intensivo 2015 guia de estudio (matematica iii).pdf

7/25/2019 INTENSIVO 2015 Guia de estudio (Matematica III).pdf

1/88

Autor: Ing. Neptal Franco Punto Fijo, Agosto de 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALFRANCISCO DE MIRANDA

AREA DE TECNOLOGIACOMPLEJO ACADEMICO EL SABINODEPARTAMENTO DE FSICA Y MATEMATICA

GUIA DE ESTUDIO

PARA LA UNIDAD CURRICULARMATEMATICA III

UNEFM

UNIDAD pg

1. GEOMETRIA EN EL ESPACIOEUCLIDIANO Y FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES . 3

2. DERIVADA EN EL ESPACIO N-DIMENSIONAL .. 32

3. LA INTEGRAL EN EL ESPACIO N-DIMENSIONAL .. 62


2/88

Autor: Ing. Neptal Franco Punto Fijo, Agosto de 2015



UNIDAD I

GEOMETRIA EN EL ESPACIO

EUCLIDIANO Y FUNCIONES DE

VARIAS VARIABLES

UNEFM

CONTENIDO

1. GEOMETRIA EN EL ESPACIOEUCLIDIANO Y FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES ..... 31.1. Coordenadas cartesianas en tres

dimensiones ... 31.2. Frmulas de la distancia y punto

medio entre puntos ... 41.3. Planos y Superficies en el

Espacio ...... 61.4. Definicin (funciones de dos

variables) .... 141.5. Dominio de funciones de dos

variables . 141.6. Rango y grfica de funciones de

dos variables .... 201.7. Lmites de funciones de dos o ms

variables .... 221.8. Continuidad en un punto de

funciones de dos variables ... 26


3/88

Unidad I Geometra en el espacio euclidiano y funciones de varias variables3

UNIDAD IGEOMETRIA EN EL ESPACIO EUCLIDIANO Y FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES

En este curso vamos a estudiar el clculo que se aplica a funciones de dos o msvariables. Todas las ideas familiares (tales como funciones, lmites, derivadas eintegrales) van a ser exploradas otra vez desde una perspectiva ms amplia.

1. GEOMETRIA EN EL ESPACIO EUCLIDIANO:

1.1. Coordenadas Cartesianas en tres dimensiones:

Considrense tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares que parten de

un punto comn llamado origen. Los tres ejes determinan tres planos: xy, xzyyzque dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes (Ver fig. 1)

En el espacio, a cada puntoPle corresponde una triada ordenada de nmeros

(x,y, z), sus coordenadas cartesianas que miden sus distancias orientadas desdelos tres planos.

Para ilustrarle como se grafica un punto

en este sistema, imagnate un puntoP(a, b,

c), donde a, b, c positivas, son lascoordenadas del punto. Obtenga la

proyeccin del punto P en el plano xyavanzando aunidades sobre el eje x, ahora

avanza bunidades en direccin el ejey. Elpunto as obtenido es la proyeccin del

punto en el plano xy. Sobre esta ltima trace

la elevacin que corresponde a cunidades(Ver fig. 3).

Aunque los ejes pueden serorientados de cualquier forma, eneste curso usaremos el sistema de lamano derecha (dextrgiro) mostradoen la fig. 2.

0

x

PRIMEROCTANTE

Planoyz

z

Plano xz

Plano xy

x

z

fig. 1 Sistema Cartesiano fig. 2 Orientacin de ejes

fig. 3

x

z

ab

P(a,b,c)


4/88


Ubicacin de puntos en el espacio

Ejemplo: Grafique en los siguientes puntos: , 4 , 1 (3, 2 , 0 ) (0, , 3) ,1, 4, 32 , ln 3

fig. 4

1.2. Formulas de la distancia y punto medio entre puntos:

Considrense dos puntosP1(x1,y1,

z1) y P2(x2, y2, z2) (Ver fig. 5).Entonces la distancia entre los puntos

P1 y P2 est dada por la siguienteformula:

= Y el punto medio entreP1yP2por: = 2 , 2 , 2

x

z

P1(x1,y1, z1),

P2(x2,y2, z2),

PM

fig. 5


5/88


Ejemplo:Una torre transmisora que mide 10 m est sostenida por tres cables anclados en

A(0, 5, 0),B(2, -4 , 5) y C(-3, -4, 0) respectivamente. Si la base de la torre se ubicaen el origen del sistema cartesiano, dibuje la torre, grafique los puntos de anclaje,

los cables y determine lo siguiente:a) La longitud de cada cable.

b) Los puntos medio de cada cable.

Solucin:

Aunque el problema indica solo tres puntos, el estudiante debe comprender quese puede expresar en coordenadas cartesianas el extremo superior de la torre, al

cual se llamarD(0, 0, 10). La torre, los puntos de anclaje y los cables se muestranen la fig. 6.

a) La longitud de cada cable viene dada por la

distancia entre sus extremos.

La distancia entreB( 2 , -4 , 5) yD( 0, 0, 10 )est dada por: = 0 2 04 1 0 5 = 4 1 6 2 5 = 4 5 = 35 La distancia entreA( 0 , 5 , 0) y

D( 0, 0, 10 ) est dada por:

= 0 0

0 5

1 0 0

= 0 2 5 1 0 0 = 1 2 5 = 55 La distancia entre C( -3 , -4 , 0) yD( 0, 0, 10 )est dada por: = 03 04 1 0 0 = 9 1 6 1 0 0 = 1 2 5 = 55

b) Los puntos medios estn dados por:

Para BD, = + , , + =1,2, Para AD, = + , + , + = 0 , , 5Para CD, = , , + = , 2 , 5

fig. 6


6/88


Graficacin mediante puntos de corte

1. Lnea recta: La expresin de la recta es = , donde aes la pendientey bes la ordenada en el origen.

Grafique

= 4 1

Puntos de corte:

Con el ejey:

Haciendo x=0, = 40 1 = 1(0, 1)

Con el eje x:

Haciendoy=0, 4 1 = 0, despejando x:4 = 1 = 14

, 0

2. Parbola: La parbola puede reconocerse cuando solo una de las variablesest elevada al cuadrado.

a) Grafique 4 9 = 3 6Puntos de corte:

Con el ejey:

Haciendo x=0, 40 9 = 3 6, despejandoy:9 = 3 6 = = 4(0, 4)

Con el eje x:Haciendoy=0, 4 9 0 = 3 6, despejando x: = = 9 = 9 = 33,0b) Grafique 9 4 = 36

Puntos de corte:

Con el eje x:

Haciendoy=0:

940

= 36, despejando x:

9 = 3 6 = = 4(4, 0)Con el ejey:

Haciendo x=0: 904 = 36,No hay cortes con el ejey.

fig. 7

fig. 8

fig. 9


7/88


3. Circunferencia: La circunferencia de centro en el origen tiene ambasvariables elevadas al cuadrado y sus coeficientes son iguales. Su forma cannica

es = Grafique

4

4

= 36

Puntos de corte:

Con el ejey:

Haciendo x=0: 40 4 = 36, despejandoy: = = 9 = 9 = 30,3Con el eje x:

Haciendoy=0: 4 40 = 36, despejando x: = = 9 = 9 = 33,0

Forma cannica:4 4 = 3 6 4 = 3 6 = 9; C( 0, 0 )y 39 r 4. Elipse: La elipse de centro en el origen tiene ambas variables elevadas al

cuadrado y sus coeficientes son diferentes. Su forma cannica es = 1.

Grafique 9 4 = 36Puntos de corte:

Con el ejey:

Haciendo x=0: 90 4 = 36, despejandoy: = = 9 = 9 = 30,3Con el eje x:

Haciendoy=0: 9 40 = 36, despejando x: = = 4 = 4 = 22,0Forma cannica:

= = 1 ; C( 0, 0 ), semiejes = 9 = 3, = 4 = 25. Hiprbola: La hiprbola de centro en el origen tiene ambas variables

elevadas al cuadrado, pero sus coeficientes tienen signos distintos y el trminoindependiente es distinto de cero.

Grafique 9 4 = 36

fig. 10

fig. 11


8/88


Puntos de corte:

Con el ejey:

Haciendo x=0: 90 4 = 36Al despejary, el resultado no es real.

Con el eje x:

Haciendoy=0: 9 40 = 36, despejando x: = = 4 = 4=2 2,0Forma cannica:

= = 1; C( 0, 0 ),semiejes real = 4 = 2 y transverso =9 = 3. Construya el rectngulo y asntotas para bosquejar grfica.6. El Punto (0, 0) caso degenerado de la circunferencia o elipse: En esta

ecuacin ambas variables estn elevadas al cuadrado, sus coeficientes tienen elmismo signo y el trmino independiente es cero.

Las siguientes ecuaciones solo se satisfacen en el punto(0, 0): = 0, 9 4 = 0, 9 25 = 0.7. Las dos rectas caso degenerado de la hiprbola. En esta ecuacin

ambas variables estn elevadas al cuadrado, pero sus coeficientes tienen signosdistintos y el trmino independiente es cero.

Grafique 9 4 = 0Despejandoy:

4 = 9 =

= 94 = 32 Las grficas de ambas rectas pasan por (0, 0).

Tomando algn valor de xadicional: = 2 = 3 2 , 3 = 2 =3 2,38. No existe el lugar Geomtrico caso degenerado: En esta ecuacin

ambas variables estn elevadas al cuadrado, pero sus coeficientes tienen signosiguales, pero el trmino independiente es de signo distinto cuando est en elsegundo miembro de la ecuacin.

Las siguientes ecuaciones no se satisfacen para ningn (x,y), es decir noexiste su lugar geomtrico: = 9, 9 4 =36, 4 = 1

fig. 12

fig. 13


9/88


1.3. Planos y superficies en el Espacio:

1.3.1. Ecuacin general del Plano:

La ecuacin que define un plano en

el espacio tridimensional es:ax + by + cz = d

Donde a, b, cy dreales constantes.

Cortes: = 0 , = 0 , = = 0 , = 0 , = = 0 , = 0 , =

1.3.2. Planos paralelos a los planos coordenados y a los ejes coordenados:

a) Planoy=kII xz b) Plano x=kIIyz c) Plano z=kII xy

d) Plano ax+by=dII z e) Plano ax+cz=dIIy f) Plano by+cz=dII x

x

z

(d/a, 0, 0) (0, d/b, 0)

(0, 0, d/c)

x

z

fig. 14 Plano

fig. 15 fig. 16 fig. 17

fig. 18 fig. 19 fig. 20

x

z

(0, k, 0)

y= k

x

z

(k, 0, 0)

x= k

x

z

(0, 0, k)

z = k

x

z

x


10/88


1.3.3. Superficies cilndricas

Definicin:

Sea C una curva sobre un plano llamada

generatriz y seal una recta no paralela al plano,llamada directriz. Entonces el conjunto de todos los

puntos en las rectas paralelas a lque intersecan a Ces un cilindro. El nombre del cilindro va seguido desu curva generatriz.

Graficando una superficie cilndrica:

Si en la ecuacin alguna de las variables x, yo zno aparece en la ecuacin,entonces su grfica corresponde a un cilindro y trazarla resulta muy simple: Primero

se dibuja la traza de la superficie sobre el plano coordenado correspondiente y luegose mueve esta curva en la direccin del eje coordenado correspondiente a lavariable que no aparece.

Ejemplos de planos y superficies cilndricas

Trazar la grfica de las superficies que se indican a continuacin:

a) 3x+ 4y+ 2z= 12

Puntos de Corte:

Siy = 0 , z = 0 ,

= = 4

( 4, 0, 0 )

Si x = 0 , z = 0 . = = 3 ( 0, 3, 0 )Si x = 0 , y = 0 , = = 6 ( 0, 0, 6 )

b) 2z+y=

3

Puntos de Corte:

Siy = 0 , z = ( 0, 0, )Si z = 0 , y =3 ( 0, 3, 0 )

Plano II eje x

fig. 21

x

zCurva

Generatriz

Directriz

x

z

( 4, 0, 0 )

( 0, 3, 0 )

( 0, 0, 6 )

El Plano

3x+ 4y+ 2z= 12

fig. 22

x

z

( 0, 0,2

3 )

( 0, 3 , 0)

Plano

2z+y= 3

fig. 23


11/88


c) = 4(Generatriz: Parbola)Puntos de Corte:

Si z= 0, x=4 (4, 0, 0)

Si x= 0, 4 = 0 , = 4 = 2( 0, 0,2 ) y ( 0, 0,2 )Directriz: ejey

d) = 4 (Generatriz: Circunferencia)Puntos de Corte:

Si x= 0, = 4 = 2( 0,2, 0 ) y ( 0, 2, 0 )

Siy= 0, = 4 = 2(2, 0, 0 ) y ( 2, 0, 0 )Directriz: eje z

e) = c o s (Generatriz: Coseno)Tabla de valores:

x -/2 0 /2 3/2

z 0 1 0 -1 0

(-/2, 0, 0 ) , (0, 0, 1 )(/2, 0, 0 ), (, 0, -1 ), ( 3/2, 0, 0 )

Directriz: ejey

1.3.4. Superficies cudricas

La grfica de una ecuacin de segundo grado en tres variables se conoce comosuperficie cudrica. Las secciones planas de una superficie cudrica son las cnicasy su ecuacin est dada por:

0222 GFzEyDxCzByAx

z

( 0, 0, 2 )

CilindroParablico

Directriz

( 0, 0, -2)

( -4, 0, 0 )

x

z

(-/2, 0, 0 )

(0, 0, 1)

(3/2, 0, 0)

(/2, 0, 0 )

(, 0, -1)

Cilindro cosenoidal

fig. 24

fig. 26

x

zCilindrocircular

( 0, 2, 0)

( 0, -2, 0)

( 2, 0, 0)

( -2, 0, 0)

fig. 25


12/88


1) Esfera: = Trazas: = 0 , =

= 0 ,

=

= 0 , = Todas sus trazas son circunferencias de radio a

Cortes: ( a , 0 ,0),

(0, a , 0), (0, 0, a )

2) Elipsoide: 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Trazas:

0z , 12

2

2

2

by

ax

0y , 12

2

2

2

c

z

a

x

0x , 12

2

2

2

c

z

b

y

Al menos dos de sus trazas son elipses.

Cortes: ( a , 0 ,0), (0, b , 0), (0, 0, c )

3) Hiperboloide de una hoja: 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x. Eje II Eje variable que tiene el

signo distinto.

Trazas:

0z , 12

2

2

2

b

y

a

x, Esta traza es elipse (si ab)

o circunferencia (si a=b)

0y , 12

2

2

2

c

z

a

x, Hiprbola. Cortes en: ( a , 0 ,0)

0x , 12

2

2

2

c

z

b

y, Hiprbola. Cortes en (0, b , 0)

x

z

a

-a

a

-a

a

-a

b

-b

a

-a

x

z

x

z

b

-b

c

-c

a

-a

fig. 27

fig. 28

fig. 29


13/88


4) Hiperboloide de dos hojas: 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x. Eje II Eje variable que tiene el

signo distinto.

Trazas:0z , 1

2

2

2

2

b

y

a

x,No existe este lugar

Geomtrico.

0y , 12

2

2

2

a

x

c

z, Hiprbola. Cortes: (0, 0, c)

0x , 12

2

2

2

b

y

c

z, Hiprbola. Cortes: (0, 0, c)

5) Cono: 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x. Eje II Eje variable que tiene el signo distinto.

Trazas:

0z , 02

2

2

2

b

y

a

x,El punto (0,0,0)

0y , 02

2

2

2

c

z

a

x, Rectas x

a

cz

0x , 02

2

2

2

c

z

a

x , Rectas yb

cz

6) Paraboloide:c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

. Eje II Eje variable que no esta elevada al cuadrado.

Trazas:

0z , 02

2

2

2

by

ax , El punto (0,0,0)

0y ,2

2

a

xcz , Parbola

0x ,2

2

a

ycz , Parbola

-c

c

x

z

x

z

x

z

fig. 30

fig. 31

fig. 32


14/88


7) Paraboloide Hiperblico:c

z

a

x

b

y

2

2

2

2

. Esta superficie tiene la forma de una silla

de montar y el punto de dicha superficie que se encuentra en el origen se llamaPunto de silla de montar.

Trazas:

0z , 02

2

2

2

a

x

b

y, Rectas x

a

by

0y ,2

2

a

xcz , Parbola

0x ,2

2

b

ycz , Parbola

Nuestro inters se centrar ahora en una funcin real de dos variables reales, esdecir una funcin que asigna a cada par ordenado de algn conjunto del plano,un nico nmero real.

1.4. Definicin (funciones de dos variables):

Sea : , si a cada par ordenado , hacemos corresponder un nmeroreal

= , , entonces decimos que

es

una funcin de x e y, y escribimos : .Al conjuntoDlo llamaremos Dominiode yal correspondiente conjunto de valores =, lo llamamos Rangoo Recorridode.

1.5. Dominio de funciones de dos variables:

Cuando no se especifica, consideramos que D es el dominio natural y quedadeterminado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar lafrmula que define la funcin. O sea, el dominio est formado por todos aquellosvalores tales que al sustituirlos en la frmula y realizadas las operaciones indicadasse obtiene un valor numrico y no una operacin imposible.

El dominio de una funcin de dos variables, ser una regin del plano, y eldominio de una funcin de tres variables , , una regin del espacio.

x

z

fig. 33

fig. 34


15/88


Casos del Dominio:

1) Races (ndice par) , : El dominio de la funcin raz quedadeterminado por todos aquellos valores para los cuales la cantidad subradicales mayor o igual que cero, es decir:

, 0.

Dominio: , |, 0}2) Logaritmos, , , , , : El dominio de lafuncin logaritmo queda determinado por todos aquellos valores para loscuales el argumento es mayor que cero, es decir: , > 0.

Dominio: , |, > 0}3) Racional

,,: El dominio de la funcin racional queda determinado portodos aquellos valores para los cuales el denominador es distinto de cero, esdecir:

, 0

Dominio: , |, 0}4) Inversas , , , : El dominio de las funcionesinversas y queda determinado por todos aquellos valorespara los cuales el argumento est entre menos uno y uno, es decir: 1 , 1que tambin puede escribirse como |, | 1

Dominio: , | 1 , 1}Regiones en el plano:

a)

,

0

b)

,

0

c)

,

< 0

d) , > 0 e) , 0 f) , = 0fig. 35 fig. 36 fig. 37

fig. 38 fig. 39 fig. 40


16/88


g) , 0 h) , 0

Ejemplos:

Determine y grafique el Dominio de existencia de las siguientes funciones:. , = 1 4 . , =

arccos 9 . , = arcsen 369 4 Solucin. , = 1 4

Recuerde que la expresin que est dentro de la raz cuadrada debe ser mayoro igual a cero, por lo tanto tenemos dos restricciones:

1 1 0 24 0 4122 yx ; Regin exterior a la Multiplicando ambos miembros por1Circunferencia de C(0,0), r=1. 4; Regin interior a laCortes: (1, 0) , (0, 1) Circunferencia de C(0,0), r=2.

Cortes: (2, 0), (0, 2)

(-1, 0 )

( 0, -1 )

( 0, 1 )

( 1, 0 )x x

( 0, 2 )

(-2, 0 ) ( 2, 0 )

( 0, -2 )fig. 43

fig. 44

fig. 41 fig. 42


17/88


Al interceptar ambas soluciones, tenemos que la grfica del Dominio es el anilloque se muestra en la figura:

, = , |1 4}. , = arccos 9

Note que 1no representa ninguna restriccin para la exponencial dado quesu dominio es todos los reales. La primera restriccin es 1 1y la segundarestriccin es 9 > 0, ya que est en el denominador y por tanto no puedetomar el valor de cero.

(1) 1 1 Con > 0 (2) 9 > 0 ; > 9, mult (1)La frontera corresponde a dos < 9 ; Interior a la Circunfe-Parbolas con vrtice en (0,0). rencia de C(0, 0) r=3.

Cortes: (3, 0), (0, 3)

Pto. de prueba (1,0), 1 0 1Si satisface.

xx

D ),( yxf

x

( 0, 3 )

(-3, 0 ) ( 3, 0 )

( 0, -3 )

x

fig. 47

fig. 48

fig. 45 fig. 46


18/88


Interceptando las soluciones obtenidas:

, = , | 1 1 < 9}

. , = arcsen 369 4 Restricciones: (1) 1 1 (2) 3 6 9 4 > 0 (3) > 0(1) 1 1 (2) 3 6 9 4 > 0 1 1(Dos parbolas) 9 4 >36 Mult (1) 1 cortes: (0, 1), en xno hay. 9 4 < 3 6 < 1

1 cortes: (0, -1), (1, 0) (Interior a la elipse, cortes: (2, 0),

(0, 3)

Pto. de prueba: (0,0) 1 0 1Si satisface.

D ),( yxf

x(1, 0 )(-1, 0 )

(0, -1)

(0, 1)

x(-2, 0 )

(0, -3)

(0, 3)

x x

fig. 51

fig. 52

fig. 49 fig. 50


19/88


(3) > 0

> 0 > 0 > 0 < 0 < 0

I y III cuadrantes

Interceptando las soluciones obtenidas:

, = ,

| 1

1 9

4

< 3 6 > 0 }

x x

D

fig. 53

fig. 54

fig. 55


20/88


21/88


Ejemplo 02:

Determine el dominio y rango de la funcin = . Grafique.SolucinEl dominio de la funcin es todo .Haciendo = , = C L n ( ) = L n C = = =

Las curvas de nivel corresponden a circunferencias de = , siempre ycuando 0 y . > 0.Para 0, multiplicando por (-1) 0 1

Luego 0< C 1.

Entonces el rango la funcin es : |0 1}. Para graficar se danalgunos valores a C: = , y = L n y =Ln4

Circunferencia, centro (0, 0, 0) y = Ln41,17

x

C=4

( 0, 0,4 )

C=3

4

122yx

C=0

C=3

4

722yx

z

x

fig. 57

0 1


22/88


23/88


Grficamente la notacin significa que para cualquier valor ,que est dentrodel disco de radio el valor que toma la funcin est dentro del entorno , .1.7.1. Propiedades de los lmites:Si a, b, , , Lim,,, y Lim,,,existen. Entonces:1. Lim,, = 2. Lim,, , = Lim,,, 3. Lim,,, , = Lim,,, Lim,, ,4. Lim,,, , = Lim,,, Lim,, ,

5. Lim,, , , =

Lim,,,

Lim,, , , Lim,, , 0

6. Lim,,, = [ Lim,,, ]7. Lim,,, , = [ Lim,,, ],8. Lim,, , , = Lim,,, , , : Lim,,, 01.7.2. Clculo de Lmites utilizando procedimientos algebraicos:

Cuando se presenta una indeterminacin de la forma 0/0, en algunos casos esposible calcular el lmite pero, previamente hay transformar la expresin de tal modoque pueda evitarse la indeterminacin mediante procedimientos algebraicosconvenientes.

Ejemplos:

Calcule los siguientes lmites:. Lim,, Al evaluar se presenta una indeterminacin de la forma 0/0. En este caso seprocede a factorizar el denominador:

Lim,, Lim,, 1 = 11 1 1 = 13Entonces:Lim,, = 13


24/88


02. Lim,,() Al evaluar se presenta una indeterminacinde la forma 0/0. En este caso se procede aSeparar los lmites:

Lim Lim El primer lmite es un lmite notable:

Lim = 2El segundo tambin es un lmite notable:Lim = Entonces:

Lim,,() = 2 92= 903. Lim,,(+)+++

Al evaluar se presenta una indeterminacinde la forma 0/0. En este caso se procede arealizar un cambio de variables:

=

, 0,0, 0

Lim + , separando los lmites:Lim Lim + Evaluando primer lmite:Lim =cos0 =1El segundo es un lmite notable:Lim + = 3Entonces:

Lim,,(+)+++ = 1 3 = 3

Frmulas tiles:Factorizacin de Binomios: = =

= Conjugadas:( )( ) = Lmites Notables:

1. Lim = 2. Lim = 3.Lim = 04. Lim = 5. Lim = 6. Lim = 7. Lim + = 8. Lim = Sustituciones tiles enlmites:

0 = 0, 0 = 10 = 0, 0 = 10 = 00 = 00 = 0 = = = 1, + = = 0Propiedades de los

logaritmos:log =log log log =log log log = l o glog = loglog 1 = 0 , l o g = 1


25/88


1.7.3. Lmites direccionales (trayectorias de acercamiento):

Se entiende que el punto , se puede aproximar al punto , de infinitasformas diferentes, es decir, en cualquier direccin.

Se consideran las siguientes trayectorias diferentes de acercamiento al punto

, .1) Cuando , ,a travs de la recta = 2) Cuando , ,a travs de la recta = 3) Cuando , ,a travs de la familia de rectas = , 04) Cuando , ,a travs de la familia de parbolas = , 0, o tambin = , 0Si las trayectorias conducen a valores diferentes de Lim,,, , entonces el

lmite no existe.

Cabe destacar que aunque las trayectorias hubieran llevado al mismo lmite

(l1=l2=l3=l4=l), esto no demuestre que el lmite exista y para concluir sobre laexistencia del lmite se debe demostrar que el valor es el mismo para toda posibletrayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de la definicin misma.

Ejemplo

Calcule el siguiente lmite:Lim,, +Al evaluar se presenta una indeterminacin de la forma 0/0. Consideremostrayectorias diferentes de acercamiento al punto )0,0( :

1) Cuando , 0,0a travs de la recta = 0Lim + = = 02) Cuando , 0,0a travs de la recta = 0Lim + = =03) Cuando

, 0,0a travs de la familia de rectas

=

Lim += Lim += Lim += Lim += +Se concluye que el lmite no existe ya que depende del valor de m. Es decir,

segn la recta por la que nos aproximemos al punto tendramos un valor del lmiteu otro.


26/88


1.8. Continuidad en un punto de funciones de dos variables:

Definicin:

Sea

:

una funcin de dos variables, y sea

, , un disco

abierto centrado en

, y de radio

, decimos que

es continua en

, si cumple

las tres condiciones siguientes:

1 Existe, . Es decir la funcin est definida en el punto.2 Existe Lim,,, = , siendo Lun nmero real finito.3 Lim,,, =,

Cuando sean distintos el lmite y la imagen, ya sea porque alguno o ninguno delos dos existen o no coinciden, se dice que la funcin es discontinua, sin embargouna funcin discontinua en la que el lmite existe puede redefinirse haciendo, = Lim

,,, . En este caso se dice que la discontinuidad es evitable.

En caso contrario se dice que la discontinuidad es esencial.

REGLA DE LHPITAL

Es una regla til para el clculo de lmites indeterminados de la forma ( 0 , 0 ) o(/) mediante Derivadas.TEOREMA (Regla de LHpital para la forma ( 0 / 0 ) o (/)

Seany dos funciones definidas y derivables en todo nmero de algn intervalo, y si Lim = 0y Lim = 0o Lim = y Lim = , entonces:Lim =Lim Es decir, se deriva el numerador independientemente del denominador y se

evala. Si al evaluar el resultado sigue siendo una indeterminacin de la forma ( 0 /0 ) o (/) se aplica la regla nuevamente.Ejemplo 1:

Estudie la continuidad de la funcin indicada. Si la funcin es discontinua,determine el tipo de discontinuidad que posee.

, =

cos

2 2 , , 0,0 1 , , =0,0Solucin

Verificar si cumple las tres condiciones para la continuidad:

1 f(0, 0) = 1, Existe.


27/88


2 Lim,, + , Al evaluar se presenta una indeterminacin de la forma0/0. Consideremos las trayectorias de acercamiento al punto (0, 0):

Cuando (x, y) (0, 0) a travs de la rectax=0Lim,, + =Lim , Al evaluar se presenta la formaindeterminada 0/0, aplicando la regla de LHpital:

Lim =Lim , Al evaluar se presenta la formaindeterminada 0/0, aplicando la regla de LHpitalnuevamente:

Lim + = 2Cuando (x, y) (0, 0) a travs de la rectay=0

Lim,, + =Lim , Al evaluar se presenta la forma indeterminada0/0, aplicando la regla de LHpital:

Lim 22 =Lim = = 1

Como los valores obtenidos son distintos entonces Lim,,, no existe.3 Como el lmite no existe, se dice que la funcin es discontinua esencial en (0, 0).

Ejemplo 2:

Estudie la continuidad de la funcin indicada. Si la funcin es discontinua,determine el tipo de discontinuidad que posee y redefina si es posible.

, = , , 0,0 0 , , =0,0Solucin analtica

Verificar si cumple las tres condiciones para la continuidad:

1 f(0, 0) = 0, existe.

2 Lim,, ++ , Al evaluar se presenta una indeterminacin de la forma 0/0.Realizando el cambio de variable u =x2+y2, u 0Lim = 1, existe.


28/88


3 Como el lmite existe, pero es distinto de la imagen de la funcin en (0, 0), se diceque la funcin es discontinua evitable en (0, 0). Sin embargo, se puede redefinirde manera quef(0, 0) igual al valor de lmite:

, =

, , 0,0 1 , , =0,0

Ejercicios para prctica y asesora de la UNIDAD IGEOMETRIA EN EL ESPACIO EUCLIDIANO Y FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES

1. Ubicacin de puntos en el espacio

Grafique en el sistema de ejes Coordenados xyz los puntos que se indican y

determine la distancia entre ellos.

a) P(4, -e, -3) y Q( -5 , 5 , 2)b) P(2, -5 , -2) y Q( 3 , 4 , -26)c) P(0, 0 , -2) y Q( -4 , -ln20 , 4)

2. Formula de la distancia entre puntos

01.Una antena de 9 m est sostenida por cuatro cables anclados en A(-3, 5, 0),B(3, 5, 0), C(-4, -4, 2) y D(4, -4, 2) respectivamente. Si la base de la antena de laantena se encuentra en el origen, grafique en R3la antena y los puntos de anclaje.

Determine la longitud y los puntos medio de cada cable.

02. En las figuras a)y b)que se muestran a continuacin, determine la longitudde los cables.

a) b)

3. Planos y superficies cilndricas

Identifique las superficies dadas y trace la grfica correspondiente:

O

B

C

D

A46cm

18cm

45cm

30cm

O

B

D

A

C

26cm

18cm

24cm

45cm

28cm


29/88


a)= g) = 9b) = 3 h) = c)4 = 5 i)4 3 2 = 1 2d)

2 5 = 2

j)

= cos

e) =45 k) = 4f) 4 9 3 6 = 0 l) = 9 4. Dominio de existencia

En las siguientes funciones, determine y grafique el Dominio de existencia:

, = 3 6 9 ln 4 4

, =

4

ln 4

1

, = ln 1 3 6 9 4 , = ln 4 arccos , = | | 4

,

=

ln +

3 4 4

5. Rango y grfica de funciones

Determine el Dominio y rango de las siguientes funciones. Trace la grfica.

a) = d) = +b) = + e) = 4 1c) = l n 4 4 f) = 4 9 36

6. Lmites

Calcular, si existen, los siguientes lmites:

a) lim,, e) lim,, b) lim,, + f) lim,,

+


30/88


c) lim,, g) lim,, d)

lim,,

7. Continuidad

Estudie la continuidad de las funciones indicadas en el punto (0,0). Si la funcines discontinua, determine el tipo de discontinuidad que posee.

, = cos 3 , , 0,0 1 , , =0,0

, =

1 + , , 0,0

2 , , =0,0

, = cos+ 1 , , 0,0 1 , , =0,0 , = sen 1ln 1 , , 0,0 1 , , =0,0 , = cosln 1 , , 0,0

1 , , =0,0

Respuestas: a)9, 1 b)1, -1 c), 1 d)1, 2 e), , ++


31/88


REGLAS DE DERIVACION:

Bsicas:1. = = 02.

=

= 1

3. = = = = 4. = = 5. = = Cocientes:

6. = =

=

=

Potencias y races:

7. = = 8. = = 2 = = , < Logaritmos y exponenciales:

9. = ln

=

= l o g = 10. = = = = Trigonomtricas:

11. = = cos12. = c o s = sen13. = tan = sec 14.

= c s c

=

csccot

15. = s e c = sectan16. = c o t = csc

Inversas Trigonomtricas:

17. = = 18.

= =

19. = = +Hiperblicas:

20. = = cosh21. = c o s h = senh22. = t a n h = sech Identidadestrigonomtricastiles:

1.

c s c =

2.

s ec =

3. t a n = 4. c o t= = 5. cos = 1(i) sen = 1 cos(ii) cos = 1

6. = tan 1(i) tan = sec 1

Frmulas con ngulos dobles:

7.

2 = 2 cos

(i) cos = 8. 2=cos (i) sen = (ii) cos = +

(*) Expresiones como = , = , tambin pueden expresarse como = , = . (**). En el caso deraces como = resulta til expresarla en forma de potencia con exponente fraccionario /. (***) Enel caso de logaritmos siempre es til aplicar sus propiedades, as una expresin como = puedereescribirse como = ln .


32/88

Autor: Ing. Neptal Franco Agosto 2015



UNIDAD II

LA DERIVADA EN EL ESPACIO

N - DIMENSIONAL

UNEFM

CONTENIDO

2. LA DERIVADA EN EL ESPACIO NDIMENSIONAL .. 33

2.1. Derivadas Parciales -Interpretacingeomtrica 33

2.2. Clculo de las Derivadas Parciales

aplicando las Reglas de Derivacin 342.3. Derivadas de orden superior . 352.4. Regla de la Cadena. Aplicaciones 392.5. Campo Gradiente ... 432.6. Derivada Direccional. .. 462.7. Extremos relativos de una funcin de

varias variables .... 512.8. Extremos condicionados de una funcin

(Multiplicadores de Lagrange) .. 54


33/88

Unidad II La derivada en el espacio n-dimensional33

UNIDAD IILA DERIVADA EN EL ESPACIO N DIMENSIONAL

2.1. Derivadas Parciales - Interpretacin geomtrica.

Considere una superficie cualquiera dada por la ecuacin z = f(x, y)y el planoverticaly= b(paralelo al planoxz) cuya interseccin con la superficie es la curva z= f(x,b). Vese la figura 1.

Entonces el puntoPpodr moverse sobrela curva variando x, mientras que y semantiene constante, de modo que lapendiente de la recta tangente a la curvaenPestara dada por:

, = = L i m

, ,

Considere ahora el plano vertical x = a(paralelo al plano yz) cuya interseccincon la superficie es la curvaz = f(a, y). Vese la figura 2.

Entonces el puntoPpodr moverse sobrela curva variando y, mientras que x semantiene constante, de modo que lapendiente de la recta tangente a la curvaenPestara dada por:

, = = L i m , ,

Por consiguiente, las derivadas parciales pueden interpretarse geomtricamentecomo las pendientes de las rectas tangentes a las curvas z = f(x,b)yz = f(a, y)enel puntoP, respectivamente.

En cuanto al smbolo de las derivadas parciales () se conoce que es una dredondeada, introducida por Legendre en 1786 para distinguir las derivadasparciales de las derivadas ordinarias.

fig. 1

fig. 2


34/88


2.2. Clculo de las Derivadas Parciales aplicando las Reglas de Derivacin:

Ejemplos

Encuentre las derivadas parciales de primer orden de cada una de las siguientesfunciones, llevadas a su mnima expresin:

. ,= 2 3 . , = 2Solucin

. ,= 2 3 Calculando las derivadas parciales de primer orden:

i) Derivandofcon respecto ax (ypermanece ctte). Se tiene . = =

= 3

2

2

3 3

= 3 4 2 33 = 12 46 33 = 6 433

ii) Derivandofcon respecto ay(xpermanece ctte). Se tiene: = = =

2 3 3 =

2 3

. , = 2Calculando las derivadas parciales de primer orden:i) Derivandofcon respecto a t(permanece ctte). Se tiene: = = = 2 2

= 3

2 22

2

= 6 2 2 2ii) Derivandofcon respecto a (t permanece ctte), entonces kuy '' kuy = 2 = 3 2 (2 ) = 3 2 2


35/88


2.3. Derivadas de orden superior:

Se llaman derivadas parciales de orden superior de la funcinz = f(x, y)aquellasque se obtienen derivando una o ms veces las derivadas parciales de primer orden.Se usan las siguientes notaciones:

Derivadas de segundo orden: = = , ; = = , Derivadas de segundo orden mixtas (o cruzadas): = = , ; = = ,

(Se empieza derivando por la variable que est ms cerca de la funcin)

Las derivadas parciales de rdenes tercero y superior se definen de forma

anloga. Ejemplos de derivadas de otros rdenes tenemos:

= = , ; = 2.3.1. Ecuaciones en Derivadas Parciales:

Func in armnica:

Una funcin de dos variables es armnica si satisface la ecuacin de Laplace:

=0 Ecuacin de LaplaceIgualdad de las derivadas parciales:

Si las derivadas mixtas de una funcin son iguales, las derivadas parciales deprimer orden son continuas: La ecu acin d e onda y l a ecuac in de c alor (Fsic a):

La ecuacin de onda

y la ecuacin de calor

= son dos de

las ecuaciones ms importantes en fsica.

Ley del es tado gaseos o (Qum ica):

As mismo La ley del estado gaseosoPV = kTsatisface las ecuaciones:

=0 = 1


36/88


Ejemplos

En los ejercicios 01 - 03 verifique si las funciones satisfacen las ecuacionesindicadas:

. , = ln

;

= 0

. , = ; 2 = 0. = 4 ; =

Solucin

01.

, = ln

. Para verificar que la ecuacin

= 0se cumple, se

deben calcular las derivadas indicadas.Calculando las derivadas parciales de primer orden:

i) Derivandofcon respecto a x(ypermanece ctte). Tenemos = l n = . = 2 ii) Derivandofcon respecto ay (xpermanece ctte). Tenemos = l n = .

=2

Calculando las derivadas parciales de segundo orden:

iii) Derivando (i) nuevamente con respecto a x (ypermanece ctte). Tenemos = = = 2 22 = 2 2 4 = 2 2 iv) Derivando (ii) nuevamente con respecto a y(xpermanece ctte). Tenemos = =

= 2 22 = 2 2 4 = 2 2 Sustituyendo (iii) y (iv) en la ecuacin

= 0, nos queda:2 2 2 2 = 2 2 2 2 = 0En consecuencia la funcin , = ln satisface la ecuacin =0.


37/88


. , = + . Para verificar que la ecuacin 2 = 0secumple, se deben calcular las derivadas indicadas.

Calculando las derivadas parciales de primer orden:

i) Derivandofcon respecto ax(ypermanece ctte). Tenemos = = = = = ii) Derivandofcon respecto ay(xpermanece ctte). Tenemos = = = = = Calculando las derivadas parciales de segundo orden:

iii) Derivando (i) nuevamente con respecto a x (ypermanece ctte). Tenemos

= = = 2 = 2 iv) Derivando (ii) nuevamente con respecto a y(xpermanece ctte). Tenemos = = = 2 = 2 v) Calclese la derivada mixta, derivando (ii) con respecto a x(ypermanece ctte).Tenemos = = = 2 2 = 2 = 2 Sustituyendo (iii), (iv) y (v) en la ecuacin 2 = 0, nos queda:

2 = 0

2 2 2 2 = 0 2 4 2 = 0En consecuencia la funcin , = +satisface la ecuacin 2 = 0.


38/88


. = . Para verificar que la ecuacin = se cumple, se debencalcular las derivadas indicadas.

Calculando las derivadas parciales de primer orden:

i) Derivandoz con respecto ax(ypermanece ctte). Tenemos = = = 4 5 4 1 = 20 4 1ii) Derivandozcon respecto ay(xpermanece ctte). Tenemos = = = 4 = 4 1Calculando las derivadas parciales de segundo orden (mixtas):

iii) Derivando (i) con respecto ay(xpermanece ctte). Tenemos

= =,

= = = 20 4 1 4 1= 20 1 4 1 4 1= 16 1 4 1

iv) Derivando (ii) con respecto ax(ypermanece ctte). Tenemos

=

= = 4 4 1 4 1 1= 16 1 4 1

Sustituyendo (iii) y (iv) en la ecuacin = , nos queda:16

1

4

1 =

16

1

4

1

Se concluye que la funcin = satisface la ecuacin = .2.4. Regla de la cadena. Aplicaciones

Caso de dos variables intermediasSeaz = f(x, y),x = x(t) ey = y(t),dondefes una funcin diferenciable en xey,

siendoxeyfunciones diferenciables en t, entonces:


39/88


=

Caso de tres variables intermediasSea u = f(x, y, z),x = x(t),y = y(t)yz = z(t),dondefes una funcin diferenciable

enx,y,z,siendox,y,zfunciones diferenciables en t, entonces:

=

Ejemplo:

Seaz = cos(x+y2),dondex = t4ey = t2. Determine dz/dt

SolucinCalculando las derivadas parciales: = = 2 Calculando las derivadas ordinarias: = 4 = 2

Aplicando la regla de la cadena:

=

= 4 2 2 =4 4 =42 42=822.4.1. Razones de cambio con respecto al tiempo

Sea la funcin z = f(x, y), diferenciable en x, y ; Si , son las razones decambio de las variablesx,ycon respecto al tiempo. Entonces la razn de cambio

z

x

t

Variabledependiente

Variablesintermedias

Variable

independiente

x

z

y

z

dt

dx

dt

dy

u

z

x

u

z

u

dt

dz

y

u

dt

dy

x

tVariable

dependiente

Variablesintermedias

Variableindependiente

dt

dx

fig. 3

fig. 4


40/88


de la funcin con respecto al tiempo se puede determinar aplicando la regla de lacadena:

=

Anlogamente, se construye la razn de cambio de una funcin de tres variablesu = f(x, y, z), con respecto al tiempo .

Signos: Si la razn de cambio de la variable es positiva se dice que la variablecrece aumenta, si es negativa se dice que la variable decrece disminuye y si escero se dice que no vara que permanece constante.

Ejemplo:

Est escurriendo arena en una pila cnica, de modo que en un cierto instante laaltura es de 100 cmy aumenta a razn de 3 mm/min, mientras que su radio es de40 cmy aumenta a razn de 2 mm/min. Con que rapidez vara el volumen en ese

instante?Solucin

Datos:

h =100 cm = 1000 mm, =3 mm/min

r =40 cm = 400 mm , =2 mm/min =?

El volumen de la pila est dado por:

= 3 Calculando las derivadas parciales: = 3 = 4 0 =

3 400 = 1600003 = 3 2 = 23 = 4 0 , = 1 0 0 = 23 400 1000 = 8000003

La variacin del volumen de la pila con respecto al tiempo est dada por:

= = 1600003 3 8000003 2 = 20800003 En ese instante el volumen de la pila de arena, aumenta con una rapidez de =2178170.906 mm3/min.

fig. 5 Pila cnica

h

r


41/88


Volmenes y reas de slidos

Cilindro recto

= = 2 2

Cubo

= = 6

= = 2

Ortoedro

= = 2 2 2

Tetraedro

= = 3

Esfera

= 43 = 4Cono recto

= 13 =

Tronco de cono

= 3 =

Sector esfrico

= 23

Prisma recto


42/88


reas de figuras planas


43/88


2.5. Campo Gradiente:

El gradiente asociado con cada puntoPen el dominio defes el vector .En conjunto de todos estos vectores se llama el campo gradiente de f.

En la siguiente figura se muestra la grfica de

, = y el campo

gradiente correspondiente.

Elementos de un vector, vector unitario:

1) Componentes de un vector Componente horizontal = Componente vertical =

2) Mdulo, magnitud o norma:

=

3) Direccin:=arctan Los ngulos se trazan desde la componen-

te horizontal hasta el vector. Se consideranpositivos si estn en el sentido contrario delas agujas del reloj. En esta seccin se usa-r la calculadora en grados (Degree). Cuan-

x

z

fig. 6 grfica de, = y su campo gradiente

do se est calculando ngulos.

Referencia de ngulos:

Para referir un ngulo conrespecto al primer cuadrante se

utilizan las siguientes frmulas:

Vector Unitario:

Es aquel vector cuyo mdulo esla unidad ( = 1). Paraobtener un vector unitario seutiliza la frmula: =

x

a

aU

ya

xa

x

180

180 360

fig. 7

fig. 8

III

III IV


44/88


2.5.1. Definicin de Gradiente de una funcin:

(Caso de dos variables)

En una funcinf(x,y)se define el vector Gradiente asociado con cada puntoPen el dominio defcomo el vector cuyas componentes rectangulares son:

= (Caso de tres variables)

En una funcinf(x,y,z)se define el vector Gradiente asociado con cada puntoPen el dominio defcomo el vector cuyas componentes rectangulares son: = 2.5.2. Propiedades del Gradiente de una funcin:

es un operador lineal; o sea:

[ ] = [ ] = [ ] = =

Ejemplo:

Encuentre el vector gradiente de cada una de las siguientes funciones en el punto

Pdado:. , = , = 2,3 . ,, = , = 2 , 2 , 2 Solucin

. ,= , = 2,3Calculando las derivadas parciales de primer orden:

i) Derivandofcon respecto ax:

= = 2 = 2 2 = 2

= 2 = 2 , = 3 =24ii) Derivandofcon respecto ay:


45/88


= =

=

=

= = 2 , = 3 = 8Entonces el vector gradiente est dado por:

= = 24 8 . ,, = , = 2 , 2 , 2 Calculando las derivadas parciales de primer orden:

i) Derivandofcon respecto ax: = (2 2 2)22 2 2 = 222 2 2 = 2 2 2 = 2 2 2 = 2 , = 2 , = 2 = 33

ii) Derivandofcon respecto ay:

=

(2 2 2)22 2 2 =

222 2 2 =

2 2 2

= 2 2 2 = 2 , = 2 , = 2 = 33 iii) Derivandofcon respecto az:

= (2 2 2)22 2 2 = 222 2 2 = 2 2 2

=

2

2

2

= 2 , = 2 , = 2= 3

3

Entonces el vector gradiente est dado por:

= = 33 33 33 2.5.3. Gradiente y curvas de nivel:

El gradiente en un puntoPes perpendicular a la curva de nivel de fque pasapor el puntoP.


46/88


El siguiente dibujo permite visualizar el vector gradiente en un punto Py la curvade nivel defque pasa por dicho punto.

Si movemos el punto Psobre la curva de nivel, el vector gradiente cambia de

magnitud y direccin, pero siempre es perpendicular a dicha curva de nivel.

2.6. Derivada Direccional:

2.6.1. Definicin de la Derivada Direccional:

Para estudiar la razn de cambio enfencualquier direccin arbitraria nos conduceal concepto de Derivada Directora oDireccional, la cual es la pendiente de larecta tangente en un punto dado (P) de unasuperficie y en la direccin de un vectorunitario (u). Se define de la siguientemanera:

=lim Si existe el lmite.

La Derivada Direccional a su vez serelaciona con el Gradiente, por el productoescalar:

=

Recordando la frmula geomtrica delproducto escalar: = || ||cos= ||cosDonde es el ngulo que forman uy .

x

z

P

)(Pf

P

)(Pf

fig. 9 Ilustracin del gradiente y las curvas de nivel

fig. 10 Ilustracin la Derivada Direccional


47/88


Ejemplo:

Encuentre la derivada direccional de , = en el punto = 1,2,3yen la direccin de =43

Solucin

. , = , = 1,2,3, = 4 3 Calculando las derivadas parciales de primer orden:i) Derivandofcon respecto ax: =2 = 1 , = 2 = 2ii) Derivandofcon respecto ay:

=2

= 1 , = 2= 4

Entonces el Vector Gradiente est dado por:

= = 2 4 Y el vector unitario:

= || = 434 3 = 45 35Entonces, la Derivada Direccional est dada por:

= = 45 35 24 = 85 125 = 45

2.6.2. Anlisis de la Derivada Direccional:

Para una funcin dada en un punto Pdeterminado con frecuencia se preguntaen qu direccin cambia con mayor rapidez, es decir en qu direccin es mayor. Por la frmula geomtrica del producto escalar de la seccin anterior: = ||cos

x

z

2i

P

fig. 11

P(-1, -2)

-4j

4i

3j a

a3

-3

Curva de nivel

y2 -x2 = 3


48/88


Entonces el mximo de ocurre cuando es cero el ngulo que forman uy, es decir = 0 y el mnimo cuando = .Tambin se tiene que es nula cuando=/2.A continuacin se enuncian estos resultados:

1. Una funcin aumentacon mayor rapidez enPen la direccin del gradiente (

) a razn de = ||2. Una funcin disminuye con mayor rapidez en P en la direccin opuesta algradiente ( ) a razn de = ||

3. Una funcin no vara (permanece constante) en P en las direccionesperpendiculares al gradiente ( ), en cuyo caso la razn de cambio escero.

Ejemplo:

La profundidad en metros debajo de un punto cualquiera (x,y)con x,yen metros,entre la costa de Nicaragua y Cayos Miskitos se ha representado por la funcin

, = ()++ . Si una balsa con dos personas se encuentra en el agua enlas coordenadas P(-2, 1). Se pregunta:a) Cul es la profundidad debajo de la balsa en ese punto?

b) En qu direccin deberan los tripulantes dirigir la balsa para que laprofundidad debajo de ella disminuya lo ms rpidamente posible? Con querapidez lo hacen? Si hacen esto, llegaran a la costa de Nicaragua o a CayosMiskitos?

c) En qu direccin no vara la profundidad?

d) Suponga que deciden navegar en la direccin de 3i4j. Indique si disminuye

o aumenta la profundidad en esa direccin y con qu rapidez lo hace. Emita algnjuicio sobre la decisin tomada.

fig. 12 Zona comprendida entre la costa de Nicaragua y Cayos Miskitos,sobre la cual se ha dibujado la curva de nivel correspondiente a la superficie ocenica, es decirf(x,y)=0.

Cayos Miskitos


49/88


Solucin

a) La profundidad debajo de la balsa en el puntoP(-2, 1) est dada por:

2,1 = 322 8 81 2424

= 73

b) Debe dirigirse la balsa en direccin opuesta al gradiente para que la profundidaddebajo de ella disminuya lo ms rpidamente posible.

Calculando el gradiente de la funcin:

i) Derivandofcon respecto ax: = 3(2 8) 6224 = = 2 , = 1 =3 22 8 62224 = 12

ii) Derivandofcon respecto ay: =

23 = 2 , = 1 =

213 =

23

Entonces: = = 23 y su opuesto: = 23 .La direccin en que debe remarse estara dada por:

=arctan//=53,13En el III cuadrante =18053,13=233,13En esa direccin la profundidad disminuye a razn de:

= || = 12 23 = 56

fig 13. Direccin de mximo decrecimiento.

Si los tripulantes navegan en esta direccin, llegaran a la costa de Nicaragua.

=233,13

P(-2, 1)


50/88


c) La profundidad no vara (permanece constante) en P, en las direccionesperpendiculares al gradiente ( ), en cuyo caso la razn de cambio es cero.

= 23 12 ; = arctan 1/2

2/3 =36,86 , = 180 36,86 = 143,13

= 23 12 ; = arctan 1/22/3 =36,86 , = 360 36,86 = 323,87

fig 14. Direccin donde no vara la profundidad.

d) Suponga que deciden navegar en la direccin de 3i4j.

= || = 344 3 = 35 45; = arctan 43 =53,13 ,

=36053,13=306,87

Entonces, la Derivada Direccional est dada por: = = 35 45 12 23 = 310 815 = 730

fig 15. Direccin del vector dado.

Si deciden navegar en esa direccin, a pesar de que la profundidad disminuye arazn de -7/30, lamentablemente se perdern en alta mar.

=143,13

=323,87

=306,87

a


51/88


2.7. Extremos relativos de una funcin de varias variables.

2.7.1. Definicin:

SeaP(x0, y0) un punto de una funcinz = f(x, y)

i. La funcinftiene un mximoen un puntoP(x0, y0)si el valor de la funcin en

este punto es mayor que su valor en cualquier otro punto (x, y)de algn entorno deP.

i i. La funcin z = f(x, y)tiene un mnimoen un puntoP(x0, y0)si el valor de lafuncin en este punto es menor que su valor en cualquier otro punto (x, y)de algnentorno deP.

i i i. La funcinz = f(x, y)tiene un extremoen un puntoP(x0, y0)si en este puntotiene un mximo o un mnimo.

2.7.2. Teorema de existencia de Mximo o Mnimo:

Sifes continua en un intervalo cerrado y acotado S, entoncesf alcanza tanto unvalor mximo como un valor mnimo en S.

En la figura se ilustran los extremos relativos de una funcin de dos variables:

fig. 16 Extremos relativos de una funcin de dos variables.

2.7.3. Condiciones necesarias para la existencia de un extremo.

Si una funcin diferenciablez = f(x, y)alcanza un extremo en el punto P(x0, y0)entonces sus derivadas parciales de primer orden, o bien se anulan, o no existenpara estos valores:

, = 0 o no existe ; , = 0 o no existeLos puntos crticos se presentan en:

Los puntos fronteras.

x

z

y

Mximo relativo

Mnimo relativo


52/88


Los puntos estacionarios: En los que las derivadas parciales son iguales acero.

Los puntos singulares: En los que las derivadas parciales no existen.

No todo punto crtico es un punto extremo.

2.7.4. Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

SeaP(x0, y0)un punto crtico de una funcinz = f(x, y)con las derivadas parcialesde segundo orden continuas en P, y sea H(x0, y0) el determinante de su MatrizHessiana, entonces:

, = , , , ,

, = ,

,

,

,

, = , , , Entonces:

i) Si , > 0y , < 0,f(x0, y0)es un valor mximo local.ii) Si , > 0y , > 0,f(x0, y0)es un valor mnimo local.iii) Si , < 0,f(x0, y0)no es un valor extremo (punto de silla).iv) Si

, = 0, el criterio falla o no da informacin (habr que resolver por

otro mtodo).

Ejemplos

Encuentre los extremos, si los hay, de las funciones definidas por:. , = 3 6 1 . , = 3 9 4 Solucin

. , =

3 6 1

Los puntos crticos se obtienen al resolver el siguiente sistema de ecuacionessimultneas:

, = 2 3 = 0 ; , = 2 6 = 0{2 3 = 0 2 6 = 0 2 {2 = 3 1 2 = 6 2 { 4 2 = 6 2 = 6 3 = 0 = 0


53/88


de (1) 2 = 3 = 3 2 = 3 20 = 3LuegoP( 0, 3 ) es el nico punto crtico de la funcin. Calculando la matriz Hessiana:

=

= 2 11 2 = 3

Evaluando las condiciones para el punto crtico:

0, 3 = 3 > 0 0, 3 = 2 > 0Entoncesf( 0, 3 ) = -8 es un valor mnimo local de f. En la figura se muestra lagrfica def.

fig. 17 Grafica de la funcin , = 3 6 1.

. , = 3 9 4

Los puntos crticos se obtienen al resolver el siguiente sistema de ecuaciones

simultneas: , = 9 9 = 0 ; , = 2 4 = 0{9 9 = 0 1 2 4 = 0 2

De (2) = 2, de (1) = 1LuegoP( -1, -2 )P( 1, -2 ) son los puntos crticos de la funcin. Calculando la matrizHessiana:

, =

= 18 00 2 = 3 6

Evaluando las condiciones para cada punto crtico:1,2 = 361 = 3 6 < 0Entoncesf( -1, -2 ) = 2 es un punto de silla de f.

1,2 = 361 = 3 6 > 1,2 = 181 = 1 8 > 0

(0,3,-8)

x

z

y


54/88


Entoncesf( 1, -2 ) = -10 es un valor mnimo local de f. En la figura se muestra lagrfica def.

fig. 18 Grafica de la funcin , = 3 9 4 .2.8. Extremos condicionados de una funcin

Muchos de los problemas de la vida real, especialmente en economa sonproblemas restringidos, por ejemplo una empresa fabricante puede querermaximizar sus utilidades, pero es probable que tenga restricciones por la cantidadde materia prima disponible, la cantidad de mano de obra, entre otras. En mecnicacon frecuencia se presentan problemas en los cuales se debe fabricar alguna piezao mquina donde se deben escoger materiales con ciertas propiedades ocaractersticas, mientras que en qumica se requiere disear procesos bajo ciertascondiciones o especificaciones de presin, temperatura, entre otras variables.Encontrar los extremos locales (mnimos o mximos) de una funcin sujeto a una oms condiciones (restricciones), es denominado un problema de extremorestringido o condicionado.

Geomtricamente, el problema de maximizar o minimizar una funcin consiste endeterminar el punto ms bajo (o ms alto) que est situado sobre la curva (osuperficie) de nivel de una ecuacin. Se pueden resolver de dos maneras diferentes:

a) Mediante un corte vertical de la superficie. Desde el punto de vista analtico,el mtodo trata de reducir las variables del problema, despejando de lafuncin condicin y sustituyendo en la funcin condicionada. Luego seresuelve como un problema de extremo libre.

b) Mediante cortes horizontales (curvas de nivel). El cual corresponde al mtodode los multiplicadores de Lagrange.

En relacin al primer mtodo, sucede con frecuencia, que no es fcil despejaruna de las variables de la ecuacin restriccin y, an cuando pueda lograrse, puedeser ms prctico utilizar el segundo. A continuacin trataremos el segundo mtodo:

4.8.1. Mtodo de los multiplicadores de Lagrange:

Sea la funcin f(P), donde , , , , sujeta a la condicin de que g(P)=0,entonces se define una nueva funcin w(P) = f(P) g(P) donde se llamamultiplicador de Lagrange.

(1,-2,-10)

x

z

y

(-1,-2,2)


55/88


Los valores dePque dan lugar a los valores extremos de fse encuentran entrelas soluciones simultneas del sistema:

= 0 ,

= 0 ,

= 0, ,

= 0

Si existen ms de una restriccin aparecern nuevos multiplicadores y entonces:w(P)= f(P) g(P) h(P)

Ejemplo No. 1

Cul es el rea mxima que puede tener una lmina rectangular si la longitudde su diagonal es 2 m?

Solucin

1. Funcin objetivo: Maximizar rea de lalmina rectangular:

f(x,y)=x y2. Funcin condicin: Que la diagonal

mida 2 m. Por el teorema de Pitgoras: = 4 , = 4 = 03. Funcin de Lagrange:,,= 4Los valores dePque dan lugar a los valores extremos de fse encuentran entre

las soluciones simultneas del sistema

= 0 ,

= 0 ,

= 0

2 = 0 1 2 = 0 2 =4 3 { 2 = 0 1 2 = 0 2{ 2=0 1 2 = 0 2 = 0 = 4

Sustituyendo (4) en (3) = 4 2 = 4 = 2. Tomando soloaquellos valores para los cuales son positivosx, ynos queda un solo punto

(2, 2). Se concluye que la lmina de mxima rea con diagonal 2 m es un

cuadrado cuyos lados miden 2m, siendo dicha rea = (2)(2 ) = 2 .

2

2 2

x

yD=2

fig. 19 Lmina rectangular

fig. 20 Lmina cuadrada


56/88


fig. 21 Grafica de la funcin , = con el cilindro = 4y el punto (2,2, 2) sobre ambas superficies para el cual fes mxima.

Ejemplo No. 2

HIDROFALCN desea fabricar un tanque en forma de cilindro circular recto (sintapa) de tal manera que se pueda almacenar 64 m de agua. Si el material del cuerpocuesta 400Bs/m y el del fondo cuesta 500Bs/m. Hallar las dimensiones que deberatener el tanque para que el gasto en materiales sea el mnimo posible (Indique dichocosto).

Solucin

1. Funcin objetivo: Minimizar Gastoen materiales.

Cuerpo: 4002Fondo: 500, = 800 5002. Funcin condicin: (volumen

de 64 cm)

=

= 64

, = 6 4 = 03. Funcin de Lagrange:,,=800500 6 4 Los valores dePque dan lugar a los valores extremos de fse encuentran entre

las soluciones simultneas del sistema = 0 , = 0 , = 0

2 r

hD

r

(2,2, 2)

x

z

y

fig. 22 Dimensionamiento deltanque cilndrico


57/88


80010002=0 1800 =0 2=64 32 80010002=0800 = 0

{ 8001000 2 = 0 1600 2 = 0 8001000 = 0 = 1000800 = 54 4

Sustituyendo (4) en (3)

= 6 4 = 6 4 = = 2,535 De (4)

=,

= 3,169

Las dimensiones que debera tener el tanque son = 2,535 y = 3,169 paraque el gasto en materiales sea el mnimo posible, siendo dicho gasto =8002,5353,169 5002,535 = 30284,46

fig. 23 Grafica de la funcin , =800500con la superficie cilndrica = 6 4y el punto (2,535, 3.169, 30284,46) sobre ambas superficies para el cualfes mnima.

Ejercicios para prctica y asesora de la UNIDAD IILA DERIVADA EN EL ESPACIO N - DIMENSIONAL

1. Derivadas parciales de primer orden

Encuentre las Derivadas Parciales de primer orden de cada una de las funcionessiguientes, llevadas a su mnima expresin:

01., = 02., = +

(2,535, 3.169, 30284,46)

x

z

y


58/88


L

03., = 04., =5 7 05., = ++ 06., = 07.

, =5

3 08.

, =

09., = 2 9 10., = cos11., = 12., = + 2. Derivadas parciales de orden superior

En los ejercicios 01 - 03 verifique si las funciones satisfacen las ecuacionesindicadas:

. = ; =

. , = 5 cos ; 2 =20, . , = ; 2 = 03. Aplicaciones de la Regla de la Cadena

01.En un momento determinado, la longitud (L) de un flotador inflable en formade cpsula (Ver figura) es de 112 cm y el radio de su seccin transversal (r) es 36cm. Se desea saber:

a) Qu tan rpido est cambiando el Volumen del flotador en ese instante, si la

longitud del flotador aumenta a razn de 1 cm/hora y el radio de la seccintransversal aumenta a razn de 2 cm/ hora?.

b) Si las razones de cambio se mantienen constantes, Cunto tardara el flotadoren alcanzar un volumen de 1 m?

02.Un cilindro anular tiene un radio interior (r), radio exterior (R) y Longitud (L)como se ve en la figura. Hllese la rapidez con que esta variando su superficie enel momento en que los radios y la longitud son de 6 , 8 y 12 cm, mientras que rcrece a razn de 0,2 cm/hora, Rdecrece a razn de 0,3 cm/hora y Ldecrece arazn de 0,5 cm/hora.

r

RL


59/88


03.Un camin deposita sal en una pila de forma cnica, de modo que en un ciertoinstante la altura es de 110 cm y su radio es de 230 cm. Si la altura aumenta conuna rapidez de 0,3 cm/min y el radio crece a razn de 0,6 cm/min. Se desea saber:

a) Con que rapidez vara el ngulo de inclinacin de lapila en ese instante?

b) Si las razones de cambio se mantienen constantes,Cul sera el ngulo de inclinacin de la pila de sal al cabode media hora?

4. Gradiente y Derivada direccional

01.La superficie de cierto lago se representa por una regin, de tal manera quela profundidad debajo de un punto cualquiera (x,y) viene dada por la funcin, = 3 0 0 2 3, con ( x,y) en metros. Si un bote se encuentra en el aguaen el punto ( - 4 , 6 ). Se pregunta:

(a) Cul es su posicin con respecto al fondo en ese instante?

(b) En qu direccin se debe remar para que la profundidad debajo de ldisminuya lo ms rpidamente posible?. Cul es la razn de cambio en ese caso?

(b) En cuales direcciones no vara la profundidad?

(d) Si el bote se dirige en la direccin 4i+ 3j. Indique si disminuye o aumenta laprofundidad debajo del bote y con qu rapidez lo hace.

02.Las existencias gasferas en el subsuelo de un pas admite como modelo lafuncin , = 2 0 , donde hes la profundidad medidaen metros y (x,y) es la posicin de una perforadora para extraccin de gas.Partiendo del punto ( -2 , -1 ) determine:

(a) A qu distancia se encuentra del yacimiento en el subsuelo en ese instante?(b) En qu direccin debe moverse para encontrar gas ms cerca de la

superficie, con la mayor rapidez posible?

(c) En cuales direcciones la profundidad no cambia?

03. Suponga que la distribucin territorial de la poblacin del mosquito patasblancas admite como modelo la ecuacin , = 4 4 , donde (x, y) laposicin en metros respecto a las direcciones surnorte(ejey) y oesteeste(ejex), Partiendo del punto (-500 , 250). Se pregunta:

(a) Cuntos mosquitos se encuentran en esas coordenadas?

(b) Qu direccin deben tomar los fumigadores para encontrar la mayorcantidad de mosquitos posibles?

(c) En cuales direcciones no vara la poblacin de mosquitos?.

5. Extremos relativos

01. Encuentre los extremos, si los hay, de las funciones definidas por:

. , = 2 4 . , = 6

h

r


60/88


02.Encuentre la distancia mnima entre el origen y la superficie = 4.Sugerencia: Sea ,,un punto cualquiera de la superficie, entonces el cuadradode la distancia entre el origen y la superficie = 4est dada por = . Sustituyendo la primera ecuacin en la segunda se tiene la funcin =, = 4

.

6. Extremos condicionados (Problemas de optimizacin)

01. Se desea fabricar un recipiente en forma de media pipa (ver figura), con finesde suministrar agua al ganado porcino de una granja. Cul es el volumen mximode agua que puede almacenarse en este recipiente si la longitud de su diagonal alo sumo es 2 m?

02. Una empresa envasadora de lubricantes desea fabricar recipientescilndricos (sin tapa) que puedan almacenar 0,8 m de lubricante. Si el material delcuerpo cuesta 100 Bs/pulg y el del fondo cuesta 400 Bs/m. Hallar las dimensionesque debera tener el recipiente para que el gasto en materiales sea el mnimoposible (Indique dicho costo).

03. Un Consorcio Hotelero desea construir una piscina de 60 m como lamostrada en la figura, con tres tipos de materiales.

Los costos de los materiales a utilizar para la construccin de la piscina seindican en la tabla siguiente:

Tabla de costosMaterial Costo Bs/m2

1 Pared lateral Tipo I 10002 Fondo Tipo II 40003 Pared frontal Tipo III 3000

Hallar las dimensiones necesarias para que el costo de construccin de la piscinasea el mnimo posible.

Tipo III

Tipo II

Tipo I

l

h

a


61/88


04.Una empresa petrolera desea construir un tanque de almacenamiento conun presupuesto de 14.400.000,00 Bs. El Departamento de proyecto y diseo acargo de dos ingenieros mecnicos, propone dos (02) modelos de tanque:

Modelo 01. Tanque de base rectangular Modelo 02. Tanque de base circular

Los costos del material a utilizar para la construccin del tanque se indican enla tabla siguiente:

Tabla de costosMaterial Costo Bs/m2

1 Tipo I 4502 Tipo II 5403 Tipo III 780

Hallar las dimensiones necesarias para que el volumen de cada uno de losmodelos de tanque sea el mximo posible con la restriccin presupuestariaindicada. Una vez finalizados los clculos, seleccionar el modelo de tanque dealmacenamiento ms conveniente.

Tipo II

Tipo I Tipo III

Tipo I


62/88

Autor: Ing. Neptal Franco Agosto 2015



UNIDAD III

LA INTEGRAL EN EL ESPACIO N -

DIMENSIONAL

UNEFM

CONTENIDO

LA INTEGRAL EN EL ESPACIO NDIMENSIONAL 633.1. Grfico de slidos. 633.2. La Integral doble. ..... 64

3.2.1. Integrales dobles iteradas en

Coordenadas rectangulares. .. 653.2.2. Propiedades de la Integral doble. 653.2.3. Aplicaciones geomtricas de la

Integral doble en Coordenadasrectangulares. ......... 66

3.2.4. Transformacin de Coordenadas.Integrales dobles en coordenadaspolares. ... 69

3.3. La Integral Triple. ...... 733.3.1. Integrales triples iteradas en

Coordenadas rectangulares. ...... 74

3.3.2. Propiedades de la Integral triple. .. 753.3.3. Aplicaciones geomtricas de la

Integral triple en Coordenadasrectangulares. .... 75

3.3.4 Transformacin de Coordenadas.Integrales triples en coordenadascilndricas y esfricas .......... 79


63/88

Unidad III La integral en el espacio n-dimensional63

UNIDAD IIILA INTEGRAL EN EL ESPACIO N-DIMENSIONAL.

3.1. Grfico de slidos:

Ejemplos:01. Dibuje el slido limitado por 9 , 1, 0.

Solucin

(1) 9 Trazas: 0 , 9 0 9 1 9;

Circunferencia, C(0, 0, 0), r= 3 . Cortes en (3, 0, 0) , (0, 3, 0) 0 , 9 ; Parbola, Cortes en (0, 0, 9) ; (3, 0, 0) 0 , 9 ; Parbola, Cortes en (0, 0, 9) ; (0, 3, 0)La superficie es un paraboloide, con eje II al eje z.

(2) 1; Plano. Corte en (1, 0, 0) (3) 0; Plano horizontal.

fig. 1 Slido limitado por el paraboloide 9 y dos planos.02. Dibuje el slido limitado por 9 9 36, 3 3.

Solucin

(1) 9 9 3 6 4 9 9 3 6 9 9 4 36Trazas:

0 , 9 9 36, No existe este lugar geomtrico. 0 , 9 4 36; Hiprbola, Cortes en (0, 0, 3), en xno hay. 0 , 9 4 36; Hiprbola, Cortes en (0, 0, 3), enyno hay.La superficie es la parte superior del Hiperboloide de dos hojas.

Plano de acotacin: 69 9 46 3 6 9 9 1 0 8 9 9 108 12; Circunferencia de C(0, 0, 6) y r= 12


64/88


(2) 3 3 3 3(Cono)Trazas: 0 , 3 3 0, El punto (0, 0,0). 0 ,

3, Dos rectas:

3 3

0 , 3, Dos rectas: 3 3Plano de acotacin: 63 3 6 3 3 36 12; Circunferencia de C(0, 0, 6) y r= 12

fig. 2 Slido limitado por las partes superiores de un hiperboloide y un cono.

3.2. La Integral doble.Consideremos una funcin continuaz=f(x,y)una funcin de dos variables definida

en una regin Rdel planoxy. Si se toma una particin interiorPde dicha regin, detal manera que se formen nbarras de base Aiy altura f(xi,yi), entonces la Sumade Riemanncorrespondiente al volumen de las nbarras viene dada por:

, = Haciendo cada vez ms fina la particin, es decirsi

0, entonces

lim , = Si existe este lmite, entonces:

, l i m ,

= la cual llamamos Integral doble defsobre R.fig. 3 La integral doble


65/88


3.2.1. Integrales dobles iteradas en Coordenadas rectangulares.

Segn el orden de integracin que se tome para la regin Robtendremos lasIntegrales iteradas:

1)Conjuntoy-simple

{, | } , ,

2)Conjunto x-simple{, | }

, ,

3.2.2. Propiedades de la Integral doble.

Sean f y g continuas en una regin cerrada y acotada R del plano, y k unaconstante.

1. , ,

2. , , , ,

3. Si , 0para todo , de , entonces , 04.Si, , para todo , de , entonces

xba

y= g2(x)

R

y

y=g1(x)

x

d

c

x= h2(y)

R

yx=h1(y)

fig. 4

fig. 5


66/88


, ,

5.SiRes la unin de dos regionesR1yR2, sin solapamiento entre s, entonces la

integral doble es aditiva enR , , , Dos regiones no se solapan si su interseccin es

un conjunto de rea 0. En esta figura el rea delsegmento recto comn aR1yR2es 0.

3.2.3. Aplicaciones geomtricas de la Integral doble en Coordenadasrectangulares.

rea de regiones planas y Volumen de slidos.

En el caso de que, 1, la integral , queda de la forma ,la cual representa al rea de la regin R.

Si , 0 sobre una regin R, entonces La integral , representa el volumen debajo de , en dicha regin.Ejemplo - rea en Coordenadas rectangularesPara la Integral doble que se indica sobre la regin R, realice lo siguiente:

a) Grafique la regin de integracin.

b) Plantee las Integrales iteradas en Coordenadas rectangulares.c) Calcule el valor de la integral, resolviendo cualquiera de los planteamientos.

: 2 0 , 4 0Solucin

a) Grfico de la regin de integracin.

Puntos de corte:

2 0

4 0

0, 0 0, 4 ,4,0Puntos de interseccin de las curvas:Despejando xde ambas ecuaciones e igualando: 2 0 ; 4 0 4 4 4 0 2 8 0

x

y

R1 R2

R=R1 U R2

fig. 6


67/88


Resolviendo la ecuacin de segundo grado, tenemos 4, 2.Sustituyendo los valores de en cualquiera de las ecuaciones igualadas,encontramos:

2, 2,8,4

Graficando:

b) Integrales iteradas en Coordenadas rectangulares:

Regin x-simple:

Reginy-simple:

Despejando la variableyde ambas ecuaciones: 2 0 2 ; 4 0 4 Tenemos dos subregiones de

integracin. Por la propiedad No. 5:

y x= y2/2

R

(0, 4)(2, 2)

(4, 0)

xx=4-y

(8, -4)

y x= y2/2

R

(0, 4)(2, 2)

(4, 0)

xx=4-y

(8, -4)

y 2

R1

(0, 4)

(2, 2)

(4, 0)

xy=4-x

(8, -4)

R2

2

fig. 8

fig. 9

fig. 7 Regin de integracin


68/88


c) Clculo del valor de la integral, resolviendo el primer planteamiento:

4

2

4 2 6

42 22 26 44 42 46 143 403 1 8Ejemplo - Volumen en Coordenadas rectangulares

Use la integracin doble para encontrar el volumen del tetraedro acotado por losplanos coordenados y el plano 3 6 4 1 2 0.

Solucin3 6 4 1 2 0 3 6 4 1 2(Plano)Trazas:

0 , 3 6 1 2 ; Recta. Cortes en (4, 0, 0) , (0, 2, 0) 0 , 3 4 1 2 ; Recta. Cortes en (4, 0, 0) , (0, 0, 3) 0 , 6 4 1 2 ; Recta. Cortes en (0, 2, 0) , (0, 0, 3)

fig. 10 Tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano 3 6 4 1 2 0.Regin de integracin.

La regin de integracin es la regin triangular que forma la base del tetraedro.Est limitada por los ejes x,yy la traza xy:

3 6 1 2 0.

y

x

z

(0, 0, 3)

(4, 0, 0)

(0, 2, 0)

y

x

(0, 2)

(4, 0)

3 6 1 2 0



69/88


Integrales iteradas en Coordenadas rectangulares:

Reginy-simple:

Despejando la variable y de la traza xy: y la variable z del plano:

1 2 3 6 4 1236

Regin x-simple:Despejando la variablexde la traza xy: 4 2 y la variablezdel plano:

1 2 3 6 4

Resolviendo el segundo planteamiento:

1 2 3 6 4

14 1 2 32 6

14 124 2 34 2 2 64 2

14 6 2 4 2 4

14 2 12 24 14 22 122 242 14 16 43.2.4. Transformacin de Coordenadas. Integrales dobles en coordenadaspolares.

Cualquier integral de la forma , , se puede transformar a otro sistemade Coordenadas mediante el factor ||, llamado Jacobiano de la transformacin:

y

x

(0, 2)

(4, 0)

4 2

y

x

(0, 2)

(4, 0)

1 2 3 6

fig. 12

fig. 13


70/88


, ||, donde ||

Transformacin a Coordenadas polares.

y , entonces , ,|| ||

||

Entonces:

, , Ejemplo - rea en Coordenadas polares

Para la Integral doble que se indica sobre la regin R, realice lo siguiente:

a) Grafique la regin de integracin.

b) Plantee la Integral en Coordenadas polares.

c) Calcule el valor de la integral.

: 1 , 2 0Solucin

a) Grfico de la regin de integracin. 1; Regin interior a la Circunferencia de C(0, 0), r= 1 2 0; Completando cuadrados: 2 1 1 1 1; Regin interior a laCircunferencia de C(1, 0), r= 1

r

1()

0

2()

R 1

2

x

y

(1, 0)(0, 0)(-1, 0) (2, 0)

1 1

1

R

fig. 14



71/88


b) Transformando a Coordenadas polares:, , , entonces: 1 1 1

2

0

2

22

Tenemos la Integral doble que se indica sobre la regin S: : 1, 2cos Puntos de interseccin:Para determinar los puntos de interseccin de las curvas, iguale ambas

ecuaciones: 2 c o s 1 c o s 12

arc cos 12

En el intervalo 0,2las soluciones son: y

Considerando la simetra de la regin, tenemos dos subregiones de integracin.Por la propiedad No. 5:

2 [

] 2

2

c) Calculando el valor de la integral:

2

2

2 2 2

2

4cos

4 2 14 2

3

53

2 c o s 10

2

32

2R2

R1

fig. 16


72/88


3 4 4 14 6 14 23 3 4 4 6 32

3

23

32

23

32

Ejemplo - Volumen en coordenadas polares

Use coordenadas polares para encontrar el volumen de la esfera en el primer octante.Solucin

Esfera: Trazas: 0 , Circunf. Cortes en

(a, 0, 0) , (-a, 0, 0), (0, a, 0) , (0, -a, 0)

0 , Circunf. Cortes en(a, 0, 0) , (-a, 0, 0), (0, 0, a) , (0, 0, -a) 0 , Circunf. Cortes en(0, a, 0) , (0, -a, 0), (0, 0, a) , (0, 0, -a)

fig. 17 Esfera acotada por los planos coordenados.

Regin de integracin.

La regin de integracin es el sector circular limitado por la traza xy, es decir: y los semiejes 0 , 0.

Despejando z, tenemos . En rectangulares, el volumen estdado por la Integral doble que se indica sobre la regin R:

: , 0, 0

(0, 0, a)

(a, 0, 0) (0, a, 0)

yx

z

y

x

(0, a)

(a, 0)



73/88


Transformando a Coordenadas polares:, , , entonces:

Se tiene la Integral doble que se indica sobrela regin S:

: 0 ,0 2Calculando el volumen:

13

Aplicando sustitucin o cambio de variable: , 2 2

12

12

32

13

13

13

3

3

3 2 6 Observe que el volumen calculado corresponde a la octava parte del volumen

de la esfera completa

, es decir:

43 8 424 6 3.3. Integrales triples

El concepto incorporado a Integrales dobles se extiende en forma natural a lasIntegrales triples y an de multiplicidad n. Consideremos una funcin continua , , una funcin de tres variables definida en una regin slida (S)en elespacio.

2

0

fig. 19


74/88


Si se toma una particin interiorP de dicharegin, de tal manera que se formen nsubregiones,entonces la Suma de Riemann correspondienteal volumen de las nsubregiones viene dada por:

, , = Haciendo cada vez ms fina la particin, es decir

si 0, entonceslim , , =

Si existe este lmite, entonces:

,, l i m , ,

=

la cual llamamos Integral triple defsobre S.

3.3.1. Integrales triples iteradas en Coordenadas rectangulares.

Hay seis (06) ordenamientos de integracin posibles. A todos ellos se llamaIntegral triple iterada defsobre S.

,,,

,

,,,,

,,,

,

,,,,

S

y

x

z

dV

S

dV

z

z=g2(x,y)

z=g1(x,y)

xdA

S

d

z

=g2(x,z)y=g1(x,z)

x

dA

Sxy

Sxz

fig. 20 regin slida (S)en elespacio

fig. 21 Regin de integracin Sxy

fig. 22 Regin de integracin Sxz


75/88


,,,,

,,,,

3.3.2. Propiedades de la Integral triple.

Sean f y g continuas en una regin cerrada y acotada S del plano, y k unaconstante.

1. ,, ,,

2. ,, ,, ,, ,, 3. Si ,, 0para todo ,,de , entonces ,, 04.Si ,, ,,para todo ,,de , entonces ,, ,,

3.3.3. Aplicaciones geomtricas de la Integral triple en Coordenadasrectangulares.

Volumen de slidos

En el caso de que ,, 1, la integral ,, queda de laforma , la cual representa al Volumen de la regin S.Ejemplo:

Dadas las superficies 2 2, 4, 0 , 0, encuentre:a) El grfico del slido limitado por la superficies.b) Plantee las seis (06) Integrales triples iteradas en Coordenadas

rectangulares.c) Calcule el Volumen de la regin slida S, resolviendo cualquiera de los

planteamientos.

Solucin

S

d

z

y

x=g2(y,z)

x=g1(y,z)

x

dA

Syz

fig. 23 Regin de integracin Syz


76/88


a) Grfico del slido limitado por las superficies.(1) 4

Puntos de corte:

0 , 4; (4, 0, 0)

0 , 4 2

(0, -2, 0), (0, 2, 0)

Cilindro parablico, directriz: Eje z

fig. 24 Slido acotado por un cilindro parablico 4y los planos 2 2, 0 , 0.b) Integrales triples iteradas en Coordenadas rectangulares.

La regin de Integracin Sxyest delimitada por la base del Cilindro parablico

4y el ejey(

0). Los lmites de zestn dados por z=0y

fig. 25 Visualizacin de la regin de integracin Sxy.

c) Integrales triples iteradas.Reginy-simple:

Despejando la variabley:

x

z

x

(2) 2 2Puntos de corte:

0 , 1; (0, 0, 1)

0 , 2; (0, -2, 0)

Plano || eje x

(0, 2)

(0, -2)

(4, 0)

4

(0, 2, 0)

(4, 0, 0)

(0, 0, 1)

z

x

(0, -2, 0)

(-2, 0, 2)

(4, 0, 1)

7/25/2019 INTENSIVO 2015 Guia de estudio

intensivo 2015 guia de estudio (matematica iii).pdf

Documents