Energía magnetostática – existencia de dominios

iii

iii

iii

iM VHMHBE 222

1 00

Energía magnetostática

Energía de interación entre los dipolos de un material magnetizado

E1 E2 En

...

mi

Bi iij

ji rBB

?mínME

i

dVHM

2

0

Evaluación de: En ausencia de corrientes:

0

0

H

B

además

UH

MHB

0

dVHMEM

20

y las ecuaciones de Maxwell:

Dado un cuerpo (forma, volumen V, superficie S),

0 MU

MU int

2

02 outU

Una distribución de magnetización M,

continuoU

Potencial escalar

S

n

condiciones de contorno

MU int

2

02 extU

SextSUU int

nMn

U

n

U

S

ext

S

int

Ur

rU2

Acotadas para r

)(rU

Se puede demostrar que el problema tiene

solución única

dVHMEM

20

UH

dadarM )(

Ejemplo: Esfera de radio R magnetizada uniformemente

0 M

M uniformez

M

n

R 0intint yx

HH

3intSM

Hz

U ( r⃗ ) H⃗ =−∇⃗(U )

5

3

r

xzRMH S

extx

5

3

r

yzRMH S

ext y

3

12

2

3

3

r

z

r

RMH S

ext z

Campo demagnetizante

Campo dispersoz

MHD

Hext

energía

esferaSM VHMdVHMEzint

00

22

3intSM

Hz

9

2 20

3S

M

MRE

2

0 SM MCE

generalizando para otras

geometrías y distribuciones

de la magnetización

9

2

3

4

32

20

330 SS

S

MRRMM

esfera

E M⩾0

H iz=−N D M Sgeneralizando

Factor demagnetizante

SDMNHzint

Factor demagnetizante

3/1 xS NxMM

3/1 yS NyMM

3/1 zS NzMM

1 zyx NNN

Esfera

si

(tensor demagnetizante)

Cilindro infinito magnetizado uniformemente en dirección perpendicular al eje

M

n

x

xHextM

H

D

0intint yz

HH

2intSM

Hx

z

dSHMM

20

2intSM

Hx

Energía magnetostática por unidad de área al eje del cilindro

422

20

220 SS

S

MRR

MM

N x=1/2

2/1 xS NxMM

2/1 yS NyMM

0 zS NzMM

1 zyx NNN

M

n

x

z

Otros cuerpos magnetizados uniformemente

M uniforme Caso general Hint NO uniforme

Hint uniforme

M uniforme

1222

c

z

b

y

a

x

elipsoide

MNH D

ˆ

Campo demagnetizante

Tensor demagnetizante

Diagonal si los ejes de

coordenadas coinciden con

los del elipsoide

Número si además M

iM S

jM S

kM S

Traza unitaria

1 zyx NNN

xMyM

zM M

H

MNH D

ˆ

xxx MNH

yyy MNH

zzz MNH

1 zyx NNN

dVHMEM

20

VMNMNMNE zzyyxxM2220

2

VHMHMHM zzyyxx 2

0.,, unifHM ii

colinealesnoMHD

,

0,0 MparaE mínM

2220

2 zzyyxxM MNMNMNV

E

Superficies no cuadráticas

Válido también para cuerpos con superficies no cuadráticas: cubos, prismas, cilindros, octaedros, etc.

(teorema de Brown-Morrish)

Casos particulares

Cubo, octaaedro, tetraedro

3/1 zyx NNN

Prisma regular, cilindro

zyx NNN

Caso límite

0;2

1 zyx NNN

Tensores demagnetizantes magnetostático y balístico

campo efectivoHapl

HD M

NMH D

NMHHHH aplDaplef

Cuando se reporta la respuesta M vs. H debería usarse como excitación al Hef

NMHHvsM aplef

Susceptibilidad diferencial

efaplef HNHH N

HH apl

ef

1aplH

NM

1

Cuando << 1 aplHM Independientemente de N

Cuando aplHN

M1

Fuertemente dependiente de N >> 1

χ=dM /dH ef

κ=dM /dH apl

Susceptibilidad aparente

Susceptibilidad aparente

1/κ=1 /χ+N

Hapl

HD M

SaplSef NMHH

Ejemplo, Ni

TeslamAxM S 6.0/108.4 5

campo de saturación

TeslaHTeslaHHNMH NiSaplN

NiSSapl 03.001.06.0

1

factores demagnetizantesCálculos en prismas

Factores demagnetizantes– referencias

Fórmulas, tablas y gráficos de factores demagnetizantes, Chen et al. IEEE Trans. Magnetics 27, 3601-19 (1991)

Campo demagnetizante y medidas magnéticas, J.A. Brug y W.P. Wolf, J.Appl.Phys. 57, 4685-701 (1985)

Cálculo de factores demagnetizantes, http://www.magpar.net/static/magpar/doc/html/demagcalc.html

Elipsoide prolado u oblado prolado

oblado

zyx NNNcba

zyx NNNcba z

2220

2 zzyyxxM MNMNMNV

E

cteMNNV

cteMNNV

E SxzzxzM 22020 cos22

cteVKcteMNNV

E SSxzM 2220 sinsin2

2222zyxS MMMM

2sinVKE MEM 20

2 SzxME MNNK

2220

2 zzyxx MNMMNV

yx NN

Anisotropía de forma: NP elipsoidales

0,2/1;2

20 zxSzxME NNMNNK

Ejemplo: elipsoide prolado largo de magnetita

mAM S /105.4 5

343257

/104.6/105.42

1

2

104mJmJKME

Energía magnetostática - Origen de los dominios

1 dominio n dominios

nE

nE

M

M 1

1

expresión aproximada

20 SM MnCnE

E M (1) E M (n)

La energía magnetostática decrece al aumentar el número de dominios

Energía de pared de dominios

n dominios 2/ mJPD

2/ mJnSE PDPDPD

La energía de pared de dominio aumenta con el número de dominios porque es proporcional al área de la superficie entre dominios

PDPD

monoMmulti nSn

EE

Nro dominios en equilibrio

E magnetostática decrece

E pared dominios crece

Energía de pared por unidad de área, proporcional al número

de dominios

n dominios

Número de dominios en equilibrio

magnetostática

pared

mu

lti

n

neq

Pseudo-3d MFM image of a (YSmLaCa)3 (FeGe)5

O12 magnetic thin film garnet, 4.5 x 4.5 µm2,

domain walls appear dark;

MFM

Dominios y paredes de dominio

Pared de Bloch Pared de Néel

= Na Pared de Bloch de 180° E

je f

ácil

JK

intercambio

anisotropía

N

JK

Optimización energía por unidad de área de pared

Ka

JsaNeqeq

22

KAeq 22

aJsA /2

mJAmJ /10/10 1112

Ancho de la paredK

A2

3633 /10/10 mJKmJ nmeq 444nmeq 4.44

mJA /10 1133 /10 mJK 35 /10 mJK

Cte de stiffness

Fin módulo