magnetostática - gr · electricidad y magnetismo 2010/2011 magnetostáticad: energía y...

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Magnetostática d: Energía y coeficientes de

inducción 1

Magnetostática

• Definición.

• El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.

• Ley de Biot y Savart.

• Ley de Ampère.

• Campo en puntos alejados. Momento magnético.

– Comportamiento en el infinito.

– Corrientes ligadas.

• Energía Magnética.

– Relación con las corrientes. Formación e Interacción.

– Sistemas de corrientes filiformes.

– Coeficientes de inducción. Autoinducción.

– Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.

• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall

EyM 5d-1J.L. Fernández Jambrina

• Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la Energía del Campo Magnético almacenada en un volumen V como:

– Si lo que se desea es calcular la energía asociada a una distribución, Vdebe abarcar toda la región en la que exista campo magnético: habitualmente todo el espacio.

– Observando esta expresión se intuye que la energía se encuentra almacenada en donde existe campo. Por tanto es posible definir una densidad de energía por unidad de volumen como:

– La energía de una distribución debe ser positiva. En el caso concreto de medios isótropos y lineales:

– Sólo toma el valor 0 si los campos son nulos.

Energía del Campo Magnético Estacionario

∫∫∫ ⋅=V

m dVHBWrr

2

1

HBdV

dWmrr

⋅=2

1

02

1

2

1

2

1 22

≥µ

=µ=⋅= BHHBdV

dWmrrrr

J.L. Fernández JambrinaEyM 5d-2



inducción 2

Relación Energía - Corrientes

• Puesto que el campo magnético tiene su origen en las corrientes, es interesante relacionarlas con la energía.

– Como punto de partida conviene recordar que:

– y sustituyendo en la expresión de la energía:

– Si el campo cumple las condiciones de regularidad en el infinito la primera de las integrales se cancela:

» al hacer tender la superficie S al infinito

• Por tanto:

– V se puede limitar al volumen en que hay corrientes.

∫∫∫ ⋅=J

Vm dVJAW

rr

2

1

( ) ( ) JAHABHJHAB

HAAHHA rrrrrrrrrr

rrrrrr

⋅+×⋅∇=⋅⇒

=×∇×∇=

×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

;

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅×=⋅+×⋅∇=VSVV

m dVJASdHAdVJAdVHAWrrrrrrrrr

2

1

2

1

2

1

2

1

( ) ( ) 01

,1

,1

3

2

32=⋅×⇒∝⋅×⇒∝∝∝ ∫∫∫∫

∞→ SSSSSdHAlim

rSdHArS

rB

rA

rrrrrrrr


∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=CS

SV

m ldAI

dSJAdVJAWrrrrrr

22

1

2

1

( ) ( )( ) ( )

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫

∫∫∫′

′−⋅′

πµ

=⇒

⋅=

′′−

′

πµ

=

V Vm

Vm

V

dVVdrr

rJrJW

dVJAW

Vdrr

rJrA

rr

rrrr

rr

rr

rrrr

8

2

1

4

( ) ( )∫ ∫∫∫ ∫∫ ′′ ′−

⋅′

πµ

=′′−

⋅′

πµ

=C C

mS S

SSm

rr

ldldIWdSSd

rr

rJrJW rr

rr

rr

rrrr

88

2

Relación Energía - Corrientes (2)

• La expresión anterior puede generalizarse para el caso de corrientes superficiales y filiformes:

– Hay que mencionar que la expresión para corrientes filiformes conduce a una energía infinita. Esto no debe preocupar ya que se trata de una aproximación de corrientes que circulan por conductores muy delgados.

• Se puede seguir eliminando los campos de la expresión de la energía: Así para un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido:

– Y para distribuciones superficiales y filiformes:




inducción 3

Energías de interacción y formación

• Los conceptos de energías de formación y de interacción son también aplicables a la energía asociada al campo magnético:

» Se puede demostrar que

siguiendo un procedimiento similar al seguido para demostrar:

– Las energías de formación deben ser positivas.

– Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como negativas.

( ) ( )

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅=

+⋅+

+=

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+ 12121

212211

212211

2121

2

21

2

1

2

1

2

1

2

1

nInteracció2Formación1Formación

2

1

2

1

Total

VVV

VVV

VV

V

m

dVAJdVAJdVAJ

dVHHdVHHdVHH

dVAAJJ

dVHHW

rrrrrr

rrrrrr

rrrr

rrµµµµ

∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅21

1221

VV

dVAJdVAJrrrr

∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=J

VVm dVJAdVBHW

rrrr

2

1

2

1


Energía magnética de una corriente filiforme.

• La energía magnética de una corriente filiforme es infinita.

– Si se escoge un elemento de longitud suficientemente pequeña como para considerarlo recto,El campo a una distancia D<∆R<<∆L será fundamentalmente el debido al propio elemento, considerado como de longitud infinita:

– La energía almacenada en esta región (cilindro) será:

– La energía es infinita en las proximidades de la corriente filiforme.

» Es decir, donde la aproximación de corriente filiforme no es válida.

∆L

∆R

z

( ) ϕπρ

≈ ˆ2

IrHrr

( ) ∞=−∆π∆µ

=ρρ

π∆µ

=

=ϕρρ

πρ

µ=

µ=∆

∫

∫ ∫ ∫∫∫∫∆

∆+ π ∆

∆

0lnln44

222

2

0

2

2

0 0

22 0

0

RLIdLI

dzddI

dVHW

R

Lz

z

R

V

H

r




inducción 4

Energía de interacción de sistemas de corrientes lineales

• Si se tiene un sistema de corrientes que pueda aproximarse por corrientes filiformes, la energía magnética de interacción entre dosde los contornos, Ci y Cj, toma la forma:

– Como el flujo a través de Ci del campo debido a Ij vale:

– Resulta:

– Es más, puesto que, para medios lineales, el campo total es la suma de los campos creados por cada corriente, la suma de las energías de interacción será:

I1

C1

Ik

Ck

IN

CN

∑ ∑∑ ∑

∑∑∫∫∫∫∑∫∫∑

=≠== +=

Φ=Φ=⇒

⇒Φ=⋅=⋅=⋅=Φ⇒=

N

i

N

ijj

jii

N

i

N

ij

jiim

j

ji

j S

j

S j

j

S

i

j

j

IIW

SdBSdBSdBBB

iii

1 1

,

1 1

,

,

2

1

rvrvrrvr

∫ ⋅=iC

ijijiH ldAIWrr

,

( ) ∫∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇=⋅=ΦiC

iji

Sj

iS

jji ldASdASdBrrrrrr

,

jiijim IW ,, Φ=


Coeficientes de Inducción Mutua

• En medios lineales existe una relación de proporcionalidad entre la corriente y el campo que esta genera. Esta proporcionalidad, consecuencia de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, se extiende también al flujo.

– Este factor de proporcionalidad recibe el nombre de coeficiente de inducción: Li,j

– En función de Li,j la energía de interacción queda como:

– Recordando que:

Se obtiene fórmula de Neumann:

» Nota: el coeficiente de autoinducción, Li,i , es infinito.

∑∑∑ ∑≠≠

=Φ=i

ij

j

jiji

i

ij

j

jiim LIIIW ,,2

1

2

1

∫ ∫ −

⋅

πµ

=i jC C ji

ji

jirr

ldldL rr

rr

4,

∫ ∫ ′ ′−⋅′

πµ

=C C

mrr

ldldIW rr

rr

8

2

jji

S

ijji ILSdB

i

,, =⋅=Φ ∫∫rr

∫∫ ⋅=iS

ij

j

ji SdBI

Lrr1

,




inducción 5

Coeficientes de inducción de distribuciones no filiformes

• Se ha visto que existen dos métodos para el cálculo de coeficientes de inducción mutua para corrientes filiformes: la fórmula de Neumann y la energía.

– La expresión basada directamente en la energía se utiliza para generalizar la definición de coeficiente de inducción mutua a distribuciones superficiales y volumétricas.

– Esta misma expresión puede utilizarse para definir el coeficiente de autoinducción de una distribución superficial o volumétrica:

» La presencia del factor 2 en la expresión de la autoinducción y su ausencia en la de los coeficientes de inducción mutua proviene de las definiciones de energías de formación e interacción.

∫ ∫ −

⋅

πµ

=i jC C ji

ji

jirr

ldldL rr

rr

4,

( )∫∫∫ ⋅

µ==

V

ji

jiji

jim

ji dVHHIIII

WL

rr,

,

( )∫∫∫==V

i

ii

iim

ii dVHII

WL

2

22

,

,

2 rµ


Energías de interacción y formación

• Los conceptos de energías de formación y de interacción son también aplicables a la energía asociada al campo magnético:

• Las energías de formación deben ser positivas.

• Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como negativas.

( ) ( )

++

⋅+⋅+⋅

⋅µ+⋅µ+⋅µ

=

+⋅+

+µ

=

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∑∑

∫∫∫

∫∫∫

+

2,1212,2

2

21,1

2

1

212211

212211

2 2

,

2121

2

21

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

nInteracció2Formación1Formación

2

1

2

1

2

1Total

21

LIILILI

dVAJdVAJdVAJ

dVHHdVHHdVHH

LII

dVAAJJ

dVHH

W

VVV

VVV

i j

jiji

VV

V

m rrrrrr

rrrrrr

rrrr

rr




inducción 6

• Los coeficientes de inducción son parámetros geométricos.

– su valor no depende de las corrientes que circulan tal como puede verse de su expresión.

• Los coeficientes de inducción mutua son simétricos: Lij = Lji– Se deduce de su expresión.

– (ojo) Su signo cambia si se cambia el sentido considerado comopositivo para una de las corrientes, circulaciones o flujos.

• Los coeficientes de autoinducción de circuitos filiformes son infinitos

– Las integrales son impropias.

– La energía asociada con un sistema de corrientes filiformes es infinita.

– Las corrientes filiformes son un modelo matemático sin realidad física.

» Se necesita energía infinita para hacer pasar una corriente finita por un conductor de sección transversal nula.

• Los coeficientes de autoinducción de distribuciones volumétricas o superficiales son finitos y positivos.

Propiedades de los Coeficientes de Inducción


Autoinducción de distribuciones volumétricas

• El coeficiente de autoinducción de distribuciones volumétricas se define a partir de su energía:

• Puesto que parte de esta energía se está asociada al campo en el interior de la distribución y parte fuera, se acostumbra a descomponer la autoinducción en dos sumandos, llamados:

– coeficiente de autoinducción interno, asociado a la energía interior.

– coeficiente de autoinducción externo, asociado a la energía exterior.

– Es posible relacionar estos coeficientes de autoinducción con el concepto de flujo.

∫∫∫ ⋅==V

m dVHBII

WL

rr

22

12

⋅==

⋅==

⇔

+=

+=

∫∫∫

∫∫∫

e

i

V

em

e

V

im

i

ei

emimm

dVHBII

WL

dVHBII

WL

LLL

WWW

rr

rr

22

,

22

,

,,

12

12




inducción 7

• Datos de la distribución de corriente

– Radio a.

– Se supone que la corriente se distribuye de forma uniforme:

– El campo creado es:

– Calculando el coeficiente de autoinducción a partir de la energía:

» En el exterior:

» El coeficiente de autoinducción externo por unidad de longitud es infinito. (Debido fundamentalmente a que no se cumplen las condiciones de regularidad)

Autoinducción de un Hilo Conductor Cilíndrico Indefinido.

2

0

2

I

WL m=

a

Z

I0

∞=ρρ

πµ

=ρϕρ

πρ

µ= ∫∫ ∫ ∫∞+ ∞

=ρ

π

=ϕ a

lz

z a

ext ddzdd

I

lIl

L

22

1 0

0

2

0

2

0

2

0

( )

ρ≤ϕπρ

≤ρ≤ϕρ

π=a

I

aa

I

rH;ˆ

2

0;ˆ2

0

2

0

rr


• En el interior:

– Puede observarse como un hilo conductor tiene una autoinducción interna por unidad de longitud que puede ser importante.

– Puesto que el campo en el interior de un hilo cilíndrico será fundamentalmente debido a la corriente que circula por él, este resultado se puede utilizar como aproximación en muchos casos.

Autoinducción Interna de un Hilo Conductor Cilíndrico Indefinido.

ϕρ

π= ˆ2 2

0

a

IH i

r

πµ

=ρϕρ

ρπ

µ= ∫ ∫=ρ

π

=ϕ 1622

12

0

0

2

0

2

2

0int Idd

a

I

l

W a

( ) mnH508

22

intint =πµ

==m

HI

mW

l

L




inducción 8

• En el conductor interior:

– la situación es idéntica a la del hilo indefinido:

• En la región intermedia:

– La autoinducción externa por unidad de longitud:

• En el conductor exterior:

Autoinducción de un Cable Coaxial

ϕπρ

= ˆ2

0IHr

∫ ∫∫= =

==

=

b

a

b

a

ext

a

bddd

I

Il

L

ρ

π

ϕ πµ

ρρ

πµ

ρϕρπρ

µln

222

2

0

2

0

2

0

( )

( )( ) ( )

−+−−−

=

=

−

−= ∫ ∫ ∫= = =

442224

222

1

0

2

0

22

22

0

2

0

int

4

1ln

2

2

1

bcbccb

cc

bc

dzddc

bc

I

Il

L

z

c

b

π

µ

ρϕρρρπ

µρ

π

ϕ

πµ

==8

22

0,0

i

aHa

lI

W

l

L

Z

I0

ab

c

I0

( ) ( ) ϕρρπ

ˆ2

2

22

0

−

−=

c

bc

IrHrr


• Utilizando:

• Para valores normales, α= [1.5, 5], el coeficiente de inducción interno del conductor interior contribuye a la inducción total de forma significativa.

Autoinducción de un Coaxial. (2)

απµ

=πµ

=⇒=α ln2

ln2 a

b

l

L

a

b ab

1 2 3 4 50

Lab/l

αααα

400nH/m

200nH/m

L0a /l




inducción 9

Autoinducción de un Coaxial. (3)

• Utilizando:

• Para valores normales, β<1.2, el coeficiente de inducción interno del conductor exterior no contribuye a la inducción total de forma significativa.

( )( ) ( )

( )( )

−ββ−

−β+ββ

−βπµ

=

=

−+−−−π

µ=⇒=β

14

1ln

1

1

2

4

1ln

2

224

4

22

442224

222bcbcc

b

cc

bcl

L

b

c bc

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

ββββ

40nH/m

60nH/m

80nH/m

20nH/m l

Lbc


Autoinducción: Método de los tubos de flujo.

• En un medio isótropo el dV puede construirsea partir de un dS ortogonal a las líneas de y un dl paralelo a las líneas de .

–

La integral de contorno, según la ley de Ampère es la corriente encerrada por el contorno, es decir, por el tubo de flujo. Denominando a esta corriente I(CH) resulta:

– Para que esta expresión se pueda aplicar, el flujo debe calcularse según una superficie normal a las líneas de campo, y que I(CH) es la corriente encerrada por la línea de campo correspondiente al dΦΦΦΦ.

∫∫ ∫∫∫∫ Φ

⋅=⋅=

B HS

B

CV

m dldHdVHBWrrrr

2

1

2

1

rB

rH

( )( ) ( )BdldHSdBldHdVHB Φ⋅=⋅⋅=⋅

rrrrrrrr

( )∫∫ Φ=BS

BHm dCIW2

1

I

dSr dl

r

( ) ( )( )( ) ( )( )ldHSdB

dV

ldSdHB

SdHldBrrrr

43421

rrrr

rrrr

⋅⋅−⋅⋅=

=×⋅×=0




inducción 10

Autoinducción: Método de los tubos de flujo.

• Si no hay líneas de campo que corten a las corrientes es posible separar las energías de las regiones interna y externa:

– Obsérvese que la corriente encerrada por las líneas de campo externas es constante y en muchos casos coincide con la corriente total.

• En este caso los coeficientes de inducción interno y externo quedan como:

– En un conductor filiforme no existe la región interior y, por tanto, la única contribución a L es la externa.

( ) ∫∫∫∫ Φ+Φ=e

S

B

iS

BHm dI

dCIW22

1

( )

II

d

I

WL

I

dCI

I

WL eBe

S

B

em

ei

S

BH

im

i

,

2

,

22

, 2;

2 Φ=

Φ

==

Φ

==∫∫∫∫


• Utilizando el método de los tubos de flujo:

– Para el cable coaxial la autoinducción externa por unidad de longitud se obtiene del flujo a través de la sección Se indicada en la figura.

– La autoinducción por unidad de longitud correspondiente resulta:

– De forma análoga se obtiene la autoinducción interna del conductor interior a partir del flujo a través de Si :

Autoinducción Cable Coaxial

∫ ∫∫= =ρ

π

µ=

ρρ

πµ

=ρ

πρ

µ=Φ1

0ln

222z

b

a

b

a a

bIdIdzd

I

πµ

=Φ

=a

b

Im

L extext ln2

( ) ∫ ∫∫∫∫ = =ρ πµ

=ρρπµ

=

ρρ

πµ

ππρ

=Φ′=1

0 0

3

40 22

2

22 822

11

z

aa

Si d

adzd

a

I

aI

IdlI

IL

i

b

a

dρρρρ

z=0 z=1

Se

Si




inducción 11

Línea Bifilar.

• Una línea bifilar está formada por dos conductores cilíndricos paralelos por los que circula la misma corriente en sentidos contrarios.

I

Iaa d

4 2 0 2 4

2

1

0

1

2

BJ.L. Fernández Jambrina

EyM 5d-21

Línea bifilar. (2)

• Aproximaciones para d>>a:

– Dentro de cada conductor el campo es el propio.

– En la superficie de los conductores el campo es tangencial

4 2 0 2 4

2

1

0

1

2

B




inducción 12

Línea Bifilar (3)

• Aproximación 1:

– Dentro de cada conductor el campo es el debido a su propia corriente:

» La energía dentro de cada conductor será la misma que para un conductor sólo.

» El coeficiente de autoinducción interno será el doble del de un conductor cilíndrico indefinido:

nH/m10048

2 =πµ

=πµ

=iL


Línea Bifilar. (4)

• Aproximación 2:

– El campo es tangencial a las superficies.

» Esto permite aplicar la fórmula del flujo del campo magnético utilizando cualquier superficie limitada por los conductores.

» Como: y utilizando la simetría.

» Utilizando la superficie y=0.

• Resultado:

Xb

Zb

Yb

rra

rrb

ϕb

d xb$

a

addzd

I

Il

L

z

ad

a

e −πµ

=ρϕ⋅

ϕ

πρµ

= ∫ ∫=

−

=ρlnˆˆ

2

12

1

0

ba BBBrrr

+=

I

SdB

I

SdB

I

SdB

I

SdBL eS

beS

beS

aeS

e

∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅=

⋅+

⋅=

⋅=

rrrrrrrr

2

a

ad

l

L −πµ

+πµ

= ln4




inducción 13

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5 107

1 106

d/a

30

L

l

d a

a

e aprox,ln=

−µπ

L

l

d

a

e exacto,ln=

µπ

4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

5

10

15

20

25

d/a

Error

Línea Bifilar. (5)

• La figura compara los valores autoinducción externa en función de la relación d/a para las expresiones exacta Le y aproximada La por unidad de longitud.

• El error relativo cometido al usar la expresión aproximada es menordel 5% para d/a > 10.


• Aproximación para el cálculo de la inductancia:

– Si w>>d, se puede suponer que las líneas de campo tienen el aspecto de la figura:

» No cortan a los conductores.

» Así se puede aplicar fácilmente el método de los anillos de flujo, lo que equivale a calcular el flujo entre dos puntos cualquiera de los conductores:

» Y la inductancia:

• Cálculo exacto:

– El cálculo exacto conviene hacerlo a través de:

» Es engorroso.

Autoinducción de una línea biplaca.

( ) ( )w

dIdlnB

IdlnBCIdCI

ll

W

BL

BL

H

BS

BHm

2ˆ

2ˆ

2

1

2

1 2µ=⋅=⋅=Φ= ∫∫∫∫

rr

w

d

I

W

l

L m µ==2

2

dlAJl

W

SJS

mrr

⋅= ∫21




inducción 14

Autoinducción de una línea biplaca. (2)

• Comparación entre el valor aproximado de la inductancia y el exacto:

– Las escalas son logarítmicas.w/d

L/l

1 10 100

10µH/m

1µH/m

0.1µH/m

0.01µH/m

Exacta

Aproximada


• Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d.

• El arrollamiento tiene N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios.

– El campo en su exterior es nulo.

– El campo en su interior es:

» Verifica la ley de Ampère y las condiciones en el infinito y en la superficie del solenoide.

• El flujo en una espira:

• El flujo total será N veces el anterior, y

Autoinducción de un Solenoide Toroidal

ϕπρ

= ˆ2

NIHr

a

bNIddzd

NId

z

b

aex ln

2ˆˆ

20 πµ

=ρϕ⋅

ϕ

πρµ=Φ ∫ ∫= =ρ

a

bdN

I

NL ex ln

2

2

πµ

=Φ

=




inducción 15

Inducción mutua entre dos espiras.

• Sean las dos espiras de la figura:

» Filiformes

» Contenidas en planos paralelos separados una distancia d.

» Coaxiales de radios a y b.

– Al ser filiformes se puede aplicar la fórmula de Neumann:

» Los diferenciales de longitud son:

X

r rr r1 2−

a

b

d

C2

C1

Z

Y

dlr

1

dlr

2

∫ ∫ −⋅

πµ

=1 2

21

2112

4 C C rr

ldldL rr

rr

( )( )

( ) ( ) 211221212121

22222

11111

coscoscossensen

ˆcosˆsenˆ

ˆcosˆsenˆ

ϕϕϕ−ϕ=ϕϕϕϕ+ϕϕ=⋅

ϕ+ϕ−=ϕϕ=

ϕ+ϕ−=ϕϕ=

ddabddabldld

yxbbdld

yxaadld

rr

r

r


Inducción mutua entre dos espiras circulares.

» Los vectores de posición y el módulo de su diferencia:

» Sustituyendo:

» Realizando el cambio:

( )( )

( ) ( )( ) 2

12

22

12

121212

2222

1111

cos2

ˆˆsensenˆcoscos

ˆˆsenˆcosˆˆ

ˆsenˆcosˆ

dabbarr

zdyabxabrr

zdyxbzdbr

yxaar

+ϕ−ϕ−+=−

+ϕ−ϕ+ϕ−ϕ=−

+ϕ+ϕ=+ρ=

ϕ+ϕ=ρ=

rr

rr

r

r

( )( )∫ ∫

π

=ϕ

π

=ϕ +ϕ−ϕ−+

ϕϕϕ−ϕπµ

=2

01

2

02

2

12

22

211212

cos2

cos

4 dabba

ddabL

12 ϕ−ϕ=α

∫∫ ∫π

=α

π

=ϕ

ϕ+π

ϕ=α +α−+

ααµ=

+α−+

αϕαπµ

=2

0 222

2

01

12

1222

112

cos2

cos

2cos2

cos

4 dabba

dab

dabba

ddabL




inducción 16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

d/a

b/a=1.1

b/a=1.5

b/a=2

Inducción mutua entre dos espiras circulares (2)

– La primitiva de esta última integral implica funciones elípticas.

– La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función de la separación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y tomando como parámetro la relación entre sus radios (b/a).

» La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son coplanares.

» Si las dos espiras son de radios muy parecidos la inducción mutua crece muy rápidamente cuando se hacen coplanares.


Fórmulas aproximadas de autoinducción

• Autoinducción de un hilo recto corto:

» RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse, Artech House. ISBN:0-89006-933-6. pág 427

• Autoinducción de un solenoide:

» RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse, Artech House. ISBN:0-89006-933-6. pág 428

(cm) hilo del diametro

hilo(cm) del longitud

(H) ainductanci4

ln2

0

=

=

=

=

d

l

L

d

llL

πµ

(in) solemoide del longitud

(in) solenoide del radio

vueltasde numero

H)( ainductanci

109

22

=

=

=

µ=

+=

l

r

n

L

lr

rnL


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