Ecuaciones cuadráticas

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico - Arecibo

La fórmula cuadrática

Fórmula cuadrática

Dada una ecuación cuadrática en su forma

general:

ax2 + bx + c = 0,

donde a, b,c son valores reales y a≠0,

la fórmula cuadrática establece que sus

soluciones están dadas por:

x b b2 4ac

2a

Raiz Cuadrada

El opuesto de cuadrar es tomar la raiz

cuadrada de un número.

Un número b es una raiz cuadrada de

otro número a, si b2 = a.

93porque39 2

648porque864 2

La raiz cuadrada principal (positiva) se

denota a

La raiz cuadrada negativa se denota

a

Raiz Cuadrada Principal

9 de negativa cuadrada raiz la es39

Raiz Cuadrada Principal

NOTA:

NO es un número real porque no existe ningún número tal que al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que

9

a

existe en los reales si a > 0.

49 7

16

25

4

5

4 2

Ejemplos

1009 109 1

3

12120

3

1120

3

93

Simplificación de radicales

Al simplificar radicales surgen varias situaciones:

Raíces

racionales

Ráices

irracionales

Raíces de

números

compuestos

que tienen

algún factor

con una raiz

perfecta

Propiedad de raíces cuadradas:

Si Ra y Rb entonces,

baba

12 = 1 112 = 121

22 = 4 122 = 144

32 = 9 132 = 169

42 = 16 142 = 196

52 = 25 152 = 225

62 = 36 162 = 256

72 = 49 172 = 289

82 = 64 182 = 324

92 = 81 192 = 361

102 = 100 202 = 400

Cuadrados perfectos Cubos perfectos

Simplificación de radicales

Si un número compuesto NO es un cuadrado

perfecto pero tiene un factor que es cuadrado

perfecto, entonces su raiz cuadrada se puede

simplificar usando la propiedad anterior.

Ejemplo: Simplificar 27

Solución:

Como 27 = 9 ∙ 3 podemos decir que

27 = 9 ∙ 3 y por la propiedad anterior

= 9 3 = 3 3

Simplificación de radicales Ejemplo: Simplificar 90

Solución:

Como 90 = 9 ∙ 10 podemos decir que

90 = 9 ∙ 10 y por la propiedad anterior

= 9 ∙ 10

Ejemplo: Simplificar 200

Solución:

Como 200 = 100 ∙ 2 podemos decir que

200 = 100 ∙ 2 y por la propiedad anterior

= 100 2

= 9 10 = 3 10

= 10 2

Resolver: 6x2 + x = 2

Primeramente debemos escribir la ecuación en

forma general:

6x2 + x - 2 = 0

Debemos identificar los coeficientes a, b y c:

a = 6

b = 1

c = - 2

Aplicar la fórmula cuadrática

aplicamos a la fórmula cuadrática.

Con a = 6, b = 1, y c = -2

)(

))((x

62

26411 2

12

4811 x

12

491x

x b b2 4ac

2a

Ejemplo-continuación

El conjunto solución de

la ecuación es: 12

491x

2

1

3

2,

12

71x

12

71x

12

6x

2

1x

12

71x

12

8x

3

2x

ó Las soluciones son

racionales.

Esto implica que la

ecuación original se pudo

haber resuelto usando la

factorización por binomios.

Resolver: x2 - 5x = 8

Primeramente debemos escribir la ecuación en

forma general:

x2 - 5x - 8 = 0

Notemos que no existen factores de -8 que

sumen -5, por lo tanto, NO factoriza como el

producto de 2 binomio lineales.

Identificar los coeficientes a, b y c:

a = 1

b = -5

c = -8

Aplicar la fórmula cuadrática

aplicamos a la fórmula cuadrática.

El conjunto solución de

la ecuación es:

Con a = 1, b = - 5, y c = - 8

)(

))(()()(x

12

81455 2

2

32255 x

2

575x

2

575

2

575,

x b b2 4ac

2a

Resolver: x2 – 3x + 6 = 0

Notemos que no existen factores de -6 que

sumen -3, por lo tanto, NO factoriza como el

producto de 2 binomio lineales.

Para resolver usaremos la fórmula cuadrática.

Identificar los coeficientes a, b y c:

a = 1

b = -3

c = 6

Aplicar la fórmula cuadrática

aplicamos a la fórmula cuadrática.

OJO!! El radicando es

negativo y la raiz

cuadrada de un

número negativo NO

está definida para los

números reales.

Por lo tanto, la

ecuación NO tiene

soluciones reales.

Con a = 1, b = - 3, y c = 6

)(

))(()()(x

12

61433 2

2

2499 x

2

159 x

x b b2 4ac

2a

Cuidado

Es común equivocarse con el signo de

“-b”.

Puede ser de ayuda si interpretamos “-

b” como el opuesto de b. De esta

forma:

• si b es positivo, -b será negativo

• si b es negativo, -b será positivo.

El discriminante

Podemos utilizar el discriminante para

determinar cuántas soluciones reales tiene una

ecuación cuadrática.

x b b2 4ac

2a

• Si b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales.

• Si b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene 1 solución real.

• Si b2 - 4ac < 0, la ecuación NO tiene soluciones reales.

¿Cuántas soluciones reales?

Ejemplos: Determine cuántas soluciones reales

tienen las siguientes ecuaciones cuadráticas:

(a) 2x2 - 5x + 3 = 0

Identificar los coeficientes a, b y c:

(-5)2 - 4(2)(3)

= 25-24

= 1>0 ==> tiene 2 soluciones reales

b2 - 4ac =

a=2, b= -5, c= 3,

¿Cuántas soluciones reales?

(b) 3x2 + 4x + 5 = 0

42 - 4(3)(5)

= -44<0 --> tiene 0 soluciones reales

(c) -9 + 6x - x2 = 0

62 - 4(-1)(-9)

= 36-36

= 0 --> tiene 1 solución real

a=3, b= 4, c= 5,

a= -1, b= 6, c= -9,

b2 - 4ac =

b2 - 4ac =

=16 - 60

Ejercicios

Resuelva:

1) x2 - 5x + 4 = 0

2) 2y2 + 7y = 3

3) 3w2 + 4w - 3 = 0

4) 4y + 5y2 = 4

5) (x+2)2 = 10

6) 3(y-4)2 + 4 = 6

Soluciones

1) {4, 1}

2)

3)

7 73

4,7 73

4

2 13

3,2 13

3

2 2 6

5,22 6

5

{ 10 2, 10 2}

2

3 4,

2

3 4

4)

5)

6)