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Introducción a

radicales

Martin-Gay, Developmental Mathematics 2

Extracción de raíces

La operación inversa de elevar un número a

una potencia es extraer la raiz al número.

Para representar esta operación usamos el

símbolo llamado radical:

radical

radicando

índice

raíz


Raiz Cuadrada

La operación inversa de cuadrar es tomar la

raiz cuadrada de un número.

Un número b es una raiz cuadrada de otro

número a, si b2 = a.

93porque39 2

648porque864 2


La raiz cuadrada principal (positiva) se

denota a

La raiz cuadrada negativa se denota

a

Raiz Cuadrada Principal

9 de negativa cuadrada raiz la es39


Raiz Cuadrada Principal

NOTA:

NO es un número real porque no existe ningún número tal que al cuadrarlo dé -9.

Por eso decimos en general que

9

aexiste en los reales si a 0.


49 7

9

100

3

10

144 12

Ejemplos

25.0 5.0


La raiz cuadrada de un radicando que es un

cuadrado perfecto simplifica a un número

racional.

Cuadrados perfectos

son raíces susy perfectos cuadrados 10 primeros Los

6, 36 5, 25 4, 16 3 9 2, 4 ,11 ,00

9 81 8, 64 7, 49


Raíces cuadradas de radicandos que NO son

cuadrados perfectos ( ) son

números irracionales.

Podemos conseguir una aproximación decimal

a estos radicales con una calculadora, si el

ejercicio lo pide. Pero, su valor exacto solo se

puede representar en forma de radical.

Números irracionales

etc ,10 ,7 ,2


La raiz cúbica de un número real a es

ab si soloy si ba 33

Nota: Para las raíces cúbicas, NO se

restringe el valor del radicando a valores

positivos.

Raíces cúbicas

3273

3 64

3 125

porque 33 = 27

porque (-4)3 = -64

porque (-5)3 = -125

4

5


ab si soloy si ,ba nn

En general,podemos determinar otras raíces.

La raiz enésima se define como:

Raiz enésima

Si el índice, n, es par, la raiz NO es un

número real cuando a es negativa.

Si el índice, n, es impar, la raiz es

SIEMPRE un número real no importa el

signo de a.


Raiz enésima - ejemplos

2325 porque (-2)5 = -32

4 256 porque (4)4 = 256

6 729 porque (3)6 = 729

5

243

32

porque (2

3)5 =

32

243

4

3

3

2


Propiedad #1:

Si Ran Rbn y entonces,

n

n

n

b

a

b

a


Práctica:

a)

b)

c)

d)

25

16

3

1000

8

3

3

16

2

4

16

81


Simplificación de raíces

Simplificar la raíz de un número compuesto

implica

• factorizar el radicando

• identificar algún factor que tenga una raíz exacta

• utilizar propiedades de radicales para extraer la

raíz a los factores con raíces exactas

• si el radicando no tiene factores con raíces

perfectas, entonces el radical no simplifica.


Propiedad #2:

Si Ran entonces,

y aan

n aan n

99 ,33 :Ejemplo3

32


Propiedad #3:

Si Ran y Rbn entonces,

nnn baba

6329494 :Ejemplo


Simplificación de radicales

Si un número compuesto NO es un cuadrado

perfecto pero tiene un factor que es cuadrado

perfecto, entonces su raiz cuadrada se puede

simplificar usando la propiedad anterior.

Ejemplo: Simplificar 27

Solución:

Como 27 = 9 ∙ 3 podemos decir que

27 = 9 ∙ 3 y por la propiedad anterior

27 = 9 ∙ 3 = 9 3 = 3 3




Solución:


Solución:



Esto lo podemos extender para la raíz enésima. Si

un número compuesto tiene un factor

exponencial, con potencia igual al índice del

radical entonces su raiz enésima se puede

simplificar usando la propiedad #1 anterior.


Solución:

Como 250 = 125 ∙ 2 = 53 ∙ 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

2503

= 125 ∙ 2 3

=

= 1253

23

= 5 23



Ejemplo: Simplificar 33 ∙ 53∙ 23

Solución:

Podemos aplicar la propiedad: 𝑎𝑛𝑛= 𝑎



Ejemplo: Simplificar 25 ∙ 53

Solución:

Notamos que las potencias de los factores son mayores que

el índice.

Podemos usar la siguiente propiedad de exponentes:

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚




Solución:


Solución:


12 = 1 112 = 121 13 = 1

22 = 4 122 = 144 23 = 8

32 = 9 132 = 169 33 = 27

42 = 16 142 = 196 43 = 64

52 = 25 152 = 225 53 = 125

62 = 36 162 = 256 63 = 216

72 = 49 172 = 289 73 343

82 = 64 182 = 324 83 512

92 = 81 192 = 361 93 729

102 = 100 202 = 400 103 1000

Cuadrados perfectos Cubos perfectos


40 )a(

16

5 b

15 )c(

Práctica: Simplifique los radicales

3 16 )d(

3

64

3 )e(

5 265 532)( f

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