INDICE UNIDAD 21PROGRAMACIN LINEAL1OBJETIVO12.1 FORMULACION Y APLICACIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL12.2 MTODO GRFICO.52.3 METODO SIMPLEX82.3.1 METODO ALGEBRAICO8UNIDAD 323TRANSPORTE Y ASIGNACIN233.1 MTODO ESQUINA NOROESTE233.2 MTODO DE COSTO MNIMO253.3 MTODO DE APROXIMACIN DE VOGEL253.4 MTODO DE ASIGNACIN26UNIDAD 4 LNEAS DE ESPERA30INTRODUCCIN304.1 ESTRUCTURA BSICA DE LOS MODELOS DE LNEA DE ESPERA304.1.1 UN SERVIDOR, UNA COLA324.1.2 N SERVIDORES, UNA COLA344.1.3 N SERVIDORES, N COLAS354.2 CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCIN DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIN DEL MODELO APROPIADO DE LNEAS DE ESPERA354.3 APLICACIN DE MODELOS DE DECISIN EN LNEAS DE ESPERA374.4 INFERENCIA DE RESULTADOS38

UNIDAD 2PROGRAMACIN LINEALOBJETIVOInterpretar problemas en sistemas complejos y resolverlos empleando modelos con ecuaciones lineales que permitan encontrar la solucin ptima, con la finalidad de hacer ms eficiente el recurso disponible en una organizacin.2.1 FORMULACION Y APLICACIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEALUna vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su anlisis. La forma convencional en que la investigacin de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemtico que represente la esencia del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este tipo, se explorar la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos matemticos. El modelo matemtico est constituido por relaciones matemticas (ecuaciones y desigualdades) establecidas en trminos de variables, que representa la esencia el problema que se pretende solucionar. Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en funcin de las cuales ser establecido. Luego, se procede a determinar matemticamente cada una de las dos partes que constituyen un modelo: a) la medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una funcin (ecuacin) llamada funcin objetivo; b) las limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstculos para la consecucin del objetivo. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximacin abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen ms manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solucin. Los modelos matemticos tienen muchas ventajas sobre una descripcin verbal del problema. Una ventaja obvia es que el modelo matemtico describe un problema en forma mucho ms concisa. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea ms comprensible y ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y efecto. De esta manera, indica con ms claridad que datos adicionales son importantes para el anlisis. Tambin facilita simultneamente el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interpelaciones. Por ltimo, un modelo matemtico forma un puente para poder emplear tcnicas matemticas y computadoras de alto poder, para analizar el problema. Sin duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes de software para muchos tipos de modelos matemticos, para micro y minicomputadoras. Por otro lado, existen obstculos que deben evitarse al usar modelos matemticos. Un modelo es, necesariamente, una idealizacin abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificacin si se quiere que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representacin vlida del problema. El criterio apropiado para juzgar la validez de un modelo es el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de accin, para poder tomar una decisin que tenga sentido. En consecuencia, no es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de efectividad sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos (es decir, las diferencias entre sus valores) sean bastante preciso. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlacin entre la prediccin del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un nmero considerable de pruebas del modelo y las modificaciones consecuentes. Aunque esta fase de pruebas se haya colocado despus en el orden del libro, gran parte del trabajo de validacin del modelo se lleva a cabo durante la etapa de construccin para que sirva de gua en la obtencin del modelo matemtico. OBTENCIN DE UNA SOLUCIN A PARTIR DEL MODELO Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propsito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La seleccin del mtodo de solucin depende de las caractersticas del modelo. Los procedimientos de solucin pueden ser clasificados en tres tipos: a) analticos, que utilizan procesos de deduccin matemtica; b) numricos, que son de carcter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulacin, que utiliza mtodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo. Muchos de los procedimientos de solucin tienen la caracterstica de ser iterativos, es decir buscan la solucin en base a la repeticin de la misma regla analtica hasta llegar a ella, si la hay, o cuando menos a una aproximacin. PRUEBA DEL MODELO El desarrollo de un modelo matemtico grande es anlogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versin, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente, despus de una larga serie de programas mejorados, el programador (o equipo de programacin) concluye que el actual da, en general, resultados razonablemente vlidos. Aunque sin duda quedarn algunas fallas ocultas en el programa (y quiz nunca se detecten, se habrn eliminado suficientes problemas importantes como para que sea confiable utilizarlo. De manera similar, es inevitable que la primera versin de un modelo matemtico grande tenga muchas fallas. Sin duda, algunos factores o interpelaciones relevantes no se incorporaron al modelo y algunos parmetros no se estimaron correctamente. Esto no se puede eludir dada la dificultad de la comunicacin y la compresin de todos los aspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, as como la dificultad de recolectar datos confiables. Por lo tanto, antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Con el tiempo, despus de una larga serie de modelos mejorados, el equipo de IO concluye que el modelo actual produce resultados razonablemente vlidos. Aunque sin duda quedarn algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quiz nunca se detecten), las fallas importantes se habrn eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validacin del modelo. Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas del modelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los rboles". Entonces, despus de completar los detalles ("los rboles") de la versin inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma global ("el bosque") para verificar los errores u omisiones obvias. El grupo que hace esta revisin debe, de preferencia, incluir por lo menos a una persona que no haya participado en la formulacin. Al examinar de nuevo la formulacin del problema y comprarla con el modelo pueden descubrirse este tipo de errores. Tambin es til asegurarse de que todas las expresiones matemticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Adems, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parmetros de entrada y/o de las variables de decisin, y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible. Con frecuencia, esto es especialmente revelador cuando se asignan a los parmetros o a las variables valores extremos cercanos a su mximo o a su mnimo. Un enfoque ms sistemtico para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos histricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solucin resultante hubieran tenido un buen desempeo, de haberse usado. La comparacin de la efectividad de este desempeo hipottico con lo que en realidad ocurri, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la prctica actual. Puede tambin indicar reas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es ms, el emplear las alternativas de solucin y estimar sus desempeos histricos hipotticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de accin. Cuando se determina que el modelo y la solucin no son vlidos, es necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodologa de la investigacin de operaciones. ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCION Una solucin establecida como vlida para un problema, permanece como tal siempre y cuando las condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los parmetros, las relaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situacin Se vuelve ms factible cuando algunos de los parmetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar informacin adicional sobre el comportamiento de la solucin debido a cambios en los parmetros del modelo. Usualmente esto se conoce como anlisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variacin de los parmetros dentro de los cuales no cambia la solucin del problema. IMPLANTACION DE LA SOLUCION El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado ste obstculo, se debe traducir la solucin encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los individuos que intervienen en la operacin y administracin del sistema. La etapa de implantacin de una solucin se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la participacin de todos los involucrados en el problema en cada fase de la metodologa. Preparacin para la aplicacin del modelo esta etapa es crtica, ya que es aqu, y slo aqu, donde se cosecharn los beneficios del estudio. Por lo tanto, es importante que el equipo de IO participe, tanto para asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo, como para corregir cualquier defecto en la solucin que salga a la luz en este momento. El xito de la puesta en prctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la alta administracin como la gerencia operativa. Es ms probable que el equipo de IO obtenga este apoyo si ha mantenido a la administracin bien informada y ha fomentado la gua de la gerencia durante el estudio. La buena comunicacin ayuda a asegurar que el estudio logre lo que la administracin quiere y por lo tanto merezca llevarse a la prctica. Tambin proporciona a la administracin el sentimiento de que el estudio es suyo y esto facilita el apoyo para la implantacin. La etapa de implantacin incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigacin de operaciones de una cuidadosa explicacin a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relacin con la realidad operativa. En seguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operacin. La gerencia operativa se encarga despus de dar una capacitacin detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de accin. Si tiene xito, el nuevo sistema se podr emplear durante algunos aos. Con esto en mente, el equipo de IO supervisa la experiencia inicial con la accin tomada para identificar cualquier modificacin que tenga que hacerse en el futuro. A la culminacin del estudio, es apropiado que el equipo de investigacin de operaciones documento su metodologa con suficiente claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible. Poder obtener una rplica debe ser parte del cdigo de tica profesional del investigador de operaciones. Esta condicin es crucial especialmente cuando se estudian polticas gubernamentales en controversia. 2.2 Mtodo grfico.El mtodo grfico se utiliza para la solucin de problemas de PL, representando geomtricamente a las restricciones, condiciones tcnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma grfica si slo tiene dos variables. Para modelos con tres o ms variables, el mtodo grfico es imprctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el mtodo es llamado mtodo grfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnolgicas se denomina mtodo grfico en recursos. Los pasos necesarios para realizar el mtodo son nueve: 2. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultnea. 3. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confan todos los valores posibles. 4. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer trmino = 0 2 -1 0 0

00x3x426-1 1 1 0 2 1 0 1

0 0 0 0 0

2 -1 0 0

Se toman como variables bsicas x3 y x4 porque llevan asociadas como matriz de base la identidad. El elemento sealado en color rojo en la tabla es el que actuar como pivot, ha sido determinado teniendo en cuenta que en la ltima fila de la tabla solo hay un elemento negativo; tras esto se debe calcular min {2/1,6/1}, dicho mnimo se obtiene a partir del pvot.La posicin del pvot dentro de la tabla indica: La variable x3 dejar de ser bsica. La variable que la sustituye es x2 Para construir la siguiente tabla, han de realizarse operaciones elementales sobre las filas del bloque central hasta conseguir que el pivote sea 1 y los restantes elementos de su columna sean 0. En este caso el pivote ya tiene el valor 1, para anular el otro elemento de la columna basta restar a la segunda fila la primera. Tras estas manipulaciones, se sustituye la variable x3 por x2 y el valor 0 de la primera columna de la tabla por c2=-1. A continuacin se realizan las operaciones que definen los elementos de las dos ltimas filas de la tabla para completar la segunda tabla del algoritmo.Segunda Tabla

2 -1 0 0

-1 0x2x424-1 1 1 0 3 0 -1 1

-2 1 -1 -1 0

1 0 1 0

Como puede observarse, la ltima fila de la tabla est formada por elementos mayores o iguales que cero todos ellos, lo que significa que se ha alcanzado un ptimo. En concreto, el ptimo se alcanza sobre el puntoX1=0 x2=2 x3=0 x4=4El valor ptimo es adems -2 (ltimos elementos de la tercera columna de la tabla). 2.4 Mtodo dual2.5 Mtodo dual-simplex

Elmtodo dual-simplexse aplica para resolver problemas que empiezan confactibilidad dual, es decir,ptimos pero infactibles.Un problema se puede resolver por elmtodo dual-simplex, cuando, despus de igualar acero lafuncin objetivoy convertir lasrestriccionesen ecuaciones, agregando lasvariables de holguranecesarias, al menos uno, cualquiera de los elementos delvector b(vector de disponibilidades) es negativo y la condicin de optimalidad se satisface.Un comparativo entre elmtodo simplexy elmtodo dual-simplex.Elmtodo dual-simplexrequiere de la aplicacin de dos criterios para su solucin: El criterio de optimalidad que asegura que la solucin permanecer ptima todo el tiempo y el criterio de factibilidad que forza lassoluciones bsicashacia el espacio factible.Criterio de Factibilidad. Lavariable salienteser aquellavariable bsicaque tenga el valor ms negativo en el vectorbi. Si todaslasvariables bsicassonpositivaso sea0se tiene la solucin final, ptima y factible.Criterio de optimalidad. Lavariable entrantese selecciona de entre lasvariables no-bsicascomo sigue:Dividir los coeficientes de la ecuacin cero entre los coeficientes de la ecuacin asociada con lavariable saliente, ignorando denominadorespositivosy/oceros. Lavariable entranteser aquella cuyo cociente sea elmenor, si el problema es deminimizar, el de menor valor absoluto si es demaximizar. Si todos los denominadores son0, elproblemano tendrsolucin factible.La aplicacin delmtodo dual-simplexes especialmente til para el tema deanlisis de sensibilidad. El procedimiento delmtodo dual-simplexse explicara ms objetivamente con los siguientesejemplos:Ejemplo 1Considere el siguientemodelo de PLy determine susolucinporel mtodo dual-simplex.Minimizar.Z= 2X1+ X2S.A.3X1+X234X!+3X26X!+2X2#3

X10 , X20X30

Igualando acerolafuncin objetivoy agregando lasvariables de holgurapara obtener ecuaciones derestriccin.Minimizar.Z-2X1- X2= 0S.A.-3X1-X2+X3=-3-4X!-3X2+X4=-6X!+2X2X5= 3X10 , X20X30Obteniendo la forma tabular para aplicar el procedimiento deldual-simplex.Conclusin.Lasolucin ptimaes:X1= 3/5X2= 6/5ConZoptima= 12/52.6 Anlisis de resultadosLos resultados se analizaron en trminos de la media de los errores agrupados por tipo de instancias y en forma global, para cada valor utilizado de y. El error se calcula como: (4)

Donde es el ptimo de la instancia para los problemas de la mochila con mltiples restricciones (); y es la cota de Dantzig (mirar por ej. [24]) para la versin clsica (). En la Tabla 1 se muestra la media del error para cada valor de y cada, discriminado para las instancias y.

Tabla 1: Medias del Error en funcin de y para instancias con una restriccin () y con mltiples restricciones ().

BaseDecremento Incremento

Instancia1234234

MR9.012.191.951.923.983.853.90

ST6.864.583.873.584.734.284.11

Total7.943.392.912.754.364.064.01

Se puede observar que tanto en forma global, como para cada tipo de instancia en particular, las versiones del algoritmo que usan obtienen mejores resultados que los obtenidos con. Esto ocurre para los dos esquemas de adaptacin de propuestos. Tambin se verifica que para ambos 's, un incremento en el valor de permite reducir el error global (indicado en la columna). Para el caso de decremento, resulta beneficioso comenzar las mejoras con un operador que cambie 4 bits. Cuando con 4 ya no se obtengan mejoras, se reduce a 3, luego a 2 y finalmente se realiza un ``ajuste fino'' con. La adaptacin de en sentido contrario tambin resulta beneficiosa, aunque para las instancias solo aparecen mejoras respecto a y no entre los valores obtenidos cuando se utiliza. Es interesante analizar cuanto contribuye cada operador a la obtencin del resultado final. En la Figura 4 se muestran la cantidad de transiciones a soluciones aceptables (en promedio) que permiti obtener cada operador para cada valor de. Los valores obtenidos se escalaron en el rango para mejorar la interpretabilidad. Naturalmente cuando, todas las mejoras se obtuvieron con. Es a partir de donde el anlisis se vuelve interesante. En los resultados correspondientes al que decremento, se observa que cuando, prcticamente un de la mejora se obtuvo con -BitFlip y el restante porcentaje con. Cuando, el del progreso se debe al uso de -BitFlip. Del restante, casi toda la mejora se realiza con -BitFlip. Finalmente cuando, el operador -BitFlip es el responsable del de los pasos de mejora. La utilizacin de y -BitFlip completa prcticamente la optimizacin aunque aparecen aproximadamente un de mejoras correspondientes a -BitFlip. Para el caso de incrementos en, se observa que para un valor de, hasta un de mejora se puede conseguir con -BitFlip una vez que la bsqueda se estanc con -BitFlip. Para y, los grficos muestran que hasta un de la mejora corresponde a -BitFlip, pero luego los operadores subsiguientes pueden mejorar los ptimos locales encontrados.

(a)

(b)

Figura 4: Contribucin promedio de cada operador BitFlip para cada valor de. En (a) resultados con administrador de operacin decremento y en (b) con incremento.

Tambin se analiz la media de la cantidad de evaluaciones realizadas para encontrar el mejor valor, discriminada en funcin de y por tipo de instancia (resultados no mostrados). Cuando se utiliza un esquema de decremento, para las instancias con mltiples restricciones se observa una reduccin de los valores a medida que aumenta. Para las instancias del problema clsico, esta tendencia no se verifica. En este caso, el valor ms alto de evaluaciones se alcanza con. Luego aparecen los asociados a mientras que el menor valor corresponde a. Para el esquema de adaptacin con incrementos de, los resultados para indican que un aumento de permite, no slo obtener mejores resultados, sino tambin de forma ms rpida. Para las instancias, el valor de (media de la cantidad de evaluaciones realizadas para obtener la mejor solucin) para es el menor de todos, seguido por y. Naturalmente, esta medida del ``esfuerzo'' no se puede analizar en forma aislada sino teniendo en mente los resultados obtenidos en trminos del error. Por lo tanto, creemos que las diferencias en la media del error pueden compensar un posible aumento en las evaluaciones necesarias.

Unidad 3Transporte y asignacin3.1 mtodo esquina noroesteTambin llamado noroccidental o de extremos, presenta la construccin de una matriz de flujos de la siguiente manera. Paso1En la posicin (1, 1) que es el extremo Noroeste, se decide a

Por lo tanto alguno de los valores se hace cero. Paso 2.Si es CERO, se pasa a la posicin que le sigue ( "abajo" en la columna) que es la (2, 1), para hacer Se cancela el resto de la fila con ceros; adems no se considerarn estas posiciones en un futuro, exceptuando la posicin Por otro lado, si , en el paso anterior, se pasa a la posicin contigua (que en este caso sera (1, 2), tal que Se cancela lo restante de la columna con ceros, y se descarta de consideracin futura alguna, con excepcin de la posicin Paso3.Continuar con la misma lgica hasta llegar a la posicin (m, n) de la matriz de flujos.En esta forma se obtendr una solucin inicial factible, bsica; pero bastante distante del ptimo para el problema del transporte.Dnde:

Se empieza en la celda (A, D) y se asigna lo mximo que se pueda por fila (columna) y se sigue sucesivamente de la misma manera hasta llegar a la celda (C, G) y obtener as una solucin factible inicial.

DEFGOi

A101020

B52530

C153045

Dj10154030

PLANTEAMIENTO DEL MODELO PRIMAL

MIN W = 5 X11+ 10 X12+ 5 X13+ 0 X14+ 5 X21+ 9 X22+ 5 X23+ 10 X24+ 10 X31+ 10 X32+ 15 X33+ 5 X34

sujeto a las siguientes restricciones:

3.2 Mtodo de costo mnimoEl mtodo del coste mnimo asigna el mayor nmero posible de unidades a la posicin de menor coste eliminando la fila y/o columna que quede satisfecha, y repite el proceso hasta eliminar todas las filas y columnas. Ejercicio de Aplicacin Mtodos Primera Fase3.3 mtodo de aproximacin de vogelEl algoritmo del Mtodo Vogel para obtener una solucin bsica factible de un problema de Transporte es el que se muestra a continuacin: Paso 1.Construccin de una matriz de costos y flujos en relacin a un problema balanceado.Ir al paso 3. Paso2.Usar el remanente de costos y flujos de la matriz, hasta que los flujos estn asignados. Paso3.Calcular las diferencias de las filas y de las columnas de la matriz de costos. Esta diferencia resulta entre los nmeros ms pequeos (tanto de filas como de columnas). Paso4.Seleccionar a la fila o a la columna que tenga la mayor diferencia. En caso de empate, se decide arbitrariamente. Paso 5.Localizar el costo ms pequeo en la matriz de costos en la fila o la columna seleccionada en el paso anterior. Esta ser la posicin Paso 6.En la matriz de flujos, decidir , con (i, j) identificado en el paso anterior.Se considerar determinar la oferta con , y la demanda ser . Paso7.Si , llnese la fila i con ceros, exceptuando la posicin , eliminando la fila de cualquier consideracin futura.De resultar , se llenar la columna j con ceros, con excepcin de la posicin , las posiciones restantes se descartadas de tomarse en cuenta. 3.4 Mtodo de asignacinDiscutiremos un modelo de asignacin que intente minimizar el coste total de procesamiento y almacenamiento a la vez que intenta reunir ciertas restricciones en el tiempo de respuesta. El modelo que emplearemos tiene la forma mn. (Coste Total), la cual est sujeta a restricciones del tiempo de respuesta, restricciones de almacenamiento y restricciones de procesamiento.En el resto de este punto desarrollaremos los componentes de este modelo basndonos en la informacin necesaria presentada anteriormente. La variable de decisin es xij, la cual se define comoxij = 1 si el fragmento Fi se almacena en el sitio Sj xij = 0 en otro caso

Coste total. La funcin de coste total tiene dos componentes: el procesamiento de la consulta y el almacenamiento. Entonces podramos expresarla como

Donde CPQi es el coste de procesar una consulta de la aplicacin qi, y CAFjk es el coste de almacenar el fragmento Fj en el sitio Sk. Consideremos primero el coste de almacenamiento. Su frmula viene dada por

Donde se representa el coste total de almacenamiento en todos los sitios y para todos los fragmentos.El coste de procesamiento de consultas es ms difcil de especificar. Muchos modelos de asignacin de archivos se dividen en dos componentes: el coste de procesar las lecturas y el coste de procesar las actualizaciones. Nosotros escogeremos un enfoque diferente para el problema de asignacin en las bases de datos y lo especificaremos a partir del coste de procesamiento (CP) y el coste de transmisin (CT). El coste de procesamiento de una consulta (CPQ) para una aplicacin qi es

De acuerdo con las lneas presentadas anteriormente, el componente de procesamiento CP se basa en tres factores: el coste de acceso (CA), el coste de mantenimiento de la integridad (MI) y el coste de control de la concurrencia (CC):

La especificacin detallada de cada uno de estos factores depende del algoritmo que se emplee para desarrollar estas tareas. Sin embargo, se especificar CA detalladamente:

El primero de los trminos de la frmula calcula el nmero de accesos de la consulta qi al fragmento Fj. Advierta que (URij + RRij) da el nmero total de accesos de lectura y actualizacin. Asumiremos que los costes locales de procesamiento de ambos son idnticos. El sumatorio proporciona el nmero total de accesos para todos los fragmentos a los que accede qi. El producto por UPTk da el coste de este acceso al sitio Sk. Usamos de nuevo, xjk para seleccionar nicamente los valores de coste para los sitios donde se almacenan los fragmentos.Se debe tener en cuenta que la funcin de coste de acceso asume que el procesamiento de una consulta implica su descomposicin en una serie de subconsultas, cada una de las cuales trabaja sobre un fragmento almacenado en un sitio, seguido de una transmisin de los resultados al sitio del cual parti la consulta. Se vio, anteriormente, que es un enfoque muy simplista no tener en cuenta la complejidad del procesamiento de la base de datos. Por ejemplo, la funcin de coste no tiene en cuenta el coste de desarrollar yuntos (si fuese necesario), lo cual puede ejecutarse de varias formas. En un modelo ms realista, que el modelo genrico considerado, esto problemas no deberan omitirse.El factor de coste del esfuerzo de integridad puede especificarse como el componente de procesamiento, excepto que la unidad de coste de procesamiento local, probablemente, cambiara para reflejar el coste real del esfuerzo de integridad.La funcin del coste de transmisin puede formularse sobre las lneas de la funcin del coste de acceso. Sin embargo, los gastos de la transmisin de datos para actualizaciones y para lecturas no es el mismo. En las consultas de actualizacin, es necesario informar a todos los sitios donde existen rplicas, mientras que en las consultas de lectura, es suficiente con acceder al sitio que alberga las copias. En suma, al final de una peticin de actualizacin, no existe una transmisin de datos al sitio origen de sta, sino un mensaje de confirmacin, mientras que en las consultas de lectura, los datos a transmitir al origen son significativos.El componente de actualizacin de la funcin de transmisin es

El primer trmino es para el envo del mensaje de actualizacin de qi desde el sitio origen o(i) a todas las rplicas de los fragmentos que necesiten actualizarse. El segundo trmino hace referencia a la confirmacin. El coste de lectura puede especificarse como

El primer trmino de CTL representa el coste de transmitir la peticin de lectura a los sitios que contienen copias de los fragmentos a los que se necesita acceder. El segundo trmino cuenta para la transmisin de los resultados desde estos sitios al sitio origen. La ecuacin afirma que para todos los sitios con copias del mismo fragmento, slo el sitio que produzca el coste total de transmisin ms pequeo debera seleccionarse para la ejecucin de la operacin.Ahora, la funcin del coste de la transmisin para la consulta qi puede especificarse como

Que indica la funcin de coste total.Restricciones. Las funciones restrictivas pueden especificarse de forma similar. Sin embargo, en lugar de describir estas funciones con detalle, simplemente indicaremos el aspecto que deberan tener. El tiempo de respuesta debera especificarse como tiempo de ejecucin de qi mximo tiempo de respuesta de qi, qiQ Preferiblemente, la medida de coste en la funcin objetiva debera especificarse en trminos de tiempo, para hacer la especificacin del tiempo de ejecucin relativamente sencilla.La restriccin de almacenamiento es

As misma, la restriccin de procesamiento es

Esto completa el desarrollo del modelo de asignacin.Desarrollo prctico. Vamos a presentar ahora dos alternativas prcticas de desarrollo de la asignacin. Una primera consistira en el clculo de todos los costes y, a partir de sus resultados y con el mejor esquema de particin determinado por el Examinador de Particiones, decidir los fragmentos que deberan asignarse a cada sitio. Este mtodo manual evidentemente implica la realizacin de muchos clculos muy engorrosos, y deberamos partir de una serie de datos que no siempre es fcil obtener. Una segunda alternativa, es el uso de algn algoritmo de asignacin desarrollado a partir de los distintos parmetros del modelo de asignacin. Existen varios de estos algoritmos, pero se ha decidido exponer el algoritmo divide y vencers [ 7 ] porque hace uso del esquema de fragmentacin que genera el algoritmo de fragmentacin n-formas presentado en la correspondiente seccin.Unidad 4 Lneas de esperaIntroduccinUna lnea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema est formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, mquinas, semforos, gras, etctera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etctera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenmenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variacin que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilizacin de modelos estocsticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas.Una lnea de espera puede modelarse como un proceso estocstico en el cual la variable aleatoria se define como el nmero de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . ,N\y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia

4.1 Estructura bsica de los modelos de lnea de espera

La teora de colas es el estudio de los sistemas de lneas de espera en sus distintas modalidades. El estudio de estos modelos sirve para determinar la forma ms efectiva de gestionar un sistema de colas Demasiada capacidad de servicio => Excesivos gastos Poca capacidad de servicio => Mal servicio

Objetivo:Encontrar un balance adecuado entre el coste del servicio y los tiempos de espera.Fuente de entrada:(Poblacin de clientes potenciales). Se dice que es limitada o ilimitada segn si su tamao es finito o infinito. Usualmente se asume que es ilimitada (el caso finito es ms difcil analticamente)Clientes:Entran al sistema cada cierto tiempo y se unen a una cola. Se debe especificar el patrn estadstico mediante el cual los clientes entran al sistema.Proceso de llegada:La suposicin habitual es que los clientes acceden al sistema segn un proceso de Poisson, lo que significa que los clientes que llegan en un intervalo determinado de tiempo siguen una distribucin Poisson, con tasa media fija y sin importar cuntos clientes ya estn en el sistema. Una suposicin equivalente es que los tiempos entre dos llegadas consecutivas (tiempo entre llegadas) es exponencial.Cola:Cuando los clientes entran al sistema se unen a una cola. La cola es donde los clientes esperan a ser servidos. Una cola se caracteriza por el nmero mximo permisible de clientes que puede admitir. La suposicin de una cola infinita es ms fcil de manejar analticamente que la de una cola finita. Tambin pueden considerarse otras suposiciones acerca del comportamiento de los clientes cuando llegan al sistema, como por ejemplo que un cliente rehse acceder al servicio porque la cola es demasiado larga.Disciplina de la cola:En un determinado momento se selecciona un miembro de la cola, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. La disciplina deservicio se refiere al orden en el que se seleccionan los clientes de la cola para recibir el servicio. FIFO (ms comn) Aleatorio LIFO Sistema de prioridades

Mecanismo de servicio: cuando un cliente es tomado de la cola, accede al mecanismo de servicio, que consiste en una secuencia de instalaciones deservicio en serie que el cliente debe pasar para completar el servicio. Cada instalacin de servicio estar formada por varios canales de servicio paralelos, llamados servidores. Se debe especificar el nmero de instalaciones de servicio en serie y el nmero de servidores paralelos en cada una de ellas. Los modelos ms comunes suponen una nica instalacin con uno o varios servidores disponibles.Proceso de servicio:En cada instalacin, el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio hasta su fin en dicha instalacin se llama tiempo de servicio. El modelo de colas debe especificar la distribucin de probabilidad del tiempo de servicio de cada servidor, y quizs de cada tipo de cliente, aunque lo comn es que todos los servidores sigan la misma distribucin. La suposicin ms habitual es que este tiempo de servicio es exponencial. Otras distribuciones de servicio importantes son la degenerada y la Erlang.4.1.1 Un servidor, una colaEste modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos para el cine, a mecnicos que esperan obtener herramientas de un expendio o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador.Llegadas: Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tienen horario, es impredecible en que momento llegarn. El modelo tambin supone que las llegadas vienen de una poblacin infinita y llegan una a la vez.Cola: En este modelo se considera que el tamao de la cola es infinito. La disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales. Tambin se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la lnea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas.Instalacin de Servicio: Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que vara aleatoriamente.Salidas: No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio.Caractersticas de operacin. Un servidor y una cola. Llegada Poisson. Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido. Tiempos de servicio exponenciales.Cola: Longitud promedio de la lnea :Tiempo de espera promedio:Sistema: Longitud promedio de la lnea :Tiempo de espera promedio:Utilizacin de la instalacin:Probabilidad de que la lnea exceda an:A = tasa promedio de llegada.S = tasa promedio de servicio.Ejemplo: (Un supermercado)Supngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operacin. Si hay poco intercambio entre las lneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola lnea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora :Dados A = 9 clientes por horaS = 12 clientes por horaEntonces :=2.25 Clientes=0.25 horas o 15 minutos.=3 clientes.=0.33 horas o 20 minutos.=0.75 o 75%0.32 Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco ms de dos clientes en la lnea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja est ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habr cuatro personas o ms en el sistema (o tres o ms esperando en la cola).4.1.2 N servidores, una colaUna lnea de espera con canales mltiples consiste en dos o ms canales deservicio que se supone son idnticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales mltiples, las unidades que llegan esperan en una sola lnea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. La operacin de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistema de dos canales al abrirun segundo canal de servicio. La siguiente figura muestra un diagrama de la lnea de espera de dos canales de Burger Dome.

4.1.3 N servidores, n colasEl tercer sistema, en que cada servidor tiene una lnea separada, es caracterstico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidory una cola. Esto sera vlido slo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separacin no sera vlida.

4.2 Criterios bajo la distribucin de Poisson y Exponencial para la seleccin del modelo apropiado de lneas de espera La lnea de espera tenga dos o ms canales Las llegadas siguen una distribucin de probabilidad Poisson El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribucin de probabilidad exponencial La tasa media de servicio es la misma para cada uno de los canales Las llegadas esperan en una sola lnea de espera y entonces pasan al primer canal abierto para su servicio La disciplina de la cola es PEPS(Primero en entrar, primero en salir)

FORMULAS, solo aplicables cuando: K>= Tasa media de llegadas del sistema= Tasa media de servicio de cada canalK= Nmero de canales

1. Probabilidad de que no exista unidades en el sistema2. Nmero promedio de unidades en la lnea de espera3. Nmero promedio de unidades en el sistema4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la lnea de espera5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en todo el sistema6. Probabilidad que existan n unidades en el sistema

= Tasa de llegada1/= Tiempo promedio entre llegadas= Tasa de servicio1/= Tiempo promedio de servicio4.3 Aplicacin de modelos de decisin en lneas de esperaLa teora de colas requiere de un estudio matemtico del comportamiento de lneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atencin. Si el servidor no est disponible inmediatamente y el cliente decide esperar entonces se forma en la "lnea de espera". El problema es determinar qu capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qu momento llegarn los clientes. Tambin el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Las llegadas se describen por su distribucin estadstica. Si las llegadas ocurren con una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de acuerdo con una distribucin de probabilidades de tipo"poissonUna cola es una lnea de espera y la teora de colas es una coleccin de modelos matemticos que describen sistemas de lneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la lnea de espera para un sistema dado. Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal deservicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cundo llegarn los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo ser necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con informacin escasa. La teora de colas requiere de un estudio matemtico del comportamiento de lneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atencin. Si el servidor no est disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la" lnea de espera".

Objetivos de la teora de colas Dada la funcin de costes anterior, los objetivos de la teora de colas consisten en: Identificar el nivel ptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificacin de la capacidad del sistema tendran en el coste total del mismo. Establecer un balance equilibrado(ptimo) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Hay que prestar atencin al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la paciencia de los clientes depende del tipo de servicio especfico considerado y eso puede hacer que un cliente abandone el sistema.

4.4 Inferencia de resultadosInferencia es la accin y efecto de inferir (deducir algo, sacar una consecuencia de otra cosa, conducir a un resultado). La inferencia surge a partir de una evaluacin mental entre distintas expresiones que, al ser relacionadas como abstracciones, permiten trazar una implicacin lgica.Al partir de hiptesis o argumentos, es posible inferir una conclusin (que puede resultar verdadera o falsa). Por ejemplo:Todava no recib la confirmacin oficial por parte de la empresa, lo que te digo es slo una inferencia ma Cada vez quejuega la seleccin, Mariana falta al trabajo: mi inferencia es que maana vamos a estar solos en la oficinaNo podemos guiarnos por inferencias, sino que tenemos que aguardar a que los sucesos se confirmen antes de tomar una de cisin.El silogismo es una forma esencial de inferencia. Se trata de una forma de razonamiento deductivo que se forma por dos proposiciones (premisas) y una conclusin. Esta conclusin es la inferencia que necesariamente se deduce de las dos premisas. La veracidad de la conclusin depender de las leyes que regulan la relacin entre las premisas comparadas. La garanta de verdad del nuevo juicio es la lgica, que deber establecer distintas clasificaciones de las premisas. No todas las inferencias ofrecen conclusiones verdaderas. Es posible afirmar que todos los perros son animales peludos de cuatro patas, pero no se puede inferirque todos los animales peludos con cuatro patas son perros.Las inferencias suelen generarse a partir de un anlisis de caractersticas y probabilidades. Si alguien hace referencia a un animal de cuatro patas, peludo y que mueve la cola, puedo inferir que lo ms probable es que est haciendo referencia a un perro. Ejemplo Supermercado Imagnese un supermercado grande con muchas cajas de salidas. Supngase que los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 porhora y que hay 10 cajas en operacin. Si hay poco intercambio entre las lneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola lnea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12por hora: Dado: A= 9 clientes por hora B= 12 clientes por hora

GASPAR MEDRANO CALIHUA2014

ExplicacinEntonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de serservido. En promedio, hay un poco ms de 2 clientes en la lnea o 3 en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja est ocupada el 75% del tiempo. Y finalmente, el 32% del tiempo habr cuatro personas o ms en el sistema.