LÓGICA PROPOSICIONALProposición lógica

ENUNCIADOEs toda frase u oración. ejemplos:(1) ¿Qué estudias en el colegio?(2) ¡alcánzame la toalla!(3) 2x+3=11(4) Madrid es la capital de España.

PROPOSICIÓN LÓGICAEs un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadero o falso pero no ambos a la vez.NotaciónSe representa con las letras minúsculas : p,q,r,s,t,…etc. Y se utiliza subíndices para Representar varias proposiciones :

Ejemplos: p: cesar vallejo nació en parís V(p)=F q: 2+3<10-3 V(q)=Vr : el numero 1331 es divisible por 11 V(r)=vt: todos los hombres no son mortales v(t)=F

OBSERVACIÓNAquellos enunciados que expresan una pregunta , una orden o una exclamacion,son expresiones no proposicionales, ejemplos:¿Qué edad tienes?¡viva el Perú!Prohibido fumar

ENUNCIADOS ABIERTOSSon expresiones que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso ,es decir ,no son proposiciones.ejemplo:X+2>5X+y+z=5X es múltiplo de 4Nota: la x,y,z son cantidades no especificadas ,por lo tanto reciben el nombre de variables indeterminadas.

CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICOSa. Proposiciones simples o atómicas:Constituidas por un solo sujeto y un solo predicado. Carlos Marx nació en Alemania la silla es de maderab. Proposiciones compuestas o moleculares: constituidas por dos o mas proposiciones simples.(1) Carlos Marx nació en Alemania y es autor de “el capital”.(2) Enrique es medico o estudia arquitectura(3) Si mañana el cielo esta nublado ,mañana lloverá

CONECTIVOS LÓGICOSLenguaje común símbolo Nombre de la

proposiciónNo es cierto que… Negación

…y… Conjunción

…o… ˅ Disyunción inclusiva

Si…entonces Condicional

…si y solo si… bicondicional

o…o… Disyunción exclusiva

PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICASLa negación () , también no es el caso que , es falso que,etc. ejemplos: 1. la tiza es blanca 2. no es cierto que la tiza es blanca. 3. la tiza no es blanca 4. la tiza es azul.

p

V F

F V

LA CONJUNCIÓN ( ∧ )Ejemplos:(1) p:einstein fue físicoq:gauss fue matemático. Luego Einstein fue físico y gauss matemático.(2) Determinar el valor de la proposición:“2+3+5=11 y 4+8>5+6”p: 2+3+5=11 v(p):Fq: 4+8>5+6 v(q):vV(

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Ejemplo:(1) “juan estudio alemán en un instituto o vivió en Alemania”p:juan estudio alemán en un instituto de idiomas q:juan vivió en Alemania.

Ejemplo:(2) “José de san Martin es peruano o 12 es múltiplo de 3”p=José de san Martin es peruano v(p)=Fq=12 es múltiplo de 3 v(q)=vLuego: v(p

DISYUNCIÓN EXCLUSIVASe escribe y se lee “p o q pero no ambos” esto es ,se da exactamente una de las dos alternativas.Ejemplo:(1) Sean : p= Emilio es ingeniero mecánico.

q= Emilio es medicoEntonces .

Ejemplo:Determinar el valor de vedad de :(2) “ o William Shakespeare es autor de Hamlet o es autor de la Ilíada”Si p= William Shakespeare es autor de Hamlet” V(p)=Vq= W. Shakespeare es autor de la Ilíada” V(q)=F

LA CONDICIONALSe denomina proposición condicional a la que resulta de unir p y q por el conectivo “si,…entonces", que se denota por el símbolo ,se escribe y se lee “si p entonces q”.p: proposición antecedenteq: proposición consecuente

EJEMPLO(1) Si patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Miami . si p:Patricia consigue visa. q: patricia viajara a Miami.Entonces:

p q

V v V

V F F

F v V

F F v

Ejemplo:(2) Determinar el valor de verdad de la proposición:“si los monos son humanos entonces la tierra es plana”p= los monos son humanos v(p)=Fq= la tierra es plana v(q)=FSegún la tabla:

También son conectivos condicionales los términos:”porque”,”puesto que", "ya que”,”si”,”cuando”,”cada vez que”, etc. Porque van después del antecedente.ejemplo:(3) 16 es múltiplo de 2 puesto que 16 es numero par.Si p=16 es múltiplo de 2 (antecedente) q= 16 es numero par” (consecuente)Símbolo:

PROPOSICIÓN RECIPROCADada la proposición condicional , se llama proposición reciproca a la proposición que se denota por .Ejemplo:(4) Sea la proposición directa: “si x es par , entonces x es múltiplo de 2 “La proposición reciproca, , es:“si x es múltiplo de 2 ,entonces, x es par”

PROPOSICIÓN INVERSADada la proposición condicional se llama proposición inversa a la proposición que se denota por .Ejemplo:(5) sea: “si patricia tiene 40 años, entonces es joven”La proposición inversa “Si patricia no tiene 40 años entonces no es joven”

PROPOSICIÓN CONTRARRECCIPROCADada , se denomina proposición contrarreciproca a la que se denota por Ejemplo:(6) “si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son paralelas”Su contarreciproca ser:“si dos rectas no son paralelas, entonces, no son perpendiculares a una misma recta”

LA BICONDICIONALSe denomina bicondicional a la proposición definida por la conjunción de la proposición condicional con su reciproca:

Se denota y se lee .Es decir: Ejemplo:(1) “Fernando comprara un automóvil si y solo si obtiene un préstamo de la cooperativa”p= Fernando comprara un automóvilq= Fernando obtiene un préstamo de la cooperativa.

Esta proposición se entiende como: “si Fernando compra un automóvil entonces obtiene un préstamo de la cooperativa ,y si obtiene un préstamo de la cooperativa compra un automóvil”Simbolizando:

En consecuencia:p q

V v V V v

V F F F V

F V V F F

F F v F V

p q

V V VV F FF V FF F V

PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS

Una forma proposicional es una ley lógica si y solo si cualquiera que sea la interpretación formalmente correcta que se haga de la misma ,se obtiene como resultado una verdad lógica.En lógica ,las tautologías son conocidas con el nombre de leyes o principios lógicos y son los siguientes.

LEY DE LA IDENTIDAD(REFLEXIVIDAD)Una proposición solo es idéntica a si misma.Se expresa por:

y LEY DE NO CONTRADICCIONUna proposición no puede ser verdadera o falsa a la vez.

LEY DEL TERCIO EXCLUIDOUna proposición o es verdadera o es falsa ,no hay una tercera posibilidad.

Existen muchas otras tautologías igualmente importantes y que se clasifican en dos grupos: las tautologías llamadas equivalencias notables y las llamas implicaciones notables.

EQUIVALENCIAS NOTABLESLey de la involución(doble negación)dos negaciones de igual alcance equivale a una afirmación.

La impotenciaUna cadena de conjunciones o disyunciones de variables redundantes se eliminan.

LEYES CONMUTATIVASSi en las proposiciones conmutativas ,disyuntivas y incondicionales se permutan sus respectivas componentes ,sus equivalentes son lo mismo; esto es:

LEYES ASOCIATIVASLas leyes asociativas para la conjunción ,disyunción y bicondicional,establecen que si en un esquema hay mas de una conjuncion,disyuncion y bicondicional estas pueden agruparse indistintamente.

LEYES DISTRIBUTIVAS

LEYES DE MORGAN

LAS LEYES DEL CONDICIONAL

LAS LEYES DEL BICONDICIONAL

LEYES DE LA ABSORCIÓN

DISEÑO DE CIRCUITOS CONMUTADORESUn circuito conmutador es un circuito eléctrico que contiene interruptores para el paso o la interrupción de la corriente.Si designamos por p y q dos interruptores eléctricos que dejan pasar corriente y por ~p y ~q dos interruptores eléctricos que no dejan pasar corriente ,estos se pueden conectar por un alambre en serie o en paralelo ,como se indica en los siguientes esquemas, junto con al relación funcional que existe entre ambos.

ESQUEMA DE CIRCUITOS LÓGICOS

𝑝∧𝑞 𝑝∨𝑞

∼𝑝∧∼𝑞∼𝑝∨∼𝑞

Para circuitos eléctricos se usa la notación:“1” en lugar de V (pasa corriente)“0” en lugar de F (no pasa corriente)De modo que usando esta notacion,las tablas siguientes describen el funcionamiento de un circuito en serie , en paralelo y la relación que existe entre un interruptor p y un interruptor ~p.

Estas tablas nos permite simbolizar redes de circuitos eléctricos conectadas en serie y en paralelo, o también simplificar circuitos bastante complicados haciendo uso de las equivalencias notables.

EJEMPLODescribir simbólicamente el circuito p r ~q q ~r Solución: