Álgebra 8 ciencias nÚmeros reales

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NÚMEROS REALES

DEFINICIÓN El sistema de los números Reales es un conjunto con dos operaciones definidas denominadas ley de composición interna: adición y multiplicación y una relación de orden que cumple los siguientes axiomas: AXIOMAS DE ADICIÓN A 1: ∀ ∈ ⇒ + ∈ a,b a b Ley de clausura A 2: ∀ ∈ ⇒ + = +a,b a b b a Ley conmutativa A 3: ∀ ∈ ⇒ + + = + +a, b,c (a b) c a (b c) Ley

Asociativa A 4: Axioma de existencia y unicidad del elemento

neutro. Existe un elemento en y solamente uno, denotado por “0” tal que ∀ ∈ ∃ ∈ + = + = a , ! 0 a 0 0 a a

A 5: Axioma de existencia y unicidad del elemento inverso aditivo. Dado ∈a existe un elemento en y solamente uno, denotado por “ – a ” tal que

( ) ( ) ( )− − −∀ ∈ ∃ ∈ + = + = a a aa , ! a a 0

AXIOMAS DE MULTIPLICACIÓN M 1: ( )∀ ∈ ⇒ ∈ a,b ab Ley de Clausura

M 2: ∀ ∈ ⇒ =a,b ab ba Ley conmutativa

M 3: ( ) ( )∀ ∈ ⇒ =a,b,c ab c a bc Ley asociativa

M 4: Axioma de existencia y unicidad del elemento neutro Existe un elemento en y solamente uno, denotado por “1” tal que ∀ ∈ ∃ ∈ ⋅ = ⋅ = a , ! 1 a 1 1 a a

M 5: Axioma de existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo. Para ∈a , ≠(a 0) existe un elemento en y

sólo uno denotado por −1"a " ’ ó 1" "a

{ } − − −∀ ∈ − ∃ ∈ ⋅ = ⋅ =

1 1 1a 0 , ! a a a a a 1

LEY DISTRIBUTIVA D 1: ( ) ( ) ( )∀ ∈ ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⋅a, b,c a b c a b a c

D 2: ( ) ( ) ( )∀ ∈ ⇒ + ⋅ = ⋅ + ⋅a, b,c a b c a c b c

RELACIONES DE ORDEN R1: ( ) ( ) ( )∈ ⇒ < ∨ = ∨ >Si a,b a b a b a b

Ley de Tricotomía R2: ∈ < ∧ < ⇒ <Si a,b,c a b b c a c Ley Transitiva R3: < ⇒ + < + ∀ ∈Si a b a c b c, c R4: ∈ < < ⇒ < ∧ <Si a,b,c a b c a b b c

∈ <> ⇒ ⋅ < ⋅< ⇒ ⋅ > ⋅

R5 :Si a, b ; a bI) c 0 a c b c

II) c 0 a c b c

Ejemplo: – 4x < – 12 (Multiplicamos por – 7)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − > − ⋅ − ⇒ >7 4 x 7 12 28x 84 Por T 5 RELACIONES DE IGUALDAD I1: ∀ ∈ =a : a a Propiedad Reflexiva I2: ∀ ∈ = ⇒ =a,b : a b b a Propiedad Simétrica I3: ∀ ∈ = ∧ = ⇒ =a,b,c : Si a b b c a c I4: ∀ ∈ = ∨ ≠a,b : a b a b Ley de Dicotomía TEOREMAS EN LOS NÚMEROS REALES T1 :∀ ∈ ≥

2aa : 0 T2 : ( )⋅ = ⇒ = ∨ =Si a b 0 a 0 b 0

T3 : ⋅ = ⋅ ∧ ≠ ⇒ =Si a b b c b 0 a c

> ⇒ >

< ⇒ <

1T4 : Si a 0 0a

1 Si a 0 0a

T5: ( )∈ ∧ + = ⇒ = ∧ =

2 2Si a,b a b 0 a 0 b 0

> ∧ < < ⇒ < <

< ∧ < < ⇒ < <

1 1 1T6 :b x a1 1 1b x a

Si a,b 0 a x b

Si a,b 0 a x b

∀ > + ≥1T7 a 0 : a 2a

+ +∈ ⇒ ≥T8 : ab2

a bSi a,b

ÁLGEBRA

8 CIENCIAS

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Álgebra Teoría y ejercicios – Semana 8


OPERACIONES CON INTERVALOS Con los intervalos se puede realizar las mismas operaciones entre conjuntos, como la unión, intersección, diferencia y complemento. Si A y B son intervalos se tiene

{ }∩ = ∈ ∈ ∧ ∈A B x x A x B

{ }∪ = ∈ ∈ ∨ ∈A B x x A x B

{ }− = ∈ ∈ ∧ ∉A B x x A x B

{ }= = ∈ ∉

CA A' x x A

Ejercicios de Aplicación:

1. Dado − < − < −10 x 13 5. Si +< <

−3x 6m n

3,

determine el valor de m y n. . Resolución: Construimos la expresión ⇒ − < − < −10 x 13 5 (sumamos 13) ⇒ < <3 x 8 (multiplicamos por 3) ⇒ < <9 3x 24 (sumamos 6) ⇒ < + <15 3x 6 30 (dividimos por 5)

+⇒ − < < − ⇒ = − ∧ = −

−3x 610 5 m 10 n 5

3

2. Dado ∈ x 1 ; 5 . Si ( ) − − ∈ 2x 2 3 a ;b , calcule

( )+a b .

Resolución:

( ) ( )< ≤ ⇒ − < − ≤ ⇒ ≤ − ≤

⇒ − ≤ − − ≤ ⇒ − − ∈ − ∴ + = − + =

2

2 2Como 1 x 5 1 x 2 3 0 (x 2) 9

3 x 1 3 6 x 1 3 3,6a b 3 6 3

3. Dada la expresión ≤ − +2M x 6x 24 . Indique el

mayor valor entero que puede tomar M. Resolución: Completando cuadrados ⇒ ≤ − + + ⇒ ≤ − +2 2M (x 6x 9) 15 M (x 3) 15 Asume que el cuadrado es nulo ⇒ ≤M 15

Por tanto el mayor valor entero de M es 15.

4. Si +∈a, b,c , determine el menor valor entero que

puede tomar + + += + +

a b b c c aNc a b

.

Resolución:

≥ ≥ ≥

⇒ = + + + + +

⇒ = + + + + +

⇒ ≥∴

2 2 2

a b b c c aNc c a a b ba b c a c bNb a a c b c

N 6Menor valor N es 6

VALOR ABSOLUTO: Sea x∈ , se define y denota como valor absoluto de x

x ; si x 0x =x ; si x < 0

≥−

PROPIEDADES 1. ( )= ∧ ≥ ⇒ = ∨ = −x a a 0 x a x a

2. ≥ ⇒ ≥ ∨ ≤ −x a x a x a

3. ( )≤ ⇒ ≥ ∧ − ≤ ≤x a a 0 a x a

OTRAS PROPIEDADES

≥ ∀ ∈

= ⇔ =

⋅ = ⋅

− =

T : a 0 ; a1T : a 0 a 02T : a b a b3T : a a4

=

=

= ≠

2 21

22

3

E : a a

E : a a

aaE : ; b 0b b

Para inecuaciones se utilizan

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )

< ⇔ + − <

> ⇔ + − >

< ⇔ > ∧ − < <

> ⇔ > ∨ < −

+ ≤ +

I : a b a b a b 01I : a b a b a b 02I : a b b 0 b a b3I : a b a b a b4I : a b a b Desigualdad triangular5




OBSERVACIÓN: Dado < <a 0 b Si { }< < ⇒ ≤ <a x b 0 x max a ; b

EJERCICIOS DE CLASE

1. De los siguientes enunciados:

I ∈ ∧ ∈ ⇒ + ∈ a b (a b) II > ∀ ∈2x 0 ; x III = ∈a.b b.a para a,b IV = ⇒ = ∧ = ∀ ∈Si ab 0 a 0 b 0, a,b

Cuales con verdaderas. A) I y III B) I, II, III C) II D) III y IV D) II y III y IV

2. Si { } =U 1, 2, 3 decir el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

I. ∃ ∈ ∀ ∈ < +2x U / y U, x y 1

II. ∀ ∈ ∃ ∈ + >4 4x U, y U / x y 18

III. ∃ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ + <2 2 2x U / y U / z U, x y 2z A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF

3. Se define la operación * entre conjuntos tal que ∗ = ∪A B A' B'. ¿Cuáles de las proposiciones son

verdaderas?

I) ∗ =A A A' II) ∗ ∗ ∗ = ∪(A A) (B B) A B III) ∗ ∗ = ∪ ∩A (B C) A (B C)

A) I B) II C) III D) ∧I II E) ∧I III

4. Si = A 3;10 y { }= − + ∈B 2x 1 / x A .

Halle: ∩ CA B

A) − 19;6 B) 3 ; 10 C) ( )−∞ −; 19

D) ( ) ( )−∞ − ∪ +∞; 1 5; E)

5. Si ∈ −x 1;3 , halle la variación de

= − + +2f(x) 2x 8x 6 . A) ∈ − f(x) 2;14 B) ( ) ( )∈ −∞ − ∪ +∞f(x) ; 1 1;

C) ( )∈ −∞ −f(x) ; 19 D) ( )∈ +∞f(x) 4 ;

E) ∈ − f(x) 4 ;14

6. Sea +=

−x 2f(x)x 1

tal que ∈ x 2;5 , entonces

podemos afirmar que: A) ∈ −∞ −f(x) ; 14 B) ∈ + ∞f(x) 1; C) ∈ f(x) 7/4 ; 4 D) ∈f(x) 4 ; 47

E) ∈ − f(x) 7 ; 14

7. Si + =a 9b 104

, donde { } +⊂ a, b . Entonces el

intervalo que tiene a “ab” es:

A) 100;3

B)

670;3

C) 470;3

D)

730;3

E)

1000;9

8. Si >x 1 , halle el menor valor de:

= +−1f(x) x

x 1

A) 1/3 B) 3 C) 4 D) 1/2 E) 2

9. Dados a, b ∈ R, tal que se verifica 16a2 + 25b2 = 2(12a − 5b −5),

halle 8a + 5b. A) 219 B) 10 C) 47 D) 23 E) 5

10. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

+ < → < <+

≥ → ≥

− ≥ −

1 3I. x 3 2 62 x 4

1II. x x 02

III. a b a b

A) VVV B) VVF C) VFF D) FVV E) VFV




11. Si

{ }{ }

= ∈ − >

= ∈ − ≤

2

2

A x R / (2x 3) 81

B x R / (5x 4) 36

Halle la suma de elementos enteros de −A' B

A) 12 B) 10 C) 45 D) 20 E) 8 12. Si el conjunto solución de la inecuación

− ≤ <ax b 2 ; a 0 es − 3;5 . Halle +a b

A) – 1 B) – 4 C) –2 D) 1 E) − 12

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Si { } { }= =A 0,1,2,3 , B 2,4,5,6 , halle el valor de

verdad de las siguientes proposiciones:

I. ∀ ∈ ∃ ∈ − ≤x A, y B / x y 0 II. ∀ ∈ ∀ ∈ − ≥x A, y B / x y 0 III.∃ ∈ ∃ ∈ + =x A / y B, x y 8

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF

2. Encuentre el valor de x, en: ( )Φ Φ Φ = Φ2 4 (3 x) 3 3 ,

si definimos el operador Φ sobre { }=J 2;3;4 tal

que: Φ 2 3 42 4 3 23 2 3 44 3 2 2

A) { } 2; 4 B) 3 C) 4

D) { }2;6 E) { }0;1

3. Si = A 2;10 y { }= − + ∈B 3x 10 / x A . Halle

− ∪ C(A B) A .

A) 1;6 B)

C) ( )−∞;4 D) ( ) ( )−∞ ∪ +∞;1 4;

E) −∞ ∪ +∞ ;2 4;

4. Si ∈ −x 2;5 , halle la variación de

= − + +2f(x) 3x 12x 5 .

A) 0;17 B)

670;3

C) − 31 ; 17

D) 0; 4 E) − 31;9 5. Si { } +⊂ a,b y + =a b 1 , indique la variación de

ab.

A)

10 ;4

B) 0;2 C) 10 ;3

D) 0; 4 E) − 4; 4 6. Dados los conjuntos

{ }= > >2B x 0 / x 0 y

{ }+= ∈ + + ≥

2A x / x 2x 1 0 con = U

Indique cuál de los siguientes enunciados son verdaderos.

=⊂= ∪

I. A BII. U AIII. U A' B'

A) I y II B) I C) I y III D) II y III E) III

Se tiene que cada conjunto equivale a:

7. Sea +=

x 1f(x)x

tal que >f(x) 2 y >x 0 entonces

podemos afirmar que: A) >x 1 B) >x 2 C) < <0 x 1 D) =x 1 E) = −x 2

8. Si >x 0 ; >y 0 y ≠5a 6b . Halle el menor valor

entero de: += +

2 225a 36bM 330ab

A) 5 B) 10 C) 7 D) 4 E) 3

9. Dados a, b ∈ R, tal que se verifica

36a2 + 9b2 = 2(24a − 12b −16), halle 3(a − b). A) 2 B) 1 C) 7 D) 4 E) 6




10. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

< ⇒ ≥

> − ⇒ <

− < + < ⇒ < − + <

− < < ⇒ − ≤ + − <

2

2

2

I. Si x 0 x 0II. Si x 4 x 9III. Si 5 x 2 3 126 (x 2) 10 160IV. Si 4 x 6 2 x 3 2 7

A) VVVV B) VVFF C) FFVF D) FFFF E) FFFV

11. Si { }= ∈ − − − < −A x R / 5x 10 16 8x 21

Determine la suma de elementos enteros del complemento de A.

A) 53 B) 10 C) 7 D) 30 E) 40

12. Resuelve + ≥ −x 3 2x 1 y diga cuántos enteros

positivos satisfacen esta inecuación con valor absoluto. A) 8 B) infinito C) 4 D) 20 E) 12

13. Dados los conjuntos:

{ } = ∈ − > → − ≥A x 2x 3 5 x 2 5

{ } = − − ≤ → >B 2 x x 1 2 x 8 Halle: A ∩ B

A) φ B) −∞ −; 1 C) + ∞7,

D) − −3; 1 E) ] 5;7 14. Si: ∈a y se cumple:

+ ≥+

2225a M

a 1

Halle el mayor valor de M A) 2 B) 5 C) 9 D) 12 E) 18


Álgebra 8 ciencias nÚmeros reales

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