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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

Definición Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:

ax by p( )

cx dy q+ =

∗ + =

donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos independientes. Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser:

x y 10x y 2+ =

− =

Soluciones Al par de números (x, y) que satisface ambas ecuaciones de un sistema se llama solución del sistema de ecuaciones. Clasificación de los Sistemas Lineales

Con respecto al sistema a ( )∗ tenemos sa b 0c d

∆ = ≠

y x yp b a p , q d c q

∆ = ∆ = .

I) Sistema compatible determinado

El sistema ( )∗ tiene solución única si s 0∆ ≠ . En este

caso yx

s s(x, y) ,

∆ ∆= ∆ ∆

,

II) Sistema compatible indeterminado

El sistema ( )∗ tiene infinitas soluciones si se satisface que 0s x y∆ = ∆ = ∆ = .

III) Sistema incompatible o inconsistente

El sistema ( )∗ no tiene solución si se satisface 0 [ 0 0 ]s x y∆ = ∧ ∆ ≠ ∨ ∆ ≠ .

Observación: Una forma práctica de indicar que si el sistema es

1) compatible determinado es comprobar que: a b con c y d no nulosc d≠ .

2) Sistema compatible indeterminado es comprobar

que: a b p con c , d y q no nulosc d q= = .

3) Sistema incompatible es comprobar que: a b p con c ,d y q no nulos.c d q= ≠ .

Si el sistema tiene solución también se puede resolver por los métodos: Método de reducción: Consiste en eliminar una de las dos variables sumando o restando miembro a miembro ambas ecuaciones. Para que el coeficiente de una de las dos variables se anule mediante sumas o restas, es necesario que el coeficiente de dicha variable, en ambas ecuaciones, sea el mismo. ¿Cómo conseguir igualar el coeficiente de una variable en ambas ecuaciones a la vez? Buscando el m.c.m. de sus coeficientes, dividiendo éste por el coeficiente de la variable en la ecuación, y multiplicando ambos miembros de la ecuación por el cociente de la división. Lo mismo en la otra ecuación Ejemplo

5x 2y 4 3x 4y 1

− = − =

Para eliminar la x, el m.c.m. de sus coeficientes es 15. En la primera ecuación, el coeficiente de x es 5,

luego 15 35

= , debemos multiplicar la primera

ecuación por 3.

En la segunda ecuación tenemos, 15 53

= , luego

debemos multiplicar la segunda por 5, y obtendríamos el sistema equivalente (que tiene la misma solución que el original):

15x 6y 1215x 20y 5

− = − =

Si ahora restamos, miembro a miembro, a la primera la segunda, nos quedaría:

15x 6y 12 15x 20y 5

0 x 14 y 7

− = − =

+ =

1y que es la solución en y2

⇒ =

Para hallar la solución en x, sustituimos el valor de y en una cualquiera de las dos ecuaciones del sistema original, por ejemplo, en la primera, y nos quedaría:

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Álgebra Teoría y ejercicios – Semana 12


15x 2 4 5x 5 x 12

− ⋅ = ⇒ = ⇒ = , que es la solución en x.

Luego la solución del sistema será: 1CS 1, 2

=

.

Método de sustitución: Consiste en despejar una de las dos variables en una cualquiera de las dos ecuaciones, y luego reemplazar la expresión obtenida en el lugar que ocupa dicha variable en la otra ecuación. Ejemplo

2x y 8 y 2x 8

4x 5y 2 4x 5y 2− = = −

⇒ ⇒ + = + =

Despejamos la variable y en la primera ecuación, ahora sustituiremos dicho valor en la segunda, con lo que nos queda: ( )4x 5 2x 8 2+ ⋅ − = ⇒ la cual no es más que una ecuación de primer grado con una incógnita, que ya sabemos resolver. Resolviéndola, nos queda:

( )4x 5 2x 8 2 4x 10x 40 2 x 3+ ⋅ − = ⇒ + − = ⇒ = , que es la solución en x, para hallar la solución en y nos vamos a la primera ecuación del sistema equivalente y sustituimos el valor hallado, así: y 2x 8 y 2 3 8 2= − ⇒ = ⋅ − = − , que es la solución en y. La solución del sistema será ( ){ } CS 3, 2 .= − Método de igualación: Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones, y luego igualar las expresiones así obtenidas, así de este modo:

3x 11y3x 2y 11 2 5x 2y 21 5x 21y

23x 11 5x 21 3x 5x 21 11

2 2 2x 10 x 5

− + =+ = ⇒ + = − + =

− + − +⇒ = ⇒ − + = −

⇒ = ⇒ =

que es la solución en x. Para hallar la solución en y sustituimos éste valor en una cualquiera de las dos ecuaciones del sistema equivalente, y así

3x 11 3 5 11y y 22 2

− + − ⋅ += ⇒ = = −

, que es la solución en y. Con lo que la solución del sistema es ( ){ }CS= 5, 2− .

Método gráfico x y 6x y 2+ =

− =

Puede ocurrir uno de los siguientes casos: • Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el

sistema es incompatible, no tiene solución. • Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene

solución única. Decimos que es compatible determinado.

• Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado.

En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es x = 4 e y = 2. Sistema de ecuaciones lineales con tres variables Sea el sistema

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z p( ) a x b y c z p

a x b y c z p

+ + =∗ + + = + + =

La solución del sistema ( )∗ es una terna (x0, y0, z0) que verifica las tres ecuaciones. Se presentan los siguientes casos: I. Sistema compatible determinado: Si el Sistema( )∗ satisface que∆≠ 0. Entonces el sistema ( )∗ tiene una única solución.

Denotando

1 1 1 1 1 1

2 2 2 x 2 2 2

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1

y 2 2 2 z 2 2 2

3 3 3 3 3 3

a b c p b c a b c , p b c ,

a b c p b c

a p c a b pa p c , a b pa p c a b p

∆ = ∆ =

∆ = ∆ =

se puede usar la regla de Cramer para hallar las componentes de la solución:

yx z x , y , z ∆∆ ∆

= = =∆ ∆ ∆




Ejemplo: Resolver el siguiente sistema x y z 22x 3y z 0x 3y z 0

+ + = − + = − − =

Solución: El determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema es:

1 1 12 3 1 6 01 3 1

∆ = − = ≠− −

⇒el sistema tiene solución única. Ahora calculamos la solución del sistema utilizando la Regla de Cramer.

x

2 1 10 3 1 120 3 1

∆ = − =− −

, y

1 2 12 0 1 6 ,1 0 1

∆ = =−

z

1 1 22 3 0 6.1 3 0

∆ = − = −−

x 12x 2 ,

6∆

= = =∆

y 6y 1 ,6

∆= = =

∆z 42z 1

42∆

= = =∆

⇒ (x,y,z) (2,1, 1)= − . II. Sistema compatible indeterminado Si el sistema( )∗ satisface que

( ∆ = 0 )∧ ( ∆x = 0 y ∆y = 0 y ∆z = 0 ). Entonces el sistema ( )∗ tiene infinitas soluciones III. Sistema inconsistente o incompatible Si el sistema( )∗ satisface que

(∆=0) ∧ ( ∆x≠ 0 ó∆y≠ 0 ó∆z≠ 0 ) entonces el sistema ( )∗ no tiene solución.

Sistema no lineal

Definición.- Un sistema no lineal es una colección de dos o más ecuaciones, donde por lo menos una de ellas es no lineal. Para encontrar su solución se debe encontrar una nueva ecuación con una sola incógnita. Ejemplo:

En x y 7x y 10+ =

⋅ =

De la primera ecuación se tiene x 7 y= − Reemplazando en la segunda ecuación

(7 y) y 10 y 2 ó y 5− = → = = Si y = 2 entonces x = 5 Si y = 5 entonces x = 2

( ) ( ){ }C.S. 2, 5 5, 2= . Ejercicios de Aplicación 1. Indique el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

I. Halle los valores de K para que el sistema+ =

+ = +

2x 6y 83x ky 5 K

tiene solución única.

II. Si el sistema + =

− = −

2x 5y 4ax by 2

es indeterminado,

halle los valores de “a” y “b”. III. Halle el valor de “a” para que el sistema

+ = + =

ax 16y 124x ay 1

sea incompatible.

Resolución I. El sistema tiene solución única si y sólo si

≠ ⇔ ≠2 6 k 93 k

II. El sistema tiene infinitas soluciones si y sólo si a b 2 a b 1 5a 1 y b2 5 4 2 5 2 2

− = = ⇔ = = − ⇔ = − = − −

III. El sistema no tiene solución si y sólo si

= ≠ ⇔ = ±a 16 12 a 84 a

2. Si >m.n 0 y el sistema en x, y:

− + + = + = −

(m 1)x (n 1)y 3nx my 2

es incompatible, halle el valor de − −

=2 2m (1 n)E

n.

Resolución El sistema no tiene soluciones si y sólo si

m 1 n 1 3n m 2− +

= ≠ −

2 2

2 2

m 1 n 1si m m n nn m

m n 1

(n 1) (1 n) 4nLuego E 4n n

− += ⇒ − = +

⇒ = +

+ − −= = =




3. Calcule la suma de los valores de k que hacen incompatible al sistema

− + =

+ =

25(k 3k)x 15y 54x 3y 2

.

Resolución

El sistema − + =

+ =

2(k 3k)x 3y 14x 3y 2

no tiene soluciones si

y solo si

−= ≠

− = ⇔ − + === −

2

2

k 3k 1 1 .4 1 2

k 3k 4 (k 4)(k 1) 0si k 4 se c umple (*)si k 1 se cumple (*)

Hay dos valores para “k” que suman 3. 5. Determine los valores de “m” tales que el sistema

+ + = + − = + + =

x y mz z2x 3y z 13x 4y 2z m

en variables x, y, z tenga una solución única. Resolución El sistema 3X3 tiene solución única si y sólo si

s 01 1 m 12 3 1 03 4 2

6 3 8(m 1) 9(m 1) 4 4 0m 4

∆ ≠

−⇒ − ≠

⇒ − + − − − − + ≠⇒ ≠

FIN

EJERCICIOS DE CLASE 1. Resuelve:

7x 8y 295x 11y 26

+ = + =

A) (3; 1) B) (‒3; 1) C) (3; ‒1) D) (1; 3) E) (‒1; 3)

2. La siguiente representación:

Nos indica el conjunto

solución del sistema:

=−−=−+

6my5x)1n2(2nyx)1m2(

la relación correcta es: A) 2m n 1− = B) 2n 5m 7− = C) 2n 7 5m= − D) 2n m 1+ = E) 5n 2m 7+ =

3. Resuelve: 3x 2y 1 07y z 4 02x 4z 3 0

− + = + − = + + =

si: (x, y, z) es solución del sistema. Calcule el valor de:

2 2 2(x y) (y z) (x z)z x y+ + +

+ +

A) 0 B) 2 C) 3 D) 1 E) 25

4. Calcule el valor de “p” para que el sistema:

2 (p 22)x 7y 5 (p 2)x 4y 2 − + =

+ + =

sea incompatible. (p )+∈ A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

5. Halle m n+ , para que el sistema

2 (m 4)x ny n, (4 n)x y 1 + + =

− + =

{ }donde m, n .⊂ Sea indeterminado.

A) –2 B) 3 C) 0 D) 1 E) 2

6. Si el sistema

x y z 0+ + = x y 2z 1− + = 2 x 4 y a z b+ + =

posee infinitas soluciones, indique “a.b”

A) 0 B) 1 C) ‒1 D) 2 E) ‒2

7. Resuelve:

x y 10(x 5)(y 2) 36+ =

+ − =

A) { }( 1; 11);(4; 6)− B) { }(2;2)

C) { }(1; 3) D) { }(4; 5) E) φ

8. Luego de resolver el sistema :

3 3x y 9x y 3

− =− =

indique el número de soluciones

A) 4 B) 0 C) 3 D) 1 E) 2




9. Halle el valor de “x” o “y”, tal que: x y 1

( 1)x ( 1)y 3α + β = −β − + α + =

Además se cumple que: 2 23 1 3 x 0α + β + = α + β + = α + α − β + β ≠

A) 5 B) 0 C) ‒2 D) ‒1 E) 2

10. Al resolver el sistema:

2 22 1 3

5x y 1+ =

+

2011

1y2

x3

22 =+

−

Indique la suma de los valores que toma “x”

A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) 5

11. Resuelve el sistema

xy xz ( 13 x)( 13 x) yx yz (4 y)(4 y)

zx yz ( 71 z)( 71 z)

+ = + −

+ = + − + = − +

en + y calcule x y z.+ +

A) 20 B) 10 C) 25 D) 41 E) 29

12. En la víspera de una batalla, los efectivos de dos

ejércitos eran entre sí como 5 es a 6; el 1° perdió 14000 hombres y el 2° 6000, la relación es entonces de 2 a 3. ¿De cuántos hombres se conformó el 1° ejército? A) 10000 B) 2000 C) 30000 D) 40000 E) 50000

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Dado el sistema de ecuaciones:

=+=+

26y3x512y4x

Calcule: 2)yx( +

A) 20 B) 36 C) 25 D) 48 E) 60

2. Para que valores reales de “m” el sistema: 5mx (m 2)y 27 mx (3 m)y 8

+ + = + − =

es compatible determinado.

A) { }m 0; 13 / 6∈ − B) m∈

C) { }m 1∈ − D) m +∈

E) m −∈

3. Si el siguiente sistema: (a 3)x (b 2)y 8 (a 1)x (b 4)y 24

− − − = + − + =

es compatible indeterminado. Calcule: ba + A) 1 B) 2 C) 5 D) 10 E) 15

4. ¿Para qué valores de “a” el sistema adjunto

(a 2)x (a 7)y 2a 1 4x (a 2)y 3a 14

− − + = − − + = −

es inconsistente?

A) Sólo para a 4= − B) 4 ó – 8 C) 3 D) –2 E) 5

5. Si se cumple: x y z6 3 183x 5y z 34

= =

+ + =

Calcule: x y z2

+ +

A) 18 B) 3 C) 9 D) 4 E) 2

6. Resuelve: (x 3y)(x y) 48 x y 8

+ − = + =

e indique los valores de “y”

A) – 2; 2 B) 2; 4 C) –1; 3 D) 1; 5 E) 3; – 4

7. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

3 3

xy(x y) 13

x y 25

+ =

+ =

Calcule: x y5(x y 2 );++ + si x;y∈ A) 25 B) 100 C) 21 D) 250 E) 36

8. Resuelve el sistema en

: 2 2x xy y 109

x xy y 47+ + =+ + =

indicando a continuación uno de los valores de cualquier incógnita:

A) 1 B) 3 C) 5 D) 9 E) 4




9. Resuelve: 3 33

3 33

3 33

x y 5 z 39

x 5 y z 31

5 x y z 7

+ + = + + =

+ + =

Determine el valor de ( )( )

33

33

x y z 11

9 x y z 11

+ + −

⋅ ⋅ −

A) 3/10 B) 1/8 C) 1/5 D) 3 E) 1/3

10. Al resolver el sistema:

2 23 1 5

2x y 1− =

+

2 25 2 1x y 1

− =+

Indique la suma de los valores que toma “x”

A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) 5

11. Dentro de 8 años, la edad de Pedro, será la que Juan tiene ahora. Dentro de 15 años Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Hace cuántos años la edad de Juan era el doble de la edad de Pedro?

A) 26 B) 28 C) 18 D) 30 E) 9

12. Determine la solución del siguiente sistema.

x y5

3y x 2

= − + =

E indique el cuadrante donde se encuentra.

A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) No tiene solución

13. Dado el sistema de ecuaciones lineales x 2ky z 4 ......... (1) x y z 8 ......... (2)x y kz 6 ......... (3)

+ + =− − = −

− + + = Determine el o los valores de K para que el sistema tenga solución única.

A) { }1; 1/ 2− − B) { }1; 1/ 2− − C) { }2; 1− −

D) { }2 ; 1− −

E) 1; 1/ 2

14. Resuelve el sistema: 2

2 2

(x y 3) 2x 2y 6 0 ......... (1)

x y 5 ......... (2)

+ + − − − =

+ =

Indique como respuesta la suma de los menores valores que toma "x" e "y":

A) 0 B) ‒ 1 C) ‒ 4 D) ‒ 3 E) 2


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