• ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la 1:00 .pm. y las 4:00 p.m.? ____• ¿Cuántos grados marca a las 7:00 p.m.? ____• ¿Qué diferencia hay entre la temperatura de las 7:00 a.m. y las 7:00 p.m.? _____

Actividad 2

Actividad 3

7:00 AM

8.0° C

Figura 12. Termómetro

Figura 13. Caneca

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Lista de figurasFigura 1. El trampolín

Figura 2. El ascensor

Figura 3. Termómetro

Figura 4. Ascensor en edificio

Figura 5. Conjunto de los números enteros

Figura 6. Diagramas de Venn

Figura 7. Sopa de números

Figura 8. Distancia

Figura 9. Recta

Figura 10. Leyes de los signos

Figura 11. Libro

Figura 12. Termómetro

Figura 13. Caneca

ReferenciasHipertextos 7. (2010). Santillana.

C. Boyer. (1987). Historia de la matemática. Alianza Universidad.

Sánchez , L. E., & Restrepo , M. (2011). Matemáticas para pensar 7. Norma.

Profesor en línea (Sf) Números enteros(z) Recuperado de http://www.profesorenlinea.cl/mate matica/NumerosEnterosZ.htm