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Introduccion

La asignatura esta estructurado en tres partes:

I. Iniciacion a los Espacios Normados,

II. Calculo Diferencial,

III. Medida e Integracion en Rn.

La primera parte esta pensada con un triple objetivo: estudiar las cues-tiones esenciales sobre equivalencia de normas y linealidad que despues seutilizaran en el desarrollo del Calculo Diferencial; servir de pretexto pararepasar los conceptos y propiedades basicas de la topologıa de un espaciometrico y, en particular, de Rn; y, por ultimo, abordar el estudio de la con-vergencia uniforme, como la convergencia en un cierto espacio de funciones,para concluir con el teorema de aproximacion uniforme de Weierstrass y lageneralizacion del mismo debida a Stone.

En la segunda parte se establece el Calculo Diferencial. Los temas que seincluyen estan muy determinados por la tradicion y por el marcado caracterauxiliar para otras materias. Hay un primer bloque en el que se extienden alas funciones de varias variables las reglas y teoremas habituales del calculocon derivadas, tanto para las de primer orden como para las de orden su-perior. Se obtienen ası, la regla de la cadena, la formula de Leibnitz etc.,para terminar con los teoremas de Taylor y su aplicacion a los problemasde extremos relativos. En un segundo bloque, con materia especıfica solo delas varias variables, se dan los primeros pasos para el estudio de las Varie-dades Diferenciables: se prueban los teoremas de existencia y derivabilidadde funciones implıcitas, los teoremas sobre funciones inversas, para terminarcon un capıtulo sobre variedades en Rn. En este ultimo tema se incluyenalgunas caracterizaciones del Espacio Tangente a una variedad en un punto,que se aplicaran en la obtencion de condiciones de extremo sobre variedades.

Si bien no hay un interes especial en trabajar en dimension infinita,no se ha querido renunciar a la ventaja que supone el uso de las tecnicasde los Espacios Normados. Ası, tanto el concepto de funcion diferenciablecomo las reglas del calculo con derivadas de cualquier orden, se formulan eneste marco. Sin embargo, el objetivo son las funciones de varias variablesreales y la obtencion rigurosa de los teoremas ligados con sus propiedades dediferenciacion. En la mayor parte de ellos, de forma mas o menos explıcita,interviene el teorema de valor medio de las funciones de una variable o bienuna consecuencia del mismo, que relaciona el caracter lipschitziano de unaaplicacion con la acotacion de sus derivadas parciales o su diferencial. La

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version mas fuerte de este ultimo resultado establece que la menor constantede Lipschitz para una funcion f , diferenciable en un segmento de un espacionormado y que toma sus valores en otro espacio normado, es “ sup ‖Df(x)‖”.Por el interes que en sı mismo tiene este ultimo resultado, que a vecesse conoce como “teorema de valor medio vectorial”, se ha incluido en unAnexo la demostracion del mismo, extraıda del excelente libro de Flett[12].Sin embargo, para el desarrollo del Calculo Diferencial en Rn tal versionno resulta necesaria. De hecho, sin recurrir a ella y sin ningun esfuerzoadicional, puede obtenerse: el teorema de caracterizacion de las aplicacionesde clase Cr en termino de la continuidad de las derivadas parciales de ordenr; el teorema de Schwartz que, en su forma mas general, establece la simetrıade la diferencial de orden r de una funcion en un punto; el teorema localde Taylor (en este caso, la demostracion es algo mas larga que la que usadel teorema del valor medio vectorial, y que puede verse, por ejemplo, enCartan [5]); el teorema de existencia de funciones implıcitas...

La tercera parte se dedica a la Medida y la Integral de Lebesgue enRn. Para la construccion de la medida se sigue el metodo de Caratheo-dory, que define los conjuntos medibles utilizando solo la medida exterior.Este procedimiento, ademas de ser completamente generalizable a los espa-cios de medida abstracta, parece el mas rapido y no precisa distinguir elcaso acotado del no acotado. En los primeros capıtulos se estudian, pues,las propiedades de la familia de los conjuntos medibles y de la medida deLebesgue y su relacion con la topologıa de Rn.

El desarrollo de la integracion para funciones de varias variables, quese aborda a continuacion, se basa en el concepto “geometrico” de funcionmedible. Una funcion no negativa se dira medible cuando su conjunto deordenadas (o subyacente a su grafica) es un conjunto medible. La medidade este conjunto sera, por definicion, su integral. Inmediatamente, con ayu-da de las propiedades ya estudiadas de la medida, se obtendra un teoremade caracterizacion de funciones medibles en los terminos que son habitua-les en los espacios de medida abstracta. Algunas de los tıpicos resultadossobre integracion, tales como la desigualdad de Chebyshev o el teorema dela convergencia monotona, seran consecuencias directas de esta definiciongeometrica de integral. El estudio de las Funciones Medibles, la linealidaddel operador integral y los teoremas de convergencia y sus consecuencias,completan basicamente el bloque teorico sobre la Integral de Lebesgue enRn. Los ultimos capıtulos estan enfocados al Calculo Integral. En primerlugar se estudia, en algunos casos particulares, la relacion entre primitivas eintegrales (teorema fundamental del Calculo Integral), despues se estableceel teorema de Fubini-Tonelli, que reduce el calculo de una integral multiple

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al calculo de integrales simples y, por ultimo, el teorema del Cambio deVariables.

Al margen de las referencias utilizadas para elaborar los distintos capı-tulos, quiero destacar aquı dos influencias esenciales. La primera, la de lasnotas sobre Integracion de mi amigo, el profesor Carlos Benıtez, y sobretodo de dos de las peculiaridades de esas notas: la presentacion unificada dela medida de Jordan y la de Lebesgue, y la nocion geometrica de la Integral.De hecho, la idea de plasmar en un libro sus notas fue lo que determino midecision de ponerme a escribir. Espero que el resultado conseguido no ledesagrade y, en todo caso, agradezco su confianza y su generosidad, sin locual este proyecto no lo hubiera podido realizar. La otra influencia a queme refiero es la ejercida por un libro muy clasico, y quizas poco conocido,el segundo tomo de las “Fontions de Variables Reelles” de Garnir [15]. Esimpresionante la cantidad de detalles, ejemplos, ejercicios y problemas conque el autor adorna la exposicion de los resultados. Ahora agradezco a miprofesor en la Universidad de Valladolid, Antonio Perez, que se emplease afondo para explicarnos la Integracion Lebesgue en Rn, a traves de este libro.