logica proposicional

Tecnologıas de la Informacion UAM-C Carlos Rodrıguez Lucatero

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Tecnologıas de la Informacion UAM-CLogica y programacion logica

Dr. Carlos Rodrıguez Lucatero

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Logica proposicional

La logica proposicional, o calculo proposicional, es un marcomatematico elemental que consituye un nucleo mınimo comun atodos los sistemas logicos utilizados en la actualidad.Metodologicamente, juega el papel de construccion simplificada quese presta a la concepcion de metodos aplicables a sistemas masricos. Su objeto de estudio es el del conjunto de enunciados de unlenguaje, su interpretacion semantica ası como los sistemas dededuccion que permitan construir pruebas dentro de estelenguaje. En este capıtulo, el conjunto de enunciados, o formulas,es definido por induccion y la demostracion de numerososresultados que les concierne utilizan esta construccion. Lainterpretacion de las formulas es hecha en terminos de valores deverdad (verdadero,falso) y da sentido a las nociones de formulasequivalentes y de consecuencia logica. Tambien permiteasociar a toda formula una forma normal, que sera utilizada en el


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capıtulo siguiente para presentar un sistema de deduccionautomatico.

El lenguaje proposicional

El objeto de este parrafo es el de definir el conjunto de las formulasdel calculo proposicional con la ayuda de definiciones inductivas, ymostrar como este tipo de definicion, que aparece en todas lasramas de la logica matematica, puede ser utilizadas para estudiarlas propiedades de las formulas del lenguaje considerado.

0.1 Construccion de formulas

El lenguaje proposicional es caracterizado por un conjunto desımbolos, llamado alfabeto, denotado como A y constituıdo por:

• un conjunto P = {p, q, r, p1, p2, p3...}, finito enumerable, desımbolos, llamados variables proposicionales o proposiciones .

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• un conjunto de conectores (o sımbolos logicos) que contienelos sımbolos ¬ (no), ∧ (y), ∨ (o), → (implica), ↔ (equivale a).

• los parentesis ( y ).

El conector ¬ es unario y los otros son binarios. Una palabra ouna expresion es una cadena finita de sımbolos de A. La longitudde una palabra es el numero de sımbolos que la componen. Elconjunto de palabras construidas con el alfabeto A es denotadocomo A∗.

La concatenacion es la ley de composicion definida sobre A∗ queasocia a dos palabras u y v la palabra obtenida al juxtaponer lacadena de sımbolos v detras de u. Se escribe u.v. Una palabra u esun segmento inicial de una palabra v si existe una palabra w talque v = uw. La relacion definida sobre A∗ por u es un segmentoinicial de v es una relacion de orden (ejercicio).


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Ejemplo 1 1. Las cadenas de sımbolos ¬p,(¬p ∧ (q ∨ r)),(p ∧ ∨qr) son palabras de A∗

2. La palabra ¬p es un segmento inicial de (¬p ∧ (q ∨ r))

Entre las expresiones de A, solo algunas son interesantes desde unpunto de vista logico, aquellas que se denominan formulas. En elejemplo anterior, solo las dos primeras expresiones son formulas,pero no la ultima.

Definicion 1 El conjunto de formulas del calculo proposicionalconstruido sobre P es el conjunto mas pequeno F tal que:

• toda variable proposicional esta en F ,

• si F ∈ F , entonces ¬F ∈ F ,

• si F,G ∈ F , entonces (F ∧G) ∈ F , (F ∨G) ∈ F , (F → G) ∈ Fy (F ↔ G) ∈ F .

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Senalamos que el conjunto F esta bien definido. En efecto, existenconjuntos que satisfacen estas condiciones: por ejemplo, el conjuntoM(A) de todas las palabras. Existe un conjunto mas pequeno quesatisface estas condiciones: es la interseccion de todos los conjuntosque las satisfacen. Esta interseccion no es vacıa, porque contiene elconjunto P de las variables proposicionales. El conjunto deformulas puede ser caracterizado utilizando el principio deinduccion.

Definicion 2 Se definen los conjuntos Fn por induccion en n:

• F0 = P,

• Fn+1 = Fn ∪ {¬F : F ∈ Fn} ∪{(F ∧G) : F,G ∈ Fn}∪{(F ∨G) : F,G ∈ Fn} ∪{(F → G) : F,G ∈ Fn}∪{(F ↔ G) : F,G ∈ Fn}.

Es facil ver que la sucesion de conjuntos Fn es creciente (ejercicio).

Proposicion 1 El conjunto F de las formulas del calculo


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proposicional es igual a⋃

n∈N Fn.

Demostracion : El conjunto⋃

n∈N Fn satisface las condiciones de la

definicion F :

• toda variable proposicional esta en F0

• si F ∈ Fn , entonces ¬F ∈ Fn+1

• si F, G ∈⋃

n∈N Fn, entonces existen n, m tales que F ∈ Fn y

G ∈ Fm; si p = sup(n, m), F, G ∈ Fp y las formulas (F ∧G),(F ∨G),

(F → G), y (F ↔ G) estan en Fp+1;

El conjunto⋃

n∈N Fn contiene, en consequencia, F que es el conjunto

mas pequeno que las satisface. Para obtener la inclusion en sentido

inverso, sera suficiente mostrar por induccion que para todo entero n,

Fn ⊂ F . F0 = P ⊂ F . Supongamos que Fn ⊂ F (hipotesis de

induccion). A partir de la definicion de Fn+1 y del hecho de que el

conjunto F esta cerrado por la aplicacion de conectores Fn+1 ⊂ F lo que

se demuestra es la proposicion. �

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Definicion 3 La profundidad de una formula F es el enteromas pequeno n tal que F ∈ Fn.

Ejemplo 2 Algunas formulas simples y su profundidad:

La formula (¬p ∧ ((q ∨ r)→ s)) es de profundidad 3,

• p, q, r, s son de profundidad 0,

• ¬p, (q ∨ r) son de profundidad 1,

• ((q ∨ r)→ s) es de profundidad 2.

0.2 Demostracion por induccion sobre las

formulas

En lo que sigue, los diversos resultados tendran la forma siguiente:sea P una propiedad aplicada a las formulas; entonces, todaformula del calculo proposicional posee la propiedad P (o el


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conjunto de formulas que posee la propiedad P es igual a F). Parademostrar estos resultados no se utilizara un razonamiento porinduccion sobre la profundidad de las formulas, sino directamente,un razonamiento llamado de induccion sobre las formulas. Estaforma de demostracion esta justificada por la proposicion siguiente.

Proposicion 2 Sea P una propiedad aplicada a las formulas quesatisface las condiciones siguientes:

• toda variable proposicional posee la propiedad P ,

• si G es una formula que posee la propiedad P , entonces laformula ¬G la posee tambien,

• si G y H son formulas que poseen la propiedad P , entonces lasformulas (G ∧H), (G ∨H), (G→ H) y (G↔ H) la poseentambien.

Entonces, toda formula del calculo proposicional posee la propiedadP .

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Demostracion : Sea E el conjunto de las formulas F que poseen la

propiedad P . Basta con mostrar que F ⊂ E , lo que permitira deducir la

igualdad. Segun las hipotesis satisfechas por la propiedad P , el conjunto

E contiene a las variables proposicionales y es estable por aplicacion de

los conectores. Entonces contiene al conjunto F que es el conjunto mas

pequeno que verifica estas condiciones. �

Proposicion 3 En toda formula hay exactamente el mismonumero de parentesis que abren y que cierran.

La proposicion anterior es un ejemplo simple de demostracion porinduccion sobre el conjunto de formulas y queda como ejercicio.

0.3 Descomposicion de una formula

El teorema siguiente responde a la cuestion: dada una formula,¿existen muchas maneras de descomponerla en formulas “mas


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simples”?

Teorema 1 Sea F una formula, entonces F tiene una sola de lassiguientes formas:

1. F es una variable proposicional,

2. F = ¬G y G es una formula,

3. F = (G ∧H) y G,H son formulas,

4. F = (G ∨H) y G,H son formulas,

5. F = (G→ H) y G,H son formulas,

6. F = (G↔ H) y G,H son formulas.

Ademas, en los casos 2), 3), 4), 5) y 6), las formulas G y H estandeterminadas de manera unica.

La existencia de una descomposicion para una formula es clara deacuerdo con la definicion del conjunto de las formulas. La unicidad

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es mas difıcil de establecer y necesita de dos resultados intermedios,que se mencionan en los ejercicios.

Definicion 4 Un arbol es un conjunto ordenado que satisface lascondiciones siguientes:

• posee un elemento mas pequeno llamado raız del arbol;

• el conjunto de minorantes de cada elemento esta totalmenteordenado

El teorema sobre la descomposicion de formulas justifica el metodoque permirte :

• reconocer si una expresion dada es una formula

• construir, en el caso de una respuesta afirmativa, el arbol dedescomposicion de esta formula, es decir el conjunto deformulas que intervienen en la construccion de la formula dada,equipado de una relacion de orden G es de profundidad mayor


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que H.

Ejemplo 3 Apliquemos el metodo a la formula:M = (((¬p↔ q) ∨ ¬(r ∧ s))→ p)

• M es de la forma (F1 → F2) donde F2 = p es una variableproposicional.

• F1 es de la forma (F3 ∨ F4).

• F3 es de la forma (F5 ↔ F6) donde F5 = ¬F7, F6 = q y F7 = p

son variables proposicionales.

• F4 es de la forma ¬F8 y F8 es de la forma (F9 ∧ F10), dondeF9 = r y F10 = s son variables proposicionales.

La expresion M es perfectamente una formula. Ademas, su arbolde descomposicion muestra como esta construida a partir de lasvariables proposicionales, utilizando los conectores, y proporcionaal mismo tiempo todas las formulas que entran en su construccion.

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Definicion 5 Una sub-formula de una formula F es una formulaque aparece en la descomposicion de F

Ejemplo 4 Las formulas (¬p↔ q), (r ∧ s) y p son sub-formulasdel ejemplo anterior.

Semantica

La semantica se define a partir de la interpretacion de las formulasen terminos de valores de verdad (verdadero,falso): una valuacion,distribucion de los valores de verdad, sobre el conjunto de lasvariables proposicionales, permite determinar el valor de unaformula. En lo que sigue, 0 representa falso y 1 verdadero.Utilizaremos la abreviacion ssi para si y solamente si.

Definicion 6 Una evaluacion V es una funcion de P en {0, 1}.

Proposicion 4 Sea V una evaluacion, entonces existe unaprolongacion unica V de V a F que satisface las condicionessiguientes:


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1. para todo p ∈ P, V(p) = V(p),

2. si F = ¬G, entonces V(F ) = 1 ssi V(G) = 0,

3. si F = (G ∧H), entonces V(F ) = 1 ssi V(G) = V(H) = 1,

4. si F = (G ∨H), entonces V(F ) = 0 ssi v(G) = V(H) = 0,

5. si F = (G→ H), entonces V(F ) = 0 ssi V(G) = 1 y V(H) = 0,

6. si F = (G↔ H), entonces V(F ) = 1 ssi V(G) = V(H).

Demostracion :

Se muestra que se puede definir V por induccion sobre las formulas. Es

claramente el caso de las variables proposicionales. Supongamos que

F = ¬G y que ya hemos definido v(G) ( hipotesis de induccion ): se

coloca V(F ) = 1 si V(G) = 0 y si no, 0. Supongamos que F = (G ∧H) y

que se ha definido v(G) y V(H) ( hipotesis de induccion ): se coloca

V(F ) = 1 si V(G) = V(H) = 1 y si no, 0.

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La demostracion en los otros casos es analoga: la asignacion de valores

de V(G) y de V(H) permite definir la de V(F ) satisfaciendo la condicion

4), 5) o 6) segun el caso. Este valor esta bien definido de manera unica,

de acuerdo con el teorema de descomposicion. Para mostrar la unicidad

de la prolongacion de V, se supone que existen dos prologaciones y se

muestra facilmente que estas son iguales por induccion sobre las

formulas. �

Ejemplo 5 El valor de la formula ((p→ q) ∧ (q ∨ r)) para lavaluacion V definida como V(p) = V(q) = 0 y V(r) = 1 es 1.

Un medio de representarse las condiciones enunciadas en laproposicion anterior es construir una tabla dando los valores deV(F ) en funcion de diferentes posibles valores deV sobre lassub-formulas de la descomposicion de F . Para los conectoresbinarios ∧,∨,→, se obtiene la tabla:


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G H G ∧ H G ∨ H G → H

0 0 0 0 1

0 1 0 1 1

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1

En lo que sigue, se hara un abuso de escritura: debido a que se dauna evaluacion V sobre P, su prolongacion esta bien definida sobreel conjunto F de todas las formulas y tambien V, su prolongacion.

0.4 Tautologıas. Formulas equivalentes

Definicion 7 • Una formula F es satisfecha por una evaluacionV si V(F ) = 1.

• Una tautologıa es una formula que es satisfecha por toda

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evaluacion.

• Dos formulas F y G se llaman logicamente equivalentes si paratoda evaluacion V, V(F ) = V(G).

Ejemplo 6 • Tautologıas: (p→ p)

(p→ (q → p))

((p→ (q → r))→ ((p→ q)→ (p→ r)))

(((¬p→ q)→ ((¬p→ ¬q)→ p))

• Las parejas de formulas siguientes son ejemplos de formulasequivalentes:


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¬¬p y p

(p→ q) y (¬p ∨ q)

(p↔ q) y ((p→ q) ∧ (q → p))

(p ∧ (q ∨ r)) y ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))

Se observa que dos formulas F y G son equivalentes ssi la formula(F ↔ G) es una tautologıa.

La relacion binaria ≡ definida sobre el conjunto de formulas por:F ≡ G ssi F y G son equivalentes, es una relacion de equivalencia(jercicio).

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0.5 Nocion de consecuencia logica

Desde un punto de vista semantico, una de las cuestionesfundamentales es saber si una formula es consecuencia de unconjunto dado de formulas.

Definicion 8 Sea Σ un conjunto de formulas y F una formula.

• La formula F se dice que es consecuencia logica de Σ si todaevaluacion V, que satisface todas las formulas de Σ a la vezsatisface tambien la formula F .

• Un conjunto de formulas Σ se dice satisfacible si existe unavaluacion que satisfaga todas las formulas de Σ

Proposicion 5 Una formula F es consequencia del conjunto deformulas Σ si y solo si el conjunto Σ

⋃{¬F} no es satisfacible.

Demostracion :


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Si toda evaluacion que satisface Σ satisface tambien F , entonces no

existe evaluacion que satisfaga a la vez Σ y ¬F . Se muestra facilmente la

recıproca por contraposicion: si existe una evaluacion que satisface Σ y

que no satisface F , esta evaluacion satisface Σ y ¬F . �

0.6 Substitucion y valor de una formula

El valor de una formula, por ejemplo ((p→ q) ∧ (q ∨ r)), puededeterminarse para una valuacion dad V. Pero ¿ Como podemoscalcular el valor de verdad de una formula compleja a partir valoresde formulas mas simples ?. El teorema demostrado en este parrafoa esta pregunta: basta con hacer la composicion de los valores deverdad como se hizo en caso de las variables proposicionales. Esposible omitir en una primera instancia el caso general tratado enel marco del teorema y su corolario. En efecto, el estudio de laspropiedades enunciadas en los ejemplos que siguen, son suficientes

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para la construccion de las formas normales equivalentes a unaformula dada.

La notacion F (p1, p2, ..., pn) designa una formula en la que todaslas variables proposicionales estan entre p1, p2, ..., pn.

Definicion 9 Sea F (p1, ..., pi, .., pn) una formula. Una ocurrenciade la variable pi en la formula F es la asignacion de una parejaformada por esta variable y el lugar donde se encuentra en F . SeaG una formula. La formula F (p1, ..., pi−1, G, pi+1, ..., pn) es laformula que se obtiene al sustituir por G todas las ocurrencias de pi

en F .

Proposicion 6 Sean F (p1, ..., pn) una formula yV una evaluacion.Entonces el valor V(F ) no depende mas que de los valores de Vsobre p1, ..., pn.

Demostracion : La demostracion se hace por induccion sobre las

formulas.


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• Si F es la variable proposicional p1, es evidente.

• Se supone que los valores V(G),V(H) no dependen mas que de los

valores deV sobre p1, ..., pn ( hipotesis de induccion ).

• Sea F = ¬G. Como V(F ) no depende mas que de V(G), la

propiedad considerada es igualmente verdadera para F .

• Sea F = (G ∧H). Como V(F ) no depende mas que de V(G),V(H),

la propiedad es aun verdadera para F .

La demostracion es analoga en todos los otros casos. �

Definicion 10 Una ocurrencia de la variable p en la formula Fes el dato de esta variable y de un lugar donde aparece en F .

Sea G una formula. La formula obtenida por substitucion de G ap en F , denotado como F (G/p) es la formula obtenidaremplazando todas las ocurrencias de p en F por la formula G

Definicion 11 La formula F (G/p) es definida por induccion sobre

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la formula F :

• si F es la variable p, F (G/p) es la formula G;

• si F es una variable proposicional q 6= p, F (G/p) es la formulaF ;

• si F es de la forma ¬H,F (G/p) es la formula ¬H(G/p)

• si F es de la forma F1αF2, donde α es un conector binario,F (G/p) es la formula F1(G/p)αF2(G/p)

Ejemplo 7 La substitucion de la formula (q → r) por la variable qen la formula ((p→ q) ∧ (q ∨ r)) nos da :

((p→ (q → r)) ∧ ((q → r) ∨ r))

Sea F,G,H formulas cualquiera. Suponiendo que solo conocemoslos valores V(F ),V(G),V(H), ¿ como calcular, por ejemplo, el valorde V(((F → G) ∧ (G ∨H))) ?. La siguiente proposicion darespuesta a esta pregunta.


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Proposicion 7 Sea F,G dos formuilas y V una valuacion en lacual no se conoce el valor de G.Entonces el valor de la formulaF (G/p) para la valuacion V es igual al valor de la formula F parauna valuacion V ′ satisfaciendo: V ′(p) = V(G) y V ′(q) = V(q) paratoda variable q 6= p

Demostracion :

La demostracion se hace por induccion sobre la formula F

• Si F es la variable proposicional p, es evidente, Si F es una variable

q 6= p, F (G/p) es q y V ′(F ) = V(q) = V(F )

• La propiedad se supone verdadera para la formula H, es decir que:

V(H(G/p)) = V ′(H)

Si F es de la forma ¬H, se tiene entonces que:

V(F (G/p)) = 1 ssi V(H(G/p)) = 0

V ′(F ) = 1 ssi V ′(H) = 0

La hipotesis de induccion permite obtener la igualdad buscada para

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F .

• Suponemos la propiedad verdadera par F1, F2. Si F es de la forma

F1 ∧ F2, los valores V,V ′ sobre F satisfacen:

V(F (G/p)) = 1 ssi V(F1(G/p)) = V(F2(G/p)) = 1

V ′(F ) = 1 ssi V ′(F1) = V ′(F2) = 1

La hipotesis de induccion nos permite una vez mas concluir.

La demostracion es analoga par los otros conectores binarios �

Corolario 1 Sea F, F ′, G,G′ formulas y p una variableproposicional

• Si F es una tautologıa, entonces la formula F (G/p) es unatautologıa.

• Si F y F ′ son equivalentes, entonces las formulas F (G/p) yF ′(G/p) son equivalentes.

• Si G y G′ son equivalentes, entonces las formulas F (G/p) y


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F (G′/p) son equivalentes.

La demostracion es dejada como ejercicio. Los ejemplos siguientesson consecuencias faciles de este corolario.

Ejemplo 8 1. Para toda formula F,G y H, las formulassiguientes son tautologıas:

(F → F )

(F → (G→ F ))

((F → (G→ H))→ ((F → G)→ (F → H)))

2. para toda formula F,G y H, las formulas siguientes sonequivalentes: ¬¬F ≡ F

(F → G) ≡ (¬F ∨G)

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(F ↔ G) ≡ ((F → G) ∧ (G→ F ))

3. si las formulas F ≡ F ′ y G ≡ G′ entonces las formulassiguientes son equivalentes: ¬F ≡ ¬F ′

(F ∧G) ≡ (F ′ ∧G′)

(F ∨G) ≡ (F ′ ∨G′)

(F → G) ≡ (F ′ → G′)

(F ↔ G) ≡ (F ′ ↔ G′)

Los ejemplos de formulas equivalentes expresan las principalespropiedades de los conectores:


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• conmutativa:

(F ∧G) ≡ (G ∧ F )

(F ∨G) ≡ (G ∨ F )

• asociativa:

(F ∧ (G ∧H)) ≡ ((F ∧G)H)

(F ∨ (G ∨H)) ≡ ((F ∨G)H)

• idempotencia:

(F ∧ F ) ≡ F

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(F ∨ F ) ≡ F

• reglas de de Morgan :

¬(F ∧G) ≡ (¬F ∨ ¬G)

¬(F ∨G) ≡ (¬F ∧ ¬G)

• distributiva:

(F ∧ (G ∨H)) ≡ ((F ∧G) ∨ (F ∧H))

(F ∨ (G ∧H)) ≡ ((F ∨G) ∧ (F ∨H))


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• absorcion:

(F ∧ (F ∨G)) ≡ F

(F ∨ (F ∧G) ≡ F

La siguiente proposicion nos presenta un grupo de conectores queson suficientes para tener el poder de expresion de la logicaproposicional.

Proposicion 8 Toda formula del calculo proposicional esequivalente a una formula construida unicamente con los conectores¬,∧.

Demostracion : La demostracion se realiza por induccion sobre las

formulas.

• La propiedad es claramente verdadera para las variables

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proposicionales.

• Se supone que la propiedad es verdadera para las formulas G y H, es

decir, que la formula G ( respectivement H) es equivalente a una

formula G′ ( respectivamente H ′ ) construida unicamente con los

conectores ¬,∧.

• Sea F = ¬G: F es equivalente a ¬G′, que es una formula construida

unicamente con los conectores ¬,∧ segun la hipotesis de induccion.

• Sea F = (G ∧H): F equivalente a (G′ ∧H ′), que es una formula

construida solo con los conectores ¬,∧ de acuerdo con la hipotesis

de induccion.

• Sea F = (G ∨H): F ≡ (G′ ∨H ′). Con la ayuda de la segunda regla

de de Morgan y del hecho de que K ≡ ¬¬K, se obtiene que:

F ≡ ¬(¬G′ ∧ ¬H ′) que es una formula construida solo con los

conectores ¬,∧.

• Sea F = (G→ H): F ≡ (G′ → H ′), F ≡ (¬G′ ∨H ′) que es

equivalente, segun lo que precede, a una formula construida solo con


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los conectores ¬,∧.

• Sea F = (G↔ H): F ≡ (G′ ↔ H ′), F ≡ ((G′ → H ′) ∧ (H ′ → G′))

que es equivalente, segun lo que precede, a una formula construida

solo con los conectores ¬,∧.

�

Se observa que la escritura F ≡ G es solo una notacion paraexpresar que estas dos formulas son equivalentes, pero ¡no es unaformula del calculo proposicional!

Definicion 12 Un conjunto de conectores que poseen la propiedadenunciada en la proposicion anterior para {¬,∧} se denominasistema completo.

A tıtulo de ejercicio se puede mostrar que los sistemas{¬,∨}, {¬,→}, {¬,↔} son completos.

Formas normales

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Una forma normal es una formula de un tipo particular : todaformula puede ser transformada en una formula equivalente de estaforma. La forma normal conjuntiva, ası como la forma clausal quese deduce facilmente, seran utilizadas para introducir un metodo dedemostracion automatica.

Definicion 13 Se dice que una formula F esta bajo forma normaldisyuntiva

• si es de la forma (F1 ∨ F2 ∨ ... ∨ Fk), donde cada formula Fi

(i = 1, 2, ..., k) es de la forma (G1 ∧G2 ∧ ... ∧Gl), y cada Gj

(j = 1, 2, ..., l) es una variable proposicional o su negacion.

• o se reduce a una formula F1

Ejemplo 9 Las siguientes formulas estan en forma normaldisyuntiva.

((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q))((p ∧ q¬r) ∨ (¬p ∧ q))


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(p ∧ ¬q)

Definicion 14 Se dice que una formula F esta en forma normalconjuntiva ,

• si es de la forma (F1 ∧ F2 ∧ ... ∧ Fk), donde cada formula Fi

(i = 1, 2, ..., k) es de la forma (G1 ∨G2 ∨ ... ∨Gl), y cada Gj (j = 1, 2, ..., l ) es una variable proposicional o su negacion.

• o se reduce a una formula F1

Ejemplo 10 Las siguientes formulas estan en forma normalconjuntiva.

((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)) ((p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬p ∨ r) ∧ (¬r ∨ ¬s)) (¬p ∨ q)

0.7 Funcion asociada a una formula

Ahora supongamos que P es finito: P = {p1, p2, ..., pn}. Entoncesexisten 2n evaluaciones distintas de dos en dos. Cada formula

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F (p1, p2, ..., pn) define una funcion fF del conjunto de lasevaluaciones {0, 1}P en {0, 1}, que a cada valuacion V asocia elvalor V(F ). La siguiente propiedad es evidente.

Proposicion 9 Dos formulas F y G son equivalentes si las dosfunciones asociadas son iguales.

Corolario 2 Existen, ademas, 22n

formulas del calculoproposicional, no equivalentes de dos en dos, construidas sobre nvariables.

Demostracion :

Sea F/ ≡ el cociente del conjunto de formulas por la relacion de

equivalencia ≡.

La funcion F/ ≡ en el conjunto de funciones de {0, 1}P en {0, 1} que, a


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la clase de equivalencia F , asocia la funcion fF es una inyeccion. �

El teorema siguiente expresa que la funcion ası definida es de hechouna biyeccion.

Teorema 2 Toda funcion f de {0, 1}n en {0, 1} puede serrepresentada por una formula F (p1, p2, ..., pn), es decir existe unaformula F (p1, p2, ..., pn) tal que para toda evaluacion V,f(V) = V(F ).

Demostracion :

Por induccion sobre el numero n de variables proposicionales.

• Si n = 1, existen cuatro funciones de {0, 1}P en {0, 1}: estas

funciones son representadas por las formulas p,¬p, (p ∨ ¬p), (p ∧ ¬p).

• Se supone la propiedad verdadero para n− 1 variables

proposicionales.

Sean Pn = {p1, p2, ..., pn} y f una funcion de {0, 1}n en {0, 1}. Se

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designa por f0, respectivamente f1, la restriccion de f a las

evaluacionesV tales que V(pn) = 0, respectivamente V(pn) = 1:

f0, f1 son funciones del conjunto de las evaluaciones definidas sobre

{p1, p2, ..., pn−1} en {0, 1} y en consecuencia, se representan por las

formulas G(p1, ..., pn−1) y H(p1, ..., pn−1). Por tanto, se verifica

facilmente que la funcion f esta representada por la formula:

((¬pn ∧G(p1, ..., pn1)) ∨ (pn ∧H(p1, ..., pn−1))).

La propiedad de representacion de la funcion {0, 1}P en {0, 1} por una

formula es entonces verdadera, cualquiera que sea el numero de variables

proposicionales en P. �

Corolario 3 Toda formula es equivalente a una formula en formanormal disyuntiva (respectivamente conjuntiva) .

Demostracion : La idea para la demostracion es sencilla: habiendo

sido dada F , se considera la funcion fF y se determina una formula G,

en forma normal disyuntiva (respectivamente conjuntiva) que representa

la funcion fF . La demostracion se realiza por induccion sobre el numero


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n de variables proposicionales.

• En el caso n = 1, se considera la formula obtenida anteriormente,

que esta en forma normal disyuntiva (respectivamente conjuntiva).

• Se supone que la propiedad es verdadera en el caso n− 1. Sea

F (p1, p2, ..., pn). Se considera la funcion fF asociada y se construye

una formula que la representa, como en la demostracion del teorema

anterior. F es, por tanto, equivalente a una formula de la forma

((¬pn ∧G) ∨ (pn ∧H)) donde G y H son equivalentes a las formas

normales disyuntivas: G ≡ (G1 ∨G2 ∨ ... ∨Gk) y

H ≡ (H1 ∨H2 ∨ ... ∨Hl).

(¬pn ∧G) ≡ ((¬pn ∧G1) ∨ (¬pn ∧G2) ∨ ... ∨ (¬pn ∧Gk)), que esta

en forma nomal disyuntiva,

(¬pn ∧H) ≡ ((¬pn ∧H1)∨¬pn ∧H2)∨ ...∨ (¬pn ∧Hl)), que esta en

forma normal disyuntiva, F es por tanto equivalente a la disyuncion

de dos formas normales disyuntivas que esta en la forma normal

disyuntiva.

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En el caso de una forma normal conjuntiva se puede utilizar la

equivalencia: F ≡ ((¬pn ∨H) ∧ (pn ∨G)). �

0.8 Metodos de transformacion

En la practica, existen dos metodos para determinar la formanormal disyuntiva, o conjuntiva equivalente a una formula dada. Elprimer metodo consiste en transformar la formula dada porequivalencias sucesivas con la ayuda de las reglas que siguen,aplicadas en este orden:

1. se elimina → y ↔ con la ayuda de las equivalencias:(F → G) ≡ (¬F ∨G) y (F ↔ G) ≡ ((¬F ∨G) ∧ (F ∨ ¬G))

2. se hacen entrar las negaciones lo mas internamente posible, conla ayuda de las equivalencias:


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¬(F ∧G) ≡ (¬F ∨ ¬G) y ¬(F ∨G) ≡ (¬F ∧ ¬G)

3. se utilizan las distribuciones

(F ∧ (G ∨H)) ≡ ((F ∧G) ∨ (F ∧H)) y(F ∨ (G ∧H)) ≡ ((F ∨G) ∧ (F ∨H))

Ejemplo 11 Expresar la formula ¬(p↔ (q → r)) en la formadisyuntiva (respectivamente conjuntiva). La formula se transformapor equivalencias sucesivas:

1. ¬((p→ (q → r)) ∧ ((q → r)→ p))

2. ¬((¬p ∨ (¬q ∨ r)) ∧ (¬(¬q ∨ r) ∨ p))

3. (¬(¬p ∨ (¬q ∨ r)) ∨ ¬(¬(¬q ∨ r) ∨ p))

4. ((p ∧ ¬(¬q ∨ r)) ∨ ((¬q ∨ r) ∧ ¬p))

5. ((p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ r)) que esta en forma normaldisyuntiva;

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6. (((p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬q ∨ r)) ∧ ((p ∧ q ∧ ¬r) ∨ ¬p))

7. ((p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬r)) que esta en forma normalconjuntiva.

El segundo metodo para obtener una forma normal disyuntivaequivalente a una formula F dada (respectivamente conjuntiva)consiste en determinar primero la funcion fF , despues, construiruna formula G en una forma normal disyuntiva (respectivamenteconjuntiva) que represente fF y que es por tanto equivalente a F :

1. en la primera etapa, de hecho es suficiente determinar lasevaluaciones V tales que V(F ) = 1 (respectivamente V(F ) = 0);

2. a cada evaluacion vj tal que Vj(F ) = 1 ( respectivamenteVj(F ) = 0 ), se asocia una formula Gj de la forma(e1p1 ∧ e2p2 ∧ ... ∧ enpn) ( respectivamente(e1p1 ∨ e2p2 ∨ ... ∨ enpn) ) donde para cada i = 1, 2, ..., n,eipi = pi si Vj(pi) = 1 (respectivamente Vj(pi) = 0) y


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eipi = ¬pi si calV j(pi) = 0 ( respectivamente Vj(pi) = 1 );

3. se toma como formula G (respectivement H) la disyuncion(respectivamente la conjuncion) de las formula Gj .

Es facilmente verificable que la funcion asociada a la formula G esigual a fF .Se aplica este metodo al ejemplo anterior:

F = ¬(p↔ (q → r))

Ejemplo 12 Aplicamos este metodo a la formula F del ejemploanterior:

¬(p↔ (q → r))

Las evaluaciones V tales que V(F ) = 1 son cuatro:V1 = (1, 1, 0),V2 = (0, 1, 1),V3 = (0, 0, 1),V4 = (0, 0, 0) donde sedesigna la evaluacion V por la notacion (ε1, ε2, ε3) para expresarque V(pi) = εi ( i = 1, 2, ..., n ). La formula G obtenida esta en

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forma normal disyuntiva:

G = ((p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r))

La determinacion de una forma normal conjuntiva para unaformula dada sigue un metodo analogo: se intercambian los papelesentre las evaluaciones que dan valor 1 y las que dan valor 0, entrevariables proposicionales y su negacion, entre disyunciones yconjunciones.

Proposicion 10 Expresar una formula F en forma normaldisyuntiva (respectivamente conjuntiva) consiste en poner laformula ¬F en forma normal conjuntiva (respectivamentedisyuntiva).

Demostracion :

Sea G una forma normal disyuntiva (respectivamente conjuntiva)

equivalente a F . La formula ¬F es equivalente a ¬G. Aplicando las


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reglas de de Morgan a ¬G, se obtiene una forma normal conjuntiva

(respectivamente disyuntiva) equivalente a ¬G y por tanto a ¬F . �

La proposicion anterior expresa esta dualidad existente entre unaformula y su negacion, entre disyuncion y conjuncion, entre formanormal disyuntiva y conjuntiva.

0.9 Forma clausal

La puesta bajo forma clausal sera utilizada como transformacionprevia a la aplicacion de un metodo de demostracion automaticaque sera descrito en el siguiente capıtulo.

Definicion 15 • Una clausula C es una formula de la forma(G1 ∨G2 ∨ ... ∨Gl), donde cada Gj ( j = 1, 2, ..., l ) es unavariable proposicional o su negacion. Una clausula puede estarcompuesta de una sola de las formulas Gj

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• Las variables proposicionales que aparecen en la clausula C sinnegacion se llaman variables positivas de C; las variablesproposicionales que aparecen precedidas por una negacion sondenominadas variables negativas de C.

La proposicion siguiente es una consecuencia inmediata delcorolario sobre la existencia de una forma normal conjuntivaequivalente a una formula dada.

Proposicion 11 Toda formula del calculo proposicional esequivalente a la conjuncion de un numero finito de clausulas.

Toda clausula C es equivalente a una clausula de la forma:(¬a1 ∨¬a2 ∨ ...∨¬an ∨ b1 ∨ b2 ∨ ...∨ bm), donde ai (i = 1, 2, ..., n) ybj (j = 1, 2, ...,m) son variables proposicionales. Toda clausula queposee al menos una variable negativa y una variable positiva estambien equivalente a una formula de la forma:


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((a1 ∧ a2 ∧ ... ∧ an)→ (b1 ∨ b2 ∨ ... ∨ bm)).

En lo que sigue, se utilizara igualmente la notacion (Γ,∆) paradesignar una clausula C, donde Γ es el conjunto de las variablesproposicionales negativas de C y ∆ el conjunto de las variablespositivas de C.

Ejemplo 13 La formula ¬(p↔ (q → r)) es equivalente a laconjuncion de las clausulas siguientes:

C1 = (¬q ∨ p ∨ r)equivale a(q → (p ∨ r))

,

C2 = (¬p ∨ q)equivale a(p→ q)

,

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C3 = (¬p ∨ ¬r)

.

En tanto clausulas particulares, se pueden distinguir los siguientestres casos:

1. una clausula C = (Γ,∆) es negativa si ∆ = ∅. Por ejemplo, laclausula C3 ;

2. una clausula C = (Γ,∆) es positiva si Γ = ∅;

3. la clausula vacıa es definida por Γ = ∆ = ∅.

En lo que sigue, se utilizaran las propiedades siguientes:

1. la evaluacion V satisface la clausula C = (Γ,∆) si y solo siexiste una variable p ∈ Γ tal que V(p) = 0 o existe una variableq ∈ ∆ tal que V(q) = 1;

2. la evaluacion V no satisface la clausula C = (Γ,∆) si y solo si


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para toda variable p ∈ Γ, V(p) = 1 y para toda variable q ∈ ∆,V(q) = 0;

3. la clausula vacıa no es satisfecha por ninguna evaluacion.

Ejercicios

1. Mostrar que la relacion definida sobre el conjunto deexpresiones del calculo proposicional por “u es un segmentinicial de v” es una relacion de orden.

2. Mostrar que toda formula tiene el mismo numero de parentesisabiertos que cerrados.

3. Mostrar que la relacion binaria ≡ definida sobre el conjunto delas formulas por : F ≡ G ssi F,G son equivalentes, es unarelacion de equivalencia.

4. Sean A,B,C,D y Eformulas del calculo proposicional. ¿ Las

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siguientes formulas son tautologıas?

(A↔ (B → C))↔ ((A ∧ C) ∨ (¬(A↔ B) ∧ ¬C))

((A→ (B ∨ E)) ∧ ((C ∧ E)→ D))→ ((A ∧ C)→ (B ∨D))

(((¬A→ B)→ (¬A→ C)) ∧ (B → ¬C))→ A

((A ∧B)→ (C ∨D))↔ ((A→ C) ∨ (B → D))

5. Una notacion simplificada, utilizada a menudo en calculobooleano, permite reducir el tamano de las formulas : ¬p seescribe p, ∧ se escribe . y ∨ se escribe +. La formulap1 ∧ (p2 ∨ ¬p3) se escribe tambien p1.(p2 + p3).La formula p1 ∨ p2 ∨ p3 se escribe p1 + p2 + p3.

Sea p1, p2, p3 variables proposicionales.

(a) Sea F la formula (p1.p2.p3) + (p1.p2.p3) + (p1.p2.p3). ¿ Lasformulas F y ¬F son satisfacibles ? ¿ F y ¬F son


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tautologıas ?

(b) Poner las formulas F y ¬F bajo forma normal conjuntiva,depues bajo forme de clausulas.

(c) Determinar una formula G tal que la formula(F ∧G) ∨ (¬F ∧ ¬G) sea una tautologıa.

(d) Sea F1 la formula obtenida por substitucion de p1 a p1 enF . ¿ La formula F1 es consecuencia de F , y F consecuenciade F1?

6. Sea G1, G2, G3 les formulas siguientes :

p1 + p2 + p3 p1.p2.p3 p1.p2 + p3

(a) Determinar todas las parejas de formulas, tomadas de entreG1, G2, G3, tales que una sea consecuencia de la otra.

(b) ¿ La formula G1 ∨G3 es consecuencia de G1 ∨ ¬G2?

7. Mostrar que los sistemas de conectores {¬,∨}, {¬,→} son

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completos, es decir que toda formula del calculo proposicionales equivalente a una formula construida solamente con losconectores ¬,∨, por ejemplo.

8. Describir el segundo metodo de determinacion de una formanormal conjuntiva y aplicarlo a la formula : ¬(p↔ (q → r)).

9. Mostrar la unicidad de la descomposicion de una formula.Podemos empezar por demostrar los dos resultados siguientes.

Lema 1 Si I es un segmento inicial de una formula F ,entonces I tiene al menos tantos parentesis abiertos comocerrados. Si, ademas, la formula F comienza por un parentesisabierto y I es un segmento inicial distinto de F , entonces Itiene estrictamente mas parentesis abiertos que cerrados.

Lema 2 Sea F una formula y I un segmento inicial de F . SiI es una formula, entonces I = F .

logica proposicional

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