dr. edwin alfonso sosa1 aritmética: propiedades y operaciones con números reales fundamentos de...

Dr. Edwin Alfonso Sosa 1

Aritmética: Propiedades y operaciones con números

reales

Fundamentos de álgebra

Dr. Alfonso-Sosa


Primera Unidad: Números Reales

Subconjuntos de los números Reales Propiedades de los números Reales Orden de operaciones y valor absoluto de un

numero real. Aplicaciones


Capacitantes

Reconocer los subconjuntos del sistema de los números reales.

Clasificar un numero dentro del sistema de números reales.

Efectuar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en los números reales.

Determinar valor absoluto, potencia y raíz enésima de un numero real.


NUMEROS REALES

Conjunto es una colección de objetos.

Los elementos de un conjunto se colocan dentro de un par de llaves

Conjunto de números naturales

REALES

IRRACIONALES RACIONALES

ENTEROS…-3,-2,-1,0,1,2,3,…

FRACCIONES NO ENTERAS(POS Y NEG)

ENTEROS NEGATIVOS…,-3,-2,-1

ENTEROS NO NEGATIVOS0,1,2,3,…

NUMEROS NATURALES1,2,3,…

CERO

,...4,3,2,1


Conjunto: Enteros no negativos (números cardinales) Los enteros positivos y el cero conforman el

conjunto de los números enteros no negativos.

El cero no tiene signo: no es positivo y no es negativo.

,...4,3,2,1,0

0 1 2 3

Números enteros no negativos


Conjunto: Enteros negativos

Los enteros negativos son necesarios para describir situaciones como: Temperatura bajo cero: -10˚ Déficit en una cuenta de banco: -$40 Física: dirección de una fuerza F = -10 N

-1 es mayor que el -3

1,2,3...,


Conjunto Enteros

Recta numérica (recta de los números reales) muestra a el conjunto de los enteros

-1-2-3 0 1 2 3

Números enteros no negativosNúmeros enteros negativos

origen


Conjunto: Números Racionales

{Enteros} → {Enteros negativos; enteros no negativos}

Para las siguientes situaciones tenemos que incluir fracciones Trabajo: 8 ½ horas Me perdí la mitad (1/2) de la película Costo de un articulo: $1.25 = $ 1 ¼

{Racionales} → {Enteros;fracciones no enteras}


Posición de los números racionales

Recta numérica (recta de los números reales) ejemplo de números racionales.

origen

-1-2-3 0 1 2 3

-3/2 1/2


Def. Numero Racional

A un numero real se le llama racional si puede escribirse como el cociente p / q de dos enteros, donde q ≠ 0 (q distinto de cero).

Ejemplos

126126.1111

125,125.0

8

1

,...333.03

1,

1

22

y


Def. Numero Irracional

Los números reales que no pueden escribirse como cocientes de dos enteros se denominan irracionales.

Ejemplos

...1415926.3,...4142135.12 y La representación de un numero irracional no

termina ni se repite. Ejemplos: solo se aproxima

1416.3,41.12 y


Ejercicio:

Determine los números naturales, enteros, racionales e irracionales del siguiente conjunto.

5,,2,

4

3,0,

5

1,1,3,7

5

naturales

5,0,1,7 enteros

5,

4

3,0,

5

1,1,7

racionales

,2,3

esirracional


Ejercicio:

Determine los números naturales, enteros, racionales e irracionales del siguiente conjunto.

6,2,4,3,1,

8

5,0,

4

1,

3

2,5,10

6,4,1

naturales

6,4,1,0,10enteros

6,4,1,

8

5,0,

4

1,

3

2,10

racionales

2,3,5

esirracional


Orden

Si el numero real a esta a la izquierda del numero real b sobre la recta numérica, entonces decimos que a es menor que b o de otra manera a < b.

-1-2-3 0 1 2 3

origen

a b


DistanciaSi a o b son dos números reales tales que a ≤ b, entonces la distancia entre a y b es:

(distancia entre a y b)= b - a

-1-2-3 0 1 2 3

origen

a b

Ex: Determine la distancia entre -3 y -1

Distancia entre -3 y -1 = -1-(-3)=-1+3=2

determine la distancia entre 0 y 4

Distancia entre 0 y 3 = 3 - 0= 3


Ejercicios

Ej. 5: Dibuje el siguiente conjunto en una recta numérica. {-1/2,3/4,5/3,7/2}

-1-2-3 0 1 2 3

origen

4

-1/2 3/4 5/3 7/2


Diga si es verdadero o falso -2 < -1 -15 ≤ -20 -8 ≤ -(-4); 6 > -(-2) Todo numero racional es un entero. Todo numero entero es un numero racional. Algunos números racionales son irracionales. Algunos números racionales son enteros.

Ejercicios

Cierto. -2 esta a la izquierda de -1

Falso. -15 esta a la derecha de -20

Cierto. -8 ≤ 4

Cierto 6 > 2

F

C

F

C


Valor absoluto

A la distancia entre un numero real a y 0 (el origen) se le llama valor absoluto de a. Un par de barras verticales sirven para indicar el valor absoluto.

El valor absoluto de un numero real a se define como la distancia entre a y 0 sobre la recta numérica.

Regla Si a ≥ 0 entonces |a|=a. ex: |3|=3 Si a < 0 entonces |a|=-a. ex: |-2|= -(-2)=2


|3|= -|7|= |7-4|= -|-(5-1)|=

Simplifique

3

-73

- | -4 |= -4


Propiedades de la adición: signos iguales

Suma de números reales Primer caso: signos iguales. Para sumar dos

números con el mismo signo, deben sumarse sus valores absolutos. El signo de la suma (+ o -) es el mismo que el signo de los dos números.

Ej. Para sumar -12 y -8, necesitamos sus valores absolutos

|-12|=12 ; |-8|=8 Como ambos tienen signo negativo, usamos la

regla anterior. Por lo tanto sumamos los valores absolutos: 12+8=20. Luego dé a la suma el signo de los dos números. Como ambos números son negativos la suma es negativa.

-12 + (-8) = -20


Propiedades de la adición: signos diferentes

Suma de números reales segundo caso: signos diferentes. Para sumar dos

números con signo diferente debe restarse el valor absoluto mas pequeño del mas grande. La suma es positiva si el numero positivo tiene el valor absoluto mas grande. La suma es negativa si el numero negativo posee el valor absoluto mas grande.

Ej. Para sumar -17 +11, necesitamos sus valores absolutos

|-17|=17 ; |11|=11 Restando 17-11=6 De al resultado el signo del numero con mayor

valor absoluto. Por lo tanto, será -6. Conclusión: -17+11= -6


Ejemplos

(-6)+(-3)= - (6+3)=-9 (-12)+(-4)= -(12+4)=-16 4+(-1)=3 -9+16=7 -16+12=-4


Sustracción o diferencia de números reales Definición.

Para todos los números reales a y b,a - b = a + (-b)O sea cambie el signo del segundo numero y

sume. 6 – 8 = 6 + (-8) = -2

Cambie a suma y cambia el signo del segundo numero. Cambie a suma y busque el inverso aditivo.


Ejemplos

-12 – 4 = -12 + (- 4) = -16

Cambia a sumaSigno cambiado (inverso aditivo)

-10 – (-7) = -10 + 7= - 3

Cuando se resuelve un problema con sumas y restas, las sumas y las restas se realizan en orden de izquierda a derecha.15 – (-3) – 5 – 12 = 15 + 3 + (-5) + (-12) =

= (15 + 3) + (-5) + (-12) = 18 + (-5) + (-12) == (18 + (-5) ) + (-12) == 13 + (-12) = 1


Multiplicación de números reales

Razonamiento Inductivo4 • 5 = 20

4 • 4 = 16

4 • 3 = 12

4 • 2 = 8

4 • 1 = 4

4 • 0 = 0

4 • (-1) = ? = -4



Razonamiento Inductivo4 • (-1) = -4

4 • (-2) = -8

4 • (-3) = -12

4 • (-4) = -16 De la misma manera

-4 • 2 = -8

-4 • 3 = -12

-4 • 4 = -16



Caso 1: signos iguales. Para multiplicar dos números con el mismo signo, multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo.

Caso 2 : signos diferentes. Para multiplicar dos números con signos diferentes, multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo.

Ejemplos - 9 • 7= -63 -14 • (-5) = 70 -8 • (-4) = 32


División de números reales

El resultado que se consigue al dividir dos números reales se conoce con el nombre de cociente. Para números reales a, b y c, donde b ≠ 0, a/b= c significa que a=b • c. Para ilustrar esto, considere.

105- 2-

que ya

52

10


División de números reales

Signos iguales. Para dividir dos números con el mismo signo, deben dividirse sus valores absolutos. El cociente es positivo.

Signos diferentes. Para dividir dos números con signos diferentes, hay que dividir sus valores absolutos. El cociente es negativo.

203

60

425

100

35

15


División con cero

Si 0 se divide entre un numero diferente de cero, el cociente es 0.

Siempre que se realiza una división, queremos obtener un solo cociente.

¿Que numero multiplicado por cero resulta en 7?

¿Que numero multiplicado por cero resulta en 0?

?0

0

?0

7

NINGUNO

NUMERO INFINITO DE RESPUESTASD

IVIS

ION

EN

TRE

0 N

O E

STA

DEF

INID

A


Exponentes enteros positivos

Sea n un entero positivo y a un numero real. Entonces el producto de n factores de a esta dado por

an= a • a • a … • a.

BASE

Exponente


Ejemplo: Calculo de expresiones exponenciales Cuidado (-a )n ≠ -an

(-3)4=(-3)(-3)(-3)(-3) = 81 -34= - (3)(3)(3)(3) = - 81 - (-3)4= - (-3)(-3)(-3)(-3) = - 81

125

8

5

2

5

2

5

2

5

23


Orden de las operaciones

Si hay paréntesis o corchetes: Paso 1: Resuelva arriba y debajo de las

rayas de fracciones por separado. Paso 2: Utilice las reglas siguientes dentro de

cada conjunto de paréntesis o corchetes. Inicie con el conjunto mas interno y trabaje hacia fuera.


Orden de las operaciones

Si hay paréntesis o corchetes: Paso 1: Resuelva arriba y debajo de las rayas de

fracciones por separado. Paso 2: Utilice las reglas siguientes dentro de cada

conjunto de paréntesis o corchetes. Inicie con el conjunto mas interno y trabaje hacia fuera.

Si no hay paréntesis o corchetes Paso 1: aplique todos los exponentes Paso 2: Haga las multiplicaciones o divisiones en el

orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a derecha.

Paso 3: Haga las sumas y restas en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a derecha.


Propiedades de la suma y la multiplicación de números realesPara los números reales, a, b y c,

se cumplen las siguientes propiedades.

Propiedades de cierreSi a y b son números reales,

entonces a + b y ab son números reales.


Propiedades de la suma y la multiplicación de números realesPropiedades conmutativas

a + b = b + a ab = baEj.

4 + (3 + 9) = 4 + (9 + 3)4 + 12 = 4 + 1216 = 16

4(5)=5(4)=20


Propiedades de la suma y la multiplicación de números realesPropiedades asociativas

(a + b) + c = a + (b + c)(ab)c = a(bc)

Ej. 5 + (6 + 8) = (5 + 6) + 8

(5•2)3 = 5(2•3)=30


Propiedades de la suma y la multiplicación de números realesPropiedades distributiva de la

multiplicación con respecto a la suma

a(b+c) = ab + ac(b+c)a = ba + ca

Ej.5(x + y) = 5x + 5y


Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales

Propiedades de la identidadExiste un numero real 0 tal quea + 0 = a y 0 + a = aExiste un numero real 1, tal quea • 1= a y 1 • a = aEj.

8 + 0 = 8


Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales Propiedad del inverso aditivo: La suma de un

numero real y su opuesto es cero. a + (-a) =0 Ej. 5 + (-5) =0

Propiedad del inverso multiplicativo: El producto de un numero real diferente de cero y su reciproco es 1. a • 1/a = 1, a ≠ 0


Ejercicios

Identifique la propiedad ilustrada en cada una de las siguientes proposiciones.

6 + 9 = 9 + 6 7 + (2 + 5) = (7 + 2 ) + 5 9 • 6 + 9 • 8 = 9 • (6 + 8)

Conmutativa de la suma

Asociativa de la suma

distributiva


Ejercicio

b + 2 = 6 Ecuación dada

(b + 2) + (-2) = 6 + (-2) Propiedad aditiva de Igualdad

b + [2 + (-2)] =4 Propiedad asociativa de la suma

b + 0 = 4 Propiedad del inverso aditivo

b = 4 Propiedad de identidad aditiva


Aplicaciones

El record de temperatura mas alta , de 134˚F, en Estados Unidos fue registrado en el Valle de la Muerte, California, en 1913. El record de temperatura mas baja fue de – 80 ˚F en Prospect Creek, Alaska, en 1971. ¿Cual es la diferencia entre la temperatura mas alta y la mas baja?

134 – (-80) = 134 + 80 = 214 La diferencia es 214 ˚F


Aplicaciones El área del rectángulo de la figura puede representarse de dos

formas: como el área de un solo rectángulo, o como la suma de dos rectángulos. Encuentre el área de ambas formas.

A1 A23

2x

vadistributi propiedad de

ejemploun es Esto

63

)2(3)(3)2(3

srectangulo dos los de suma

la es rectangulo del area El

)2(3

rectangulo soloun de area El

21

x

xx

AAA

xA

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