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Multiplicar y dividir radicales
2
Repaso 333 12825042000725 Simplificar:
333 2642225421000725
333 242254210725
333 2822027025
2202)8705( 3
2202)57( 3
3 257220
3
nnn abba
n a n bSi y son números reales,
Podemos decir que cuando multiplicamos radicales con el mismo índice, el producto será un radical con el mismo índice y un radicando formado del producto de los radicandos.
Multiplicación de radicales
4
Ejemplos
a)
b)
c)
6532 6352 1810
2910 2910
2310 230
33 25352 33 25532 3 1256 56 30
6155 6155 23355 2925
2925
235 215
5
División de radicales
O sea, si tenemos dos radicales con el mismo índice y se están dividiendo, el resultado será un radical con el mismo índice y con la división de los radicandos.
0b i sb
a
b
an
n
n
n a n bSi y son números reales,
6
Ejemplos
Tenemos que hacer enfatizar, que estas dos propiedades aplican sólo a radicales con el mismo índice.
a)
b)
c)
3
48
3
4816 4
5
152
5
152 32
12
21
43
73
43
73
4
7
2
7
5
15232ó
5
352
7
Operaciones combinadas
Ahora veamos algunos ejemplos donde se combinan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de radicales.
Suponga que tenemos el siguiente ejercicio:
)2935(32
En este caso, utilizamos la propiedad distributiva, al igual que la usamos si tuviésemos la multiplicación de dos binomios.
8
Simplificar:
)2233(35)2233(23
)22)(35()33)(35()22)(23()33)(23(
6109154669
610)3(15)2(669
45126
336
:propiedad distributiva
:multiplicando
:raíces exactas
:términos semejantes
:combinando términos
)2233)(3523(
Operaciones combinadas
9
Simplificar:
:propiedad distributiva
:multiplicando
:raíces exactas
)2935(32
)29(32)35(32
23)92(33)25(
23183310
618910
618)3(10
61830
Operaciones combinadas
10
Radicales en
el denominador
2
5
En ocasiones tenemos expresiones irracionales en el
denominador de una fracción.
Ejemplo:
El procedimiento que se usa para crear una expresión
equivalente, sin radical en el denominador, se conoce
como it is racionalizar el denominador.
Este proceso envuelve multiplicar el cociente por una forma
de 1 que eliminará el radical del denominador.
53
2
67
72
11
Racionalizar el denominador.
2
3 )a
2
2
3 9
6 )b
3
3
3
3
22
23
4
6
33
3
39
3 6
3
3
27
3 6
3
3 6 33 3 2
Ejemplos
Multiplicar el cociente por una forma de 1 que convertirá
el radicando del denominador en un cuadrado perfecto.
2
6
Multiplicar el cociente por una forma de 1 que convertirá
el radicando del denominador en un cubo perfecto.
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Cuando un cociente tiene en el denominador una suma o diferencia de términos con radicales, debemos multiplicar por el conjugado del denominador para racionalizar.
El conjugado tiene los mismos términos pero con la operación opuesta. (+ o ).
El producto de un binomio por su conjugado es una diferencia de cuadrados.
Conjugados
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Racionalizar el denominador
)53)(53(
Cuando multiplicamos dos expresiones como (a+b)(a-b) tenemos
como resultado
a2 –ab + ab – b2 = a2 – b2,
Por ejemplo:
2)5(53539
59
4
pues los términos centrales son opuestos y se cancelan.
14
Ejemplo
53
53
53
2
Racionalice el denominador.
259
526
4
52
4
6
4
526
2
5
2
3
2
53
53
2
)2)(2(
)53(2
2
53
De forma alterna:
555353)3)(3(
)53(2
Debemos multiplicar el numerador y el denominador del cociente
por el conjugado de denominador para formar una diferencia de
cuadrados.
15
Ejemplo:
17
33
a)
Racionalice el denominador:
17
17
17
33
1)1(1)7(1)7()7)(7(
)17(33
6
)321(3
2
321
17
3213
)2)(3(
)321(3
16
Ejemplo
37
37
37
11
Racionalice el denominador:
37
11
33733777
)37(11
4
3377
37
)37(11
949
)37(11
4
)37(11
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Radicales con variables
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• Los radicales pueden contener variables y potencias de variables.
• Para los ejemplos en este curso, asumimos que las variables representan números positivos.
• Para simplificar una expresión que contiene la potencia de una variable en el radicando
o Divida la potencia de la variable entre el índice del radical.
o La parte entera de la división, es la potencia de la variable que sale del radical.
o El residuo de la división, es la potencia de la variable que se queda dentro del radical.
10x64 10x64
Radicales con variables
Ejemplo 5x
Como 10÷2=5,
8
19
3 5x32
Ejemplo
Radicales con variables
3 53 x32 3 533 x48 3 53 x42
Para simplificar la parte variable del radicando,
dividimos 5÷ 3 = 1 y sobra 2. Por lo tanto,
3 23 xx42
3 2x4x2
Simplifique la siguiente expresión.
3 53 x48
20
Simplifique las siguientes expresiones.
7x )a
xx3
16x
20 )b
16
20
x
8
54
x 8
52
x
Ejemplo
Para simplificar la parte variable del radicando,
dividimos 7÷ 2 = 3 y sobra 1. Por lo tanto, la
simplificación del radical es
16x
54
Para simplificar la parte variable del radicando,
dividimos 16÷ 2 = 8 y sobra 0. Por lo tanto,
Multiplicar, dividir y simplificar expresiones con
radicales
21
x5y3 )a xy15
23
67
ba
ba )b
23
67
ba
ba 22ba
Multiplicar, dividir y simplificar expresiones con
radicales
Ejemplo
Simplifique las siguientes expresiones.
44ba
22
202ba25 )c 105ab
39
10
b
a128 )d
3
33
b
a2a4
Ejemplo
Simplifique las siguientes expresiones.
202 ba25
3 9
3 103
b
a128
3
3333
b
aa264
Multiplicar, dividir y simplificar expresiones con
radicales (cont.)