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MA1002 Calculo IITema 04: Coordenadas polares

Parte 01: Coordenadas polares

Profesor Jesus Sanchez Guevara

U.C.R.

I Semestre 2020

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones conicas I Semestre 2020 1 / 13

En esta clase

1 El sistema polar.

2 Funciones en polares y graficacion.

3 Calculo de areas y longitud de arco.

4 Ecuaciones polares de conicas.

Introduccion

¿Cual es la importancia de las coordenadaspolares?

1 Forma alternativa de ubicar puntos en elplano.

2 Descripcion de movimientos en el plano.

3 Parametrizacion de curvas.


Definicion

Un sistema de coordenadas polares estadeterminado por un punto, llamado polo, yun rayo(sobre una recta) con origen en elpolo. A este rayo se le llama eje polar.

o Hacer un dibujo con el polo en O “ p0, 0q yel eje polar sobre el eje x positivo (enposicion natural).

Coordenadas

Las coordenadas polares de un punto P en elplano, estan dadas por:

1 La distancia r del polo al punto.

2 El angulo θ que forma el segmento OP yel eje polar, usualmente medido endireccion antihorario (ıˆ ).

Observaciones

1 Las coordenadas polares de un punto Plas identificamos por el par pr, θq, donde,por convencion, se supone r ą 0 yθ P r0, 2πq. Sin embargo, esto puedevariar.

2 Aunque para todo punto del plano lacoordenada r esta determinada demanera unica, no sucede lo mismo con lacoordenada θ. En efecto,pr, θq “ pr, θ ` 2πq.

3 El polo O (origen), tiene coordenadasp0, θq, para cualquier θ.


Teorema

Para pasar del sistema rectangular al sistemapolar y recıprocamente, se usan las siguientesidentidades:

"

x “ r cospθqy “ r sinpθq

donde r “a

x2 ` y2 y tanpθq “y

x.

o Hacer un dibujo.

Ejemplo

Convierta P “ p1, 1q a coordenadas polares yQ “ p1{2, πq a coordenadas cartesianas.

1 P : x “ 1 y y “ 1, por lo tantor “

?12 ` 12 “

?2 y

θ “ arctanp1q “ π{4, ası que suscoordenadas polares son P “ p

?2, π{4q.

2 Q: r “ 1{2 y θ “ π, por lo tantox “ 1

2cospπq “ ´1{2 y y “ 1

2sinpπq “ 0,

ası que sus coordenadas cartesianas sonQ “ p´1{2, 0q.

Ejemplo, de cartesianas a polares

Halle la representacion polar de la ecuaciondel cırculo

px´ 1q2 ` y2 “ 2

.

Se hace x “ r cospθq y y “ r sinpθq.

px´ 1q2 ` y2 “ 2

ñpr cospθq ´ 1q2 ` pr sinpθqq2 “ 2

ñr2 cos2pθq ´ 2r cospθq ` 1` r2 sin2pθq “ 2

ñr2 ´ 2r cospθq “ 1

ñr2 “ 2r cospθq ` 1


Ejemplo, de polares a cartesianas

Halle la representacion cartesiana de la

ecuacion polar θ “π

4.

Se usa tanpθq “ yx

y r “a

x2 ` y2.

θ “π

4

ñ tanpθq “ tanpπ

4q

ñy

x“ 1

ñy “ x

Ejemplo

Halle la representacion polar de x2 ` y2 “ a2


x2 ` y2 “ a2

ñpr cospθqq2 ` pr sinpθqq2 “ a2

ñr2 “ a2 ñ r “ a (Ec. polar)

Ejempo, el ocho

Represente px2 ` y2q3 “ y2 en coordenadaspolares.


ñ ppr cospθqq2 ` pr sinpθqq2q3 “ pr sinpθqq2

ñ pr2q3 “ pr sinpθqq2

ñ r6 “ r2 sin2pθq

ñ r4 “ sin2pθq

ñ r2 “ ˘| sinpθq|

ñ r “b

| sinpθq| (Ec. polar)

Graficar en Geogebra (x^2+y^2)^3=y^2

https://www.geogebra.org/m/S9RXWmNP

sqrt(sqrt(sin(theta) sin(theta)))


¿Como graficar?

Graficar en polares

Se hace una tabla de valores de r “ fpθq.Para la parte de la grafica en el primercuadrante se pueden usar:

θ r0 fp0qπ{6 fpπ{6qπ{4 fpπ{4qπ{3 fpπ{3qπ{2 fpπ{2q

Ejemplo

En el caso de r “a

| sinpθq|, basta hacer latabla con el primer cuadrante, porque suecuacion cartesiana px2 ` y2q3 “ y2 nosindica el resto de la grafica por simetrıas conlos ejes.

θ r “a

| sinpθq|0 0

π{6 1{?

2 „ 0, 71

π{4 1{a?

2 „ 0, 84

π{3a?

3{?

2 „ 0, 93π{2 1

Hacer en pizarra

1 Simetrıa con respecto al eje y: Si secambia x por ´x la ecuacion no semodifica,

px2 ` y2q3 “ y2 ñ pp´xq2 ` y2q3 “ y2

2 Simetrıa con respecto al eje x: Si secambia y por ý la ecuacion no semodifica,

px2`y2q3 “ y2 ñ px2`pýq2q3 “ pýq2

o El esquema del grafico en este caso secompleta con las simetrıas.


Definicion

Una ecuacion polar tiene la forma

r “ fpθq

donde θ es la variable independiente y r lavariable dependiente.

Propiedad

A partir de la ecuacion polar se tiene que la

derivadady

dxcumple con:

dy

dx“f 1pθq sinpθq ` fpθq cospθq

f 1pθq cospθq ´ fpθq sinpθq

Verificacion: Puesto que r “ fpθq y

"

x “ r cospθqy “ r sinpθq

entonces,"

x “ fpθq cospθqy “ fpθq sinpθq

ñdy

dx“dy{dθ

dx{dθ“f 1pθq sinpθq ` fpθq cospθq

f 1pθq cospθq ´ fpθq sinpθq

Aplicaciones:

1 La grafica tiene tangentes horizontales(dy{dx “ 0)en los angulos θ tales que:

f 1pθq sinpθq ` fpθq cospθq “ 0

2 La grafica tiene tangentes verticales(dy{dx “ 8) en los angulos θ tales que:

f 1pθq cospθq ´ fpθq sinpθq “ 0


Ejemplo

Encuentre los puntos pr, θq done la curva (elocho) r “

a

| sinpθq| tiene tangentes verticalesy horizontales, tomando θ P r0, πs

Debido al comportamiento de sinpθq:

1 Si θ P r0, πs, sinpθq es positivo yr “ fpθq “

a

sinpθq.

2 Si θ P rπ, 2πs, sinpθq es negativo yr “ fpθq “

a

´ sinpθq.

oTangentes horizontales:Se encuentran los θ P r0, πs tales que

f 1pθq sinpθq ` fpθq cospθq “ 0

ñcospθq

2a

sinpθqsinpθq `

b

sinpθq cospθq “ 0

ñ3 sinpθq cospθq “ 0

ñθ “ 0_ θ “ π{2_ θ “ π

¿Cuales son las ecuaciones de estasrectas horizontales?

Usamos tanpθq “ y{x y r “ fpθq.

1 θ “ 0: y{x “ tanp0q “ 0 ñ y “ 0.

2 θ “ π{2: r “a

| sinpπ{2q| “ 1 ñ y “ 1.

3 θ “ π: y{x “ tanpπq “ 0 ñ y “ 0.

oTangentes verticales:

f 1pθq cospθq ´ fpθq sinpθq “ 0

cospθq

2a

sinpθqcospθq ´

b

sinpθq sinpθq “ 0

ñ cos2pθq ´ 2 sin2pθq “ 0

ñ1{2 “ tan2pθq ñ tanpθq “ ˘1{?

2

ñθ „ 35^ θ „ 145

ñr „b

| sinp35q| „ 0, 75^ r „b

| sinp145q| „ 0, 75

ñx “ r cospθq „ 0, 75 cosp35q „ 0, 6

^x “ r cospθq „ 0, 75 cosp145q „ ´0, 6


Areas en coordenadas polares

Propiedad

Para la funcion r “ fpθq, con θ P rα, βs, elarea limitada por la grafica de la funcion ylos segmentos desde el polo p0, 0q a los puntospfpαq, αq y pfpβq, βq, esta dada por laintegral:

Area sector polar “1

2

ż β

αpfpθqq2dθ

o Hacer un dibujo, justificar. Recordar que elarea de un sector circular es 1

2r2θ, cuando el

angulo esta en radianes.

Ejemplo

Calcule el area determinada porr “

a

| sinpθq|.

Por simetrıa basta hacerlo en el primercuadrante.

1

4A “

1

2

ż π{2

0p

b

| sinpθq|q2dθ

“1

2

ż π{2

0| sinpθq|dθ

“1

2

ż π{2

0sinpθqdθ

“1

2p´ cospθqq|

π{20 “

1

2

ñA “ 2


Longitud de arco de curvas polares

Propiedad

Para la funcion r “ fpθq, con θ P rα, βs, lalongitud de arco del punto pfpαq, αq al puntopfpβq, βq, esta dada por la integral:

L “

ż β

α

b

f2pθq ` pf 1pθqq2dθ

Ejemplo

Calcule la longitud de arco de la curva polarr “ a, donde a es una constante positiva.

L “

ż 2π

0

a

a2 ` 02dθ

“

ż 2π

0adθ “ 2πa

Ejemplo

Calcule la longitud de arco de la espiralfpθq “ θ, θ P r0, πs

L “

ż π

0

a

θ2 ` 1dθ

“

ˆ

1

2θa

θ2 ` 1`1

2ln

´

θ `a

θ2 ` 1¯

˙

|π0

„ 6, 1


Ejemplo

Hallar el area comun entre las dos curvas:"

r “ 3 cospθq (Cırculo)r “ 1` cospθq (Cardioide)

Proceso:

1 Graficar las dos curvas.

2 Se identifica la simetrıa.

3 Se expresa el area buscada en termino deintegrales.

4 Se calcula el area.

Al graficar las curvas, se observa que senecesita el punto de interseccion de las curvasen el primer cuadrante, es decir θ P r0, π{2s.

3 cospθq “ 1` cospθq

ñ cospθq “ 1{2 ñ θ “ π{3

Ahora se calcula la integral que da el area(explicar):

1

2A “

1

2

ż π{3

0p1` cospθqq2dθ `

1

2

ż π{2

π{3p3 cospθqq2dθ

“

ˆ

9

16

?3`

π

4

˙

`

ˆ

´9

16

?3`

3π

8

˙

“5π

4

Ası el area buscada es A “ 5π4

.


Relacion con la excentricidad de lascurvas conicas

Teorema, ecuaciones polares de conicas

La ecuacion polar de una conica tiene algunade las siguientes formas:

1 r “e ¨ d

1˘ e cospθq

2 r “e ¨ d

1˘ e sinpθq

siempre que,

1 e es la excentricidad de la conica.

2 El foco de la conica esta ubicado en elorigen.

3 |d| es la distancia del foco a la directriz.

Recordatorio: la excentricidad de la conicasse estudio en la leccion anterior.

Ejemplo

Identifique la conica

r “2

1` cospθq

Como e “ 1, entonces es una parabola.

Ejemplo

Identifique la conica

r “3

2` 5 sinpθq

r “3

2` 5 sinpθq

“3{2

1` p5{2q sinpθq

Ası, e “ 5{2 ą 1, entonces es una hiperbola.


F I N


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