Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Curso Iberoamericanode formacin permanentede profesores de matemtica

Tema: La aplicacin y usos de las matemticas en el mundo actual: Matemticas para la prxima dcadas

Experto:Rafael Prez GmezUniversidad de Granada

Matemticas para la prxima dcada R. Prez Gmez

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Curso Iberoamericano de formacin permanente de profesores de matemtica

Tema del mes: La aplicacin y usos de las matemticas en el mundo actual: Matemticas para la prxima dcada Experto: Rafael Prez Gmez Universidad de Granada 1.- Introduccin Vivimos en una poca de profundos y vertiginosos cambios. Segn Josep Ramoneda, la aceleracin del tiempo y la contraccin del espacio son dos caractersticas de nuestro tiempo. Tambin se ha acelerado la globalizacin y la generacin de cantidades ingentes de informacin que circula rabiosamente por la red de redes que supone Internet. Estamos viendo una creciente hegemona de las Ciencias y Tecnologas en esta sociedad del Conocimiento y de la Informacin en la que, lgicamente, avanza da a da la llamada Tercera Cultura a la vez que se crea el Cuarto Mundo dentro de las macro ciudades del Primer Mundo y mientras el Tercer Mundo sigue prcticamente olvidado. Por otro lado, los pases empiezan a clasificarse en inforricos e infopobres. En este contexto social, se requieren nuevas formas de aprendizaje y de pensamiento tanto en el mbito acadmico como en el mundo de la Economa y en el profesional. El psiclogo norteamericano Howard Gardner, en su libro Las cinco mentes del futuro, define las cinco capacidades cognitivas que en los aos venideros van a ser las ms solicitadas: la mente disciplinar, la mente sintetizante, la mente creativa, la mente respetuosa y la mente tica. En el libro Educacin matemtica y ciudadana, la profesora de la Universidad Complutense de Madrid Ins M Gmez Chacn, hace una propuesta para la educacin ciudadana basada en que Las sociedades democrticas necesitan ciudadanos reflexivos que puedan plantearse los grandes temas que en ellas se suscitan (); ciudadanos que sepan construir su propia opinin y que participen activamente en las decisiones sociales. Para alcanzar este objetivo, es necesario educar desde las Matemticas de forma que se desarrollen las capacidades que seala Gardner. Aunque el planteamiento es muy actual, no es nuevo. Luis Vives (1492,1540), en el s. XVI, ya seal que son una asignatura para manifestar la agudeza de la mente explicitando la facultad que tienen las

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Matemticas para desarrollar la capacidad de pensamiento. En efecto, cuantificar, relacionar, representar, ordenar, clasificar y resolver problemas es lo verdaderamente importante porque son competencias cognitivas que conducen, directamente, a pensar mejor y, por ende, a ser cada vez ms libres.

Pero tambin conviene or las voces autorizadas de personajes histricos que opinaron acerca de la esencia y el papel de las Matemticas y su contribucin al espritu humano.

Bertrand Russell (1872,1970), Nobel en Literatura en 1950, filsofo, matemtico y escritor britnico, dijo que las Matemticas no slo son ciertas, tambin son bellas.

Albert Einstein (1879,1955), Premio Nobel de Fsica en 1921, se preguntaba: Cmo es posible que las Matemticas, un producto del pensamiento humano, que es independiente de la experiencia, se ajusta tan excelentemente a los objetos de la realidad fsica? Puede la razn humana sin experiencia pensar propiedades de las cosas reales?

Richard R. Ernst (n. 1933), Nobel de Qumica en el 1991, defini el rbol de la Ciencia. La Fsica es el tronco, dijo. La Qumica, las ramas. La Biologa, las hojas. Y las Matemticas? Las races. No se ven, pero sin ellas el rbol no existira. Ni tantas otras cosas. La construccin terica ms artificial del intelecto humano es imprescindible en un mundo complejo. Gracias a ellas avanza el estudio del cambio climtico, la lucha contra incendios, la prediccin de terremotos. Sin las Matemticas no habra Arquitectura, ni Ingenieras, Informtica, Aeronutica, Astronoma, ni Criptologa -el estudio de los sistemas codificados para comunicaciones seguras. Su uso aumenta en Sociologa, Medicina y en una lista interminable de otros campos, como la Lingstica o las Finanzas.

Como resumen podra decirse que hay unas Matemticas necesarias para ser ciudadano o ciudadana de una sociedad tan compleja y exigente como la actual; unas Matemticas tiles, tanto para la vida cotidiana como para el aprendizaje de otras disciplinas necesarias para el desarrollo personal y profesional.

Unas Matemticas para entender el Mundo, a nivel microscpico y macroscpico porque explican, representan y predicen hechos.

Las Matemticas parecen poseer el asombroso poder de explicar cmo funcionan las cosas, por qu son como son y qu nos revelara el Universo si fusemos capaces de escuchar1.

Unas Matemticas para dar respuesta a cuestiones cientficas y tecnolgicas y contribuir al desarrollo de una Economa basada en el conocimiento como estrategia para evitar la dependencia de terceros pases.

Y, por ltimo, unas Matemticas que, enrocadas en s mismas, sigan ocupndose de resolver problemas que, por ahora, estn muy lejos de tener aplicacin alguna y cuyas soluciones son bellsimos ejemplos del arte de pensar cada vez mejor.

Llegados a este punto se hace necesario recordar lo que se deca en el conocido como Informe Cockcroft, Las Matemticas s cuentan2, que ya es todo un clsico:

1 Cole, K.C. El universo y la taza de t. Las matemticas de la verdad y la belleza, Ediciones B, 1999.

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En el momento actual se sabe que su incidencia en el desarrollo de la capacidad de razonamiento de una persona depende del modo en que se enseen.

2.- Usos de las matemticas en el mundo actual

Por tanto, teniendo en cuenta las reflexiones anteriores, y dada la enorme cantidad y calidad del conocimiento matemtico construido a lo largo de la Historia, debemos abrir un nuevo camino con la mirada puesta hacia otra direccin: insistir en una educacin desde las Matemticas basada en competencias. Este punto de vista dista mucho de la basada, fundamentalmente, en la transmisin de la informacin. As mismo, debe entenderse que se es competente si se tiene la capacidad de aplicar un conocimiento aprendido que se basa en el aprendizaje de contenidos (fijados desde la lgica cientfica), procedimientos (marcados por la lgica psicolgica) y valores (establecidos por la lgica social), concreciones de cada una de las tres lgicas antes mencionadas en cada uno de los ejes del currculo- en situaciones concretas: Matemticas en contexto.

A modo de ejemplo, abordar diferentes contextos que deben introducirse en todas las clases de Matemticas de los diferentes niveles educativos de cualquier pas: tu hogar, tu ciudad, tu pas, la comunidad internacional a la que perteneces y el planeta Tierra.

En este documento de presentacin me ceir a dos de ellas para abordar las dems en el documento definitivo.

Llegados a este punto, conviene recordar la respuesta que dio Hans Freudenthal (1905-1990), en la ltima entrevista que concedi a un peridico holands pocas semanas antes de su muerte:

- (Pregunta): Profesor, qu Matemticas debe aprender cualquier estudiante en el momento actual?

- (Respuesta): todas las que sean necesarias para que pueda vivir con dignidad.

La sociedad tiene depositada su confianza en los centros educativos de todos los niveles para que, desde ah, se incorporen las personas al mundo del trabajo con la mayor dignidad posible y, en absoluto, nada tienen que ver con ser guarderas para las diferentes edades. Quienes nos dedicamos a la educacin debemos dar respuesta a los retos que se nos plantean en esta nueva y compleja sociedad y hacer posible una nueva escuela en la que, dada la heterogeneidad de cualquier clase, desarrollemos nuestro trabajo dando ms importancia a los diferentes ritmos de aprendizaje y al grupo humano constituido por nuestros alumnos y alumnas; en definitiva, dando ms importancia a la Educacin y ninguna a las destrezas de supervivencia escolar.

2.1.- Sin salir de casa

2 Informe Cockcroft, Las Matemticas s cuentan, Ed. Ministerio de Educacin y Ciencia del Gobierno de Espaa, 1985.

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Hay muchos objetos en nuestras casas cuya utilidad deriva de que sus diseos han sido hechos teniendo en cuenta algn modelo matemtico, normalmente, muy sencillo. A modo de ejemplo, vamos a echar una ojeada a media docena de situaciones que, normalmente, estn en cualquier casa: un vaso, una tapadera, una rueda, un desodorante roll-on, un bolgrafo Bic y una lata de Coca-Cola. Qu modelos matemticos podemos encontrar en cada caso? La respuesta puede sorprender a muchas personas: la circunferencia. Por qu?

Qu suele explicarse en clase de Matemticas de este lugar geomtrico? Podramos afirmar, sin temor a equivocarnos, que se introduce la circunferencia dando su definicin y, a continuacin, se informa acerca de que su longitud es igual a 2r y que el rea de la regin interior que delimita, llamada crculo, es igual a r2. Despus, dada la rareza y exotismo del nmero que se acaba de introducir, se dice que pi es un nmero con infinitos decimales que tomaremos de forma aproximada como 3.1416, aunque lo normal es que nos quedemos solo con 3.14. Desde el siglo XVII esta relacin fue identificada con el nombre pi, de periphereia, nombre que los griegos daban al permetro de un crculo y cuya primera letra en esa lengua es . Fue Leonhard Euler (1707,1783) quien lo bautiz as.

Pero basta hacer un breve paseo por la Historia de las Matemticas para poner de manifiesto el inters de dicho nmero en todas las culturas de todos los tiempos. Podemos encontrar el nmero pi en diferentes textos. Por ejemplo: La Biblia (Reyes-1-7-23); en el Papiro de Ahmes (Egipto) y en la Tablilla de Susa(Babilonia); Bandhayana (India); Arqumedes de Siracusa, Ptolomeo, Liu Hui (China), Tsu Chung Chin, AI-Kashi (Persia), Franciscus Vieta (Francia),, Johann Heinrich Lambert y Carl Louis Ferdinand Lindemann. En la carrera por conseguir el mayor nmero de cifras decimales de pi, en 1997, Y. Kanada y D. Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras con 1024 procesadores.

Uno de los ms firmes y seguros logros escolares es este nmero pues, prcticamente todas las personas que pasaron por las aulas, recuerdan su valor a lo largo de sus vidas. Sin embargo, lo que no suele formar parte del conocimiento de esas mismas personas es su significado: pi expresa el nmero de veces que el dimetro cabe en la circunferencia.

Pregunta 1.- Conoces algn experimento que pueda hacerse en clase para crear una imagen mental de tal hecho?

Pero adems de lo dicho, hay tres propiedades de la circunferencia (o de su regin interior, el crculo) que hacen que tenga una tremenda utilidad social y que, sin embargo, son aspectos que no suelen tratarse en clase de Matemticas con la debida atencin y profundidad. Incluyo una serie de preguntas que pretender hacerle reflexionar. No es imprescindible que me responda aunque me encantara recibir las respuestas:

- Primera propiedad: sus puntos no estn ordenados.

1. Si marcamos dos puntos cualesquiera sobre la circunferencia, cul ocupa un lugar ms destacado?

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2. En la leyenda del rey Arturo, la Tabla Redonda fue la mesa creada por Merln como imitacin de la mesa del Grial de Jos de Arimatea, a su vez una imitacin de la mesa de la ltima Cena. Por qu cree que en el lenguaje social se dice hoy se celebrar una mesa redonda para hablar acerca de?

3. Se le ocurre alguna otra situacin en la que se aplique esa cualidad de los puntos de la circunferencia?

Segunda propiedad: tiene anchura constante.

1. Cmo definira la anchura de una figura plana?, y si es tridimensional?

2. Una puerta tiene, en general, forma rectangular mientras que una tapadera es circular, por qu cree que ser?

Tercera propiedad: entre todas las formas planas, cerradas, sin agujeros y de igual permetro, la circunferencia encierra mayor rea.

1. Al igual que antes, consultando la Historia de las Matemticas, nos encontramos con uno de sus problemas ms interesantes: el problema de los isopermetros, en qu consiste?

2. Segn la leyenda, Dido lleg a las costas del Norte de frica, donde viva una tribu de libios a cuyo rey pidi hospitalidad y un trozo de tierra para instalarse en ella con su squito. El rey dijo que si a Dido a ambas cosas pero le dijo que le daba tanta tierra como pudiera ser abarcada por una piel de buey. No cont el rey con el ingenio de Dido. Qu fue lo que ella hizo para abarcar la mxima extensin de tierra? Fue tanta que se convirti en la ciudad de Cartago. Si se hacen algunos supuestos y con pocas operaciones podremos deducir la extensin aproximada de aquella ciudad. Ser interesante llevar este asunto a la clase de Matemticas?

3. Si se tiene en cuenta que cada da se beben en todo el mundo ms de mil millones de latas o botellas de Coca- Cola, 12.500 cada segundo, merece la pena pensar en optimizar su diseo. Qu relacin tiene el problema de los isopermetros con la produccin industrial de latas de Coca-Cola?

Pregunta 2.- Una vez ledo y reflexionado lo expuesto en el punto 2.1, qu otro objeto cotidiano de una casa utilizaras para explorarlo matemticamente? Describe brevemente cmo lo haras.

2.2.- Sin salir de la ciudad

En nuestras ciudades tambin podemos encontrar modelos que nos ayudarn al objetivo de construir una matemtica para la prxima dcada. A modo de ejemplo, veamos algunas situaciones que, normalmente, estn en cualquier ciudad: una trama urbana sobre la que se ubican los edificios siguiendo ciertos criterios organizativos; un conjunto de nombres o nmeros para reconocer sus calles y avenidas; nmeros y letras para localizar los edificios y las

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viviendas que hay en ellos; servicios pblicos de transporte; las seales de trnsito, tanto las verticales como las que se dibujan en el suelo; bancos y diferentes comercios.

Qu modelo matemtico comn puede utilizarse en estos casos?: La utilizacin de formas geomtricas planas, con significados y usos diferentes, es de nuevo una clave para la interpretacin.

En todas las clases de Matemticas del mundo se estudian los polgonos (los convexos porque los cncavos, a veces, ni se mencionan) y sus propiedades. Es fcil reconocer a simple vista en nuestro entorno objetos con forma de tringulo, de cuadriltero, de hexgono y otros polgonos e incluso de circunferencia/crculo.

(Por cierto, se ha planteado averiguar cul es la forma geomtrica ms abundante en su entorno? Sus estudiantes le pueden ayudar a averiguarlo).

Sin embargo, explicamos determinados aspectos que los hacen socialmente tiles? Fijmonos en el polgono ms sencillo: el tringulo. Est bien que clasifiquemos los diferentes tipos existentes atendiendo a varios criterios, que enseemos a calcular su rea y que demostremos que la suma de sus ngulos interiores es siempre 180o. Puede hacerse, por ejemplo, una clasificacin muy interesante de los polgonos atendiendo a la posibilidad de formar poli-polgonos, es decir, otras formas planas a partir de la yuxtaposicin de copias de polgonos, iguales o no y plantearnos Qu poli-polgonos podemos identificar en nuestra ciudad?

Le ofrezco imgenes de ciudades sacadas del Google Earth y en la pregunta final le pido que me indique sugerencias para un tratamiento de ellas bien geomtrico bien de otro tipo.

1. Parte de la ciudad de Barcelona, Espaa.

2. Manhattan, Jackson St NY, Estados Unidos.

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3. Madrid, C/ de Pradolongo Espaa

4. Ciudad del Este, Paraguay

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5. Fleury-Mrogis, Isla de Francia, departamento de Essonne, Feancia

Pregunta 3.- Las imgenes deben verse y analizarse desde el punto de vista matemtico.

Qu le sugieren?, qu actividades propondra a sus estudiantes con estas imgenes?