Álgebra 15 ciencias

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LOGARITMOS

DEFINICIÓN Se define al logaritmo de un número real positivo N, en una base b positiva y diferente de 1, como al exponente x al cual se debe elevar la base para obtener N. Se representa: x

b Log N x b N = ⇔ = ; b > 0 ∧ b ≠ 1 Ejemplos:

9Log 729 3= ; Porque: 39 729=

23

81Log 416

= −

; Porque: 42 81

3 16

− =

164

1Log 26

= − ; Porque: 161 2

64

− =

2Log x 4= ⇔ 4x 2 16 x 16= = =∴ 1. LOGARITMO DECIMAL

Se llaman logaritmo decimal o vulgar al logaritmo que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

2. LOGARITMO NEPERIANO

Se llaman logaritmo neperiano, natural o hiperbólico al logaritmo que tienen por base el número ‘‘e’’. Se representa Ln x

Ln x: Se lee Logaritmo neperiano de ‘‘x’’

PROPIEDADES ASOCIADAS Sean M, N > 0 y b > 0, diferente de la unidad

I. Logaritmo de la unidad: bLog (1) 0=

II. Logaritmo de la base: bLog (b) 1=

III. Logaritmo de un producto: b b bLog (M N) Log (M) Log (N)⋅ = +

IV. Logaritmo de un cociente:

b b bMLog Log (M) Log (N)N

= −

V. Logaritmo de una potencia: n

b bLog (M ) n Log (M)= ⋅

VI. Logaritmo de una raíz:

( )nb b

1Log M Log (M)n

= ⋅

VII. Cambio de base:

kb

k

Log (M)Log (M) con k 0 k 1Log (b)

= > ∧ ≠

Consecuencia: Regla de la cadena Y Z W WLog (X) Log (Y) Log (Z) Log (X)⋅ ⋅ =

VIII. Si a la base y al número se le eleva o se le

extrae la raíz de una misma cantidad entonces su valor no varía.

( ) ( )k kk k

b bbLog (M) Log M Log M= =

IX. El teorema fundamental de los logaritmos:

(Log M)bb M con b 0 b 1= > ∧ ≠

Consecuencia: ( (Log N) Log M)b bM N=

3. COLOGARITMO

Es el logaritmo de la inversa del número. También puede expresarse como el opuesto del logaritmo del mismo número.

b b b1Colog (N) Log Log NN = = −

Ejemplo: 5 5Colog 25 Log 25 2= − = −

4. ANTILOGARITMO

Es el número al cual se ha tomado su logaritmo. x

bAntilog x b=

Ejemplo: 4

3Antilog 4 3 81= =

PROPIEDADES ASOCIADAS I. b bAntilog (Log N) N=

II. b bLog (Antilog N) N=

III. b bColog (Antilog N) N= −

5. ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Son aquellas ecuaciones que se caracterizan por la presencia de logaritmos .Para resolver se deben usar las propiedades. Además

( ) ( )b bLog f(x) Log g(x) f(x) h(x)= ⇔ = ….. (i)

Donde:

b 0 b 1 f(x) 0 g(x) 0> ∧ ≠ ∧ > ∧ > ….. (ii)

ÁLGEBRA

15 CIENCIAS

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Álgebra Teoría y ejercicios – Semana 15


Ejemplo: Resolver: 33

3Log (x x) 2 Log x− = ⋅ Por la condición (ii): 3x x 0 x 0− > ∧ >

x(x 1)(x 1) 0 x 0+ − > ∧ >

El dominio queda restringido a: 1,+∞

Por la condición (i): 3 3

3 3 23 3Log (x x) 2 Log x Log (x x) Log x− = ⋅ ⇒ − =

Entonces: 3 2 3 2x x x x x x 0− = ⇒ − − = Factorizamos: 2x(x x 1) 0− − =

Resolviendo: 1 5 1 5x 0 x x2 2+ −

= ∨ = ∨ =

Analizando: 1 5 x2+

= , es la única solución.

6. SISTEMA DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Se trata de resolver 2 ó más ecuaciones que contienen 2 ó más incógnitas, en las cuales se presentan logaritmos. Para resolver se debe usar propiedades

Ejemplo: 2Logx Logy 5 ..... (i) Logx Logy 4 .... (ii)

+ = + =

Resolvemos aplicando eliminación, de (i) – (ii): Logx 1 x = 10 = ⇒ Sustituyendo en ((ii):

Logy 3 y = 1000 = ⇒ 7. INECUACIONES LOGARÍTMICAS

PRIMER CASO: La base es mayor que 1 a) Los números mayores o iguales a 1 tienen

logaritmo positivo. b) Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo

negativo. Por ello; dados x e y que pertenecen a ‘‘ +

’’ b bb 1 : 0 x y log (x) log (y)> < < ⇔ <

Luego si: N

bN

b

I) x 0 b 1: log x N x b

II) x 0 b 1: log x N 0 x b

> ∧ > > ⇔ >

> ∧ > < ⇔ < <

SEGUNDO CASO: La base está entre 0 y 1 a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo

negativo b) Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo

positivo. Por ello; dados x e y que pertenecen a ‘‘ +

’’b b0 b 1 : 0 x y log (x) log (y)< < < < ⇔ >

Luego si: N

bN

b

I) x 0 0 b 1: log x N 0 x b

II) x 0 0 b 1: log x N x b

> ∧ < < > ⇔ < <

> ∧ < < < ⇔ >

8. FUNCIÓN LOGARITMO La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales:

a alog : def inida por x log (x)+ → →

OBSERVACIONES

I. Solamente existe logaritmos de números positivos en el campo de los números reales. Para los números negativos, existe logaritmos en el campo de los números complejos.

II. La base de un logaritmo es un número mayor que cero y distinto de la unidad b > 0 b 1≠

FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea +a a 1∈ ∧ ≠ . La función exponencial en base a es una función real que asocia a cada número real x un único real y tal que xy a= , esto es:

xf : definido por y f(x) a→ = = .

El dominio de definición de xf(x) a= es todos los reales.

El rango de xf(x) a= es todos los reales positivos.

Ejercicios de Aplicación 1. Reduzca la siguiente expresión:

( )2 31 13 4

271J 2log log 4log log

27

= +

.

Resolución:

[ ]

( ) [ ] [ ]

[ ] [ ]( )

2 1 23

3 21 14 4

2 2

27

12log log 2log 327

4log log 4log 3 2log 3

J 2log 3 2log 3 0.

=

= = −

∴ = + − =

2. Si 3log 2 m,= determine 18log 81.

Resolución 3

183 3 3

log 81 4 4log 81log 18 log 2 log 9 m 2

= = =+ +

3. Resolver la siguiente ecuación logarítmica ( )x x xlog log 3 2 log 3.= −

1 0 ‒1 + + ‒ ‒

‒ ∞ + ∞




Resolución ( )

2

2

x x x x x

3 32 xx

3 2 (x ) 2

log log 3 log 3 2 log (3.log 3) 2

log 3 x 3 x

3 (x ) x 3

x 3

+ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

∴ =

4. Resuelva la siguiente ecuación logarítmica

( )x x xlog log 3 2 log 3.= −

Resolución

( )

2

2

x x x

3x x x x3 32 x

x

3 2 (x ) 2

Debe ocurrir x 0 y x 1

log log 3 log (3) 2

log (3.log 3) 2 log ( log 3 ) 2

log 3 x 3 x

3 (x ) x 3

x 3

> ≠

+ =

⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

⇒ = ⇒ =

∴ =

5. Resolver ( )2

3log x 3x 71 4− + <

Resolución ( )2

3

2

2 4

2

2

log x 3x 71 4.

Se tiene que 3 1 además x 3x 71 0

x 3x 71 3

x 3x 71 81

x 3x 10 0(x 5)(x 2) 0

2 x 5

− + <

> − + >

⇒ − + <

⇒ − + <

⇒ − − <⇒ − + <∴ − < <

6. Resolver ( )25x x 80.25 16.− − <

Resolución

( ) ( )2 25x x 8 1 5x x 8 2

2

0.25 16 4 4

x 5x 8 2 (x 2)(x 3) 0x 2,3

− − − − −< ⇒ <

⇒ − + < ⇒ − − <

∴ ∈

EJERCICIOS DE CLASE

1. Calcular el valor de:

4 0.25 4 429

L log antilog log log 8=

A) 2 B) 4 C) 3 D) 9 E) 1

2. Resolver: 3 3 3log (5 x) log (5 x) 4log 2− + + = e indicar el producto del mayor de “x” con su número de soluciones. A) 0 B) 3 C) – 3 D) 6 E) – 16

3. Resolver: + +=

−3log(1 x 1) 3

log x 40

A) 35 B) 24 C) 15 D) 48 E) 36

4. Halle una raíz de xlog 381 27x= .

A) – 3 B) – 1/3 C) 1/7 D) 1/81 E) 1/3

5. Halle la suma de cifras de 23xeL 3−

= , si se cumple

que: ( ) ( ) 25 7 5log lnx log 5 log 2 lnx log 57 2 6+ = .

A) 9 B) 7 C) 6 D) 8 E) 5

6. Halle la suma de elementos del conjunto solución de la ecuación 3x x 2x6e 32e 25e 12+ = + .

A) 3 ln2 B) 1 C) ln3 D) 2 ln3 E) ln2

7. Halle el logaritmo decimal del producto de las

soluciones de la ecuación 12

logx4

10xx

= .

A) 4 B) – 4 C) 1 D) – 2 E) 2

8. Resuelva la ecuación 12x

2x 1 x x

alog x x−

= sabiendo

que

x1xx a

= .

A) 2 B) 3 3 C) 9 D) 3 E) 2

9. Resolver la ecuación: 9log x

5x

5

8 log x2log 1log x

−=

A) 16 B) 4 C) 9 D) 25 E) 1

10. Resuelva el sistema: x

x 1x 1

y 64

y 16+

−

= =

e indique el

conjunto solución. A) { }0.5,2 B) { }2,3− C) { }12 ,3−−

D) { }12,3−− E) { }2,3

11. Resuelva el sistema 3

0.5

log 4x 3 2

log 2x 3 3

− <

− > −.

A) 5 11 3,2 2 2

− −

B) 3 ,32

− C) 7 ,

2+ ∞




D) 3 3 3,3 ,2 2 4

− −

E) 3 ,32

− −

12. Al resolver 23 2 2 x 8x 24x 5 x 3x 61 1

7 7

− ++ − + ≥

se

obtiene como conjunto solución un intervalo de la forma ] [ ],a b,c−∞

, halle el valor de c – a – b. A) 6 B) 7 C) 5 D) 8 E) 9

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resolver: ( )5log x

5log x 4= A) 0.02 B) 2 C) 5 D) 0.04 E) 0.05

2. Resolver: 3 3log (5x 1) colog (3x 5) 2− + − = . A) 1 B) 3 C) 4 D) – 2 E) 2

3. Resuelva la siguiente ecuación:

x x 1 x 1x 5

1antilog colog colog log log x 05

− =

.

A) 1 B) 15

C) 51

5

D) 5 15

E) 35−

4. Resolver la siguiente ecuación:

( )8 8 8 8 82log log x log 5 2log x log 3= − − A) 2 B) 4 C) 3 D) 8 E) 1

5. Simplifique la expresión logarítmica 3 6n n2 4

n 2 4 3 6n

log y y 1log x x 1Llog x x 1 log y y 1

+ −− −= +

+ − − −.

A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) 0 E) 2

6. Calcular log 64 sabiendo que 4log 125 c= .

A) 3 2c18− B) 3 2c

18+ C) 18

2c 3+

D) 8 3c2− E) 8 3c

2+

7. Resuelva

a b

3 dc

log x log x 3

log x 3 34 4log x3

(a) ( b) 2(1 x )(1 x x)

(1 x )(1 x )( c ) (d)

+ + − +=

+ −−

y determine la variación de “x” A) 3 4 B) 3 2 C) 4 D) 2 E) 3

8. Si: = = ∧ =n n na b clog (bc) x , log (ac) y log (ab) z

para cualquier n∈ , calcular el valor de:

n n n n1 1 1 1E .n x 1 y 1 z 1

= + +

+ + +

A) 2 n B) n C) 2n D) 1/n E) n/2

9. Resuelva 3log (2x 5) 2− > .

A) 5,+ ∞ B) 7,+ ∞ C) 0,+ ∞ D) 5,+ ∞ E) { }0,4 7

10. Resolver la ecuación logarítmica: xx log(1 2 ) x.log5 log72+ + = + .

A) 3 B) – 9 C) – 3 D) 2 E) 5

11. Halle la suma de todas las soluciones de 7log (xlogx)logx logxlog8 log2 7− = sabiendo que

log2 0.30103= . A) 0.602060 B) 1.903030 C) 0.397940 D) 1.602060 E) 1.767890

12. Si 9 60 a a< < resuelva la siguiente ecuación logarítmica: 3 2

2 3a a

log (x 1) log (x 1). 3 x − < − − .

A) 1,3 B) 2,3 C) ,2−∞ D) ,3−∞ E) 0,1

13. Resuelva 6x 2log 35 2x 5

−+ > −

.

A) 5,+ ∞ B) 7 ,52

C) 7 ,2+ ∞

D) 7 ,5 5,2

+ ∞ E) { }7 ,4 52

14. Determine el conjunto solución de la siguiente

inecuación 2 x 1 x 2 x12x 5 2x 5 <3x 5 8x 20+− + + − .

A) 4, log 5−∞ B) 5log 4,+ ∞ C) 3log 2,+ ∞ D) 2,log 3−∞ E) 3,log 2−∞


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