04 radicales

5/12/2018 04 Radicales - slidepdf.com

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- 237 -

Radicales

En algunos casos es de utilidad expresar cantidades en términos de radicales en lugarde emplear exponentes racionales. Las leyes de los radicales están relacionadasampliamente con las definiciones y propiedades de los exponentes.

índice radical

3 9 radicando

Si m y n son enteros positivos, siendo a y b números positivos:

( )

( )

( )

mnnm

1m

1

n

1

m n

n

n

n

1

n

1

n

1

n

nnn

1

n

1

n

1n

n n

n

n

mnn mn

m

aaaa

,b

a

b

a

b

a

b

a

,babaabab

,aaa

,aaa

=

=

=

=

⋅

=

=

Ejemplo 1:

Escribe la siguiente expresión como radical y evalúa.

2

5

4

( ) 322445

52

5

===

Otro Método:

3210244452

5

===

Uso exclusivo para el Sistema ITESM. Prohibida su reproducción parcial o total sin consentimiento por escrito del ITESM



- 238 -

Ejemplo 2:


( ) 32

27

( ) ( ) ( ) 9327 27 22

33

2

=

Ejemplo 3:


( ) ( ) 25 1

5 1

125

1

125

1125 22

3

3

2

3

2

=

−

Ejemplo 4:

Simplifica: 50

2522522550 =•=•=

Forma estándar de los radicales.

Se dice que un radical está en forma estándar si se cumplen las siguientescondiciones:

1. El radicando es positivo.2. El índice del radical es el menor posible.3. El exponente de cada factor del radicando es un número natural menor qu

el índice del radical.4. No hay fracciones en el radicando.5. No hay radicales en el denominador.

Uso exclusivo para el Sistema ITESM. Prohibida su reproducción parcial o total sin consentimiento por escrito del ITES



- 239 -

Ejemplo 5:

Simplifica: 3

27

4

3

4

27

4

27

43

3

3

3 ==

Ejemplo 6:

Simplifica: 6 27

32727 36==

Ejemplo 7:

Simplifica, (Expresa: 3 7581 y x en forma estándar)

3 223 23 633 2633 753332732781 y x xy y x y x y x y x y x =•=•=

Ejemplo 8:

Expresa: 37 en un solo radical

14734937 =•=

La expresión3

2, contiene la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado

perfecto, el cual es un número irracional. Para simplificar esta expresión, se deberacionalizar el denominador, significa, quitar todos los radicales del denominado




- 240 -

Racionalización:Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por la raíz cuadrada queaparece en el denominador, o por la raíz de un número que haga deldenominador la raíz cuadrada de un número que sea cuadrado perfecto.

332

3332

32 =

•

•=

Ejemplo 9:

Simplifica:2

3

2

6

2

2

2

3

2

3=•=

Ejemplo 10:

Simplifica: 4

2

4264

z

y x

z

xz y

z

z x y

z

z

z

x y

z

y x

z

y x

z

y x 222482264

2

1

2

1

2

3

4

1

2

426

4

2

42

=••

=•==

=




- 241 -

Ejercicios:

Escribe las siguientes expresiones como radicales. Evalúa cuando sea posible.

1) =2

1

16

2) =2

1

81

3) =2

1

49

4) =2

1

64

5)=

2

1

49

6) =3

1

27

7) ( ) =3

1

8

8)=

4

1

16

9) =5

1

32

10) ( ) =− 3

1

125

11) ( ) =− 3

1

27

12)=

5

1

243

13) =3

2

64

14)=

4

3

16

15)=

4

3

81




- 242 -

16)=

2

5

4

17) ( ) =− 3

2

8

18) ( ) =− 3

4

27

19)=

3

2

125

20)=

2

3

16

21)=

6

5

64

22) =

−2

3

4

1

23) =

3

2

27

1

24) =

−

4

3

81

1

25) =

−

21

16

9

26) =

−3

2

8

27

27) =

2

3

16

100

28) =

−5

3

32

243

29) =

−4

1

16

81




- 243 -

30) =

− 3

4

8

125

Expresa con exponentes positivos:

31) 14 =

32) 34 =

33) 56 =

34) =3 7

35) =

5

2

36) =4 3

37) =5 2 x

38) =3 7c

39) =5 3q

Expresa como un solo radical:

40) =32

41) 53

42) =67

43) =712

44) =115

45) =212

46) =66

47) =144




- 244 -

48) =2a

49) =32a3ab

50) x xy 25

51) =cc 32

52) =2

24

53) =3

55

54) =7

73

55) =2

3 x x

56) =

bab

abba

22

22

3

2

57) =2325 rs sr

Simplifica (Escribe los radicales en forma estándar):

58) =324

59) =3 125

60) =4 81

61) =3 40

62) =4 32

63) =3 54

64) =4112




- 245 -

65) =3 320

66) =4 1250

67) =3 3320 y x

68) =532 x

69) =523

8 z y x

70) =3 105 6 4 z y x 2

71) =3 4 11ba2

72) =4 104

64 nm




- 246 -

Suma y Resta de expresiones radicales.

Para sumar o restar radicales, es necesario que tengan el mismo índice y elmismo radicando, “radicales semejantes”. Si no son semejantes no pueden ser sumados ni restados.

Ejemplo 1:

Suma: 2526 +

2526 + = ( ) 211256 =+

Ejemplo 2:

Resta: 33 3234 −

33 3234 − = ( )33

32324 =−

Ejemplo 3:

Calcula: 6836234 −−+

6836234 −−+ = ( ) ( ) 6633682314 −=−+−

Ejemplo 4:

Suma: 8327 +

24383 •= = 26223 =••

8327 + = 2132)67(2627 =+=+




- 247 -

Ejercicios:

Realiza las operaciones indicadas:

1) =+ 7573

2) =− 11181115

3) =+ 315323

4) =+−+ 5825725

5) =− 90250

6) =+ 1850

7) =+ 6328

8) =− 4499

9) =+− 804520

10) =−− 482775

11) =+ 903402

12) =− 18502

13) =− 724983

14) =− 3484

15) =−− 1122632283

16) =−+ 964543242

17) =+− 12524510805

18) =+− 11771325212

19) =−+− 242838578

20) =−−+ 2045612748

21) =+−+ 634988175183




- 248 -

22) =+−− 207755484804

23) ( =−−− 9957344263

24) =−+−333

2352 y y y x x

25) =−+ 96243542 aaa

26) =+−22

4525453 x x x

27) =+−

5

62

4

6

2

6

28) =−

7

28

7

635

29) =−+

3

18

5

504

2

8

30) =+−

18

543

40

965

8

242

31) =+−−

7

986

2

963

3

544

3

722




- 249 -

Multiplicación de Radicales.

Únicamente se pueden multiplicar radicales que tengan el mismo índice.

Ejemplo1:

Multiplica: 253352 +−

253352 +− = 55246553065954256 −=−−=−−+

Ejemplo 2:

Multiplica: ( )( ) y p y p 2323 +−

( )( ) y p y p 2323 +− = y p y p y y p p 494669 22−=−•−•+




- 250 -

Ejercicios:

Multiplica las siguientes expresiones. Simplifica cada resultado.

1) ( )( )=2553

2) =− 6375

3) ) ) =17734

4) ) ) =10753

5) =65242

6) =− 2184

7) ( =+ 752

8) =+1337

9) ( ) =− 22352

10) =− 133213

11) =+ 453263

12) =−215533

13) =+− 6253




- 251 -

14) ( ( =+− 2535

15) =−− 1122117

16) ( )( ) =7 5 37 5 5

17) ( )( )=−+ 242253

Multiplica.

18)=+−

5252

19) ( ( =+− 2727

20) =−+ 562562

21) =+− 2253)2253(

22) =−+ 24342434

23) =+− 61126112

Eleva al cuadrado.

24) ( ) =+

2

12

25) ( ) =−

2

53

26) ( ) =+

2

263

27) ( ) =−

2

3265

28) ( ) =+

2

232




- 252 -

29) ( ) =−

2

511

30) ( ) =−+

2

323

31) ( ) =++

2

1052

32) ( ) =+−

2

1623

Eleva al cubo.

33) =32

34) =+12

35) =− 52

36) =− 327




- 253 -

Multiplica y Simplifica:

37) =3 x 3

38) =2 x 2 x

39) =33 25 5

40) =33 2 y10 xy4

41) =34 2

42) =3 5 5




- 254 -

División de Radicales.

Las expresiones radicales solamente se pueden dividir cuando tienen el mismoíndice.

Ejemplo 1:

72

14

2

14==

Ejemplo 2:

x y xy y x

y x

y x

y x24

2

53

2

53

===

Ejemplo 3:

355

15

2

10

52

1510=•=

Una expresión radical está simplificada cuando es escrita sin radicales en eldenominador. A este proceso se le conoce como “racionalización”. Pararacionalizar, multiplica el numerador y el denominador de la fracción por la raízcuadrada que aparece en el denominador o por la raíz de un número que hagaque el denominador sea la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto.

Ejemplo 4:racionaliza

2

6

6

63

3

3

32

23

32

23==•=

Ejemplo 5:

(12

3

123

3

323

3

329

3

318

3

3

3

36

3

36−=

−=

−=

−•=

−=•

−=

−

Ejercicios




- 255 -

Divide y simplifica las siguientes expresiones radicales:

1) =3

15

2) =14

28

3) =2

18

4) =

18

72

5) =11

555

6) =13

267

7) =32

1812

8) =48

2016

9) =−

106

308

10) =

3

1

11) =

7

5

12) =

26

13) =

7

14

14) =54

25




- 256 -

15) =5

34

16) =103

185

17) =182

246

18) =82

125

19) =3 2

3 23

27ab

y x

20) =3 24

3 5

6

3

y x

y x

21) =4 53

4 4

32

2

ba

ba

22) =

+5 x

x

23)( )

=+

3

184122

24) =−

5

152105

25) =− xy

y x

21

314

Denominadores con Binomios.

Cuando el denominador de una expresión es un binomio que contiene algúnradical, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado deldenominador. A esta operación se le llama “racionalización”.

El conjugado de ba + es ba −

El conjugado de 232+ es 232−

El conjugado de 15 − es 15 +




- 257 -

Ejemplo 1:

Racionaliza la siguiente expresión:32

4

−

3481

348

34

348

32

32

32

4

32

4+=

+=

−

+=

+

+•

−

=

−

Ejercicios

Racionaliza las siguientes expresiones radicales:

1) =

+

−

13

6

2) =

+37

15

3) =

−

−

15

2

4) =

− 335

32

5) =

+423

25

6) =

− 115

75

7) =

+352

54

8) =

+ 532

34




- 258 -

9) =

− 542

24

10) =

+ 31

4

11) =

− 21

3

12) =

−

+

32

32

13) =

+

−

56

56

14) =

+

+

234

2332

15) =−+

5 23

5 25

16) =+−

35 4

6 15

17) =−+

y2 x 3

y2 x

18) =−

+

y2 x

y x 2


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