la no invariancia de las ecuaciones de maxwell bajo transformaciones de galileo.docx

Diciembre 92013

Este trabajo es de autoría netamente propia basado en la necesidad de una demostración formal de la invariancia de las ecuaciones de maxwell bajo las transformaciones de galileo

Lizbeth Chamba Ángel Vinueza

La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE ELECTRÓNICA Y TELECMUNICACIONES

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA II


Grupo: Lizbeth Chamba

Ángel Vinueza

Curso: 4to semestre

Periodo: 2013-2014

Fecha de entrega: 9 de Diciembre del 2013


OBJETIVOS

Objetivo General

Demostrar las ecuaciones de maxwell bajo las transformaciones de Galileo

Objetivos Específicos

Comprobar que las ecuaciones de maxwell no son invariantes en el tiempo


Obtener más conocimiento sobre el cómo comprobar que las ecuaciones de maxwell no son invariantes en el tiempo mediante las ecuaciones de Galileo mencionados en clases


INTRODUCCION:


En la mayoría de los libros de texto de Física General las transformaciones de Galileo y de Lorentz aparecen en temas diferentes.Por si fuera poco, se considera a la transformación galileana tan intuitiva y tan asumida que no se explica suficientemente su alcance en la Mecánica Clásica ni por qué todos los observadores inerciales (esto es, que no llevan aceleración) tienen que escribir las leyes físicas de la misma forma.

Por otro lado, cuando en los textos de Física se dice que la teoría de Maxwell no cumple la transformación de Galileo, rara vez se explica o se prueba que es así


Tampoco suelen aclarar qué razones llevaron a Einstein a cuestionar la transformación de Galileo y sustituirla por la transformación de Lorentz.

En este artículo se trata de explicar las dos transformaciones paso a paso de comprender su importancia en la Física y de dar respuesta a las preguntas anteriores

Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante una transformación de Galileo


La teoría del Electromagnetismo de Maxwell está sintetizada en cuatro ecuaciones fundamentales (ecuaciones de Maxwell), que, además, conducen a fenómenos completamente nuevos. El logro quizá más importante de la teoría fue la predicción de la existencia de ondas electromagnéticas y dar cuenta de que la luz podía comprenderse como un tipo de onda electromagnética.En este punto vamos a probar de una manera sencilla que las ecuaciones de


Maxwell no son invariantes ante una transformación de Galileo, utilizando para ello la ecuación de la onda electromagnética que se obtiene al combinar convenientemente las ecuaciones de Maxwell.

Una onda electromagnética consiste en campos eléctricos y magnéticos, mutuamente perpendiculares, variables en el tiempo. Esta variación genera una perturbación que se propaga en el espacio; es decir, una onda electromagnética.


Si los campos varían en el tiempo de forma senoidal, la onda generada será senoidal, que es el tipo de onda más simple. La onda representada en la figura es senoidal y se propaga a lo largo del eje OX del sistema de coordenadas elegido; es decir, una onda plana (los campos oscilan sólo en los planos XZ y XY), monocromática (sólo hay una frecuencia de vibración) y unidimensional (se propaga sólo en la dirección del eje OX)(3)

Las ecuaciones de los campos eléctrico, E, y magnético, B, de la onda electromagnética monocromática que se propaga en la dirección del eje OX son,


donde E0 y B0son, respectivamente, los valores máximos, de los campos eléctrico y magnético; k = 2pi /l el número de ondas (siendo l la longitud de onda) y c la velocidad de la luz. Cojamos una de las componentes de la onda, por ejemplo la eléctrica, y derivemos respecto al tiempo (4)


Ya que E0= cte y x = cte, pues estamos considerado un punto particular del eje OX. Derivemos de nuevo respecto a t (o sea, hacemos la 2ª derivada).


Derivemos de nuevo la ecuación (1.7) dos veces, pero esta vez respecto a x en un instante particular; esto es, haciendo t = cte,

Al comparar las ecuaciones (1.9) y (1.10) obtenemos que,


Que es la ecuación diferencial segunda de la componente eléctrica de la onda electromagnética (5)


Probemos que la ecuación (1.11) no es invariante ante una transformación de Galileo. El conjunto de ecuaciones que relacionan las coordenadas


espaciales y el tiempo medidos por los dos observadores inerciales O y O de la figura (O se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del eje OX común a ambos sistemas de coordenadas), son

De estas ecuaciones deducimos inmediatamente que,


.

Puesto que t = t , es evidente que


El observador del sistema de referencia O aplica la ecuación (1.11). Si las ecuaciones de Maxwell fueran invariantes ante una transformación de Galileo, el observador del sistema de referencia O , que se mueve con velocidad constante respecto a O, debería aplicar la ecuación en la misma forma, o sea,


Veamos si esto se cumple o no. Derivando la componente eléctrica de la onda electromagnética E(x, t) respecto a x, aplicando la regla de la cadena (6) y teniendo en cuenta las ecuaciones (1.12) y (1.13), tenemos,


y volviendo a derivar de nuevo la última ecuación respecto a x,


Hemos partido de las ecuaciones (1.7) y (1.8) porque son más familiares (aparecen en todos los textos de Física General).6

La regla de la cadena para una función y=f(x) tal que g(t) establece que,


Resultado que se puede generalizar a funciones de varias variables. Para una función de dos variables z=f(x,y) tal que x=g(t,s) and y=h=(s,t) la regla de la cadena establece que


Donde se ha sustituido el símbolo de derivada “d” por del de derivada parcial “d” ya que al derivar respecto a una variable se consideran constantes las demás. Por ejemplo, la derivada parcial de z=2x2y-3y respecto a la variable x es: dz/dx=4xy

Puesto que t = t’ , resulta que,


Combinado las ecuaciones (1.11), (1.14) y (1.15) obtenemos que,


que no mantiene la misma forma que (1.11); esto es, las ecuaciones de Maxwell no son invariantes frente a una transformación de Galileo.


DESARROLLO

∇ .E=0 (1)

∇× E=−∂ B∂ t

(2)

∇ .B=0(3)


∇×B= 1

c2∂E∂ t

(4)

La función de onda para cualquier función potencial se escribe comoφ

∇2φ= 1c2∂2φ∂t 2

Aplicando rotacional a la ecuación 2 tenemos


∇× (∇× E )=∇×(−∂B∂ t )=(−∂(∇×B)∂t )

Sustituyendo la ecuación 4

∇× (∇× E )=(−∂ (∇×B )∂ t )=(−∂∂ t ( 1c2 ∂ E∂ t ))=(−1c2 ∂∂ t ( ∂ E∂ t ))


∇× (∇× E )=(−1c2 ∂2E∂t 2 )

Primero calculemos el rotacional de E, sabiendo que E = (Ex , Ey, Ez)

∇× E≡| i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

Ex Ey E z|≡( ∂E z∂ y

−∂ Ey∂ z ) i−( ∂E z∂ x

−∂ Ex∂ z ) j+( ∂ Ey∂ x

−∂Ex∂ y )k


∇× E≡( ∂E z∂ y−∂ Ey∂z ) i+( ∂ Ex∂z −

∂ E z∂x ) j+( ∂ E y∂x

−∂ Ex∂ y )k


∇×(∇×E)=|i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

( ∂ E z∂ y−∂E y∂ z ) ( ∂Ex∂ z −

∂E z∂ x ) ( ∂ E y∂x

−∂ Ex∂ y )|

∇× (∇× E )=[ ∂∂ y ( ∂ Ey∂ x−∂Ex∂ y )− ∂

∂ z ( ∂Ex∂ z −∂E z∂ x )] i+[ ∂∂ z ( ∂ E z∂ y

−∂E y∂ z )− ∂

∂ x ( ∂ E y∂x−∂ Ex∂ y )] j+[ ∂∂ x ( ∂ Ex∂ z

−∂ E z∂x )− ∂

∂ y ( ∂E z∂ y−∂ Ey∂ z )]k


∇× (∇× E )=[( ∂2 Ey∂ y ∂x−∂2 Ex∂ y2 )−( ∂

2 Ex∂ z2

−∂2E z∂ z∂ x )] i+[( ∂2E z∂ z ∂ y

−∂2 Ey∂ z2 )−( ∂

2 Ey∂ x2

−∂2 Ex∂ x∂ y )] j+[( ∂2Ex∂ x∂ z

−∂2E z∂ x2 )−( ∂

2 E z∂ y2

−∂2 Ey∂ y ∂ z )]k

∇× (∇× E )=[ ∂2E y∂ y ∂ x+∂2E z∂ z∂ x

−∂2Ex∂ y

2 −∂2Ex∂ z

2 ] i+[ ∂2 E z∂ z∂ y+∂2Ex∂ x ∂ y

−∂2 Ey∂ z

2 −∂2E y∂ x

2 ] j+[ ∂2Ex∂x ∂ z+∂2E y∂ y∂ z

−∂2E z∂ x

2 −∂2 Ez∂ y

2 ]kUna propiedad de los vectores dice que

∇× (∇× E )=∇ (∇ .E )−∇2E


Probemos esta identidad

∇ .E=( ∂∂ x i+ ∂∂ y

j+ ∂∂zk ). (Ex i+E y j+E z k )

∇ .E=( ∂ Ex∂ x+∂ Ey∂ y

+∂ E z∂ z )


∇ (∇ . E )=( ∂∂ x ( ∂ Ex∂ x+∂E y∂ y

+∂ E z∂ z ) i+ ∂

∂ y ( ∂Ex∂x +∂ E y∂ y

+∂E z∂z ) j+ ∂

∂ z ( ∂Ex∂ x+∂ Ey∂ y

+∂E z∂ z )k )

∇ (∇ . E )=( ∂2Ex∂x2

+∂2E y∂ x ∂ y

+∂2E z∂ x∂ z ) i+( ∂

2 Ex∂ y∂ x

+∂2 E y∂ y2

+∂2E z∂ y ∂ z ) j+( ∂

2Ex∂ z ∂x

+∂2 Ey∂ z ∂ y

+∂2 Ez∂ z2 )k

Apliquemos el laplaciano


∇2= ∂2

∂ x2+ ∂2

∂ y2+ ∂

2

∂ z2

∇2E=( ∂2∂ x2+ ∂2

∂ y2+ ∂2

∂ z2 )( Ex i+E y j+E z k )

∇2E=( ∂2Ex∂ x2

+∂2Ex∂ y2

+∂2Ex∂ z2 )i+( ∂

2E y∂ x2

+∂2E y∂ y2

+∂2 E y∂ z2 ) j+( ∂

2E z∂ x2

+∂2E z∂ y2

+∂2E z∂ z2 )k


Restando

∇ (∇ . E )−∇2 E=( ∂2Ex∂x2

+∂2E y∂ x ∂ y

+∂2E z∂ x∂ z

−∂2Ex∂ x2

−∂2Ex∂ y2

−∂2 Ex∂ z2 )i+( ∂

2Ex∂ y ∂ x

+∂2E y∂ y2

+∂2E z∂ y ∂ z

−∂2 Ey∂ x2

−∂2E y∂ y2

−∂2E y∂ z2 ) j+( ∂

2 E x∂ z∂ x

+∂2E y∂ z∂ y

+∂2E z∂ z2

−∂2E z∂x2

−∂2 E z∂ y2

−∂2E z∂ z2 )k

∇ (∇ . E )−∇2 E=( ∂2 Ey∂ x∂ y

+∂2 E z∂ x ∂z

−∂2 Ex∂ y2

−∂2Ex∂ z2 ) i+( ∂

2Ex∂ y ∂x

+∂2E z∂ y ∂ z

−∂2E y∂x2

−∂2 Ey∂ z2 ) j+( ∂

2Ex∂z ∂ x

+∂2E y∂ z ∂ y

−∂2E z∂ x2

−∂2 Ez∂ y2 )k

Ahora sabemos de la ecuación 1 que


∇ .E=0

Por lo que

∇ (∇ . E )=0

Obteniendo


∇2E=( ∂2E∂x2 + ∂2E∂ y2

+ ∂2E∂z2 )= 1

c2∂2E∂t 2

( ∂2 E∂ x2 + ∂2 E∂ y2

+ ∂2E∂ z2 )− 1

c2∂2E∂ t 2

=0


Con las transformaciones de Galileo, podemos convertir esta ecuación de onda al sistema de referencia primado. Para esto, utilizamos la regla de la cadena para cualquier función potencial φ

∂φ∂ x

= ∂φ∂ x ,

∂ x ,

∂ x+ ∂φ∂ y ,

∂ y ,

∂x+ ∂φ∂ z ,

∂ z ,

∂ x+ ∂φ∂t ,∂ t ,

∂ x

∂φ∂ y

=∂φ∂ x ,

∂ x ,

∂ y+ ∂φ∂ y ,

∂ y ,

∂ y+ ∂φ∂ z ,

∂ z ,

∂ y+ ∂φ∂ t ,

∂t ,

∂ y


∂φ∂z

= ∂φ∂ x ,

∂ x ,

∂ z+ ∂φ∂ y ,

∂ y ,

∂ z+ ∂φ∂ z ,

∂ z ,

∂ z+ ∂φ∂t ,∂ t ,

∂ z

∂φ∂ t

= ∂φ∂ x ,

∂ x ,

∂ t+ ∂φ∂ y ,

∂ y ,

∂ t+ ∂φ∂ z ,

∂ z ,

∂ t+ ∂φ∂t ,∂ t ,

∂ t

Las transformaciones de galileo dicen que


x=x ,−ut

y= y ,

z=z ,

t=t ,

Aplicando las transformaciones de Galileo a las ecuaciones de maxwell


∂ E∂ x

=∂E∂x ,

∂x ,

∂ x+ ∂E∂ y ,

∂ y ,

∂ x+ ∂ E∂z ,

∂ z ,

∂ x+ ∂E∂ t ,

∂ t,

∂x

Se observa que

∂ x,

∂ x=1

∂ y ,

∂x=0


∂ z ,

∂x=0

∂ t ,

∂ x=0


Por lo que

∂ E∂ x

=∂E∂x ,

De manera análoga para

∂ E∂ y

=∂ E∂ y ,


∂ E∂z

=∂E∂ z ,

Pero al derivar con respecto al tiempo se obtiene que

∂ E∂t

=∂E∂x ,

(−u )+ ∂ E∂t ,

Para la segunda derivada tenemos


∂∂ t∂ E∂ t

=∂2 E∂ t2

= ∂∂x , ( ∂ E∂ x , (−u )+ ∂E

∂ t , ) ∂ x,

∂ t+ ∂∂ t, ( ∂ E∂ x , (−u )+ ∂E

∂ t , ) ∂ t,

∂t

∂∂ t∂ E∂ t

=∂2 E∂ t2

= ∂∂x , (−u ∂ E∂ x ,+ ∂E∂ t , ) ∂ x

,

∂ t+ ∂∂t , (−u ∂ E∂ x ,+ ∂E∂ t , ) ∂ t

,

∂t

∂2E∂t 2

=u2 ∂2E∂ x ,2

−2u ∂2E∂ x ,∂ t ,

+ ∂2 E∂ t ,2


Sustituyendo en la ecuación de onda para el sistema primado

∂2 E∂ x, 2

+ ∂2 E∂ y ,2

+ ∂2E∂z , 2

= 1c2

(u¿¿2∂2E∂ x ,2

−2u ∂2E∂ x ,∂ t ,

+ ∂2E∂t ,2

)¿

(1−u2c2 ) ∂2 E∂ x ,2

+ ∂2 E∂ y ,2

+ ∂2E∂z , 2

+2 uc2

∂2E∂ x ,∂ t,

− 1c2∂2 E∂ t ,2

=0


Lo cual es muy diferente a la ecuación de Onda para el marco de referencia no primado con lo que muestra que las ecuaciones de maxwell no son invariantes bajos las transformaciones de Galileo

OBSERVACIONES

La transformación del Galileo, cuya cuarta ecuación (t = t ) está basada en el sentido común, mantiene invariantes las leyes de la mecánica clásica en todos


los sistemas de referencia inerciales, lo que constituye el principio clásico de la relatividad

El hecho de que las ecuaciones del Electromagnetismo (teoría que ha sido verificada experimentalmente muchas veces) no son invariantes ante una transformación de Galileo llevó a Einstein a formular una nueva y revolucionaria teoría: La Relatividad Especial.

Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante una transformación de Galileo


RECOMENDACIONES

Las ecuaciones de maxwell en ausencia de fuentes y libres de cargas se escriben en forma diferencial

Siempre que no haya pérdida de generalidad, consideraremos movimientos rectilíneos a lo largo de un eje coordenado del sistema de referencia y fuerzas que actúen en ese eje De este modo las magnitudes vectoriales posición, velocidad, momento line al, aceleración y fuerza


quedan determinadas por sus respectivas componentes en ese eje y las correspondientes ecuaciones no son vectoriales, sino escalares.

ANEXOS

http://multiblog.educacion.navarra.es/lcordonm/files/2011/06/Transformaciones-de-Galileo-y-Lorentz.pdf




http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000440/lecciones/radiacion_electromagnetica/invarianzaecuacionesmaxwell.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Invariancia_galileana

http://www.antidogma.ru/spanish/node53.html

http://www.antidogma.ru/spanish/node53.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Invariancia_galileana



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