MAGNETOSTÁTICA

Estudia los campos magnéticos producidos por imanes y por corrientes eléctricas.

OBSERVACIONES EXPERIMENTALES. Desde la antigüedad (varios siglos A.C.) los griegos habían observado que algunos minerales de hierro, como la magnetita , podían atraer pequeños trozos de hierro. Esta propiedad de poder ser atraídos la tiene además del hierro, otros materiales como el manganesio, el cobalto, etc. y muchos compuestos de estos metales. Debido a que aparentemente esta propiedad física no parecía estar relacionada con la electricidad, se le dio el nombre de magnetismo que deriva de una ciudad del Asia menor, llamada Magnesia que según la tradición es donde se observó por primera vez el fenómeno. Los polos magnéticos Un cuerpo magnetizado se conoce como imán, y en él, el magnetismo parece estar concentrado en pequeñas regiones del cuerpo llamadas polos magnéticos. Una varilla magnetizada que pueda girar libremente (como la aguja de una brújula) se orienta de manera que el mismo extremo apunta siempre hacia el Polo Norte geográfico. Este hecho sugiere que existen dos polos magnéticos que se suelen representar con las letras N y S. La experiencia con una barra magnetizada muestra que tiene polos opuestos en sus extremos. Si colocamos dos barras magnetizadas como se indica en la fig.7.1 y fig.7.2, se comprueba que los polos magnéticos opuestos se atraen y los polos magnéticos iguales se repelen. En 1269 Pierre de Maricourt, usando un imán natural esférico y una aguja, elaboró un mapa de las direcciones que tomaba la aguja al colocarla en diferentes puntos de la superficie de la esfera. Encontró que las direcciones formaban líneas que rodeaban la esfera pasando a través de puntos diametralmente opuestos, a los cuales llamó polos del imán. En 1600, William Gilbert extendió estos experimentos a otros materiales, y usando el hecho de que una aguja magnética (brújula) se orientaba en direcciones preferidas, sugiere que la Tierra se comporta igual que un gran imán permanente, fig.7.3. En 1750, John Michel usó la balanza de torsión para calcular las fuerzas de atracción que se ejercían dos polos opuestos, y encontró que dicha fuerza variaba con el inverso del cuadrado de la distancia de separación entre los polos. No existen polos magnéticos aislados Se podría al menos en principio, medir la intensidad de un polo magnético, considerando una hipotética masa o carga magnética y ver la dependencia de la interacción con la distancia entre los polos. Sin embargo, hay una dificultad fundamental cuando se intentan hacer tales mediciones, no ha sido posible aislar un polo magnético e identificar una partícula que tenga un solo tipo de magnetismo (N o S). Se recordará, que experimentalmente se han encontrado aisladas las cargas eléctricas positivas y negativas, y se ha podido asociar una cantidad definida de carga a las partículas fundamentales que constituyen la materia.

Fr

Fr

Fig.1. Entre polos magnéticos de distinto nombre se ejerce una fuerza atractiva.

Fr

Fr

Fig.2. Entre polos magnéticos de igual nombre se ejerce una fuerza repulsiva.

Un imán con sus dos polos magnéticos designados como norte N y sur S.

N S

En cambio, no sucede lo mismo con los polos magnéticos allí donde hay un polo N, también se encuentra un polo S. Como veremos más adelante, los conceptos de masa magnética o polo magnético, no son necesarios para describir el magnetismo, porque es una propiedad de las cargas eléctricas en movimiento. La interacción eléctrica y la magnética están relac ionadas Resulta que la interacción eléctrica y magnética están íntimamente relacionadas y en realidad son dos aspectos de una misma y única propiedad de la materia, la carga eléctrica . La experiencia nos ha demostrado que la interacción electrostática es una propiedad debida a las cargas eléctricas en reposo, mientras que el magnetismo es una manifestación de las cargas eléctricas en movimiento, respecto del observador. La relación entre el magnetismo y la electricidad fue descubierta en 1819 por el científico danés Hans Oersted fig.7.4, al encontrar que la corriente eléctrica circulando por un hilo conductor es capaz de desviar la aguja de una brújula cercana, fig.7.5. Al no pasar corriente por el hilo la brújula está orientada en la dirección del campo magnético terrestre. Si se hace pasar corriente por el mismo fig.7.6 la brújula se desvía 90º hasta situarse perpendicular al conductor. Al poco tiempo, André Ampere (1775-1836), fig.7.7; descubrió las leyes cuantitativas que describen la interacción magnética entre conductores y sugirió también que en el interior de la materia deberían existir unas corrientes eléctricas moleculares, que se conocen como corrientes amperianas, fig.7.8 que son las responsables de todos los fenómenos magnéticos en la materia.

Fig.7.4- Hans Christian Oersted, físico y químico holandés (1777-1851), que descubrió que una corriente eléctrica podría hacer girar a una aguja magnética o brújula.

Fig.7.7. André-Marie Ampere, físico francés (1755-1836) de quien viene el nombre de la unidad de intensidad de corriente. Formuló la ley que lleva su nombre, que relaciona la circulación del campo magnético con las corrientes eléctricas.

Fig.7.5. Brújula orientada en el campo magnéticco terrestre. El hilo conductor por el que aún no hacemos pasar corriente, se ha situado paralelo a la brújula.

Fig.7.6. Al cerrar el circuito conectando la pila, la corriente eléctrica pasa por el hilo y crea un campo magnético que hace girar a la brújula 90º.

Fig.7.8. Las corrientes amperianas son supuestas corrientes moleculares cerradas, que se encontrarían en el interior de la materia, a las que Ampere consideró la causa del magnetismo.

En la década de 1820, Faraday en Inglaterra y Joseph Henry (1797-1878) en América, descubrieron de forma independiente varias conexiones entre la electricidad y el magnetismo. Comprobaron que un imán moviéndose próximo a un circuito generaba en éste una corriente. Sin embargo, hasta 1873 no se tuvo una visión completa y unificada de los fenómenos electromagnéticos, hasta la publicación de los trabajos teóricos del escocés James Clark Maxwell (1831-1879) en su Tratado sobre electricidad y magnetismo). LEY DE LORENTZ. CAMPO MAGNÉTICO Puesto que se observan interacciones entre cuerpos magnetizados incluso cuando están separados una cierta distancia, en analogía con la interacción eléctrica o gravitatoria, es necesario poder describir la interacción magnética por medio de un campo vectorial, conocido como vector campo magnético 0 también inducción magnética,

rB .

Es un hecho experimental que cuando una carga eléctrica en movimiento penetra en un campo magnético, sufre la acción de una fuerza. Al medir en un mismo punto del campo magnético

rB , la fuerza que experimentan

diferentes cargas en movimiento con velocidad vr

, podemos obtener una

relación entre la fuerza MFr

, el campo rB , la carga q y su velocidad v

r.

Se observa en primer lugar, que la fuerza ejercida por el campo magnético es nula, cuando la carga se esta moviendo en la misma dirección que el campo magnético y entonces los vectores

rv y

rB son paralelos, fig. 7.9. Sin

embargo, al ir variando el ángulo que forman la velocidad vr

con el campo rB , la fuerza alcanza su valor máximo cuando la velocidad

rv de la carga, y

el campo rB son perpendiculares, fig.7.10.

En general, de estas y otras observaciones experimentales se deduce: Que el módulo de la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga en movimiento, es igual al producto de la carga, por la componente de su

velocidad pv en la dirección perpendicular al campo magnético y por el

valor del módulo del campo magnético, fig 7.11. Observaciones que recogidas en una ecuación dan para el módulo de la

fuerza: θθ senBvqB)senv(qBvqF pm

rrrrr===

Recordando que corresponde con la definición del módulo del producto vectorial, la fuerza magnética se puede describir vectorialmente del siguiente modo:

r r rF q v Bm = × , (7,1)

Es decir, la fuerza magnética sobre una carga en mo vimiento es igual al producto de la carga, por el vector que resulta de multiplicar vectorialmente la velocidad de la carga v

r y el campo magnético B

r.

vr

Br

q

Fig-7.9. La carga se mueve en la dirección

del campo magnético rB , entonces no

sufre desviación alguna continuando con su trayectoria rectilínea.

Br

+q θ

vr

pv

MFr

Fig.7.11. Fuerza sobre una carga móvil en un campo magnético.

vr

Br

-q

MFr

Fig.7.10bis. Si la carga es negativa, la fuerza magnética vale:

BxvqFM

rrr−= que es de sentido

contrario a la fuerza sobre una carga positiva. Recuérdense las reglas del producto vectorial y compárese con la fig.7.10.

Trayectoria

vr

Br

+q

MFr

Fig.7.10. Cuando el ángulo que forman rv y

rB es distinto de 0º, la fuerza magnética

MFr

desvía la trayectoria de la carga y

cambia la dirección de su vector velocidad que es tangente a la misma. Cuando el ángulo

que forman rv y

rB es de 90º, la fuerza es

máxima.

vr

Trayectoria

Fuerza de Lorentz Si en la región del espacio en la que existe el campo

magnético Br

existiera además un campo eléctrico rE , entonces la carga se

encontraría sometida a la acción de dos fuerzas distintas una la debida al

campo magnético MFr

y otra debida al campo eléctrico Er

. La fuerza total sobre la carga, es la suma vectorial de las dos fuerzas: ( )BxvEqBxvqEqF

rrrrrr+=+= (7.2)

ecuación que se conoce como Fuerza de Lorentz . En el S.I. de unidades el campo magnético se mide en tesla (T), cuando la carga se mide en culombio, la velocidad en m.s-1 y la fuerza en newton. De ecuación (7.1) se comprende que:

A·m

N

sC·m

N

sm·C

NT ===

Con frecuencia se utiliza para el campo magnético, la unidad llamada gauss (G), que no pertenece al S. I. pero que está relacionado con el tesla.

1 T = 104 G Valores típicos del campo magnético pueden ser de 25000 G o 2,5 T, para los campos magnéticos de imanes convencionales de laboratorio, aunque existen imanes superconductores que pueden producir campos de 25 T. El campo magnético terrestre próximo a la superficie es de unos 0,5 T. ¿Cuáles son las consecuencias de la fuerza que ejer ce el campo magnético sobre una carga móvil? Una consecuencia inmediata resulta de la ecuación (7.1) y es que la fuerza que el campo magnético hace sobre una carga eléctrica móvil, no realiza ningún trabajo sobre la misma. En efecto, multiplicando escalarmente esta fuerza por un desplazamiento elemental rd

ra lo largo de la trayectoria,

fig.7.13.

Resulta que el trabajo elemental realizado por la fuerza vale:

0dtv·Frd·FdW mm ===rrrr

Por ser mFr

perpendicular a vr

el producto escalar vale cero. De aquí se puede deducir también (usando el teorema del trabajo y la energía), que la energía cinética de una partícula cargada, sometida solamente a la acción de una campo magnético, se mantiene constante

Trabajo = =∆( )1

202mv , EM = Cte

Por lo tanto, cuando una carga se mueve bajo la acc ión de un campo magnético, éste sólo puede cambiar la dirección del vector velocidad, pero no su módulo: la aceleración de la carga es toda centrípeta .

vr

rdr

q+

Bv

MFr

Fig.7.13. El desplazamiento rdr

sobre la trayectoria, tiene la dirección de vr

El teslámetro es un aparato de medida que permite determinar en teslas, o en submúltiplos de esta unidad, el módulo del

vector campo magnético Br

. Lleva una sonda que se introduce dentro del campo magnético, en la figura está situada entre los polos del imán.

Obsérvese en la fotografía, la trayectoria real de los electrones (-e) al describir una circunferencia cuando entran perpendicular-

mente en un campo magnético Br

normal al plano del papel y saliente (representado por puntos negros en la figura). Es una consecuencia de que la fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta, siendo en todo momento perpendicular al vector velocidad de la cargas. Fotos tomadas en nuestro laboratorio de Física.

MFr

Br

vr

EJERCICIO RESUELTO Un protón q=+1,6.10-19C, se mueve con una velocidad de 5.106 m/s a lo largo del eje X cuando penetra en una región donde existe un campo de 1,5 T que forma un ángulo de 600 con el eje X, y está situado en el plano OXY. Determina la fuerza magnética y la aceleración centrípeta inicial del protón. Véase la figura de la derecha

r r rF q v Bm = × i10.5v 6

rr=

N10·60sen5,1·10.5·10.6,1senBvqF 12619m

−− === θr

21427

12m

s.m10.2,610.67,1

10.04,1

m

Fa −

−

−

===

r

r

Para resolver el problema usando vectores completamente, expresaremos Br

en función de sus dos componentes cartesianas.

j60sen5,1i60cos5,1Brrr

+=

Nk10.04,1

060sen5,160cos5,1

0010,5

kji

10.6,1BxvqF 12619m

r

rrr

rrr−− ===

; 214

27

12m s.mk10.2,6

kg

Nk

10.67,1

10.04,1

m

Fa −

−

−

===rr

r

r

Trayectoria de una partícula cargada en un campo ma gnético uniforme. Vamos a convenir que cuando el campo magnético es perpendicular al papel y saliente se representa mediante circulitos, mientras que si es perpendicular al papel y entrante, se simboliza con cruces x. Estudiemos el caso en el que una carga eléctrica positiva, es lanzada con una velocidad v

r en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme

Br

, perpendicular al papel y entrante fig.7.14 y saliente al mismo fig.7.15.

Como la fuerza magnética BxvqFm

rrr= ; es perpendicular a los vectores

velocidad y campo magnético, y apuntará siempre hacia un punto O, actuando como una fuerza centrípeta y la partícula describirá una

circunferencia. Igualando el módulo de mFr

a la expresión mecánica de

una fuerza centrípeta Rvm

2 resulta:

R

vmº90senBvq

2

=

De donde se obtiene para el radio de la trayectoria circular que describe la

partícula: Bq

vmR=

En algunos experimentos se puede medir directamente el radio R de la trayectoria descrita por la partícula, y si se conoce su velocidad v y el valor del campo magnético B, la anterior ecuación permite determinar el cociente entre la carga q y la masa m de la partícula, conocida como relación q/m.

BR

vm

q =

x

y

z

O vr

60º

Br

Fr

+q

La partícula cargada +q cuya trayectoria antes de entrar en el campo magnético, era rectilínea según el eje X, experimenta una fuerza perpendicular dirigida en O, según el eje +Z, que la obliga a cambiar de dirección, de modo que ahora se moverá en el plano ZX.

vr

vr

mFr

mFr

O

Fig.7.14 Trayectoria de una carga eléctrica positiva que entre perpendicular a una región en la que hay un campo magnético uniforme, perpendicular al papel y saliente.

Fig.7.15 Trayectoria de una carga eléctrica positiva que entre perpendicular a una región en la que hay un campo magnético uniforme, perpendicular al papel y entrante.

vr

mFr

O

El periodo o tiempo que tarda en dar una vuelta T, vale:

Bq

m2

v

qB/vm2

v

R2T πππ ===

Y la frecuencia ciclotrónica ω.

m

qB

T

2 == πω

Cuando el vector velocidad, no es perpendicular al campo magnético

Si el vector velocidad vr

de la carga, forma con Br

un ángulo θ distinto de 0º ó de 90º, entonces la velocidad se puede descomponer en una componente

en la dirección del campo Br

que no es afectada por el campo y otra componente perpendicular que experimenta la fuerza magnética. La partícula describe en el campo una hélice, cuyo eje está en la dirección del

campo magnético Br

, fig.7.16. En efecto:

( ) BvqBvqBvqBvvqBvqF IIIIm

rrrrrrrrrrrv×=×+×=×+=×= ⊥⊥⊥

Al ser IIvr

y Br

vectores de la misma dirección, su producto vectorial es nulo.

La carga avanza según el campo magnético con una velocidad que vale:

θcosvvII

rr =

El radio de la hélice se determina considerando que la fuerza magnética solo afecta a la componente perpendicular al campo magnético, del vector velocidad ⊥v

r. Operando:

R

vmº90senBqv

2⊥

⊥ = ; Bq

vmR ⊥=

El periodo T será:

qB

m2

v

qB/mv2

v

R2T πππ ===

⊥

⊥

⊥

Y la distancia que recorre la carga en la dirección del campo Bv

durante un periodo, llamada paso de hélice h, vale:

( ) θππθ cosvqB

m2

qB

m2·cosvT·vh II ===

EJERCICIO RESUELTO Un ión de Ca2+ penetra en un campo magnético uniforme de 1,5 T, con una

velocidad de 3.106 m/s, en una dirección que forma 30º con el campo Br

. Determina: a) Fuerza que actúa sobre el ión. b) Radio de la órbita que describe.

c) Frecuencia ciclotrónica. Masa del ión = 6,64.10-26kg; C10.6,1e1 16−=

a) N10.2,730senT5,1s

m10.3·C10,6,1·230senqvBF 11619 −− ===

r

b) s

m10.5,130sen·

s

m10.3sen·vv 66 ===⊥ θ

m21,0T5,1·C10.6,1·2

sm105,1·kg10.64,6

Bq

vmR

19

626

=== −

−⊥

c) s

rad10.2,7

kg10,64,6

T5,1·C10.6,1·2

m

qB

T

2 626

19

==== −

−πω

v// vr

Br

v⊥

Fm

θ

Fig.7.16 Cuando el vector velocidad

vr

forma con el campo magnético Br

un ángulo θθθθ distinto de 90º, solamente la componente perpendicular al campo magnético ⊥v se ve afectada por la fuerza

magnética mFr

.

Debido a que la velocidad tiene además la componente IIv ; la partícula también

avanza según la dirección del campo

magnético Br

, y entonces en lugar de una circunferencia, describe una hélice cuyo eje está en la dirección del campo magnético.

Br

Br

Compruebe que el periodo vale:

s10.7,8T 7−=

Verifique que el paso de hélice es:

m26,2h =

Fuerza sobre una corriente eléctrica en un campo ma gnético

Consideremos un hilo conductor alojado en un campo magnético Br

y que lleva una corriente de intensidad I. La corriente I es debida a varios factores ajenos al campo magnético, a saber:

• La corriente es consecuencia del movimiento de cargas eléctrica en el hilo con una velocidad media v

v.

• Las cargas experimentan un desplazamiento ldr

en un tiempo dt que

vale: dtvldrr

=

• Un elemento de hilo de longitud ldr

contiene en todo momento una carga dtIdq= .

Así pues, al calcular la fuerza elemental que ejerce el campo magnético

sobre las dq cargas, contenidas en el elemento de longitud ldr

, fig.7.17.

BldIBdt

lddtIBvdqFd

rrrr

rrr×=×=×=

Ahora bien, la fuerza total sobre todo el conductor será la suma de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno de sus elementos. Esta suma hay que efectuarla mediante una integración.

∫ ×= BldIFrrr

Deberemos considerar que ldr

es un elemento de longitud con carácter vectorial. Se le atribuye una dirección y sentido, de acuerdo con el de la corriente I que circula.

En particular, cuando el campo magnético Br

es uniforme en todo el conductor y

el hilo es rectilíneo y de longitud lr

, y tomamos su dirección y sentido de acuerdo con el de la corriente I, la anterior ecuación se puede expresar.

BlIFrrr

×= (7.3)

La fuerza sobre las cargas se transmite al propio hilo conductor por medio de sus interacciones con los átomos que forman el propio conductor. Por otra parte, se ha despreciado el campo magnético producido por la propia corriente, es decir, se considera que el hilo no produce fuerza sobre si mismo. EJERCICIO RESUELTO Un conductor rectilíneo de 2 m de longitud está recorrido por una intensidad de corriente de 3 A. El conductor se encuentra en un campo magnético uniforme de 0,5 T, que forma con el conductor un ángulo de 45º. Determina la fuerza que actúa sobre el conductor en módulo, dirección y sentido.

Tomaremos por ejemplo, al conductor sobre el eje X y al vector Br

en el plano XY,

fig.7.18. Las componentes de Br

son: Bx=Bcos45=0,35T ; By=Bsen45=0,35 T.

j35,0i35,0Brrr

+= ; mi2lrr

=

Nk1,2

035,035,0

002

kji

3BlIFr

rrr

rrr==×=

I vr

vr

vr

vr

vr

q q

q

q

q

Br

Br

Br

ldr

Fig.-7.17 Conductor recorrido por una corriente de intensidad I situado dentro de un campo magnético.

I Br

X

Y

Z

45º

lr

Br

Fr

Fig.7.18. En la imagen superior se muestra el conductor dentro del campo magnético indicándose el sentido de la corriente.

En la inferior, se ha tomado el vector lr

en el sentido de la corriente y representado los

vectores Br

y Fr

, dibujándose este último de acuerdo con las reglas del producto vectorial al aplicar la ecuación (7.3) .

CAMPO MAGNÉTICO DE UNA CARGA EN MOVIMIENTO .

Experimentalmente se encuentra que el campo magnético creado a una distancia r de una carga, que se mueve con velocidad

rv (pequeña

comparada con la velocidad de la luz), viene dado por la ecuación:

02 34 4

orq v uB

r

qv r

r

µ

π

µπ

×=

∧=r r

rr r

(7,4)

Donde rur es un vector unitario en la dirección de

rr , fig.7.19. La constante

µ 0 se llama permeabilidad magnética del vacío, cuyo valor en el S.I. es 27

0 A.N10.4 −−= πµ .

Se verá más adelante que la velocidad de la luz en el vacío c está relacionada con la permeabilidad magnética µ0 por medio de la ecuación:

µε0

02

1=

c (7,5)

De forma que de la medida de c obtenida en el laboratorio, se deduce con la ecuación anterior, el valor de la permitividad dieléctrica del vacío ε 0 .

Cuando el medio no es el vacío, se define la permeabilidad magnética absoluta µ, como el producto de la permeabilidad magnética del vacío µ0 por la permeabilidad magnética relativa del medio µr que es un número sin dimensiones.

0r · µµµ = (7,6)

En realidad, para que la ecuación (7,4) del campo magnéticorB sea válida,

hace falta también que la distancia r no sea demasiado grande, por ejemplo debe ser tal que permita a un fotón que saliera de la carga, alcanzar el punto de observación en un tiempo mucho menor que el tiempo característico de variación de la velocidad. Es decir, la ecuación (7,4) dejará de ser válida cuanto más lejos estemos de la carga y a la vez más rápidamente esté cambiando su velocidad (mayor es su aceleración).

Dentro del mismo orden de aproximación, queremos recordar que una carga

en reposo crea un campo eléctrico que viene dado por r

r

Eq u

r

r=4 0

2πε

Relación entre los campos eléctrico y magnético, pr oducidos por una carga en movimiento

Si una carga q se mueve con velocidad vr

respecto de un observador, a una

distancia rr

de la misma según (7,4), el campo magnético Br

toma un cierto

valor, que vamos a intentar relacionar con el valor del campo eléctrico Er

en el mismo punto. En efecto, sustituyendo (7,5).

2r20

22r

20

2r0

c

Exvu

r4

qxv

c

1

r

uqxv

4

1

c

1

r

uxvq

4B

rrrr

rrrrr

=

===

πεπεπµ

rr r

Bv E

c=

×2 (7.7)

Que relaciona a los campos eléctrico y magnético, producidos por una carga eléctrica cuando se mueve a una velocidad v

r respecto de un observador.

Deduzca el lector que ambos campos son perpendiculares entre sí.

Br

vr

q

Fig.7.19. Líneas de fuerza o de inducción, del campo magnético creado por una carga en movimiento. Son circunferencias con centro en la carga y el vector

Br

es tangente en cada punto a la línea de inducción que pasa por ese punto,

rr

Br

Br

EJERCICIO RESUELTO Compara la magnitud de fuerza magnética respecto de la eléctrica, para dos cargas iguales y del mismo signo, moviéndose con la misma velocidad de 5.106 m/s y paralelas, , sabiendo que en un instante, sus velocidades son perpendiculares a la recta que une las cargas, fig.7.19.

Ya que Ey,u,B,v r

rrrr son perpendiculares tendremos

FE = q. E ; FM =q v B sen 90 = q. v · v E / c2 = q v2 E/c2

FM / FE = v2 / c2 ≈ (5.106/3.108)2 ≈ 2,78.10-4 << 1.

La fuerza debida a la interacción magnética, es mucho menor que la debida a la interacción electrostática, Fig.7.20.

Principio de superposición

El campo rB que se determina a partir de la ecuación (7,4) cumple también

el principio de superposición, es decir: el campo magnético total rB creado

por un conjunto de cargas en movimiento, es igual a la suma vectorial de todos los campos creados por cada una de las cargas de modo independiente.

LEY DE BIOT- SAVART Al poco tiempo de descubrir Oersted en 1819 la desviación que sufría la aguja de una brújula por la presencia de un conductor portador de cargas, Jean Baptiste Biot y Félix Savart descubrieron que también un conductor por el cual pasa una corriente ejerce una fuerza sobre un imán. A partir de sus resultados experimentales Biot y Savart obtuvieron una expresión que da el campo magnético producido por un conductor por el que circula una intensidad I . Históricamente fue a partir de este hecho de donde se dedujo la expresión del campo magnético creado por una carga en movimiento, sin embargo vamos a proceder en orden inverso, deduciendo la Ley de Biot-Savart a partir de la expresión del campo

rB de una carga móvil.

Tomemos un elemento de volumen de hilo conductor de sección S y longitud dl

ren el sentido de la intensidad de corriente fig.7.21 y calculemos

aplicando el principio de superposición el campo dBr

creado por las cargas que hay en él, pero considerando ahora elementos de carga diferenciales. De acuerdo con (7.4) el campo magnético elemental a una distancia r

rdel

elemento de corriente será.

2r0

2r0

2r0

r

uxldI

4r

uxvdtI

4r

uxvdq

4Bd

rrrrrrr

πµ

πµ

πµ === ( 7.8)

Donde ldvdtrr= es el desplazamiento efectuado por las cargas en el

tiempo dt

Sumando todas las contribuciones de los trozos pequeños ldr

en que podemos descomponer el hilo conductor, es decir, integrando a lo largo del mismo fig.7.21 se obtiene:

∫=2

r0

r

uxldI

4B

rrr

πµ

(7,9)

EFr

q

q

vr

MFr

vr

Fig.7.20. Fuerzas eléctricas y magnéticas que aparecen entre dos cargas iguales, que en un instante determinado se mueven paralelamente a igual velocidad.

I rr

Bdr

ldr

Fig.7.21. Situación de los vectores para calcular el campo magnético debido a un elemento de corriente y deducir la ley de Biot-Savart,

en donde rrr

= es la distancia del elemento del hilo ldr

al punto de

observación, y rur un vector unitario en la dirección y sentido de r

r.

A pesar de que la interacción magnética "carga a carga " , es mucho más débil que la correspondiente interacción electrostática, en el caso de un cable conductor con una intensidad de corriente, la interacción magnética es la más importante. Esto es debido a que el cable es eléctricamente neutro, y el campo eléctrico creado por los portadores de carga (en nuestro caso electrones) es cancelado casi exactamente por el campo eléctrico de las cargas de signo opuesto (iones positivos) que permanecen inmóviles en el interior del cable conductor.

APLICACIÓN A UNA CORRIENTE RECTILÍNEA INDEFINIDA

Consideremos una corriente I que circula por un conductor rectilíneo de

longitud infinita y queremos determinar el valor del campo magnético Br

en un punto P situado a una distancia R del conductor. Tomaremos un

elemento de longitud ldr

del mismo recorrido por la corriente y aplicaremos la ley de Biot-Savart.

2r0

r

uxldI

4Bd

rrr

πµ

=

El vector campo magnético Bdr

en P, resulta perpendicular al plano que

forman ldr

y rur

; verifique el lector que tiene la dirección y el sentido de la

Fig.7.22. Aunque en la figura se ha representado a ldr

por un vector .relativamente largo para visualizarlo mejor, en realidad, se trata de un elemento de pequeña longitud por lo que también podemos considerar

como ángulo α, al formado por ldr

y rur

. De la definición del producto

vectorial, el módulo de Bdr

vale:

20

r

sendlI

4dB

απ

µ=

Ahora bien, en la fig.7.22 observamos que el segmento NL toma los dos valores siguientes.

βαβα d·rsen·dld·rNL;sen·dlNL =⇒==

r

dI

4r

drI

4dB 0

20 β

πµβ

πµ

===

En la fig.7.22. observamos que en el triángulo NOP se verifica.

ββ

cos

Rrcos·rROP =⇒== Sustituyendo en la anterior

ββπ

µ

β

βπ

µdcos

R4

I

cos

RdI

4dB 00 ==

Lo cierto es que queremos calcular el campo magnético que produce el conductor en el punto P, de modo que deberemos sumar todas las

contribuciones de todos los elementos ldr

en que podemos descomponer el conductor, cuya longitud consideramos infinita, y esto lo resuelve una integración. Como hemos expresado dB en función de la variable β,

Fig.7.22. Dibujo para la determinación del campo magnético elemental, creado por el elemento de

corriente ldr

en un punto P.

I

α ldr

rr ldr

rr+

dβ

β

R Bdr

M

N L

P

rur

O

notemos que si hacemos variar este ángulo, desde 2

hasta2

ππ +− ya

cogemos toda la longitud del conductor que va desde −∞ hasta +∞ . El campo magnético en P, será de acuerdo con lo explicado:

[ ]R2

I

2sen

2sen

R4

Isen

R4

Idcos

R4

IB 002

2

02

2

0

πµππ

πµβ

πµββ

πµ π

π

π

π =

−−===−−∫

RESUMIENDO: El campo magnético creado por una corriente rectilínea indefinida en un punto situado a una distancia R del conductor, es un vector

Br

cuya dirección es tangente a una circunferencia de radio R cuyo centro está en el conductor, punto O y cuyo sentido sería el señalado por una

brújula, conviniendo que el sentido de Br

va desde el Sur al Norte de la misma, ver fig.7.23. Finalmente su módulo vale:

R2

IB 0

πµ

= (7.10)

Existe una sencilla regla nemotécnica para saber el sentido de las líneas de fuerza del campo magnético. Se abraza el conductor con la mano derecha, señalando con el pulgar el sentido de la corriente eléctrica, el resto de los dedos indican el sentido de circulación de las líneas de fuerza del campo magnético, ver fig. 7.24. En el caso que estudiamos las líneas son circunferencias con centro en el conductor y en ellas señalaremos el sentido indicado por los dedos, al aplicar la regla de la mano derecha.

Para expresar como vector el campo magnético, bastará con multiplicar por un vector unitario tangente τr , a la línea del campo magnético.

τπ

µ rr

R2

IB 0= (7.11)

LEY DE AMPERE Consideremos algunas propiedades de los campos magnéticos estacionarios o independientes del tiempo. Consideremos una corriente rectilínea e indefinida y vamos a calcular la

circulación del vector campo magnético Br

a lo largo de una línea cerrada (en este caso circunferencia) que rodea al conductor. Tendremos en cuenta la definición de circulación de un vector que estudiamos en el primer tema del curso y considerando un vector elemental sd

r a lo largo de la línea.

IR2R2

Ids

R2

Ids·

R2

Isd·B 0

0R2

0

o0 µππ

µπ

µττπ

µ π==== ∫∫ ∫

rrrr

La circulación del vector campo solo depende de la intensidad de la corriente enlazada I, de modo que si hubiésemos tomado otra circunferencia de radio mayor o menor, valdría lo mismo. Inclusive, si el camino cerrado hubiera sido otro cualquiera como el señalado en la fig.7.25 con segmentos. Si el camino cerrado rodea a varias corrientes I1 ; I2 ; I3 entonces la ley de Ampere considera a la corriente total enlazada y habrá que señalar con signo positivo a las corrientes que van con igual sentido y con signo negativo a las que van en sentido opuesto fig.7.26.La ley de Ampere queda.

Total03210 I·)III(·sd·B µµ =++=∫rr

(7.12)

I

Br

Fig.7.23. La línea que es tangente en cada punto al vector campo magnético

Br

se llama línea de fuerza del campo magnético o línea de inducción, y son siempre líneas cerradas a diferencia de las líneas del campo eléctrico que eran abiertas (recuérdese que nacían en las cargas positivas y acababan en las cargas negativas.

Fig.7.24. Aplicación de la regla de la mano derecha.

� I

Br

Br

Fig.7.25. Elemento de camino sdr

a lo largo de la línea de circulación. En cada punto tienen la misma

dirección y sentido que Br

.

I

sdr B

r R

Comparación entre los campos electrostático y magné tico El campo electrostático tiene como fuentes a las cargas negativas o a las positivas y ambas pueden existir aisladas y el campo nace en las positivas y termina en las negativas o en el infinito. Sus líneas de fuerza son abiertas. El campo magnético tiene como fuentes a las cargas eléctricas en movimiento o a los imanes, sin embargo, no existen polos magnéticos aislados, donde hay un norte N también hay un S. Las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas La circulación del campo eléctrico E

r entre dos puntos A y B, se conoce

como diferencia de potencial electrostático, definida como.

BA

B

AVVsd·E −=∫

rr

Cuando se calcula a lo largo de una línea cerrada podemos salir de A y regresar hasta A, con lo que la diferencia de potencial será nula, resultando.

0sd·E =∫rr

Sí la circulación de un vector campo a lo largo de una línea cerrada es nula, ese campo es conservativo. En conclusión, el campo electrostático es conservativo. Si se calcula la circulación del vector campo magnético a lo largo de una línea cerrada, la ley de Ampere asegura que vale.

Total0 I·sd·B µ=∫rr

Resultando que es distinta de cero y en consecuencia el campo magnético es un campo no conservativo y no se puede relacionar con un potencial magnético escalar. El flujo del campo electrostático a través de una superficie cerrada que contiene cargas en su interior, seguía a la ley de Gauss.

0

eriorint

SE

qAd·E

εΦ == ∫

rr

El flujo elemental del campo magnético B

ra través de un elemento de

superficie Adr

se define como el producto escalar del vector campo por el

vector superficie, Ad·Bd M

rr=Φ . El flujo a través de una superficie finita,

fig.7.27 es igual a la suma de todos los flujos elementales que se obtienen mediante una integral extendida a toda la superficie considerada.

∫=S

M Ad·Brr

Φ (7.13)

Su unidad en el S. I. es el Weber (Wb): 1 Wb = 1 T · 1 m2 Si calculamos ahora el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada, fig.7.28. resulta que de acuerdo con (7.13) el flujo saliente es positivo, mientras que el entrante es negativo, al ir los vectores B

ry Ad

ren

sentido contrario. En consecuencia, el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada siempre es nulo.

0Ad·BS

M == ∫rr

Φ

Lo que determina una diferencia importante con el campo electrostático. Es consecuencia de que las líneas de E

rson abiertas y las de B

rcerradas.

I 3 I 2 -I 1

Fig.7.26. Para aplicar la ley de Ampere, las corrientes se consideran positivas o negativas según su sentido de circulación.

Br

Adr

Fig.7.27. Las líneas del campo magnético cortan a la superficie y producen el flujo magnético.

Br

Br

Fig.7.28. A través de la superficie cerrada (de puntos en la figura) sale el mismo flujo magnético por la parte superior, que se considera positivo, que entra por la parte inferior, que se considera negativo. En consecuencia el flujo total o suma, es nulo.

EJERCICIO RESUELTO • Una corriente de 2 A, circula por un conductor rectilíneo de gran longitud situado sobre el eje Z, en sentido positivo. Determina el valor del campo magnético en un punto P del eje Y, situado a 30 cm del hilo. Dato:

270 A.N10.4 −−= πµ .

En la fig.7.29. se encuentra representado el conductor. Aplicando la ecuación (7.10) resulta.

T10.3,13m·A

·N10.3,13

m3,0·2

A2·A·N10.4

R2

IB 77

270 −−

−−===

ππ

πµ

De la observación de la fig.7.27 deducimos en este caso, que el campo magnético en el punto P(0, 0.3, 0) vale.

Ti10.3,13T)i(710.3,13B 77rrr −− −=−=

• Una corriente de 2 A circula en sentido positivo, por un conductor rectilíneo de gran longitud situado sobre el eje Z. Otra corriente de 4 A circula por un conductor paralelo al anterior en el mismo sentido, pero pasando el conductor por el punto M(0, 2,0). Determina el campo magnético en el punto P(0, 0.75, 0).

En la Fig.7.30 se observan los conductores y los vectores campo magnético que produce cada uno en P. Después se aplicará el principio de superposición.

( ) Ti10.1,1iR

I

R

I

2i

R2

Ii

R2

IBBB 7

1

1

2

20

2

20

1

1021

rrrrrrr −=

−=+−=+=

πµ

πµ

πµ

Verifique, que cuando I2 circule en sentido contrario. Ti10.17,1B 6rv −−=

CAMPO MAGNÉTICO DE UNA ESPIRA Una espira de corriente es un circuito plano, también llamado vórtice u hoja magnética, recorrido por una corriente de intensidad I. Presenta dos caras, una norte N por donde salen las líneas del campo magnético y otra sur S por donde entran en el plano de la espira, fig.7.31. Para averiguar rápidamente cual es la cara que se mira, se sitúa frente al plano de la espira, si se ve circular la corriente en el sentido de las agujas del reloj, la cara es la Sur, S y viceversa. Consideremos una espira de radio R y vamos a calcular el campo magnético

Br

, en un punto del eje X de la espira, fig.7.32. Tomamos un elemento ldr

en el sentido de la corriente I y aplicamos la ecuación (7.8).

� � I1 I2

1Br

2Br

X

Y

Z

M P

Fig.7.30. Para determinar vectorialmente los campos hay que aplicar la regla de la mano derecha.

Y

X

Z

I

Br

� P

Fig.7.29. Con la regla de la mano derecha hallamos el sentido de las

líneas del campo magnético y Br

es tangente a la línea, en el punto P considerado.

N

S

I

I I

Fig.7.31. La corriente I circula en sentido contrario a las agujas del

reloj. Las líneas de Br

salen por la cara posterior, es la Norte y regresan por al anterior, es la Sur.

Fig.7.32. Cálculo del campo magnético en un punto P del eje de la espira.

I

ldr

rr Bd

r

XdB

YdB

X

R

a

α θ

rur

P

La ley de Biot-Savart 2

r0

r

uxldI

4Bd

rrr

πµ

= , permite determinar el campo

elemental en el punto P del eje de la espira. Se trata de un vector Bdr

que cumple las reglas del producto vectorial, ver fig.7.32, que descomponemos en dos componentes una en la dirección del eje XdB y la otra en dirección

perpendicular YdB .

θθ sendBdB;cosdBdB YX == ;

Siendo el módulo del vector Bdr

puesto que ldr

y rur

son perpendiculares.

20

r

dlI

4dB

πµ

=

De la fig.7.32, se deduce que: 22 Rar += ; r

Rsen =α y αθ sencos =

Cuando se sumen todas las contribuciones al campo magnético de cada uno de los elementos ld

rque todos sumados forman la espira, entonces las

componentes perpendiculares al eje X, designadas como YdB se anulan dos a dos, por lo que todo el campo resultante estará según el eje X.

dlr

IR

4r

R

r

dlI

4sendBcosdBdBB

R2

0 30

R2

0 20

xP ∫∫∫ ∫ ∫ =====ππ

πµ

πµαθ

( )2

322

20

322

0R2

0322

0P

Ra·2

RIR2·

Ra

RI

4dl

Ra

RI

4B

+=

+

=

+

= ∫µπ

πµ

πµ π

Que depende del radio de la espira R de la intensidad de la corriente I y de la distancia a del punto P del eje al centro de la espira. Es particularmente importante conocer el valor del campo magnético en el centro de la espira, para ello basta con hacer a = 0 en la ecuación anterior.

R2

I

·R2

RIB 0

3

20

Pµµ

== (7.14)

EJERCICIO RESUELTO • Dos espiras circulares iguales de radio 10 cm, paralelas y que distan 30 cm llevan cada una de ellas una corriente de 2,5 A, circulando en el mismo sentido. Calcular el campo magnético en un punto P del eje de simetría, que está equidistante de las dos espiras. Aplicando la regla de la mano derecha para el caso de una espira, véase la fig.7.

32, las caras superiores por donde salen las líneas de Br

son las Norte. Las caras situadas debajo serán necesariamente las caras Sur. Por lo tanto en el punto P equidistantes de ambas, los campos magnéticos producidos por cada una tienen la misma dirección, sentido y módulo, ver la fig.7.30, así que basta aplicar el principio de superposición para calcular el campo magnético resultante.

( ) ( ) ( )T10.4,5

1,015,0

1,0·5,210.4

Ra

RI

Ra·2

RI2BBB 6

2

322

27

2

322

20

2

322

20

P−

−=

+=

+=

+=+= πµµ

. En el caso de corrientes de sentidos contrarios, verifica mediante un dibujo que los campos tienen sentidos opuestos y en el punto equidistante el campo total será nulo.

S

N

N

P Br

Br

Br

Br

S

I

I

I

I

Fig.7.33. Campo magnético en el punto P equidistante de las dos espiras.

� I

Br

Fig.7.32 Más aplicaciones de la regla de la mano derecha. Si tenemos una espira y hacemos coincidir los dedos con el sentido de la corriente I, el pulgar nos da la dirección y sentido del campo magnético Br

y la determinación de sus caras Norte y Sur.

� I Br

• Dos espiras iguales de radios 20 y 10 cm están situadas horizontales y concéntricas sobre el plano XY, estando recorridas por corrientes de 5 A en sentidos contrarios. Determinar el campo magnético en el centro de las dos espiras. En la fig.7.34. se dibujan las corrientes y los campos magnéticos producidos por éstas. Para dibujar cada campo magnético se ha tenido en cuenta la regla de la mano derecha aplicado al caso de corrientes que circulan por espiras. Del principio de superposición deducimos.

Tk10.6,1k1,0·2

510.4k

2,0·2

510.4k

R2

Ik

R2

IBBB 5

77

2

20

1

1021

rrrrrrrr −−−

=+−=+−=+= ππµµ

Verificar, que si las corrientes van en el mismo sentido el valor del campo en el

centro vale Tk10.7,4B 5rv −=

• Un conductor rectilíneo indefinido está situado en el eje Z, estando recorrido por una corriente I1 = 4 A en sentido negativo del eje. Otro conductor rectilíneo e indefinido, está situado paralelamente al eje X, pasando por el punto M(0,5,0) y lleva una corriente I2 = 9 A en sentido negativo del eje. Determina el valor del campo magnético en el punto P(0,2,0). Utilizar unidades S. I. En la Fig.7.35 se han dibujado los conductores y las líneas de fuerza del campo

magnético, así como los vectores campo magnético Br

tangentes a éstas en el punto

P. Después, escribiremos cada valor de Br

vectorialmente y finalmente se aplicará el principio de superposición de campos. Aplicando la ecuación (7.11) y observando la fig.7.35 se deduce:

Ti10.4im·A

N10.4i

m2·2

A4·A.N10.4i

R2

IB 77

27

1

101

rrrrr −−−−

====π

ππ

µ

Tk10.6km·A

N10.6k

m3·2

A9·A.N10.4k

R2

IB 77

27

2

202

rrrrr −−−−

====π

ππ

µ

Aplicando el principio de superposición:

( ) Tk10.6i10.4BBB 7721

rrrrr −− +=+=

El módulo del campo: ( ) ( ) T10.2,710.610.4B 72727 −−− =+=r

CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLENOIDE Un solenoide, es un conductor enrollado en forma de hélice con N espiras por el que pasa una corriente eléctrica. Se caracteriza por su radio R, longitud l y el número de espiras por unidad de longitud, n =N/l , fig.7.36. Cuando el solenoide es de gran longitud comparada con el radio, el campo magnético en su interior es casi uniforme, excepto en los extremos, y cerca de estos, alejados suficientemente de los extremos, el campo magnético es despreciable. En muchas aplicaciones y cálculos la aproximación de solenoide infinito (de gran longitud) es razonable y permite calcular el campo magnético

rB mediante la ley de Ampere.

Consideremos una sección diametral del solenoide y comprobemos en primer lugar que el campo debe ser paralelo al eje del solenoide. Tomando

I1

I2

2Br

1Br

X

Y

Z

Fig.7.34. Determinación del campo magnético en el centro de dos espiras concéntricas, recorridas por corrientes de sentidos contrarios.

Fig.7.35. Determinación del campo magnético en el punto P, producido por dos corrientes rectilíneas e indefinidas. Con la regla de la mano derecha se determina el sentido de las líneas del campo magnético y después se trazan los vectores campo magnético tangentes a ellas en el punto P considerado.

X

Y

Z I2 2Br

P

Br

1Br

M

I1

O

Eje

R

N l

Fig.7.36. Solenoide y sus magnitudes características: longitud l, número de espiras N y radio R.

una espira (A) y en ella un elemento de corriente Aldr

y otra espira (C) y otro

elemento de corriente Cldr

; en un punto P equidistante de ambos, se deduce de la construcción de la fig.7.37 que la contribución al campo magnético perpendicular al eje, de la parte de arriba ⊥AdB , se cancela con la

contribución perpendicular de la parte de abajo ⊥CdB y las únicas componentes que permanecen son las que tienen la dirección del eje del solenoide. En un solenoide típico el campo magnético está concentrado principalmente en el interior del solenoide, fuera de él, las líneas del campo magnético se abren mucho fig.7.38 y la intensidad del campo magnético como consecuencia, se reduce rápidamente. Determinación del campo magnético en el interior Escojamos un circuito cerrado en forma de rectángulo de altura h, fig.7.39. El número de espiras que atraviesa el rectángulo es h·n y si es I la intensidad en cada

espira, la intensidad total enlaza por el rectángulo es I·h·nI T = La aplicación de la ley de Ampere (7.12) proporciona:

T0

M

Q

Q

P

P

N

N

MIsd·Bsd·Bsd·Bsd·Bsd·B µ=+++= ∫∫∫∫ ∫

rrrrrrrrrr

De las integrales que aparecen en la suma: la segunda, la tercera y la cuarta son nulas, bien por que el campo magnético B

res perpendicular al

vector sdr

, o por ser nulo el campo magnético fuera del solenoide, fig.7.39. Al considerar dos espiras consecutivas y representar las líneas cerradas del campo magnético, se ve que dentro de la bobina, irán en el mismo sentido y el campo se refuerza, mientras que en los laterales van en sentido contrario y el campo magnético tiende a anularse.

Fig.7.37. El campo magnético dentro del solenoide tiene la dirección del eje.

I

(A)

(C)

I

Br

Cldr

Aldr

rUr

rUr

CBdr

ABdr

⊥CdB ⊥AdB P

Eje

I

I

Br

Br

N

S

Fig.7.38. Fuera de la bobina el campo magnético se dispersa.

Observe como las líneas de Br

son cerradas, saliendo al exterior del solenoide por la cara N y regresando por la cara S. Por el interior van al revés hasta cerrarse.

h

N P

Q M

sdr

sdr

sdr sd

r

Br

Fig.7.39. El rectángulo NPOM (de puntos en la figura) tiene de lado h y rodea n·h espiras.

I

I

I

fBr

fBr

Fig.7.39. El campo en las paredes laterales del solenoide tiende a anularse.

dBr

dBr

∫ ∫∫ ==== I·h·nI·sd·Bsd·Bsd·B 0T0

h

0

N

Mµµrrrrrr

I·h·nh·B 0µ= , ⇒ 0B n· Iµ= (7,15) En el interior del solenoide el campo magnético es uniforme y además es proporcional a la intensidad de la corriente I y al número de espiras por unidad de longitud n. Si en el interior del solenoide existiese un núcleo de hierro, constituiría un electroimán y es necesario conocer la permeabilidad magnética relativa µr del material, para determinar el campo magnético en su interior. En este caso la ecuación que proporciona el valor del campo magnético vale.

I·n··B r0 µµ= (7.16) EJERCICIO RESUELTO • Una bobina de 5 cm de longitud tiene 500 espiras. Determina el campo magnético en el interior cuando es recorrida por una corriente de 1 A. Aplicando la ecuación (7.15) resulta:

T10.6,12m·A

N10.6,12A1

m05,0

500

A

N10.4I

l

N·I·n·B 33

27

00−−− ===== πµµ

• Se introduce en la bobina anterior un núcleo de hierro de permeabilidad magnética relativa 200r =µ . Determinar el nuevo valor del campo magnético.

Aplicando la ecuación (7.15) tenemos:

T52,2T10.6,12·200B·I·n··B 3rr0 ====′ −µµµ

Introduciendo un núcleo de hierro en el interior del solenoide el campo magnético se hace mucho mayor.

FUERZA MAGNÉTICA ENTRE CORRIENTES PARALELAS. DEFINICIÓN DEL AMPERIO.

Supongamos dos conductores paralelos rectilíneos e indefinidos separados una distancia d y de sección despreciable, llevando cada uno de ellos una corriente de intensidad I1 e I 2 respectivamente en sentidos contrarios. El

conductor 1 crea en los puntos ocupados por el conductor 2 un campo rB12

que es perpendicular a éste y de módulo.

BI

d12

0 1

2= ⋅

µπ

Al estar el conductor 2 recorrido por la corriente I2 actúa sobre él una fuerza, fig. 7.40, que es perpendicular al conductor 2 y está contenida en el plano

que forman los dos hilos. La fuerza 12Fr

que el campo rB12 ejerce sobre un

tramo de éste de longitud 2Lr

, es 122212 BxLIFrrr

= y su módulo:

La bobina con un núcleo de hierro en su interior, constituye un electroimán. Cuando pasa corriente, el campo magnético del electroimán es mucho más intenso que el producido por la bobina sin núcleo. Ver los problemas.

Fig.7.40. La fuerza entre corrientes paralelas de distinto sentido es repulsiva.

I1 I2

12Br

21Br

12Fr

21Fr

2210

221212 L·d

I·I·

2I·L·BF

πµ

== (7.17)

De la misma manera, fig.7.40, el campo magnético que crea el conductor 2 en los puntos del conductor 1, 21B

r es perpendicular a él y de módulo.

BI

d21

0 2

2= ⋅

µπ

La fuerza 21Fr

que el campo 21Br

ejerce sobre un tramo del conductor 1 de

longitud 1Lr

, es 211121 BxLIFrrr

= y es también perpendicular al conductor, estando contenida en el plano que forman ambos conductores. Su módulo:

1210

112121 L·d

I·I·

2I·L·BF

πµ

== (7.18)

Estas fuerzas 12Fr

y 21Fr

son de atracción cuando las dos intensidades tienen el mismo sentido fig.7.40 y de repulsión, fig.7.41, si tienen sentidos contrarios.

Cuando las longitudes consideradas de los dos conductores sean las mismas LLL 21 == , entonces las fuerzas sobre los dos conductores (7.17) y (7.18) son iguales y contrarias; y verifican la tercera ley de Newton:

21 12F F= −r r

Definición del amperio

La conferencia internacional de pesas y medidas decidió en 1960 tomar como unidad fundamental de corriente eléctrica el amperio (A). Dando en el SI la siguiente definición:

Un amperio es la intensidad de corriente que circulando por dos conductores rectilíneos, paralelos de longitud infinita y de sección despreciable, situados en el vacío a una distancia de un metro, da lugar a una fuerza de atracción o repulsión, de 2 .10-7 N por metro de longitud.

Haciendo indistintamente en la ecuación (7.17) o (7.18): I I A1 2 1= = ,

d L 1 m= = y tomando de la definición para los módulos de las fuerzas

N10.2FF 71221

−== ; se obtiene para la permeabilidad magnética del vacío.

27

7

0m

N10.4

,m1·A1·A1

N0!.2·m1·2 −−

== ππµ

Como consecuencia, la magnitud fundamental en el electromagnetismo es la intensidad de corriente y su unidad es el amperio, A. Se debe considerar a la unidad de carga eléctrica el culombio, C, no como una unidad fundamental si no deducida de la intensidad mediante la relación.

s1·A1C1 =

MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA Muchos aparatos eléctricos de medida y los motores eléctricos están basados en el efecto que un campo magnético B

r, fig.7.42, ejerce sobre una

espira que lleva una corriente de intensidad I. La expresión de la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una espira de corriente, al ser un circuito cerrado se representa por un circulito en el símbolo de la integral:

I1 I2

12Br

21Br

12Fr

21Fr

Fig.7.41. La fuerza entre corrientes paralelas del mismo sentido es atractiva.

ldr

Br

I I

I

I

Fig.7.42 Espira situada en un campo

magnético uniforme Br

. Sobre cada lado aparece una fuerza al estar recorrido por una corriente de intensidad I.

∫= BxldIFrrr

Donde el vector dl

r es un elemento de longitud sobre la espira en el sentido

de la intensidad que la recorre. Si el campo magnético Br

es uniforme en la región donde está la espira, se puede sacar fuera de la integral, quedando ésta extendida a los elementos ld

r.

( ) BldIFrrr

×= ∫ (7,18)

Se puede determinar la integral a lo largo de la línea cerrada, como suma de un número finito de desplazamientos 1S

r∆ tomados sobre la espira,

fig.7.43.

∫ ∑= iSldrr

∆

Recordando que para sumar geométricamente los vectores, se une el origen del primero con el extremo del último, resulta que al coincidir el origen del primer vector 1s

r∆ con el extremos del último nsr∆ ; la suma es

nula: ∆rsi∑ = 0

Sustituyendo en (7,22) la integral por el sumatorio se encuentra que la fuerza resultante sobre toda la espira es nula

( ) ( ) 0Bs·IBxldIF i =×≈= ∑∫rrrrr

∆

Si la resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético uniforme sobre una espira es cero, este campo solo puede proporcionar un par de fuerzas, cuyo momento vamos a determinar. Para calcularlo supongamos una espira rectangular de lados AC; CD; DE y EA, fig.7.44. Las fuerzas CDF

r y EAF

r ejercidas por el campo sobre los lados

de igual longitud CD y EA son iguales y contrarias, y además por estar sobre la misma línea de acción se anulan por ser la espira un sólido rígido. Sin embargo las fuerzas ACF

ry DEF

r sobre los lados AC y DE al no estar en

la misma línea de acción forman un par de fuerzas, cuyo momento es

( ) ( ) BxS·IBxEDXDC·IBxEDIxDCFxDCM DE

rrrrrrrrrrr==== (7.19)

En donde SEDxDC

rrr= es un vector perpendicular a la superficie de la espira

de módulo igual al área de la misma y cuyo sentido viene determinado por la regla de la mano derecha, fig.7.32. Momento dipolar magnético Se define el momento dipolar magnético

rm de la espira, como un vector

igual al producto de la corriente por el vector superficie.

r rm I S= (7,20)

Su dirección es perpendicular al plano de la espira y su sentido viene definido por la regla de la mano derecha, así, si la corriente circula como en la fig.7.44 (con más detalle abajo a la derecha) el vector m

r es como está en

el dibujo.

1Sr

∆

nSr

∆

iSr

∆

Fig.7.43. Al ser la espira una figura geométrica cerrada, si la dividimos en un número finito de desplazamientos

isr

∆ , al coincidir el origen del primer

vector desplazamiento 1sr

∆ , con el

extremo del último nsr

∆ , la suma de

todos estos vectores desplazamiento es nula:

0s···s···s ni1 =++++rrr

∆∆∆

Fig.7.44.Fuerzas sobre los lados de una espira rectangular recorrida por una

intensidad I . El vector superficie Sr

es perpendicular a la espira y su sentido lo determina el de la corriente I , aplicando la ya conocida regla de la mano derecha. El vector m

rtiene la misma dirección y

sentido del vector Sr

ldr

ldr

ldr

ldr

Br

Br

Br

I

I

A

C

D

E

ACFr

CDFr

DEFr

EAFr

Sr

I

CD

Br

Sr

I mv

Sustituyendo (7,20) en (7,19) podemos expresar el momento del par de fuerzas sobre una espira por medio de la ecuación.

r r rM m B= × , (7,25)

La cual, se puede demostrar, es totalmente general aunque la espira no sea rectangular. En la fig.7.45 pueden verse todos los vectores. Si en lugar de una espira se trata de N espiras paralelas, pero en un número pequeño, entonces el momento que experimenta en N veces mayor y la ecuación es.

BmNM ×=rr

Una observación interesante que conviene hacer es que una espira con momento magnético

rm, que pudiera girar libremente en el seno de un

campo magnético, tenderá a orientarse hasta que el par que le ejerce el campo sea nulo, 0M =

r, fig.7.45. En esta situación los vectores

rm y

rB

serán paralelos y de igual sentido, formando un ángulo α = 0º. Corresponde con una posición de equilibrio estable. Midiendo el par que actúa sobre una espira, podríamos determinar el campo magnético si la intensidad que recorre la espira es conocida, o bien, deducir el valor de la intensidad si el campo magnético es conocido. Un aparato de mediad de cuadro móvil, fig.7.46, está constituido fundamentalmente por una espira acoplada a un resorte. Cuando una intensidad recorre la espira que se encuentra en un campo magnético prefijado (obsérvese el imán), gira un ángulo que es proporcional a la intensidad que la recorre. En un motor eléctrico fig.7.42 el par que ejerce el campo magnético sobre la bobina la hace girar (en la figura el campo magnético lo produce un imán). Para que la bobina gire siempre en el mismo sentido, la corriente ha de ser alterna o disponer de un mecanismo como un contacto de escobillas que cambie la polaridad de la corriente.

Br

mr

I

Fig.7.46. Cuando el vector

mr

está sobre Br

de manera que forman un ángulo α =0º entonces la posición de equilibrio es estable y la espira permanece sin girar en el campo magnético. Si el ángulo formado fuera de 180º también el momento es nulo, pero la posición de equilibrio es inestable, pues bastaría una pequeña perturbación para que diera un giro de 180º, hasta situarse formando 0º ambos vectores.

Fig.7.41 Un instrumento de cuadro móvil que se utiliza para medir la intensidad de una corriente.

Fig.7.45. Representación de los

vectores campo magnético Br

, momento magnético m

r y el

momento mecánico Mr

. Se trata de un vector perpendicular al

plano de Br

y mr

, que hace girar a la espira dentro del campo magnético, siempre que el ángulo α que forman estos vectores entre sí, sea distinto de cero.

Mr

Br

mr α

I

Fig.7.42. El motor eléctrico se compone de unas bobinas situadas en un eje que puede girar, cuando están recorridas por una intensidad y se encuentran en el interior de un campo magnético, transformando energía eléctrica en mecánica

Bobinas