simplificación de radicales - mate 0008 – upra · a éstos radicales, si el ejercicio lo pide....
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Simplificación de radicales
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Raiz Cuadrada
El opuesto de cuadrar es tomar la raiz
cuadrada de un número.
Un número b es una raiz cuadrada de otro
número a, si b2 = a.
93porque39 2
648porque864 2
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La raiz cuadrada principal (positiva) se
denota a
La raiz cuadrada negativa se denota
a
Raiz Cuadrada Principal
9 de negativa cuadrada raiz la es39
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Raiz Cuadrada Principal
NOTA:
NO es un número real porque no existe ningún número tal que al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que
9
a
existe en los reales si a > 0.
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49 7
16
25
4
5
4 2
Ejemplos
25.0 5.0
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La raiz cuadrada de un radicando que es un
cuadrado perfecto se simplifica a un número
racional (números que se pueden escribir
como el cociente de dos enteros.).
Cuadrados perfectos
81 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0,
:son perfectos cuadrados 11 primeros Los
9 81 8, 64 7, 49 6, 36
5, 25 4, 16 3 9 2, 4 ,11 ,00
:son cuadradas raíces susy
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Raíces cuadradas de radicandos que NO son
cuadrados perfectos ( ) son
números irracionales.
Podemos conseguir una aproximación decimal
a éstos radicales, si el ejercicio lo pide. Su
valor exacta solo se puede representar en
forma de radical.
Cuadrados perfectos
etc ,10 ,7 ,2
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La raiz cúbica de un número real a es
ab si soloy si ba 33
Nota: Para las raíces cúbicas, NO se
restringe el valor del radicando a valores
positivos.
Raíces cúbicas
3273
4643
51253
porque 33 = 27
porque (-4)3 = -64
porque (-5)3 = -125
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ab si soloy si ,ba nn
En general,podemos determinar otras raíces.
La raiz enésima se define como:
Raiz enésima
Si el índice, n, es par, la raiz NO es un
número real cuando a es negativa.
Si el índice, n, es impar, la raiz es
SIEMPRE un número real no importa el
signo de a.
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Raiz enésima - ejemplos
2325 porque (-2)5 = -32
42564 porque (4)4 = 256
37296 porque (3)6 = 729
3
2
243
325
porque (2
3)5 =
32
243
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Ejercicios:
4 81
3 1000
01.
3
8
1
9
4
Simplificar las siguientes expresiones:
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Propiedad #1:
Si Ran Rbn y entonces,
n
n
n
b
a
b
a
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Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
25
16
25
16
5
4
3
1000
8
3
3
1000
8
10
2
3
3
16
23
16
23
8
1
2
1
4
16
81
4
4
16
81
2
3
5
1
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Simplificación de radicales
Al simplificar radicales pueden surgir varias
situaciones:
Raíces racionales Ráices
irracionales
Raíces de
números
compuestos que
tienen algún
factor con una
raiz perfecta
121 = 11 2 8 = 2 2
−0.1253
= −0.5 10 27 = 3 3
325
= 2 43
90 = 2 10
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Propiedad #2:
Si Ran y Rbn entonces,
nnn baba
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12 = 1 112 = 121 13 = 1
22 = 4 122 = 144 23 = 8
32 = 9 132 = 169 33 = 27
42 = 16 142 = 196 43 = 64
52 = 25 152 = 225 53 = 125
62 = 36 162 = 256 63 = 216
72 = 49 172 = 289 73 343
82 = 64 182 = 324 83 512
92 = 81 192 = 361 93 729
102 = 100 202 = 400 103 1000
Cuadrados perfectos Cubos perfectos
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Simplificación de radicales
Si un número compuesto NO es un cuadrado
perfecto pero tiene un factor que es cuadrado
perfecto, entonces su raiz cuadrada se puede
simplificar usando la propiedad anterior.
Ejemplo: Simplificar 27
Solución:
Como 27 = 9 ∙ 3 podemos decir que
27 = 9 ∙ 3 y por la propiedad anterior
27 = 9 ∙ 3 = 9 3 = 3 3
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 90
Solución:
Como 90 = 9 ∙ 10 podemos decir que
90 = 9 ∙ 10 y por la propiedad anterior
= 9 ∙ 10 = 9 10 = 3 10
Ejemplo: Simplificar 200
Solución:
Como 200 = 100 ∙ 2 podemos decir que
200 = 100 ∙ 2 y por la propiedad anterior
200 = 100 ∙ 2 = 100 2 = 10 2
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Simplificación de radicales
Esto lo podemos extender para la raíz enésima. Si
un número compuesto tiene un factor
exponencial, con potencia igual al índice del
radical entonces su raiz enésima se puede
simplificar usando la propiedad #1 anterior.
Ejemplo: Simplificar 2503
Solución:
Como 250 = 125 ∙ 2 y 125 = 53, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
2503
= 125 ∙ 2 3
= 53 ∙ 2 3
= 53 3
23
= 5 23
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 323
Solución:
Como 32 = 8 ∙ 4 y 8 = 23, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
323
= 8 ∙ 4 3
= 23 ∙ 4 3
= 23 3
43
= 2 43
Ejemplo: Simplificar 3753
Solución:
Como 375 = 125 ∙ 3 y 125 = 53, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
3753
= 125 ∙ 33
= 53 ∙ 33
= 533 3
3 = 5 3
3
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40 )a( 104 102
16
5 b
16
5
4
5
15 )c(No tiene un factor cuadrado perfecto, por
lo tanto no simplifica más-.
Práctica
3 16 )d( 3 28 33 28 3 2 2
3
64
3 )e(
3
3
64
3
4
33
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Práctica
Expresar cada radical en su forma más simple.