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8/18/2019 INTRODUCCION_A_LAS_PROBABILIDADES (1).docx

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INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES

ORIGEN DE LAS PROBABILIDADES

Se remonta al siglo XVIII cuando Antoine Gombauld conocido como el caballero de Mer!uien cre"# $aber descubierto una tcnica in%alible &ara 'ugar a los dados( con mu"

buenos resultados al comien)o( luego em&e)# a &erder( situaci#n !ue le oblig# aconsultar a Blas Pascal " Pierre de *ernat( inici+ndose as, los %undamentos de estaciencia-

PROBABILIDAD

La &robabilidad es una medida numrica de la certidumbre de !ue suceder+ determinadoe.ento-

Los .alores de &robabilidad siem&re se asignan en una escala de .alores entre / " 0-

1na &robabilidad cercana a cero indica !ue es di%,cil !ue el e.ento ocurra( una&robabilidad cercana a uno indica !ue es casi seguro !ue suceder+- Las &robabilidadesentre / " 0 indican los grados de certe)a de !ue el e.ento ocurra-

Probabilidad creciente de ocurrencia.

0 0.5 1

La ocurrencia del evento

Es igualmente probable o

Improbable

EXPERIMEN2O

3ual!uier &roceso !ue genere resultados bien de%inidos-

Proceso !ue conduce a !ue ocurra una " solamente una de .arias obser.aciones &osibles

EXPERIMEN2O RES1L2ADO EXPERIMEN2ALLan)ar una moneda cara 4 sello

Seleccionar una &ie)a &ara ins&ecci#n de%ectuosa 5 no de%ectuosa

Visita de .entas .enta 5 no .enta

2irar un dado 0 5 6 5 7 5 8 5 9 5 :


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Nota; El conce&to de e


3/53

ME2ODO 3LASI3O

Si un e&or e'em&lo un .endedor !ue $a .isitado 8/ clientes "en esas .isitas reali)# .entas en 0/ de ellas con base en este mtodo la &robabilidad

&ara su siguiente .isita de .entas ser+10

40 &ara una .enta "

30

40 &ara una no .enta@-

ME2ODO S1BCE2IVO

Es una asignaci#n de &robabilidad reali)ada &or una &ersona bas+ndose en cual!uierin%ormaci#n !ue est dis&onible( o en su criterio- En este mtodo &redomina lae


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3OMPLEMEN2O DE 1N EVEN2O

Para un e.ento A( el com&lemento de A es a!uel e.ento !ue contiene todos los &untosmuestrales no eA@ P>A3@ 0

EVEN2OS M121AMEN2E EX3L1FEN2ES

Se dice !ue dos o m+s e.entos son mutuamente eA1B@ P>A@ P>B@-

IN2ERSE33ION DE EVEN2OS

Para dos e.entos A F B la intersecci#n de los e.entos A " B es a!uel e.ento !ue tienetodos los &untos muestrales e


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LEF ADI2IVA PARA IN2ERSE33ION

P>A1B@ P>A@ P>B@ 5 P>AnB@

ECEMPLO 0;

A {1,2,3} B {3,4,5 }

P>A1B@ P>0(6(7@ P>7(8(9@ 5 P>7@ P>0(6(7(8(9@

ECEMPLO 6;De 6// estudiantes de estad,stica( 0:/ &asaron el e


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Si dos e.entos A " B son inde&endientes la &robabilidad de !ue ocurran A " B se obtienemulti&licando las dos &robabilidades-

P>A " B@ P>A@K P>B@

Si P0( P6( P7Pn son todas las distintas &robabilidades de &resentaci#n de n sucesos

inde&endientes( la &robabilidad >&@ de !ue ocurran todos estos sucesos en un soloensa"o( estar+ dada &or el &roducto de cada suceso-

P P0KP6KP7-KPn

DI*EREN3IA EN2RE S13ESOS M121AMEN2E EX3L1FEN2ES F S13ESOSINDEPENDIEN2ES

a@ En el &rimero se tiene un solo dado( una bara'a en el segundo son dos o masdados o bara'as

b@ En el &rimero se eA"B@ P>A@KP>BA@

E'em&lo;

Su&onga !ue $a" 0/ rollos de &el,cula %otogr+%ica en una ca'a( " se sabe !ue tres est+nde%ectuosos se selecciona uno

La &robabilidad de escoger uno de%ectuoso es de3

10 " la &robabilidad de escoger uno

bueno es de7

10-

Des&us se elige un segundo rollo de la ca'a sin de.ol.er el &rimero la &robabilidad de!ue sea de%ectuoso de&ende de si el &rimer rollo seleccionado no %ue ace&table-


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La &robabilidad de !ue tambin el segundo rollo tenga de%ectos es;

2

9 Si el &rimer rollo seleccionado %ue de%ectuoso

3

9 Si el &rimer rollo seleccionado %ue bueno

A la %racci#n2

9 > o bien

3

9 @ se le denomina &robabilidad condicional( &or!ue su

.alor est+ condicionado &or > o de&ende @ el &rimer rollo !ue se sac# de la ca'a !ue $a"asido de%ectuoso o no-

3u+l es la &robabilidad de escoger un rollo de%ectuoso( seguido de otro tambinde%ectuosoH

P>A@ 3

10 El segundo rollo seleccionado es el e.ento B &or tanto; P>BA@

2

9 &or!ue des&us de !ue el &rimer rollo seleccionado %ue de%ectuoso solo !uedaron 6

en la ca'a !ue conten,a - La &robabilidad de dos rollos de%ectuosos es;

P>A"B@ P>A@KP>BA@ 3

10 K

2

9

6

90 /(/::-

ECEMPLO;

1na encuesta a e'ecuti.os se en%oc# en su lealtad a la em&resa una de las &reguntas&lanteadas %ue si otra com&aQ,a le $iciera una o%erta igual o ligeramente me'or !ue la desu &uesto actual( &ermanecer,a con la em&resa( o tomar,a el otro em&leoH Las res&uestasde los 6// e'ecuti.os se clasi%icaron en %orma cru)ada con su tiem&o de ser.icio en lacom&aQ,a en la siguiente tabla de contingencias;

2IEMPO DE SERVI3IO

LE)L4) enos de 1

a6o

1 a 5 a6os " a 10

a6os

7s de 10

a6os

4/4)L

sipermanece

r8a

10 0 5 35 120

opermanece

r8a

25 15 10 0 0

5 !5 15 105 200


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3u+l es la &robabilidad de seleccionar al a)ar un e'ecuti.o !ue sea leal a la em&resa >si&ermanecer,a@ " !ue tenga m+s de 0/ aQos de ser.icioH

E.ento A &ermanencia P>A@ 120

200 /-:E.ento B e'ecuti.o con m+s de 0/ aQos en la em&resa " !ue se !ueda

P>BA@ 75

120=0.625

La &robabilidad de !ue un e'ecuti.o seleccionado al a)ar sea uno de los !ue se !uedar,anen la com&aQ,a " de los !ue tienen m+s de 0/ aQos de ser.icio se determina utili)ando laregla general de multi&licaci#n

P>A"B@ P>A@ K P>BA@ > 120200 @> 75

120 @ 900024000 /-7J9

ESPERANA

Si P es la &robabilidad de


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DESVIA3ION ES2ANDAR

La des.iaci#n est+ndar se determina tomando la ra,) cuadrada de la .arian)a( es decir

U √ σ 2

TALLER DE EVALUACION

0- 1na urna contiene : bolitas blancas " 8 negras- se e


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&robabilidad

/(6 /-6 /(7 /-09 /(0 /-/9

7- 3onsideremos dos &ro"ectos de in.ersi#n donde conocemos lasdistribuciones de &robabilidad de sus .alores &resentes " a&arecen en lasiguiente tabla

Valores &resentes>miles de&esos@

Pro"ecto0 Pro"ecto 6

46/ /-0 /-/6

40/ /-6 /-09

/ /-7 /-77

0/ /-7 /-8

7/ /-0 /-/

9/ / /-/0

Wallar;Valor es&erado

Varian)aDes.iaci#n est+ndar-

8- 1n contratista estima las &robabilidades del nmero de d,as necesarios&ara concluir un &ro"ecto-

2iem&o>d,as@

0 6 7 8 9

&robabilidad /-/9 /-6/ /-79 /-7/ /-0/

Wallar el nmero de d,as es&erados &ara la terminaci#n

del &ro"ecto


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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1na distribuci#n de &robabilidad indica toda la gama de .alores !ue &ueden &resentarsecomo resultado de un e


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Lan9amientos de moneda

-esultado

posible Primero Segundo 4erceroumero de

caras

1 SELL/ SELL/ SELL/ 0

2 SELL/ SELL/ )-) 1

SELL/ )-) SELL/ 1

! SELL/ )-) )-) 2

5 )-) SELL/ SELL/ 1

" )-) SELL/ )-) 2

3 )-) )-) SELL/ 2

)-) )-) )-)

Obser.e !ue el resultado cero caras se obtu.o solo una .e)( una cara a&areci# tres.eces( dos caras tres .eces " el resultado tres caras solo una .e)- Es decir cero carasocurri# en una de oc$o .eces- De modo !ue la &robabilidad de cero caras es un octa.o>0@ la de una cara es tres octa.os >7@( " as, sucesi.amente- La distribuci#n de&robabilidad se muestra en la siguiente tabla-


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1 2 !

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.

0.5

0.!

probabilidad del resultado

probabilidad del

resultado

En el gra%ico anterior el .alor uno >0@ corres&onde a cero >/@ nmero de caras( el .alor dos>6@ a un >0@ nmero de caras " as, de manera sucesi.a el .alor cuatro a tres caras-

3on.iene recordar algunas de%iniciones !ue .amos a traba'ar de manera reiterada enestos temas;

Distribución de probabilidad; son todos los &osibles .alores !ue resultan de une


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resultado de medici#n del anc$o( longitud de una cosa( as, como el tiem&o de reali)aci#nde una tarea en estos casos las .ariables admiten %racciones-

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOIAL

Es una distribuci#n de &robabilidad discreta- 1na caracter,stica de dic$a distribuci#n es!ue solo $a" dos resultados &osibles en cada ensa"o de un e


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0- El resultado de cada ensa"o de un e


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D#nde; n nmero de intentos

p &robabilidad de acierto de un intento

x nmero de aciertos en n intentos

f(x) &robabilidad de x aciertos en n intentos-

E'em&lo;

Elaboremos una distribuci#n de &robabilidad con el e


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0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.000

0.500

0.!000

Para encontrar en %orma r+&ida( sin necesidad de $acer c+lculos engorrosos al a&licar la%#rmula;

F ( x )= n!

x ! (n− x )! p

x(1− p)n− x

Podemos $acer uso de la tabla de distribuci#n binomial como se &resenta a continuaci#n&ara n " & de /(/9 /(0/ /(6/ /(69 /(7/ /(79 /(8/ /(89 /(9/

Distribución bino!ial c"lculo de la probabilidad para x

p

n % 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0. 0.5 0.! 0.!5 0.5

0

.

""

!

.

!0

5

.

232

5

.

1"3

.

100

1

.

053

"

.

01

.

01"

.

00

!

.

00

1

.

23

.

2

5

.

!

3

.

5

5

.

2"3

0

.

13

3

.

13

.

0

"

.

05!

.

01

2

2 .

051

.

1!

.

23

.

2

.

11

.

2"

.

25

.

200

.

15"

.

10


18/53

5 " " 5 5 3 0 !

.

005

!

.

0

1

.

0

.

1!"

.

203

"

.

25!

1

.

23

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.

23

3

.

25"

.

21

!

.000

!

.00!

"

.01

5

.0!5

.0"

5

.1"

1

.13

5

.22

2

.2"2

3

.23

!

5

.

000

0

.

000

!

.

002

"

.

00

2

.

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1

.

0!"

3

.

00

.

12

.

131

.

21

"

.

000

0

.

000

0

.

000

2

.

001

1

.

00

.

010

0

.

021

3

.

0!1

.

030

.

10

!

3

.

000

0

.

000

0

.

000

0

.

000

1

.

000

!

.

001

2

.

00

.

003

.

01"

!

.

01

2

.

000

0

.

000

0

.

000

0

.

000

0

.

000

0

.

000

1

.

000

2

.

000

3

.

001

3

.

00

edia de la distribución Bino!ial;

El .alor es&erado o es&eran)a matem+tica de la .ariable aleatoria est+ dada ∨

μ=np

Varian#a de la distribución bino!ial;

La .arian)a de la .ariable aleatoria es;

σ 2=np (1− p )


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DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

La distribuci#n de &robabilidad de &oisson describe la cantidad de .eces !ue ocurre une.ento en un inter.alo determinado- El inter.alo &uede ser de tiem&o( distancia( +rea o

.olumen- La distribuci#n se basa en dos su&uestos- El pri!ero( es !ue la &robabilidad es&ro&orcional a la enp@

e 6-J06

x nmero de ocurrencias dentro de un inter.alo > nmero de casos %a.orables@

f(x) = &robabilidad de x ocurrencias en el inter.alo


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La .arian)a de la distribuci#n de &oisson tambin es igual a su media- Si &or e'em&lo la&robabilidad de !ue sea de.uelto un c$e!ue emitido &or un banco es /-///7 " si secambian 0/-/// c$e!ues el nmero medio de c$e!ues de.ueltos es 7 !ue se obtiene &or

Y np 0/-///>/-///7@ 7

E'em&lo;

Su&onga !ue estamos interesados en el nmero de llegadas a un ca'ero autom+tico en un&eriodo de 09 minutos en las maQanas- Si su&onemos !ue la &robabilidad de !ue llegueuna &ersona es la misma &ara cuales!uiera de 6 &eriodos de tiem&o de igual duraci#n( "!ue la llegada o no llegada de una &ersona en cual!uier &eriodo de tiem&o esinde&endiente de la llegada o no llegada en cual!uier otro &eriodo de tiem&o( es a&licablela %unci#n de &robabilidad de &oisson- Entonces si su&onemos !ue un an+lisis de losdatos $ist#ricos muestra !ue el numero &romedio de de &ersonas !ue llegan durante uninter.alo de 09 minutos es de 0/ es a&licable la %unci#n de distribuci#n de &robabilidad de&oisson con Y 0/

f ( x )=10 x

e−10

x !

Si deseamos saber cu+l es la &robabilidad de 9 llegadas en 09 minutos $acemos x 9 "obtendremos;

f ( x )=105

e−10

5 ! =0.0378

Aun!ue determinamos esta &robabilidad e.aluando la %unci#n de &robabilidad mediante laa&licaci#n de la %ormula a menudo resulta m+s sencillo usar las tablas de distribuci#n de&robabilidad de &oisson- Estas tablas &ro&orcionan &robabilidades &ara .aloreses&ec,%icos de x " de Y-


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DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORAL

=ui)+ la distribuci#n de &robabilidad m+s im&ortante utili)ada &ara describir una .ariablealeatoria continua es la distribución de probabilidad nor!al% es a&licable a grancantidad de situaciones de &roblemas &r+cticos- Su %unci#n de densidad de &robabilidadtiene la %orma de una cur.a en %orma de cam&ana-

La %orma matem+tica de la %unci#n de &robabilidad de la distribuci#n normal es;

f ( x )= 1

σ √ 2π e−( x− μ)2 /2σ 2

Para 5Z [ x [ Z

.alor medio o es&erado de la .ariable aleatoria x -

σ 2=¿ Varian)a de la .ariable aleatoria x

U des.iaci#n est+ndar de la .ariable aleatoria x

\ 7-0809

e 6-J06

Caracter&sticas;

0- La cur.a normal es acam&anada " &resenta un solo &ico en el centro de ladistribuci#n- La media aritmtica( la mediana " la moda de la distribuci#n soniguales " est+n locali)adas en el &ico- De esta %orma la mitad del +rea ba'o lacur.a se encuentra &or arriba de este &unto central( " la otra mitad &or aba'o-


22/53


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z= x− μ

σ

Valor nor!al est"ndar

D#nde;

x es el .alor de cual!uier medida u obser.aci#n es&eci%ica

es la media de la distribuci#n

U es la des.iaci#n est+ndar de la distribuci#n-

3omo se obser.a en la de%inici#n anterior un .alor z mide la distancia entre un .alor es&ec,%ico x " la media aritmtica en unidades de des.iaci#n est+ndar- Al determinar el.alor z mediante la %#rmula se &uede obtener el +rea o la &robabilidad ba'o cual!uier cur.a normal recurriendo a las tablas diseQadas &ara el e%ecto-

Para e


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1.5 0.!2

0.!

!5

0.!

53

0.!

30

0.!

2

0.!

!

1." 0.!!52

0.!!

"

0.!!

3!

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0.!5

05

1.3 0.!55!

0.!5

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0.!3

1

0.!3

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0.!3

2

0.!3

0.!3

!!

(reas ba)o la cur*a nor!al

Se consideran tres +reas ba'o la cur.a normal !ue ser+n mu" utili)adas;

0- A&roa uno " otro lados del centro@ es decir ^ 7U

E'em&lo;


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1na &rueba del tiem&o de .ida til de bater,as alcalinas ti&o D re.elo !ue su tiem&o mediode .ida es de 0 $oras >$@- La distribuci#n de los tiem&os de .ida se a&ro0-6@$7- Pr+cticamente todas las bater,as %allan entre 09-8 " 66-: $oras !ue se obtiene de0-/ ^ 7>0-6@$-

TALLER DE EVALUACION

0- Se estima !ue una de cada 0/-/// &ersonas es alrgica a cierta sustanciautili)ada en la %abricaci#n de tintes &ara el cabello- 3u+l es la &robabilidadde !ue en 6/-/// usuarios de tintes( mas de 9 su%ran reacciones alrgicas

debido a su uso-

6- Si un 'ugador !ue al batear tiene un &romedio de /-8/ llega a batear 9.eces en un 'uego 3u+l es la &robabilidad de !ue obtenga;

a@ E6@ tele.isores

8- 1n banco tiene unos clientes de crdito $i&otecario cu"os d,as en mora sedistribu"en normalmente con media de 86/ d,as " des.iaci#n est+ndar de0 d,as- El J(8 de los clientes de menor mora ser+n re%inanciados 3u+l


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es el m+


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arco de !uestreo es un listado o ma&a !ue contiene todas las unidades de muestreo "&or consiguiente cubre a toda la &oblaci#n-

Error de !uestreo 1n error en estad,stica es la di%erencia entre el .alor de un estimador" el del &ar+metro corres&ondiente- E


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cuidadosa del traba'o de cam&o " del &rocesamiento de la in%ormaci#n( reduciendo as, loserrores de no muestreo-

d' Posibilidad de -acerse- En la industria algunas &ruebas son destructi.as( &or lo tanto(ciertas in.estigaciones s#lo &ueden reali)arse con una muestra de &roductos- Por

e'em&lo( un estudio sobre la duraci#n de los bombillos o la resistencia de cual!uiermaterial-

uestreo Aleatorio Si!ple' .'A'S/ Si de una &oblaci#n de tamaQo N se seleccionauna muestra de tamaQo n( de tal manera !ue cada muestra &osible de tamaQo n tenga lamisma &robabilidad de ser seleccionada( el ti&o de muestreo utili)ado se llama Muestreo

Aleatorio Sim&le-

En la &r+ctica( una muestra aleatoria sim&le es seleccionada unidad &or unidad- Lasunidades de muestreo son numeradas de 0 a N( a continuaci#n se seleccionan n nmerosentre 0 " N( "a sea utili)ando una tabla de nmeros aleatorios o colocando los N nmeros

en una urna " las unidades de muestreo !ue lle.en los nmeros seleccionadosconstituir+n la muestra- La muestra se selecciona sin re&etici#n o sin sustituci#n( es decir(!ue cada unidad de muestreo solo &uede a&arecer una sola .e) en una muestradeterminada-

Este ti&o de muestreo se utili)a cuando; la &oblaci#n es m+s o menos $omognea conres&ecto a las caracter,sticas !ue se desean estudiar cuando los elementos de la&oblaci#n no se &ueden enumerar %+cilmente cuando las estimaciones !ue se debenobtener se re%ieren a todo el con'unto " no a subgru&os de la &oblaci#n-

3uando se selecciona una muestra el ob'eti.o es tener estimaciones &ara los &ar+metrosa tra.s de la in%ormaci#n suministrada &or la muestra-

uestreo Aleatorio Estrati0icado' .AE/ El muestreo aleatorio estrati%icado >MAE@consiste en clasi%icar &rimero los elementos de la &oblaci#n en gru&os !ue no &resententrasla&es o intersecciones( " de estos gru&os o estratos seleccionar una muestrairrestricta aleatoria( tomando al menos un elemento de cada gru&o o estrato-

El &roceso !ue se sigue &ara establecer los gru&os se conoce como estrati%icaci#n- Al%ormar los estratos se debe buscar !ue los elementos de cada estrato sean lo m+s$omogneos entre s, " !ue $a"a marcadas di%erencias entre un estrato " otro- Estos

estratos &ueden re%le'ar regiones geogr+%icas de un &a,s( clases sociales dentro de unaciudad( etc-

3uando se utili)a el muestreo aleatorio estrati%icado las &robabilidades de selecci#n de ungru&o al otro &ueden ser iguales o di%erentes( aun!ue se debe conocer la &robabilidad deselecci#n !ue corres&onde a cada uno- Las muestras se seleccionan se&aradamente &aracada estrato " las estimaciones se reali)an se&aradamente &ara cada estrato " se&onderan &ara obtener una estimaci#n combinada &ara la &oblaci#n-


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El utili)ar muestreo estrati%icado tiene sus .enta'as como son; aumento en la eEntre.ista( 3orreo( Obser.acion directa( tel%ono etc@

7- El error muestral- Es decir la di%erencia entre el resultado obtenido mediante lamuestra " el obtenido mediante la in.estigaci#n total o censo-

Parametro; Son las medidas descri&ti.as numricas a&licadas a las caracter,sticas de la&oblaci#n > .alores estad,sticos de la &oblaci#n-

Estimador &untual; son las medidas descri&ti.as numricas a&licadas a las caracter,sticasde las unidades de muestra

Estimador &or inter.alos; Es la estimaci#n del &ar+metro mediante la es&eci%icaci#n de uninter.alo de .alores determinado &or un limite in%erior " otro su&erior >limites de con%ian)a@dentro del cual estar+ el &ar+metro &oblacional-

Inter.alo de con%ian)a; corres&onde a un inter.alo de .alores dentro de los cuales sees&era !ue este el &ar+metro( con cierto grado de con%ian)a o con riesgo de errorconocido-

DIS2RIB13ION DE LAS MEDIAS M1ES2RALES

Las estimaciones !ue tienen la &ro&iedad de !ue sus .alores es&erados sean iguales alos .alores &oblacionales se denominan estimaciones insesgadas- En el Muestreo

Aleatorio Sim&le >MAS@ la media muestral es una estimaci#n insesgada del &romedio&oblacional-

Las muestras tienden a dar estimaciones relati.amente m+s con%iables( es decir sea&ro


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Su&ongamos una &oblaci#n N9 o sea de 9 elementos cu"os elementos >.alores@ son; J(7( 9( ( 6(

3alculamos ∑ xi

N 9

U6

∑( xi−µ)2 N

9-6

U √ 5.2 6-6

El nmero de muestras &osibles de tamaQo 6 seleccionadas sin re&osicion corres&onde a0/ muestras-

Los .alores de las medias aritmticas de cada una de ls muestras encontradas son los

siguientes;

7+32

=5

7+52

=6

7+82

=7.5

7+22

=4.5

3+52

=4

3+82

=5.5

3+2

2

=2.5

5+82

=6.5

5+22

=3.5


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8+22

=5

Al calcular la media aritmtica del total de las medias muestrales el resultado obtenido esel .alor de la media de la &oblaci#n( con lo cual &odemos a%irmar lo siguiente;

2EOREMA DEL LIMI2E 3EN2RAL-

Si de una &oblaci#n( se e


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Si la muestra es grande >n 7/@( &ertenece a una distribuci#n normal " si la muestra es&e!ueQa >n [ 7/@( &ertenece a una distribuci#n t con n40 grados de libertad-

ECEMPLO

Se desea estimar el &romedio de $ect+reas destinadas al culti.o de ca% &ara ello setoma una muestra aleatoria de 09 %incas de un total de J9/ en el de&artamento de3aldas( obtenindose los siguientes resultados en $ect+reas sembradas en ca%;

FINCA Has. CAFÉ FINCA Has. CAFÉ FINCA Has. CAFÉ

1 12 6 10 11 15

2 15 7 6 12 12

3 25 8 11 13 10

4 30 9 24 14 19

5 22 10 18 15 22

1na .e) estimado el &romedio obtenga un inter.alo de con%ian)a &ara el &romedio-

Soluci#n;

El &romedio se obtiene; > 251

15=16.733

La des.iaci#n est+ndar &ara el &romedio se obtiene con la %#rmula( &ero &ara a&licarla senecesita la .arian)a corregida-


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Los anteriores resultados !uieren decir !ue en el de&artamento de 3aldas el &romedio de$ect+reas sembradas en ca% &or %inca es de 0:(J7 con un margen de error de 0(J8$ect+reas-

El inter.alo de con%ian)a &ara el &romedio se obtiene teniendo en cuenta !ue la muestra

es &e!ueQa( el .alor de se $alla en una tabla de la distribuci#n t con 08 grados delibertad( !ue &ara una con%iabilidad del 9 &or ciento es de 6(089-

Esto !uiere decir !ue con una con%iabilidad del 9 &or ciento( el &romedio de $ect+reasculti.adas en ca% &or %inca en el de&artamento de 3aldas( est+ entre 07 " 6/(8J-

DE2ERMINA3ION DEL 2AMAO DE LA M1ES2RA

3uando deseamos estimar el tamaQo de la muestra se deben tener en cuenta !ue losob'eti.os de la encuesta suelen re!uerir .arias estad,sticas " !ue al considerar cada unade ellas &ueden lle.ar a un diseQo di%erente( &or lo tanto( &ara determinar el tamaQo de lamuestra se debe elegir el &rinci&al ob'eti.o " calcular el tamaQo de muestra necesario&ara cum&lir dic$o ob'eti.o- En caso de ser .arios los ob'eti.os &rinci&ales se determinaun tamaQo de muestra &ara cum&lir cada ob'eti.o " entre todos ellos( se elige el ma"or-

El tamaQo de la muestra de&ende b+sicamente del tamaQo de la &oblaci#n( del ni.el decon%ian)a o con%iabilidad de las estimaciones( del grado de .ariaci#n o dis&ersi#n de la.ariable a estudiar " del error de estimaci#n-

El ni.el de con%ian)a o con%iabilidad lo %i'a arbitrariamente !uien est calculando el tamaQode la muestra( teniendo en cuenta !ue dic$a con%iabilidad debe estar entre el no.enta " elno.enta " nue.e &or ciento- A ma"or con%iabilidad ma"or tamaQo de muestra-

El grado de .ariaci#n o dis&ersi#n de la .ariable se mide a tra.s de la des.iaci#nest+ndar( la cual &uede ser estimada a &artir de una muestra &iloto o a &artir de lain%ormaci#n reco&ilada en una in.estigaci#n similar( reali)ada anteriormente-

El error de estimaci#n es la m+


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De&endiendo del ti&o de estimador !ue se desee obtener( se debe utili)ar una %#rmuladi%erente &ara calcular el tamaQo de la muestra-

2amaQo de la muestra &ara la media &oblacional &ara &oblaciones in%initas;

n Z ²σ ² E ²

E es el margen de error !ue se &uede ace&tar al ni.el de con%ian)a dado-

es el ni.el de con%ian)a !ue se usa

U des.iaci#n est+ndar de la &oblaci#n >una estimaci#n@

3uando no se conoce la des.iaci#n est+ndar de la &oblaci#n es necesario buscar un .alor &reliminar o un .alor de &laneaci#n- Se &uede o&tar en la &ractica ∨

1sar una des.iaci#n est+ndar muestral de muestras &re.ias-

1sar un estudio &iloto &ara seleccionar una muestra &reliminar de unidades

1sar el 'uicio o una me'or estimaci#n

2amaQo de la muestra &ara la media &oblacional &ara &oblaciones %initas;

n Z ²σ ²

E ²

1+ 1

N (

Z 2

s2

E2 )

DIS2RIB13ION M1ES2RAL DE LA PROPOR3ION

En el an+lisis de una caracter,stica cualitati.a o atributo se em&lea la &ro&orci#n de


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Antes & numerode casos favorables o exitos

total de casos posibles

A$ora en .e) de e


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2amaQo de la muestra &ara la &ro&orci#n &oblacional &ara &oblaciones in%initas;

n Z ² (1− ) E ²

E error muestral

el ni.el de con%ian)a

P el .alor de la &ro&orci#n de la &oblaci#n

El .alor de &laneaci#n de la &ro&orci#n de la &oblaci#n se &uede elegir mediante;

1sar una &ro&orci#n muestral de una muestra anterior

Lle.ar a cabo un estudio &iloto

1sar el 'uicio o un estimado me'or del .alor de P

1sar P /-9/

2amaQo de la muestra &ara la &ro&orci#n &oblacional &ara &oblaciones %initas;

n

Z ² ! (1− !)

E ² N −1 N

+ 1

N

Z 2 ! (1− ! ) E ²


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con%ian)a de 9- El asesor del alcalde estima !ue la &ro&orci#n !ue a&o"a su&ro&uesta deber+ ser /-:/-

a@ De !ue tamaQo deber+ ser la muestraH

b@ De !ue tamaQo deber,a ser la muestra si no se contara con ninguna estimaci#nde la &ro&orci#n !ue a&o"a la &ro&uesta del alcaldeH

3ON3EP2O DE IN2ERVALO DE 3ON*IANA-

En el contecalculado en una muestra@ en el cual se encuentra el .erdadero .alor del&ar+metro( con una &robabilidad determinada-

La &robabilidad de !ue el .erdadero .alor del &ar+metro se encuentre en el inter.aloconstruido se denomina ni.el de con%ian)a( " se denota 04 - La &robabilidad dee!ui.ocarnos se llama ni.el de signi%icancia " se simboli)a - Generalmente seconstru"en inter.alos con con%ian)a 04 9 >o signi%icancia 9@- Menos %recuentesson los inter.alos con 0/ o 0-

Para construir un inter.alo de con%ian)a( se &uede com&robar !ue la distribuci#n NormalEst+ndar cum&le 0;

P>40-: [ ) [ 0-:@ /-9

>lo anterior se &uede com&robar con una tabla de &robabilidades o un &rogramacom&utacional !ue calcule &robabilidades normales@-

Luego( si una .ariable X tiene distribuci#n N> ( @( entonces el 9 de las .eces secum≤

http://escuela.med.puc.cl/Recursos/recepidem/EPIANAL9.HTM#refhttp://escuela.med.puc.cl/Recursos/recepidem/EPIANAL9.HTM#ref


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Des&e'ando en la ecuaci#n se tiene;

El resultado es un inter.alo !ue inclu"e al el 9 de las .eces- Es decir( es un inter.alo

de con%ian)a al 9 &ara la media cuando la .ariable X es normal " es conocido-

II4 Inter.alo de con%ian)a &ara un &romedio;

Generalmente( cuando se !uiere construir un inter.alo de con%ian)a &ara la media&oblacional ( la .arian)a &oblacional es desconocida( &or lo !ue el inter.alo &araconstruido al %inal de II es mu" &oco &r+ctico-

Si en el inter.alo se reem&la)a la des.iaci#n est+ndar &oblacional &or la des.iaci#nest+ndar muestral s( el inter.alo de con%ian)a toma la %orma;

La cual es una buena a&ro


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Luego( el inter.alo de con%ian)a &ara es >07(6 ( 09(@- Es decir( el &unta'e &romedio&oblacional se encuentra entre 07(6 " 09( con una con%ian)a 9-

Inter.alo de 3on%ian)a &ara una Pro&orci#n-En este caso( interesa construir un inter.alo de con%ian)a &ara una &ro&orci#n o un&orcenta'e &oblacional >&or e'em&lo( el &orcenta'e de &ersonas con $i&ertensi#n(%umadoras( etc-@

Si el tamaQo muestral n es grande( el 2eorema 3entral del L,mite nos asegura !ue;

O bien;

Donde & es el &orcenta'e de &ersonas con la caracter,stica de inters en la &oblaci#n >osea( es el &ar+metro de inters@ " & es su estimador muestral-

Luego( &rocediendo en %orma an+loga al caso de la media( &odemos construir un inter.alode 9 de con%ian)a &ara la &ro&orci#n &oblacional &-

E'em&lo;En un estudio de &re.alencia de %actores de riesgo en una co$orte de 806 mu'eresma"ores de 09 aQos en la Regi#n Metro&olitana( se encontr# !ue el 0J-: eran$i&ertensas- 1n inter.alo de 9 de con%ian)a &ara la &ro&orci#n de mu'eres $i&ertensasen la Regi#n Metro&olitana est+ dado ∨

Luego( la &ro&orci#n de $i&ertensas .ar,a entre >/(07 ( /(606@ con una con%ian)a de 9-


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PR1EBAS DE WIPO2ESIS0

1na $itesis estad,stica es un su&uesto acerca del .alor de un &ar+metro de una

&oblaci#n determinada- Este su&uesto debe com&robarse con la in%ormaci#n suministrada&or una muestra aleatoria obtenida de dic$a &oblaci#n-

3uando se reali)a una &rueba de $itesis( se &lantean dos $itesis !ue deben sermutuamente eW/ @ se ace&ta $itesis alternati.a>W0 @- Para establecer esta regla de decisi#n la distribuci#n de &robabilidad se di.ide endos categor,as mutuamente e


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4 Prueba de $itesis a una cola su&erior

W/ ; # W/;

W0 ; # W0 ;

4 Prueba de $itesis a una cola in%erior

W/ ; # W/ ;

W0 ; [ # W0 ; [

N#tese !ue las $itesis siem&re se &lantean &ara un &ar+metro -

1na .e) establecidas las $itesis( se selecciona el ni.el de signi%icancia o m+rgen deerror > @ el !ue generalmente se %i'a entre el uno " el die) &or ciento-

El tercer &aso es la estad,stica a &robar o estad,stica de traba'o( la cual de&ende de ladistribuci#n en el muestreo del estimador con el !ue se est traba'ando " de lossu&uestos corres&ondientes a la &oblaci#n " al tamaQo de la muestra- 3uando se reali)anlos c+lculos sie!pre se su&one !ue la $itesis nula >W/@ es cierta-

El cuarto &aso es establecer la regla de decisi#n( la cual de&ende de la distribuci#n de&robabilidad de la estad,stica a &robar( del ni.el de signi%icancia > @ " de la $itesisalternati.a >W0@-

*inalmente se toma la decisi#n de no rec$a)ar la $itesis nula o rec$a)arla-

PR1EBA DE WIPO2ESIS PARA LA MEDIA

El promedio aritmético poblacional es un indicador muy importante, por lo tanto, frecuentemente

se desea probar si dico promedio a permanecido i!ual, a aumentado o a disminu"do# $

tra%és de la prueba de ip&tesis se determina si la media poblacional es si!nificati%amente

mayor o menor 'ue al!(n %alor supuesto#

4ipótesis

Se &uede &lantear uno de los siguientes tres ti&os de $itesis;

4 Prueba de $itesis a dos colas

W/ ;

W0 ;


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4 Prueba de $itesis a una cola su&erior

W/ ; # W/ ;

W0 ; # W0 ;

4 Prueba de $itesis a una cola in%erior

W/ ; # W/ ;

W0 ; [ # W0 ; [

En las distribuciones en el muestreo se .io !ue &ara el caso de la media( $a" tressituaciones( &or consiguiente la estad,stica de traba'o a utili)ar de&ende de los su&uestosde la &oblaci#n " del tamaQo de la muestra-

Prueba de -ipótesis para la !edia si la población de donde se obtiene la !uestra

tiene distribución nor!al con conocida'

La estad,stica de traba'o a usar corres&onde a la eW/@-

RE5LA DE DECISION

4 Si se $a &lanteado la $itesis alternati.a como; W0 ; se tiene una &rueba de$itesis a dos colas( &or lo tanto( el ni.el de signi%icancia > @ se di.ide en dos &artesiguales( !uedando estos .alores en los e


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Regla de decisi#n &ara una &rueba de $itesis a dos colas-

" &ertenecen a una distribuci#n normal est+ndar- Si el .alor de la estad,stica detraba'o >


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Segn el enunciado( solo se com&ra la m+!uina si la &roducci#n es de mas de 09/unidades &or $ora( &or lo tanto las $itesis son;

W/ ; 09/

W0 ; 09/

Para elegir la estad,stica de traba'o se tiene en cuenta !ue se conoce la .arian)a&oblacional( &or lo tanto se usa la e


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La estad,stica de traba'o a usar es la e


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Regla de decisi#n &ara una &rueba de $itesis a dos colas

Prueba de -ipótesis para la !edia si se selecciona una !uestra aleatoria de ta!a7on;89 -

En este caso se tienen dos situaciones( de&endiendo de si se utili)a la .arian)a muestralsin corregir o corregida-

Si se utili)a la .arian)a sin corregir > @ la estad,stica de traba'o es la e


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W0; se tiene una &rueba de $itesis a dos colas( &or lo tanto( el ni.el de signi%icancia> @ se di.ide en dos &artes iguales( !uedando estos .alores en los e @ en la &arte su&erior de la distribuci#n

&ertenece a una distribuci#n normal est+ndar- Si el .alor de la estad,stica de traba'o >&@ es menor !ue no se rec$a)a la $itesis nula( en caso contrario se rec$a)a W/ lo

cual im&lica ace&tar W0 - Es decir( si & [ no se rec$a)a W/ -4 Si se $a &lanteado la $itesis alternati.a como;

W0 ; [ ( se tiene una &rueba de $itesis a una cola in%erior( !uedando el ni.el designi%icancia > @ en la &arte in%erior de la distribuci#n

&ertenece a una distribuci#n normal est+ndar- Si el .alor de la estad,stica de traba'o>& @ es ma"or !ue no se rec$a)a la $itesis nula( en caso contrario se rec$a)a W/ locual im&lica ace&tar W0 - Es decir( si & no se rec$a)a W/ -

E6EPLO

1n %abricante a%irma !ue &or lo menos el / &or ciento de las &ie)as de una ma!uinaria!ue suministra a una %+brica guardan las %ormas es&eci%icadas- 1n e


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Asumiendo una con%iabilidad del 9 &or ciento( el .alor corres&ondiente a en ladistribuci#n normal es 40(:8

3omo &uede obser.arse en la %igura( el .alor de la estad,stica de traba'o se encuentra enla )ona de rec$a)o de la $itesis nula( &or consiguiente( con una con%iabilidad del 9 &orciento se conclu"e !ue la a%irmaci#n del %abricante no es cierta-

Regla de decisi#n &ara una &rueba de $itesis a una cola in%erior


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introduccion_a_las_probabilidades (1).docx

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