1º bach matemÁticas i (11-12) 4 resolución de ecuaciones polinómicas (1º grado) 3 8 5 5 1 6 4 3...

28/12/2015

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1º BACH MATEMÁTICAS I

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Trigonometría Vectores Nº complejos Geometría Funciones. Límites. Continuidad. Derivadas

Repaso en casa

• Potencias • Radicales. Racionalización. (pag. 18-19) • Polinomios. Operaciones. Identidades notables. Ruffini. Raíces y

factorización de un polinomio (pag.36-37-38-39) • Fracciones algebraicas (pag. 42-43)

Ejercicios para repasar.

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

• Definiciones • Resolución de ecuaciones polinómicas:

• 1º grado • 2º grado • bicuadradas • grado > 2º

• Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas • Ecuaciones exponenciales • Sistemas lineales

• De 2 ecuaciones con 2 incógnitas • De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss)

• Sistemas no lineales • Inecuaciones • Sistemas de inecuaciones • Resolución de problemas

Definiciones

• Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionadas entre sí por las operaciones aritméticas.

• Un monomio es una expresión algebraica en la que solo aparecen multiplicaciones y potencias de exponente natural.

• Un polinomio es la suma de varios monomios no semejantes.

• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

• Solución de una ecuación es cualquier conjunto de valores de las incógnitas que al sustituirlo en la ecuación hace cierta la igualdad.

• Una ecuación polinómica es aquella en que las expresiones algebraicas que contiene son polinomios.

• Resolver una ecuación es dar todas sus soluciones

Expresión algebraica Monomio Polinomio grado

32ab

y

x3

223 xyxy 24xy

yxxy 223

xxx 6315 23

Sí No 4

No No ___

Sí No 3

No Sí

No Sí 3

3

32ab3ba Ecuación

132 2 xxxxx 6315 23 Ecuación polinómica

xx 2512

01

1

2

1 2

xx

x x

2log3log)2log( xx

5052 1 xEcuación exponencial

Ecuación Radical

Ecuación racional

Ecuación logarítmica

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Resolución de ecuaciones polinómicas (1º grado)

83

5

5

16

4

3

xxx

60

480

60

10020

60

1212

60

360

60

4515

xxx

4801002012123604515 xxx

1236045480100201215 xxx

18717 x

1117

187

x

Resolución de ecuaciones polinómicas(2º grado)

acb 42

a

acbbx

2

42

acb 42 > 0

<0

=0

2 soluciones reales

1 solución real

No existe solución real

Resolución de la ecuación completa

02 cax

02 bxax

Resolución de la ecuación incompleta • despejamos la x al cuadrado • Tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros( cuidado (+ -). • Extraemos factor común • Igualamos a cero cada factor.

acb 42

02 cbxax Resolución de ecuaciones polinómicas (Bicuadradas)

024 cbxax

Cambio de variable : tx 2 02 cbtat

Ecuación de 2º grado

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5

Resolución de ecuaciones polinómicas grado> 2

6x

1x

_______________________________________________

2x

2/1x

2x

3x

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas • Definiciones • Resolución de ecuaciones polinómicas:





Ecuaciones racionales Ecuaciones radicales

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Aislamos una raíz

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación

Operamos

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación

Aislamos la otra raíz

Operamos



• Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas (repaso logaritmos) • Ecuaciones exponenciales • Sistemas lineales



Logaritmo de un número real

• Si b es un número positivo y distinto de 1, el logaritmo en base b de un número N es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener N

xNb log Nb x

log28 3

23 8

Ejemplo

Repaso

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• Si la base es 10, el logaritmo se llama decimal y se escribe omitiendo la base;

• Si la base es el número e, el logaritmo se llama neperiano y se escribe;

log10N logN

NN lnlog

Propiedades de los logaritmo de un número real

1log bb

01log b

logb(M N) logb M logb N

logbM

N

logb M logb N

logb (Mr) r logb M

logb (A) loga A

loga bCambio de base

01log

110log

2100log

31000log

.

.

.

110log10

1log 1

.

.

.

210log100

1log 2

310log1000

1log 3

Propiedades de los logaritmos decimales Ecuaciones logarítmicas

Tenemos que aplicar las propiedades de los logaritmos

Tenemos que llegar hasta que haya un solo logaritmo en cada miembro de la ecuación

Ahora podemos aplicar la propiedad anterior

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Ecuaciones exponenciales

22 ∙ 2𝑥 = 22 2𝑥2+1

22+𝑥 = 24𝑥2+2

2 + 𝑥 = 4𝑥2+2

𝑙𝑜𝑔32𝑥−3 = 𝑙𝑜𝑔2

(2𝑥 − 3)𝑙𝑜𝑔3 = 𝑙𝑜𝑔2

(2𝑥 − 3) =𝑙𝑜𝑔2

𝑙𝑜𝑔3

2𝑥 − 3 = 𝑙𝑜𝑔32

2𝑥 = 3 + 𝑙𝑜𝑔32

𝑥 =3 + 𝑙𝑜𝑔32

2

3𝑥 + 2 ∙3𝑥

32 =11

𝑡 + 2 ∙𝑡

32 =11

𝑡 +2𝑡

9=11

9𝑡 + 2t = 99

11t = 99

t = 9

3𝑥 = 𝑡

𝑡 = 3𝑥 3𝑥 = 9 = 32

𝑥 = 2

Cambio de variable

c.v

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9

22𝑥 ∙ 24 − 5 ∙ 2𝑥 ∙ 23 = −9

2𝑥 2 ∙ 24 − 5 ∙ 2𝑥 ∙ 23 = −9 𝑡2 ∙ 24 − 5 ∙ 𝑡 ∙ 23 = −9

𝑡2 ∙ 16 − 5 ∙ 𝑡 ∙ 8 = −9

16𝑡2 − 40𝑡 = −9

16𝑡2 − 40𝑡 + 9 = 0

2𝑥 = 𝑡 Cambio de variable

𝑡 =9

4

𝑡 =1

4

𝑡 = 2𝑥

𝑡 =9

4

2𝑥 =9

4

𝑡 =1

4

𝑡 = 2𝑥 2𝑥 =

1

4

Prueba( ecuaciones)

Nombre:____________________nº Lista:________Fecha:_________






Sistemas lineales De 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Repasar en casa

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Sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas . Método de Gauss

Ejemplo

PROBLEMAS DE SISTEMAS

• LIBRO

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Sistemas no lineales

casa

casa

3𝑥

3− 7𝑦 ∙ 72 = −340

3𝑥 + 7𝑦 = 16

3𝑥

3− 49 ∙ 7𝑦 = −340

3𝑥 = 𝑡

7𝑦 = 𝑤

t+w = 16

𝑡

3− 49w = −340

𝑡 = 9 𝑤 = 7

𝑡 = 9 𝑤 = 7

3𝑥 = 𝑡 7𝑦 = 𝑤 3𝑥 = 9 7𝑦 = 7

x= 2 y= 1

casa

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Inecuaciones

Repaso Desigualdades e inecuaciones Desigualdades

ba

ba

ba

ba

a es menor que b a es mayor que b

a es menor o igual que b a es mayor o igual que b

Inecuaciones

Las relaciones algebraicas con desigualdades se llaman inecuaciones

Inecuaciones

13 x xx 315 2

Ecuaciones

13 x xx 315 2

13 x

13 x

13 x

xx 315 2

xx 315 2

xx 315 2

Inecuaciones polinómicas de 1º grado

28 2228

2228

2228

• Sumar 2

2228 • Restar 2

• Multiplicar por 2

• Multiplicar por (-2)

2228

2228 ::

2228 ::

• Dividir por 2

• Dividir por (-2)

2228 ::

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• Multiplicar por nº negativo

• Dividir por nº negativo

Cambia la desigualdad en una inecuación

Para resolver una inecuación polinómica de 1º grado, se resuelve igual que las ecuaciones de 1º grado, excepto si tenemos que: xx

x2634

3

1215

xxx 663121215

xxx 672361215

127263615 xxx

6015 x

15

60

x

4x

xxx

26343

1215

xxx 663121215

xxx 672361215

127263615 xxx

6015 x

15

60

x

4x

Inecuaciones 1º grado

Ecuaciones 1º grado

Divides por un nº negativo

[,] 4

Inecuaciones polinómicas de grado superior

234 812 xxxx

0128 234 xxxx

0232 xxx

3º Estudio del signo de los factores

223 xxx+ + + -

0,3

Menor que cero

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3𝑥2 − 2𝑥 − 2𝑥2 − 15 ≥ 0

𝑥2 − 2𝑥 − 15 ≥ 0

Descomposición de

𝑝 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 15

𝑝 𝑥 = (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 5) (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 5)≥ 0

(𝑥 + 3)

(𝑥 − 5)

(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 5)

,53,

MAYOR O IGUAL QUE CERO

INECUACIONES POLINÓMICASDE 1º GRADO

INECUACIONES POLINÓMICAS GRADO SUPERIOR

Inecuaciones racionales

03

2

x

x

3 , 2

xx

xx

2723

312

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita

5

2723

2723

x

xx

xx

4

132

312

x

xx

xx

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Sistemas de inecuaciones de primer grado con DOS incógnita

xy

4x2y4x2y:r1

xy:r2

(0,4)

(2, 0)

A(x,y)

(1,1)

(0,0)

Para calcular el punto A

Calculamos el sistema de ecuaciones

3

4,

3

4A

3

4y

3

4x

xy

4x2y

A(x,y)

(0,4) 0y3x4:r2

0y3x4

30y5x6 30y5x6:r1

R 1

R 2

A(x,y)

Calculamos el punto A

19

60,

19

45A

0y3x4

30y5x6

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0yx:r1

0y

10yx2

02y

0yx

10yx2:r2

2y

0y

y≤ 2

y≤0

R 1

R2

R 1

A(2,2) B(4,2)

O(0,0) C(5,0)

0yx:r1

0y

0x

3yx

2y 2y

0y

y≤ 2

0x

0x

0y

R 1

O(0,0)

A(0,2) B(1,2)

C(3,0)

6yx:r1

0x

xy2

6yx

)a

0x

xy2:r2

Ejercicio 35

R 2

R 1

A(4,2)

0y

3y0

2x1)b

Ejercicio 35 1x

2x

x≥-1 x≤2

y≤3

y≥0

3y

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5y

y3

06x

04x

)c

Ejercicio 35 4x

6x

3y

5y

12y4x3:r1

04x

4y4x3

12y4x3

)d

4x

4y4x3:r2

Ejercicio 35

R 2

A(4/3 , 2)

B(4,4)

C(4,0)

R 1

5y

y3

06x

04x

)c

Ejercicio 35 4x

6x

3y

5y

0y

3y0

2x1)b

Ejercicio 35 1x

2x

x≥-1 x≤2

y≤3

y≥0

3y

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12y4x3:r1

04x

4y4x3

12y4x3

)d

4x

4y4x3:r2

Ejercicio 35

R 2

A(4/3 , 2)

B(4,4)

C(4,0)

R 1

Región factible

Función objetivo ( máximo)

Región factible

0y

0x

120y2x3

80y2x


A(20,30) C(0,40)

O(0,0)

B(40,0)


A(20,30) C(0,40)

O(0,0) B(40,0)

0y

0x

120y2x3

80y2x Región factible

00*1500*200)0,0(B

000.640*1500*200)40,0(B

000.80*15040*200)0,40(B

500.830*15020*200)30,20(BA(20,30)

C(0,40)

B(40,0)

O(0,0)

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