la historia de las matemáticas, un diamante en...
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La historia de las Matemáticas,
un diamante en bruto.
Santiago Fernández
Asesor de matemáticas
Vivir y convivir con las
MatemáticasSantander, 30- 4- 2010
Esquema de la sesión:
1.- Reflexiones respecto al papel de la Historia
de la Matemáticas en el aula.
2.- Propuesta de J. Fauvel.
3.- Pequeños cuentos matemáticos.
“Ningún tema pierde tanto cuando se le divorcia de su historia como
las Matemáticas”
E.T. Bell
1.- Reflexiones respecto al papel de la Historia de la
Matemáticas en el aula.
“ No hay que olvidar el origen concreto de la Matemática ni los procesos
históricos de su evolución”
P. Puig Adam
“La Historia de las Matemáticas tiene una función didáctica como
instrumento de comprensión profunda de sus fundamentos y de las
dificultades de sus conceptos para así responder mejor a los retos de
su aprendizaje”
P. González Urbaneja
La Historia de las Matemáticas es para el profesor un medio de
autoformación………
Es, además, una fuente inagotable de material didáctico, de ideas y
problemas interesantes y, en alto grado, de diversión y recreo intelectual, y
por tanto de enriquecimiento personal, científico y profesional.
P. González Urbaneja
2.- Propuesta de J. Fauvel (1947-2001)
- Presentar introducciones históricas de los conceptos que son nuevos
para el alumnado.
- Trabajar con posters, exposiciones u otros proyectos con trasfondo
histórico.
- Idear el orden y estructura de los temas dentro del programa de
acuerdo con su desarrollo histórico.
-Trabajar en la comprensión de algunos problemas históricos cuya
solución ha dado lugar a los distintos conceptos matemáticos.
-Seguir la línea del tiempo de algunas teorías o problemas
-Realizar test comentados sobre historia de matemáticas
- Repasar situaciones históricas para ilustrar técnicas y métodos de
resolución.
- Proponer ejercicios similares a los propuestos en textos históricos
del pasado.
- Realizar proyectos en torno a actividades históricas del pasado.
- Estudiar errores históricos y comentarlos.
-Mencionar anécdotas históricas.
- Recrear el ambiente de la época
- Conocer las grandes figuras de la ciencia
- Reconocer la importancia de los matemáticos menores
3. Pequeños cuentos matemáticos
Los magos egipcios….
En este periodo las matemáticas están imbricadas en la
práctica humana, inmersas interactivamente en su entorno.
Las fórmulas utilizadas eran empíricas:
Así el área de un cuadrilátero de lados a, b, c, d estaba dada por
A= (a + c)/2 . (d + b)/2
Del mismo modo el área
de un triángulo isósceles
de lados a y b estaba
dada por (a . b)/2.
Matemática Egipcia
Una fracción egipcia es una fracción de la forma 1/n
en la que n es un entero positivo.
Dados dos enteros positivos a < b. el problema
de las fracciones egipcias se puede plantear de la
siguiente manera:
¿Cómo se puede expresar la razón a/b como una
suma de fracciones egipcias?
¿Como podemos dividir equitativamente 6, 7, 8 o 9
hogazas de pan entre 10 personas?
6/10= 1/2 + 1/10
7/10= 1/3 + 1/3 + 1/30
8/10= 1/3 + 1/3 + 1/10 + 1/30
9/10= 1/3 + 1/3 + 1/5 + 1/30
Soluciones que aparecen en el pariro de Rhind
3/8 = 1/3 + 1/8(1/3) = 1/3+1/24
3/8
Dividir entre 8
Repartir 3 panes entre 8 personas
1/5
3/8
Nos quedan 7 ( de tamaño 1/5) para repartir entre 8 personas
Repartir 3 panes entre 8 personas
Ya hemos repartido 1/5 a cada persona ahora tenemos que
repartir 7 trozos( de 1/ 5 cada trozo) entre las 8 personas
3/8 = 1/5+ …..
Resumiendo
(1/2).(1/5)= 1/10
Nos quedan 3 ( de tamaño1/5) para repartir entre 8 personas
Vamos ahora a repartir los 7 trozos restantes.
Primero repartimos 4 de los siete trozos, para ello dividimos
cada trozo en dos partes iguales
3/8 = 1/5+ 1/10+…..
(1/2).(1/2).(1/5)= 1/20
Por tanto
3/ 8 = 1/5+1/10+1/20
Cada uno de los trozos de tamaño 1/5 lo dividimos por la
mitad y luego otra vez por la mitad
¿Es la única manera de descomponer 3/8 en fracciones unitarias?
La Sucesión de Farey(1816) es una de esas curiosidades matemáticas
que casualmente descubrió un aficionado a las matemáticas llamado,
John Farey.
La idea es tomar un número natural (ej. n = 3) y empezar a definir la
serie Farey(3) como una serie de fracciones que tienen como
numerador y denominador los números naturales entre 1 y n.
En el caso de F(3) escribiendo todas estas fracciones serían:
1/1, 1/2, 1/3, 2/1, 2/2, 2/3, 3/1, 3/2, 3/3
Los valores equivalentes como 2/4 y 4/8 se simplifican (1/2) y se deja sólo uno de
ellos. A continuación sólo se tienen en cuenta las fracciones cuyos valores están
entre 0 y 1 (ej. 3/2 se elimina).
Las fracciones restantes se ordenan de menor a mayor, ej.
F(3) = 0, 1/3, 1/2, 2/3, 1
Un salto de 4.000 años…..
Conjuntos de Farey
Si tomamos dos términos seguidos de un conjunto de Farey y los restamos,
obtenemos lo siguiente:
Por ejemplo:
F(5) = 0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1
2/5-1/3 =1/15
Si A / B y C/ D son términos de Farey seguidos de un mismo conjunto, se
verifica que :
A ⁄B − C ⁄ D = 1/B.D
Algoritmo: Para escribir la fraccion a/b (a, b enteros
positivos, a<b) como una suma de fracciones egipcias.
Paso 1 : Determinar la fracción mayor c/d en la b-esima regla de Farey tal
que c/d < a/b. Escribir a/b = c/d + 1/q para algún entero positivo q. Entonces 1 /q es
uno de los términos de la descomposición.
Paso 2 [¿Fin?] Si c=1, 1/d es un termino de la descomposición y termina el
algoritmo.
Paso 3 [ Ajuste], Tomar c como el nuevo valor de a y d como el nuevo valor
de b. Continuar en el Paso 1,
Sucesión de SylvesterLa sucesión de Sylvester es una sucesión de números enteros en la cual
cada término es el producto de todos los anteriores, más uno. Los primeros
términos de la sucesión son:
2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, …..
La sucesión de Sylvester se llama así en honor de James Joseph Sylvester
quien la investigó por primera vez en 1880.
Sus términos crecen de manera vertiginosa, la sucesión
tiene propiedades increíbles:
- La suma de sus inversos constituye una serie de
fracciones unitarias que converge a 1 más rápidamente
que ninguna otra serie de fracciones unitarias con la
misma suma.
1814- 1897
Se pueden encontrar representaciones finitas en forma de
fracción egipcia de la unidad, de cualquier longitud, truncando
esta serie y restando uno del último denominador:
...807.1
1
43
1
7
1
3
1
2
11
6
1
3
1
2
11
42
1
7
1
3
1
2
11
806.1
1
43
1
7
1
3
1
2
11
2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, …..
La solución de Arquitas es la más notable de todas,
especialmente cuando se considera su fecha (primera mitad
del siglo IV a.C.), ya que no es una construcción plana sino
una atrevida construcción en tres dimensiones la cual
determina un cierto punto( solución del problema) como la
intersección de tres superficies de revolución: un cono, un
cilindro y un toro.
Problema de la Duplicación del Cubo
Construir con regla y compás el lado de un
cubo que tenga doble volumen que otro cubo
dado.
?
Primer mago……..
Si el volumen del cubo original es a3, el
problema equivale a construir un segmento de
longitud x, tal que x3 =2 a3.
cbxx 3
x
bxy 2
bxcyx 22
Omar Jayyam
Siglo XI-XII
Cuando muera, esparcid mis cenizas por tierra,
que le sirva a la gente mi estado de lección,
empapad esta tierra de mis restos con vino, y
haced con ese barro la tapa de una cántara.
Omar Jayyam
“El dios Sol tenía un rebaño formado por un cierto número de toros blancos,
negros, moteados y amarillos, así como vacas de los mismos colores. De tal
forma que:
• El número de toros blancos es la mitad y la tercera parte de los negros más
los amarillos.
• El número de toros negros es igual a la cuarta más la quinta parte de los
moteados más los amarillos.
• El número de toros moteados e igual a la sexta más la séptima parte de los
blancos más los amarillos.
• El número de vacas blancas es igual a un tercio más un cuarto de la suma de
los toros negros y las vacas negras.
• El número de vacas negras es igual a la cuarta parte más la quinta aparte de
la suma de los toros moteados más las vacas moteadas.
• El número de vacas moteadas es igual a la quinta más la sexta parte de la
suma de los toros amarillos más las vacas amarillas.
• El número de vacas amarillas es igual a la sexta más la séptima parte de la
suma de los toros blancos más las vacas blancas.
• Además, la suma de los toros blancos y negros es un número cuadrado.
• Además, la suma de los toros moteados y amarillos es un número
triangular.
El rebaño de ArquímedesSegundo mago……..
Si W, X, Y, Z (número de toros blancos, negros, moteados y marrones) y
w, x, y, z (número de vacas blancas, negras, moteadas y marrones)
W = 5/6X+Z
X = 9/(20)Y+Z
Y = (13)/(42)W+Z
w = 7/(12)(X+x)
x = 9/(20)(Y+y)
y = (11)/(30)(Z+z)
z = (13)/(42)(W+w).
Estas ecuaciones se relacionan con la ecuación de Pell
u2 – 472.9494v2 = 1
Su resolución mediante fracciones continuas lleva a los valores mínimos:
u = 109931986732829734979866232821433543901088049
v = 50549485234315033074477819735540408986340
Y ello conduce a la solución original del problema, que es aproximadamente:
N = 7,760271·10206.544
En el solsticio de verano los rayos solares inciden perpendicularmente
sobre el Trópico de Cáncer, donde se encuentra Siena (Asuán). En
Alejandría, más al norte esto no sucede.
Cálculo del radio de la tierra- método de Eratóstenes.
Tercer mago……..
Carl Sagan, uno de los grandes divulgadores científicos
en la serie COSMOS
El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los
cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero inscrito en una
circunferencia
Un gran resultado: El teorema de Ptolomeo
Cuarto mago……..
AC . BD = AB . CD + BC . AD
C.C= A.A+B.B
Del teorema de Ptolomeo al Teorema de Pitágoras
Un caso particular del teorema de Ptolomeo es especialmente interesante. Se
obtiene al considerar cuando uno de los lados del cuadrilátero es el diámetro
de la circunferencia.
sen (a-b) = sen a · cos b - cos a · sen b
Esta es la herramienta para modelizar el cosmos….
El desafío de Platón (427-347 a.C.)
• Las estrellas eternas, divinas, inalterables se mueven “se han de mover” alrededor de la tierra en un movimiento “uniforme y ordenado”
• (mov. Circular Uniforme)
PERO…
Existen unas pocas estrellas errantes (planetas) que no
siguen “aparentemente” trayectorias circulares uniformes
Como en realidad, sólo el movimiento uniforme circular
es posible, ¿Cómo se puede obtener estos movimientos
errantes como composición de movimientos circulares
uniformes y así “salvar las apariencias”?
Una solución geocéntrica mejorada
• El centro de gravedad científico se desplaza a de Atenas a
Alejandría.
• Apolonio (ca. 262 a.C. ca. 190 a.C. ) introduce el concepto
de epiciclos y deferentes para explicar los movimientos
retrógrados,
• Hiparco (190 BC – ca. 120 BC) lleva a cabo ajustes de
observación astronómicas basadas en este nuevo
concepto.
• Ptlomeo ( 83 d.C– 161 d.C. ) lleva a cabo la descripción
completa del cosmos conocido dando nombre a estos
modelos.
El modelo planetario de Ptolomeo• Los planetas se mueven en trayectorias circulares
-epiciclos- cuyos centros describen un movimiento circular uniforme -deferente- entorno a la tierra
Para mejorar el nivel predictivo de los movimientos planetarios, se
amplió el modelo de epiciclos para incluir más movimientos, lo que
lo volvió cada vez más complejo.
Claudio Ptolomeo
El éxito del modelo de Ptolomeo• Ptolomeo haciendo uso de su modelo y de observaciones propias y
Babilónicas consiguió un modelo del universo que perduró casi 1400 años.
• Su prolongado éxito se basó en:
– Proporcionar ajuste “preciso” de las observaciones disponibles.
– Predicciones suficientemente buenas de las efemérides.
– Explica la ausencia de paralaje de las estrellas.
– Sigue la doctrina física dominante
– Se basa en el “sentido común”
Los modelos Heliocéntricos
• Propuesto por Aristarco de Samos (310 a.C. -
ca. 230 a.C.)
Quinto mago…
J. KEPLER
Modelo de KEPLER
La costa de Linz estaba abarrotada con barricas de vino que se vendían a
precio razonable … Es por esa razón que fueron traídas a mi casa y
colocadas en fila un cierto número de barricas, y cuatro días más tarde el
vendedor vino y midió todos los barriles, sin distinción, sin poner atención
a la forma, sin pensar o hacer cálculo alguno.
A saber, metía la punta de cobre de una regla por el hoyo de llenado del
barril atravesándolo hasta llegar al talón de cada uno de los discos de
madera a los que nos referiremos simplemente como los fondos, y tan
pronto como la longitud era medida el vendedor daba el número de
ánforas contenidas en el barril después de tan sólo ver el número en la
regla en el punto donde la longitud en cuestión terminaba. ¡Quedé
asombrado!”.
J. Kepler
Kepler y las barricas de vino
Quinto mago…
Conociendo el valor de M calculaba el volumen de la barrica
M
Dibujos de Kepler sobre las barricas
La Nova stereometria doliorum vinariorum (Nueva geometría
sólida de las barricas de vino), publicada en Linz en 1615
En Practica Aritmetice (1539)
N.Cardano describe en latín
el cálculo del volumen de un
tonel.
M
Dd
L
El método tradicional, el que se ha empleado toda la vida por parte de los
toneleros y llagareros para medir el volumen es:
V= 0,625.M³
V = D. d. L. 0,82
Los toneleros Franceses
V = R. r. L. 3,2
Otras fórmulas matemáticas
V= (2 D² + d²). L. 11/42
V= (D+ d)². 2L
V= 3,14. h [ r + 2/3 ( R-r)]²
Oughtred V = 0,262.L. (2D² + d²)
Dez V = 0,785.L [D - 3/8 (D - d)]²
Práctica V = 0,087.L (2D+d)²
M G Ardura V = 0,2 .h. (D+d)²
A. L. Casilla V = 0,209. h.( 2D² + Dd + ¾ d²)
Kepler consideró primero el caso de los barriles cilíndricos.
V= 2. (p). l3. t. ( 4+ t2) -3/2
De esta fórmula se observa, pensó Kepler, que el volumen de un barril
cilíndrico no se determina solamente con λ. Para que se pueda usar el método
de medición de los toneleros Austriacos, los barriles tendrían que fabricarse
con una relación t fija.
t = x/y
¿Cuál será la mejor selección de t? ¿Cómo podría escogerse
ventajosamente la relación entre el segmento AB o altura del cilindro y el
diámetro AD de los fondos?
Kepler supuso que los vinateros Austriacos habían elegido con astucia a t,
tomándola como aquel valor que maximiza el volumen V de todos los
barriles que tengan el mismo valor de λ, obteniendo por métodos
discretos y aproximativos que .
V= p. l3/3.3 0,6053. l3
No todas las barricas son iguales……. investiguemos
Gauss demostró (en 1796), le faltaba un mes para cumplir los 19 años, que
podría construirse con regla y compás el polígono regular de 17 lados
sección VII de Disquisitiones Arithmeticae
heptadecágono
!! Un logro que gana un genio
para la humanidad !!
Sexto mago….
Christian Huygens le propuso a W. Leibniz
S= 1+ 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 +...
Leibniz empezó por dividir la serie por 2, obteniendo:
(1/2) S=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...
(1/2)S=(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) + (1/5-1/6) + ...
Hacia el 1672
Quinto mago… W. LEIBNIZ
quitando los paréntesis, tenemos :
(1/2)S = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6+ ...
(1/2)S = 1, luego S = 2 ¿ No es genial?
1 1/3
1/12
4166,112
17
12
1
3
112
Los magos hindúes (sulbasutras)( hacia el siglo VI a.C.)
1
1/3
1/3
1/3
1/12
2
Primer teorema de Mikami y Kobayashi
Al triangular un polígono convexo inscrito en un círculo, trazando todas
las diagonales desde uno de los vértices, la suma de los radios de los círculos
inscritos en los triángulos es una constante que es independiente del vértice
usado para hacer la triangulación.
Los magos japoneses…
Los Sangaku son unas tablas de madera con enunciados de problemas de geometría
creados en Japón en el período Edo 1603-1867. Estas tablas estaban expuestas en
los templos budistas.
Círculos inscritos encadenados (Tokyo, 1788)
¿Cuál es el radio del enésimo círculo azul, en términos de r, el radio
del círculo grande verde?
El teorema de DescartesEn una carta de Noviembre de 1643 a la princesa Isabel de Bohemia, Descartes
encontró una fórmula para los radios de cuatro círculos mutuamente tangentes.
El teorema de Descartes se expresa de forma sencilla usando el concepto
de curvatura de un círculo.
.
Curvatura de un círculo de radio r:
En el caso de cuatro círculos mutuamente tangentes, si todos los contactos
son externos, entonces convendremos en que todas las curvaturas son
positivas, pero si un círculo encierra a los demás, entonces le asignaremos
curvatura negativa.
Los magos
persas
El último mago…. N. I. Lobachevski
Vivir es sentir, gustar la vida, ensayar
constantemente algo nuevo que recuerde
que vivimos...N.I. Lobachevski.
Un espíritu indomable, que supo ir
en contra del pensamiento establecido
EDUCAREducar es lo mismo
que poner un motor a una
barca...
hay que medir, pesar,
equilibrar...
... y poner todo en marcha.
Pero para eso,
uno tiene que llevar en el alma
un poco de marino...
un poco de pirata...
un poco de poeta...
y un kilo y medio de paciencia
concentrada.
Pero es consolador soñar
mientras uno trabaja,
que ese barco, ese niño
irá muy lejos por el agua.
Soñar que ese navío
llevará nuestra carga de palabras
hacia puertos distantes, hacia islas lejanas.
Soñar que cuando un día
esté durmiendo nuestra propia barca,
en barcos nuevos seguirá
nuestra bandera enarbolada.
Gabriel Celaya
Gracias por su
atención