SEMANA 1MATEMATICA I

Cuadernillo de trabajo

Logica proposicional

1 Empleando las leyes de la logica proposicional, sim-plifique:

r ∧ [p→ (q ∨ r)]

A) r B) p C) qD) r → p E) p ∨ q

2 Sabiendo que p → (∼ r ∨ s) es falsa. Indique cualesson verdaderas:

I. t→ (p ∨ s)

II. p↔ r

III. ∼ s↔ t

IV. r → p

A) I y II D) I, II, III y IVB) II y III E) I, II y IVC) I, II y III

3 Si:

p⊗ q ≡ {p ∨ [(r → p) ∧ p]} ∧ {q ∧ (p↔∼ p)}

Simplificar

[(p⊗ q)⊗ (q ⊗ p)]⊗ [p⊗ (p⊗ q)]

A) p D) TautologıaB) q E) ContradiccionC) p ∨ q

4 Se define el operador logico (#)

p q p#qV V VV F VF V FF F V

Simplificar (p#q)#p

A) ∼ p B) ∼ q C) p ∨ qD) p ∧ q E) Tautologıa

5 Indique verdadero (V) o falso (F) segun corresponda;para que p y q sean proposiciones logicas

I. p→∼ q ≡∼ (p ∧ q)

II. p→ (p∨ ∼ q) es una tautologıa

III. ∼ p→ (p∧ ∼ q) ≡ p

A) VVV B) VFV C) FVVD) VFF E) FVF

6 Si la proposicionM = [(p∧ ∼ q)↔ (r → s)]→ [∼ s→ r]es falso, simplifique:E = [t ∨ (p ∧ q)]↔ [(r → s) ∧ p]

A) V B) F C) rD) t E) p

7 Definimos el operador # mediante la tabla, determineel valor de verdad de las siguientes afirmaciones

p q p#qV V VV F FF V FF F V

I. p#p es una tautologıa

II. ∼ p#p es una tautologıa

III. p#q ≡∼ (q#p)

A) VVV B) VVF C) VFFD) FFF E) VFV

8 Si # es un operador logico definido porp#q ≡ [∼ (p ∨ q)]→ (∼ q ∧ p),entonces al simplificar la formula logica[(∼ (∼ p#q)→ p)#((p#q)# ∼ p)]→ p se obtiene

A) q → p B) q ∨ p C) ∼ q ∨ pD) p E) p→ q

9 Simplifique la siguiente formula logica

[(p∆q)∆(q∆p)] ∆ [p∆(q∆p)]

A) p B) q C) ∼ qD) p∆q E) ∼ p

1

Cuadernillo de trabajo–Semana 1

10 Simbolizar correctamente la siguiente proposicion:“Alonso es abogado o diplomatico y si es diplomatico,viaja casi siempre al extranjero”.

A) (p ∨ q) ∧ (r ∨ s)

B) (p ∧ q) ∨ (r → s)

C) (p ∨ q)→ (q ∧ r)

D) (p ∧ q) ∧ (r ∧ s)

E) (p ∨ q) ∧ (q → s)

11 Si m y n son numeros reales positivos, ademas se de-fine:

f(x) =

3m

n+ 1; Si x es proposicion verdadera

3n

m− 1; Si x es proposicion falsa

Hallar:

M =

√m

n+

√n

m

Sabiendo que f(q) + f(r) = 21Siendo:

q : 4 < 3↔ 1 = 0

r : −1 < 0→ (−1)2 < 0

A)1/3 B) 3 C) −3D) 1/7 E) 1

12 Si

a♠b ≡ (a→ b) ∨ [b∨ ∼ (a→ b)]

a♥b ≡ {a ∨ [b→ (a ∨ b)]} →∼ a

Simplificar{[(p♠q)♥r]♠(∼ p♠q)}♥{q♠(p∧ ∼ q)}

A) ∼ p B) V C) FD) p E) q

13 Si p es una proposicion logica, ademas definimos larelacion f por:

f(p) =

{1; si p es verdadera0; si p es falsa

Entonces, indica el valor de verdad de las siguientesproposiciones.

I) f((−1)0 = 1) = f(−10 = 1)

II) f(q) = f(∼ q)

III) f(3 6= 3) = f(5 > 1)

A)VFF B)FFV C)VVVD)FFF E)VFV

14 Si tenemos las siguientes proposiciones M y N :

M : Si Einstein dice la verdad, entonces la teorıa dela relatividad es exacta.

N : No es el caso que la teorıa de la relatividad nosea exacta y Einstein diga la verdad.

Luego se afirma.

I) M y N son equivalentes

II) M implica N

III) N implica M

A)Solo I B)Solo II C)Solo IIID)I y II E)I, II y III

15 Sean las proposiciones

I. p(x) : ∀x ∈ R, x0 = 1

II. q(y) : ∃y ∈ Z+/y2 ≤ 0

III. r(z) : ∀z ∈ R, z2 − 92 = (z + 3)(z − 3)

Indique el valor de verdad de:p↔ q, p→ r y r ∧ q

A) FFV B) FVV C) VVFD) VVV E) FFF

Conjuntos

16 A partir del conjunto M = {1; 2; 3}, indique la alter-nativa correcta

A) 2 6∈M D) {2} ∈MB) {1; 2} ∈M E) 1 6∈MC) {1} 6∈M

2

Cuadernillo de trabajo–Semana 1

17 Calcule la suma de los elementos de L.

L = {2x/x ∈ Z ∧ 3 < x < 7}

A) 30 B) 28 C) 32D) 26 E) 34

18 Los siguientes conjuntos son iguales.

A ={

5; 2a + 3; c2}

B = {b; 16; 2a + 1}

Calcule el valor de a + b + c. Considere que a; b y cson enteros positivos.

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

19 Dados los conjuntos

J = {x/x ∈ Z ∧ −3 < x < 3}K =

{x2/x ∈ Z ∧ −2 < x < 2

}L = {(x + 1) ∈ Z/− 1 ≤ x ≤ 0}M = {x ∈ Z/(x + 1)(x + 2) = 0}

indique la alternativa incorrecta.

A) K y M son disjuntos D) J ⊂ LB) K = L E) K ⊂ LC) M ⊂ J

20 Si A = {3; 5; {3} ; 7; 7; 3; 9; 9} ¿cuantas de las si-guientes proposiciones son correctas?

I. n(A) = 8

II. 3 ∈ A

III. {3} ∈ A

IV. {3; 5} ∈ A

V. 7 6∈ A

VI. {3; 3; 3} 6∈ A

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

21 Si

A ={x2 + 1/x ∈ Z ∧ −4 < x < 3

}B =

{(x2 + 1) ∈ Z/− 4 < x < 3

}calcule n(A) + n(B).

A) 9 B) 16 C) 20D) 24 E) 12

22 ¿Cual de las siguientes alternativas presenta un con-junto no vacio?

A) M = {x ∈ Z/3 < x < 4}B) L = {x/x 6= x}C) J = {}D) K = {∅}E) S =

{x ∈ R/x2 + 1 = 0

}23 Dado el conjunto B = {2; 4; {6}}, indique la secuen-

cia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

I. {2; 4} ∈ P (B)

II. {{6}} ∈ P (B)

III. B ∈ P (B)

IV. ∅ 6∈ P (B)

A) VVVF B) FFFF C) VVVVD) VFVF E) FVFV

24 Dados los conjuntos

U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}A = {1; 2; 3; 4; 5}B = {4; 5; 6; 7; 8}C = {6; 7}

halle [(A ∩ C) ∪ (C ∩B)] ∪ Ac.

A) {6; 7}B) {8; 9; 0}C) {6; 7; 8; 9; 0}D) {1; 2; 3; 9; 0}E) {4; 5; 9; 0}

25 Se tiene los siguientes conjuntos.

J = {a + b; 0;m− n}K = {2m + n; 20}L = {5a + b; 24}

Si J es unitario y K = L, calcule el valor de m× n+a× b. considere que {m;n; a; b} ⊂ Z

A) 39 B) 48 C) 9D) 13 E) 15

3

Cuadernillo de trabajo–Semana 1

26 Se sabe que el conjunto A presenta 31 subconjuntospropios y el conjunto potencia de B tiene 8 elementos;ademas, A ∩B = ∅. Calcule n [P (A ∪B)].

A) 64 B) 128 C) 256D) 512 E) 1024

27 Se sabe que el conjunto A tiene 3 elementos mas queB y este tiene 112 subconjuntos menos que A. Si A yB son disjuntos, ¿cuantos elementos tiene A ∪B?

A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 11

28 Segun el conjunto

A = {a; {b; c} ; d}

¿Cuantas afirmaciones son incorrectas?

I. {b; c} ⊂ A

II. {b; c} ∈ A

III. {{b; c}} ⊂ A

IV. c ∈ A

V. {c} ⊂ A

VI. {c} ∈ A

A) 4 B) 2 C) 1D) 3 E) 5

29 Si

A =

{3 |x| − 1

5∈ Z+/16 ≤ x2 ≤ 144

}B =

{x ∈ Z+/x > 4→ x = 6

}Calcular n [(A−B)× A]

A) 15 B) 5 C) 24D) 10 E) 12

30 ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son correctas?

I) Sean A y B conjuntos de un universo U . Si A ⊂B y B ⊂ A, entonces A = B.

II) Sean A,B ⊂ U , si A ⊂ B y B ⊂ C, entoncesA ⊂ C.

III) Sean A,B ⊂ U , si B ∈ P (A) y A ∈ P (B),entonces A = B.

A)Solo III B)Solo I C)I y IIID)I y II E)Todas

31 En una reunion a la cual asistieron 50 personas, 20bailan, 32 cantan y 4 no cantan ni bailan. ¿Cuantaspersonas cantan y bailan?

A) 10 B) 9 C) 8D) 7 E) 6

32 De 42 personas, 15 tienen reloj y 20 son mujeres. Si10 varones tienen reloj, ¿cuantas mujeres no tienen re-loj?

A) 15 B) 14 C) 13D) 12 E) 11

33 A cierta conferencia, asistieron 600 personas, de lascuales, 250 eran mujeres; 150, profesores y 170, doc-tores. Ademas, cada asistente tenıa solo una profesion:profesor, ingeniero o doctor, y habıa 80 mujeres inge-nieras. ¿Cuantos varones son profesores o doctores?

A) 140 B) 120 C) 100D) 190 E) 150

34 En una reunion, hay 2n personas, de las cuales algu-nos hablan ingles, italiano o frances; todos hablan porlo menos uno de estos idiomas; todos los que hablaningles hablan frances; ninguno que habla ingles hablaitaliano; hay n personas que hablan italiano, pero nofrances, y hay 2m personas que hablan solo frances.Calcule la cantidad de personas que hablan exacta-mente 2 idiomas.

A) n−m B) 2n−m C) n− 2mD) 2n− 3m E) n− 3m

35 Esteban vende ensalada de frutas, para lo cual utilizan frutas diferentes, ¿cuantos platos diferentes puedeobtener? Si en cada plato utiliza al menos dos frutasdiferentes.

A) 2n + 1 B) 2n − n C) 210D) 2n − n− 1 E) 2n − 1

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