integral función primitiva xuvia-narón · se llama integral indefinida al conjunto de las...

integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 474 Leopoldo E. Álvarez

INTEGRAL Función primitiva

CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

Sea f(x):Dℝ ℝ función real de variable real definida en el dominio, D F(x):Dℝ ℝ función real de variable real definida en el mismo dominio, D Se dice que la función, F(x), es una función primitiva de la función, f(x), si la función, F(x), tiene por derivada la función, f(x) F(x) es primitiva de f(x) F’(x)= f(x) F(x)= y= x2 y’= f’(x)= 2x ∫2x.dx= x2 + C Si existe la función primitiva, F(x), de la función, f(x), entonces se dice que la función, f(x), es integrable. La operación que permite obtener una función primitiva, F(x), a partir de una función, f(x), recibe el nombre de integración, y matemáticamente se escribe f(x).dx= F(x) + C Las propiedades fundamentales que permiten hacer la integral de una función, f(x), para hallar su función primitiva, F(x), son:

Si una función, f(x) tiene primitiva ésta no es única, diferenciándose todas ellas en una constante. Sea F(x) función primitiva de f(x) F’(x)= f(x) Cℝ número real cualquiera Entonces la función, F(x) + C, también es una función primitiva de la función, f(x), puesto que su derivada coincide con la función, f(x). [F(x) + C]’= [F(x)]’ + [C]’= F’(x) + 0= F’(x)= f(x) Para que la primitiva de una función quede determinada es necesario conocer el valor de la constante, C, para ello se necesita alguna otra condición, como puede ser:

Conocer el valor que toma la función primitiva en un número real, x= a, de su dominio, D. Conocer un punto, P(a,b), por el que pasa la gráfica de la función primitiva, F(x). Hallar la primitiva, F(x), de la función, f(x)= 2x, cuya gráfica pasa por el punto, P(1,3).

La primitiva de la función, f(x), es, F(x)= x2 + C Dado que la gráfica de la función primitiva, F(x), pasa por el punto, P(1,3), se verifica: 3= F(1)= 12 + C= 1 + C 2= 3 – 1= C


La primitiva de la función, f(x), es pues finalmente F(x)= x2 + 2 Hallar la recta ó función lineal cuya pendiente es, 2, y pasa por el punto, P(0,4).

La derivada de la función lineal es su pendiente, por lo tanto f’(x)= 2 por lo que la función primitiva es la ecuación de la recta pedida F(x)= 2x + C Por pasar la función primitiva, F(x), por el punto, P(0,4) 4= F(0)= 2.0 + C= 0 + C= C La recta pedida es F(x)= 2x + 4

Se llama integral indefinida al conjunto de las infinitas funciones primitivas, F(x), que puede tener una función, f(x). Este conjunto se representa por:

∫ f(x).dx Se lee integral de, f(x), diferencial de, x. ∫ es el signo de integración f(x) es la función a integrar dx indica la variable de la función con respecto a la que se integra. Si, F(x), es la primitiva de la función, f(x) se verifica ∫ f(x).dx= F(x) + C C constante de integración que puede tomar cualquier valor numérico real Linealidad de la integral indefinida

La integral del producto de una constante, k, por una función, f(x), es igual a la constante por la integral de la función

∫k . f(x).dx= k . ∫ f(x).dx Esta relación permite introducir constantes dentro del signo de integración o sacarlas de él según convenga en cada caso. La integral de una suma o resta de funciones, f(x), g(x),…, h(x), es igual a la suma o resta de las integrales de cada una de dichas funciones

∫ [ f(x) g(x) …. h(x)].dx= ∫ f(x).dx ∫g(x).dx …. ∫h(x).dx

La utilización conjunta de estas dos propiedades constituye el método de descomposición. Por principio conviene descomponer lo más posible el integrando: Aplicando la propiedad distributiva


Sustituyendo la expresión de la función, f(x), por otra equivalente, sumando y restando una misma cantidad ó bien multiplicando y dividiendo por un mismo número real.

Integrales básicas

Son las que se obtienen del estudio de la tabla de derivadas. Entre otras: Integral de la función nula, f(x)= 0 es una función constante

Es la función constante, F(x)= C La integral de la función constante, f(x)= k, kℝ, y, k 0, es la función lineal o afín Es la función afín ó lineal, F(x)= kx + C

Integral tipo potencial , m -1 Para utilizar este tipo adecuadamente conviene pasar las expresiones fraccionarias y radicales a la forma potencial escribiéndolas con exponente real positivo o negativo. Hay que distinguir en el integrando quien es la función, f(x), y quien es su derivada, f’(x). Si a la función derivada, f’(x), le falta alguna constante para ser la derivada de la función, f(x), se introduce multiplicando y dividiendo el integrando por ese valor y procediendo en sentido inverso delante de la integral. Dentro de este formato entran las integrales del tipo ∫senm (x) . cosn (x).dx m ó n natural e impar ∫ tgm (x) . secn (x).dx m impar ó n par ∫ctgm (x) . cosn (x).dx

12 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2

1 1 1. . .2 . .2 2 1

n n n

n

x dx a b x x dx a b x b dx a b x Cb b na b x

Ejercicios 7

6

7dx Cx x

34

7 74x Cx dx

2 51 3 35 23 32

3 3 3 32 5 5 513

x x x x xC C Cx dx C

0.dx C

.k dx kx C

11. ' .1

m mf x f x dx f x

m


44

4

1 33

3

3 3 131

34 3x xx dx C C x C C

xdx

x

1 411 4 33 3

3 433 33 3 31 4 4 4 413 3

x x x xx dx C C x C xd C Cx x

1 34 4

3444

11 4 41

13 31

4

d x xx dx Cxx

C x C

2 112 3

333

3

232

111

3 3

dx x xx dx Cx

C C x

3 41 ( 2)

4( 2) xx dx C

2

2 312

2

22 333

1 2 71 1 3(2 2). 2 7 2 722 23

7 42

x xx x x C C x xx dx C

x x

2 221 1(2 1 (2

) 1)x x x d x xx C

12 712 12 5

52

52 5 5

5 72

512 7 715 5

1 x xx x dx x dx C C Cx

dxx x

4 5.cos 1

5sen x xdx sen x C

21 12 .cos 22 .cos .2 22

2 4sen x x dx sesen x xdx n x C

2 32 .sec 1

3tg x xdx tg x C

22cot

11 ( )2

ar gx dx arc Cx

otgx

4 4 15

55

4

14 15

x dxd x Cxx


5 5 16 6 65 33 5 16

3 x dxx d x Cx

3 3 74 413 74 44 4 434 4 43 4 3 43. 3 33 7 71

3

4

x dx x dx d x x C C x Cx x

1 1 312 2 22 22 21 1 1 1 24 . 2 5 . . 2 5 . . 2 514 4 4 31

2

2 5 x x dx x C x Cx x dx

1 1

4331 1 33 3

14 2. 1 1 34 2 4. 4 2 . . 4 2 4 214 4 1613

x dx x dxdx x C x Cx

4

4 4 117 .1. 747 1

x ddxx

x x C

6 6 6 12 2 2

62

1 1 1 1 12 35 2 3

. 2 3 4 . 2 35 5 4 20 6 1

x xdx x xdx x Cxdx

x

5 2 7 7 16 3 55 2

72 6 3

63 36 7

1 30 12 1 1 15 4 30 12 . 5 46 6 6 7 15

5 2

45 4

x x dx x x x x dx x x Cx x dxx xx x

3 3 1 4

31 1 1ln . ln l

ln

3 1n

4x dx x

xC x C

xdx

x

1

12 222

1 31 1 2cos . cocos

s cos31 11 1

2

ar enx dx ar enxar en x

d C ar e Cx

x nx

x

5 5 14 2 3 4 2

4

3 33

523

1 1 12 6 8 12 . 2 652 2 1

4 6

2 63

x x xx x dxx x

x dx x x C

3 1 43 .c 1 1os

4.

3 1sen x C sese d x Cx x nn x

2 2 123 3

2

23

3

1.sec 32 1

s

3

ec tg x xdx tg x Cx dxtg

gx Cx

t


2

1 1 12 22

1cot 1cot1

. cot11 12

ar gx dx arar gx

Cx gx x

d x

2 2

2 23 33

3 2.cos .cos . . 1co .cos s .sen x x x dx sen x sen x x dxx dx

sen x

2 2 2 4123 3 3 31.cos . . .cos . .cos .2 1

3

sen x x dx sen x sen x x dx sen x sen x x dx

2 41 1 3 73 3

3 2

1 1 3 32 4 71 1

3 3

sen x sen x C sen x Csen x

1 1

2 2 2 23 34

3.sec .sec .se . 1 .sec c .xdx

tgxtg x x x dx tg x tg x x dx

1 1 1 512 2 2 23 3 3 31.sec . . .sec . .sec .1 1

3

tg x x dx tg x tg x x dx tg x tg x x dx

1 51 1 2 83 33 31 1 3 3

1 5 2 81 13 3

tg x tg x C tg x tg x C

2 2 11 13 33 2 31sec . . sec .sec . . sec1 1

3

sec . . x tgx dx xx tgx dx x tgx dx x C

2 2 33 2 1. . 1 cos . . ( cos . ) cos cos3

. sen x senx dx x senx dx senx x senx dxsen x dx x x C

2 2(2 1). 1 . cos 1x x xs x dx Cen x

Integral tipo logarítmico

'ln

f xdx f x C

f x

Dentro de este formato se encuentra la integral

2 2 2

ln ln1 1 1 1 1 1 1 ln2 2 2 2

a bx a bxdx dx a bxdx dx Ca b x a a bx a bx a a bx a bx a b b ab a bx

El desarrollo anterior se puede hacer debido a que el integrando de la misma se puede escribir en la forma

2 2 2

1 1 1 12a b x a a bx a bx


22ln(2

11 )x dx

xx C

ln coscos cossenx senxdx dx x C

x xtgxdx

3

3 3

1 1 3.5 .ln 555

1. ln(5 7)3 ln 5 5 7 3.l 57 n

xx

xx

x ddx x C

1

ln lnln

1ln

x dx x Cx

dxx x

2

21

cos1cos .

lnx dx tgx Ct

dxx t xx gg

11 ln1 dx x x Cx

x dxx

1 5 5 5 6 6ln( 5)

55 51

5x dxx

x xdx dx dx x x Cx x x

2

3 22

33 2 2

1 12 12 1 ln 4 612 4 6 14 26

x xx x dxx x

dx x x Cx x

cos ln. xdx senx Cse

ctgx dxnx

2sec sec sec sec . ln secsec sec

sec .x x tgx x x tgxdx dx x tgx C

x tgx x tgd

xx x

2sec sec ss ec secec . . ln secsec sec

co x co x ctgx co x co x ctgxdx dx co x ctgx Cco x ctgx co x ctg

co x dxx

33

23 l1 n( 5)5

x x Cx dxx x

2

22

1 2 1 ln( 1)2 1 21

x dx x Cx dx x

x

3

23

3

21 3 1 ln( 8)3 8 38

x dx x Cx

x dxx

22

2

2. .cos2 ln( )11

1senx x dx sen x Cse

sen x dxse x n xn


2 2 2

ln 2 3 ln 2 31 1 1 1 1 3 1 3 1 1 2 3ln4 2 3 2 3 4 3 2 3 3 2 3 4 3 3

14 9 12 2 3

x xdx dx xdx C Cx x x x

xx

dx

2

ln 3 2 ln 3 21 1 1 1 1 2. 1 2 1 1 3 2ln2 2 2 22 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3

13 4 4 3 3 2

x xdx dx xdxx

dx C Cx x x x x

In tegral t ipo exponencial

. ' .

. ' .ln

f x f x

f xf x

e f x dx e C

aa f x dx Ca

2 2 2 21

2x xe Ce dx

55ln5

xx d Cx

1010ln

2 .0

51

xx

xx dx x Cd

13 3 11 31 18 .3 8

3 3.l 88

nx xx dx Cdx

ln lln

n1 .x

x xe e dx

Cx xd ex

. senxsenxe cox dx e C

22

cos1.

11ar enx arco

arcoses

nxenxee dx

xdx e C

x

33 2

32 ln

3

22

x

x

x

x

dxx Cd

2 22 1 1.2 .

2.

2x xx e x dx e x e Cdx

2 2 2

.2. . .2 .sen x sen x sen xe senx cox dxe sen x d ex C

Integral tipo coseno . ' . cossen f x f x dx f x C


3 co3 ssenx dx x x C

1 13 5 .3 cos 3 53

53

3 sen x dsen x Cd xx x

22 21 1( 1). 2 3 (2 2). 2 3 cos 2 32 2

x sen x x dx x xx sen x x dx C

c. . osx x xe sene dx e C

1 12 .2 cos 2. 22 2

. sen xsen x d dxx x C

2. 2 . 1 cos4 1 1 4

2 2 8x dx xsen s Cx d n xx e

22(2 1). 1 cos 1x sen x x d x x Cx

2 2 2. 3 1 13 .2 cos 32 2

sen x xdx xx s Cen x dx

1ln . cos lln

nsen x dxsen x

dx x Cx x

2 2 2. 3 1 13 .2 . cos 32 2

. sen x x dx xx sen x dx C

1ln . cos lln

nsen x dxsen x

dx x Cx x

In tegral t ipo seno

cos . ' .f x f x dx sen f x C

2(2 cos )x x dx x senx C

1c (2 5)2

os(2 5) sen xx Cx d

2 2 21 1(2 2).c( os( 2 1) (1).cos( 2 1 2 1)

2 2) x x x dxx x sen x Cx xdx

1cos l

cl

on . n

s lnx dx sen x

xdx

xC

x


2

2 1 cos 2 1 cos2 1 1 1 1 11 cos 2 2 22 2 2 2 2 2 4

cos . x xdx dx x dx x sen x C x sex n x Cdx

1 1cos 2 .2c2 2

. 2os 2 xx d dx sen x Cx

2 2 33 2 1 1cos 3 .cos3 . 1 3 .cos3 . cocos 3 . s3 . 3 .cos3 . 3 33 9

x x dx sen x x dx x dx sen xx dx x dx sen x sen x C

22cos 2 1 .cos 1 1sen xdx x Cx x x

2 22 1 1cos 1.cos .2 12 2

1 .x x dx sex x d n xx C

Integral tipo tangente

2 2

2

'. sec . ' . 1 . ' .

cosf x

dx f x f x dx tg f x f x dx tg f x Cx

2

5cos

5dx x Cx

tg

2 23 (1 ) 3(3 )tg x d tg xx dx tgx C

2 21 1sec (5 3).5 (5 3)

5ec (

5s 5 3) xx dx dx tg x C

2 2 2 2 2 2 24 31sec .sec . (1 ).sec . (sec ssec . ec . )

3x x dx tg x xdx x x tg x dx tgxx dx tg x C

22(3 3 3 ) 3c ) (1 ctg xt dg x d ctx x gx C

2 22 (1 1). (. 1 )tg tg x dx tg x dx dx tgx xx dx C

Integral tipo cotangente

2 2

2

'. sec . ' . 1 . ' .

f xdx co f x f x dx ctg f x f x dx ctg f x C

sen x

2 21 1cos (3 1).3 (3 1)cos (3 1)

3 3ec x d ec x dx ctgx x C

4cosec .x dx 2 2 2 2sec . sec . (1 ). sec .co x co x dx ctg x co xdx

2 2 2 31( sec sec . )3

co x co x ctg x dx ctgx ctg x C


2 2 2(1 1)c 1 ). (ctg x dx ctg xtg x dx dx dx ctgx x C

Integral tipo arco seno

2

'. cos

1

f xdx ar en f x C

f x

Dentro de este formato se encuentra la integral

2 2 2 2 22 2

22

1 1 cos

1 1 1

b dxdx dx dx ba ar eno x Cb b aa b x b x b ba a x x

a a a

2

224

2 121

12 1

x dx arcox sen x Cx

dxx

22

11 21

x

x

xx

x

e dx arcoe sen e Ce

dxe

2 2

1 1. ln1 l

11 n nl

dx arcosen x Cx

dxx xx

2

1 12 . 221

11

dx adx rcosen Cx

xxxx

2 2 2

1 41 1 45 54 4 54 4

125 16

1 15 5

dx dx dx arcosen

xx

x C

x

2 2 22

51 1 1 1 53

35 55 5 53 1 3 1 13

3

3

53

1 dx dx dx dx arcosen x Cx

x xx

Integral tipo arco tangente

2

'. cot

1

f xdx ar g f x C

f x

Dentro de este formato se encuentran las integrales


2 22 2 2 22

2 22

.1 1 1 1 1. . cot1 1 1

b dxdx badx dx ar g x Ca b x a ab ab ab b ba x x x

a a a

2

1 dxax bx c

Siendo el denominador irreducible. La integración se hace fácilmente utilizando la formación de cuadrados. Este proceso se realiza de modo más fácil multiplicando el numerador y el denominador por, 4a, con lo que se evita trabajar con números fraccionarios.

2 2

1 1 1 ( )5 1 5

15 5

dx arcotgdxx

x Cx

22

1 4 1 (4 )4 41 416 1

1 dx arcotgdxx

x Cx

2

cos1

cotx dxse

ar g senx Cn x

23

23

2

6

1 3 1c t

31 31

x dx ar o g x Cx dx

xx

2 2

1 .3 c t 33

39 11

dx ar o g x Cx

dxx

22

2 2 2

2 24 .1 1 3 331 1 1 3 2 1 2 11 1

11

14 4 2 4 2 23 3

dx dx dx dxx x x x

dxx

xx

2 2

2 22 2 2 2 13 3 c t3 3 3 32 2 1 2 11 . 1

23 3

xdx dx ar o g Cx x

2 2 2

7 .1 1 1 72. cot22 7 2 73 74 1 1

2

14

2

.7

dxdx ar g x C

x

xx

x

d

22

1 cot ( 1)( 1) 1

12

dx arx

x Cx x

g xd


222 2

24 2 2 2 2 132 cot

4 4 4 (2 1) 3 3 311

3

132 1

xdx dx dx ar g Cx

dxx x x

xx

3

32

2

3 1

1 2cot 2

x ar g x x Cdxx x

4

222

1 2 1 cot2 211

x dx dx xx

ar g x Cx

22 c

1ot

1

x

x

xx

x

e e dx ardxe

g e Ce

Integral tipo neperiano-arco tangente

2 cotMx N dx Ln ar g Cax bx c

M 0, ax2+bx+c polinomio irreducible. Esta integral se descompone en dos: De tipo neperaiano De tipo arco tangente

22

2 2 2

2 1 6 2 1 6 12 2 1ln( 1) cot1 1 1 3 3

2 71

x x xdx dx dx x x ar g Cx x x x x

x xx x x

d

Integral por partes Se basa en la derivada de un producto de funciones derivables, u, y, v.

d(u.v)= du.v + u.dv A partir de aquí se trata de buscar una regla que permita calcular la integral de un producto de funciones. Integrando ambos miembros de la expresión anterior . ( . ) . . . .u v d u v du v u dv v du u dv

despejando en esta igualdad el término, u.dv, se tiene . . .u dv u v v du

expresión correspondiente al método de integración por partes. Al aplicarla hay que elegir quien va a ser, u, y quien va a ser, dv, lo cual exige un poco de intuición y práctica.


Si la nueva integral que se obtiene es más complicada que la inicial hay que cambiar la elección. En algunas ocasiones hay que repetir la integración por partes en la nueva integral resultante, También puede ocurrir que al hacer esto la integral resultante sea idéntica a la integral de partida, la cual está en el primer miembro del desarrollo. En este caso basta despejar dicha integral como si fuese una ecuación para obtener la primitiva.

.. . .. x xx x xx e e dxx e x edx e C

u= x du= dx dv= ex.dx v=ex.dx= ex

. ( ) ( ).cos( . . ( )) s( ). cox sen x sen x dx x d x x sen xx x C

u= x du= dx dv= cos(x).dx v=cos(x).dx= sen(x)

1ln( ).ln( ). . . .ln( ) .ln( )x x x dx x x dx x x x Cx

x dx

u= ln(x) du= 1x

.dx

dv= dx v=dx= x

22

1 1cot ( ). . . . cot ( ) n(1 )1

cot ( )2

. ar g x x x dx x ar g x l xr x Ca g x dx

u= arcotg(x) du= 2

11 x

.dx

dv= dx v=dx= x

2

2

1( ). . (.1

) 1( ) . .arsen x x x arsen x x Carsen x dx x dxx

11 12

2

2 2222

1 2 1 1 1. 1 .( 2 ). . (1 ) 112 2 21 12

1 . .1

x dx x x dx x x Cx

x dxx

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1.ln . .ln . .ln ln

2 2 2 2 2 4 2 2.ln .x x x x x dx x x x dx x x x x x Cx

xd

u= ln (x) du= 1x

.dx

dv= x.dx v=x.dx= 12

x2

22 3 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1.ln( ) . .ln . .ln ln

3 3 3 3 3.ln .

9 3 3x x x dx x x x dx x x xx x x x C

xdx

u= ln (x) du= 1x

.dx

dv= x2.dx v=x2.dx=13

x3


22 22 .( cos )..( cos ) .cos 2 .co. . s .x x dxx senx dx x x x x x x dx

u= x2 du= 2x.dx dv= sen(x).dx v=sen(x).dx= -cos(x) se aplica de nuevo este método a la integral resultante 2 . 2. . 2 .2 .cos 2.co. sx senx senx dx x sex x dx nx x

u= x du= dx dv= cos x.dx v=cos x.dx= sen x sustituyendo este valor en el desarrollo inicial se tiene

2.cos 2 . 2cosx x x senx x C

.cos . .. .xx xe se e see nnx xx dx xd

u= ex du= ex.dx dv= cos x.dx v=cos x.dx= sen x al hacer este método tanto a la integral inicial como a la resultante se obtiene de nuevo la integral inicial.

.cos . . .cos .cosx x xxe senxd xe xx e ex

u= ex du= ex.dx dv= sen(x).dx v=sen(x).dx= -cos(x) se trata la integral como una ecuación, se despeja dicha integral inicial y resulta

2 .cos . . .cosx x xe x dx e senx e x

de donde

1.cos . . .cos2

x x xe x dx e senx e x

1 1 11 1 1 1 1.ln ..ln .ln .

1 1 1 1. n nn n nx x x dx x x x dx

n n xx x dx

n n

1 1 12

1 1 1 1.ln ln1 ( 1) 1 1

n n nx x x x x Cn n n n

u= ln (x) du= 1x

.dx

dv= xn.dx v=xn.dx= 1

1n .xn+1


2 22 2 2 1

ln ln ln ln ln l. .

n..

x x xxx a x a x a xx ax C

a a a ada x

adx

a

u= x2 du= 2x.dx

dv= ax.dx v=ax.dx= ln

xaa

se aplica de nuevo este método a la integral resultante

1 1 1.

ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ). .

x x x xxx a x a x a aa dx x

a a a a a a ax a dx

u= x du= dx

dv= ax.dx v=ax.dx= ln

xaa

resultado que sustituido en la primera da el resultado final.

32 3 3 2 2

2

1 1 1. co 1 1 1. cot ( ) . cot ( ) . ln(1 )3 3 1 3 3 2 6

t ( ). xx ar g x x ar g x x x Cx

x ar g x dx

u= arcotg (x) du= 2

11 x

.dx

dv= x2.dx v=x2.dx= 13

.x3 x3 x2 + 1

-x3-x x -x

Integral por cambio de variable Se sustituye la variable, x, por una función de otra variable, x= g(t), transformando de esta manera el integrando, f(x).dx, por otro más sencillo. Se hace x= g(t) dx= g’(t).dt de forma que f(x).dx= f(g(t)).g’(t).dt Se halla la integral en la variable, t, y finalmente se deshace el cambio. Si la integral resultante en la nueva variable, t, es más complicada que la inicial, el cambio realizado no es el adecuado. Los cambios de variable más usuales son:

m,n ℕ m, impar t= cos x n, impar t= sen x m,n, par Se disminuyen los valores de éstas haciendo:

.cos .m nsen x x dx


sen2x= 12

(1-cos 2x) cos2x= 12

(1+cos 2x) sen x.cos x= 12

sen 2x

R, función racional del, sen x, y del, cos x

Un cambio de variable genérico para este tipo de integrales es

t= tg 2x

que permite escribir

sen x= 2

21

tt

cos x=2

2

11

tt

dx= 2

21 t

dt

Existen casos particulars que permiten simplificar estas integrales sin tener que hacer uso del cambio genérico anterior.

La función racional, R, es impar en, cos x

R(sen x, -cos x)= -R(sen x, cos x)

El cambio de variable que se usa es t= sen x

La función racional, R, es impar en, sen x R(-sen x, cos x)= -R(sen x, cos x)

El cambio de variable que se usa es

t= cos x

La función racional, R, es par en, sen x, y en, cos x R(-sen x, -cos x)= R(sen x, cos x)

El cambio de variable que se usa es

t= tg x

que permite escribir

21

tsenxt

2

1cos1

xt

2

1 .1

dx dtt

El cambio de variable es, t= ax

2 2, .R x k x dx

( , cos ).R senx x dx

( ).xR a dx


El cambio de variable es, x= k.sen t

2 2, .R x x k dx

El cambio de variable es, x= k.sec t

2 2, .R x k x dx

El cambio de variable es, x= k.tg t

22 2

1 12 .2 . . 2 cot ( ) 2 cot1 .

11

11

dxx

t dt dt ar gx

t ar g x Ctt t

t2= x-1 x= t2+1 dx= 2t.dt

2625 26 22522 . 1 1. 52 2

56 6

t dt tx x dx x C

t= x2+5 dt= 2x.dx x= 5t

3 24 12 8 6 19 17

11 11 16 143 344 1

3

2.12 . 12 . . 12 12t t t t t tt dt t dt dt t t dt

tx x d

tx

x t

17 15 12 417 15 17 512 1212 12 12 4 12 417 15 17 5 17 5

t t C x x C x x C

x= tm..c.m.(índices de las raíces)= tm.c.m.(3,2,4)= t12 dx= 12t11.dt t= 12 x

2 6 45 1

72 5 5

3 2 1 2 1 1 66 6 12 12ln5 1

2 t t tdt dt dt dt t t Ct t t

x xt

dxx

64 3 2

3 312ln 12ln2 2

t C x Ct x

x= t6 dx= 6t5.dt t= 6 x

3 3 2

2 1. 2 2 cot ( ) 2 c t1

11

o1

dx z dz dz ar g z C ar g x Cz zx zx

1+x= z2 dx= 2z.dz z= 1 x 1+x

2

2 2 2 2

2 . . 1. 2 2 11. 2 21 1 1 1

xe z dz z dz dzz dz dz dzz z z z

dx

2 2 cot ( ) 2 1 2 cot 1x xz ar g z C e ar g e C

ex -1= z2 ex= z2+1 ex.dx= 2z.dz dx= 2

21

zz

.dz


2 22 29 3 3 99 4 . cos . 3 1 . cos . cos .4 2 2 2

9 4 . sen t t dt sen t t dt t tx ddx

2

29 1 1 9 1 1 1 2 9 4 4cos2 . 2 2. . . 9 42 2 2 2 2 2 2 3 3 9

x xt dt t sen t x x C

x= 32

sen t sen t= 23x

2 2

2 4 9 4cos 1 19 3x xt sen t

cos2 t= 12

+ 12

cos t sen 2t= 2 sen t.cos t dx= 32

cos t.dt

Integral de funciones racionales o fracciones de polinomios

Se llama fracción simple a aquella que es de una de las dos formas ó Las funciones racionales que forman el integrando se transforman en una suma de fracciones simples, que tienen por denominador polinomios de primer o segundo grado irreducibles Para realizar este método en las funciones racionales el grado del polinomio del numerador de la fracción ha de ser menor que el grado del polinomio del denominador. De no serlo y para conseguir dicho objetivo:

Se realiza la división indicada por la fracción

( ) ( )( )( ) ( )( )

P x Q xP xr x c xQ x

Se aplica la regla de la división

P(x)= Q(x).c(x) + r(x) Se divide ambos miembros de esta expresión por el polinomio del denominador de la fracción, Q(x), resultando una nueva fracción que si cumple esta condición además de un polinomio cuya integración es inmediata:

( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x Q x c x r x Q x c x r x r xc xQ x Q x Q x Q x Q x

de este modo se transforma la integral inicial en suma de otros dos

( ) ( ) ( )( ) . ( ). .( ) ( ) ( )

P x r x r xdx c x dx c x dx dxQ x Q x Q x

El proceso ahora del método de las funciones racionales consta de tres partes:

Descomponer el denominador en factores

Todo polinomio con coeficientes reales se puede descomponer en un producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles.

Ax n 2

Ax n


Los factores que pueden aparecer en esta descomposición son:

Factores lineales simples El denominador de la fracción tiene todas las raíces simples y reales. x2-5x+6= (x-2).(x-3) factores lineales Factores lineales dobles, triples, … El denominador de la fracción tiene raíces múltiples y reales. x2+2x+1= (x+12 factor lineal doble x3-1= (x-1).(x2+x+1) factor lineal y cuadrático Factores cuadráticos irreducibles simples El denominador de la fracción tiene raíces imaginarias simples. x4-1= (x+1).(x-1).(x2+1) factores lineales y cuadrático Factores cuadráticos irreducibles dobles, triples, … El denominador de la fracción tiene raíces imaginarias dobles, triples, … x4+2x2+1= (x2+1)2 factor cuadrático doble

Descomponer la fracción racional en suma de fracciones simples El esquema de descomposición de la fracción racional depende de los factores que aparecen en la descomposición factorial anterior. Por cada

Factor lineal simple A

x a

Factor lineal doble 2( )B C

x b x b

Factor lineal triple 2 3( ) ( )C D E

x c x c x c

Factor cuadrático simple 2

Mx Nax bx c

Si un polinomio admite una raíz imaginaria admite también su conjugada. Por cada par de raíces imaginarias conjugadas hay que escribir dos fracciones, de forma que

2 2( ) ( ) ( )P Q P Q Px Pd Pei Qx dQ Qei

x d ei x d ei x d ei x d ei x d e

2 2 2 2 2

( )( ) ( )P Q x N Mx N Mx Nx d e x d e ax bx c

donde


N= -Pd-dQ+(Qe-Pe)i M= P+Q (x-d)2+e2= x2-2dx+d2+e2= ax2+bc+c a= 1 b= -2d c= d2+e2

Por cada par de raíces imaginarias simples se escribe una fracción de la forma

2

Mx Nax bx c

El cálculo de las constantes, A, B,… P, Q se hace por el método del valor numérico después de identificar, P(x), con el polinomio que resulta de sumar las fracciones simples. Para hallar las constantes se dan valores numéricos arbitrarios a ambos miembros, por comodidad, conviene utilizar como valores arbitrarios las raíces o números enteros sencillos. Las relaciones obtenidas de esta forma constituyen un sistema cuyas soluciones son las constantes indicadas. Integración de los sumandos Las integrales de las fracciones simples son una de las siguientes formas: Neperiano Potencial Neperiano-arco tangente

2 3 2 3 2ln 2 ln 3

5 22 1

1 ( 2)( 3) 5 3 5 5x dx dxx dx

x xx x C

xx x

se iguala la fracción a integrar a la suma de tres fracciones simples

2 2 1 ( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 2)

1 ( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 1)( 2)( 3)x x A B C A x x B x x C x x

x x x x x x x x x

A, B, C constantes dado que los denominadores son iguales en ambos miembros, para hallar el valor de las constantes, A, B, y, C, se dan tres valores arbitrarios a la variable, x. Para simplificar este paso los valores arbitrarios coinciden con las raíces del polinomio que forma el denominador de la fracción, así x= 1 12-2.1+1= A.(1+2).(1-3) + B.(1-1).(1-3) + C.(1-1).(1+2) 0= A.3.(-2) + B.0.(-2) + C.0.3 0= 6A + 0 + 0 0= 6A 0= A x= -2 (-2)2-2.(-2)+1= A.(-2+2).(-2-3) + B.(-2-1).(-2-3) + C.(-2-1).(-2+2) 9= A.0.(-5) + B.(-3).(-5) + C.(-3).0 9= 0 + 15B + 0 9= 15B


3 95 15 = B

x= 3 32-2.3+1= A.(3+2).(3-3) + B.(3-1).(3-3) + C.(3-1).(3+2) 4= A.5.0 + B.2.0 + C.2.5 4= 0 + 0 + 10C 4= 10C 2 4

5 10 = C

se sustituyen estos valores de las constantes, A, B, y, C, en la expresión anterior y se integra

2

3 2 3 22 1 0 5 5 5 5

1 ( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 2) ( 3)x x

x x x x x x x x

2 2 1 3 2 3 2ln 2 ln 3

1 ( 2)( 3) 5 2 5 3 5 5x x dx dxdx x x C

x x x x x

2

1 15 3 5ln( 2) 3l2 13 2

n( 1)2 1

dx dx x x Cx x

x dxx x

se factoriza por Ruffini el polinomio del denominador de la fracción a integrar ó dado que este polinomio es de segundo grado se pueden obtener sus raíces mediante la fórmula de las ecuaciones de segundo grado, lo que permite factorizarlo posteriormente. x2-3x+2= (x-2).(x-1) se descompone la fracción inicial en suma de fracciones simples por tener su denominador raíces simples

2

2 13 2 2 1

x A Bx x x x

se realiza la suma algebraica de estas fracciones algebraicas

2

2 1 ( 1) ( 2)3 2 2 1 ( 2)( 1)

x A B A x B xx x x x x x

de esta igualdad dado que los denominadores son iguales se deduce que también han de serlo los numeradores, de donde se escribe 2 1 ( 1) ( 2)x A x B x se determina el valor de las constantes, A, y, B, dándole sucesivamente dos valores arbitrarios a la variable, x. Los valores arbitrarios que se dan son, x= 2, y, x= 1 x= 2 2.2+1= A.(2-1) + B.(2-2) 5= A.1 + B.0 5= A x= 1 2.1+1= A.(1-1) + B.(1-2) 3= A.0 + B.(-1) 3= -B -3= 5B


3 22

1 1 1 1 1 1 1 44 ln( 1) ln( 1)2 1 2 1 ( 1) 2 2 1

3 51

dx dx dx x x Cx x x

x dx x x

xx

se factoriza por Ruffini el polinomio del denominador de la fracción a integrar x3-x2-x+1= (x+1).(x-1)2 se descompone la fracción inicial en suma de fracciones de la forma

3 2 2

3 51 1 1 ( 1)

x A B Cx x x x x x


2

3 2 2 2

3 5 .( 1) .( 1).( 1) .( 1)1 1 1 ( 1) ( 1)( 1)

x A B C A x B x x C xx x x x x x x x

de esta igualdad dado que los denominadores son iguales se deduce que también han de serlo los numeradores, de donde se escribe

23 5 .( 1) .( 1).( 1) .( 1)x A x B x x C x se determina el valor de las constantes, A, B, y, C, dándole sucesivamente dos valores arbitrarios a la variable, x. Los valores arbitrarios que se dan son, x= 1, , x= -1, y, x= 0 x= 1 8= 2B B= 4

x= -1 2= 4A A= 12

x= 0 5= A+B+C= 1+ 12

+C C= - 12

2 23 2

1 1 1 2 1 1 1 1 2 4 1 1 2 1 3.3 1 3 1 3 1 3 2 1 1 6 1

11

x x xdx dxx x x x x x x x x

dxx

2

2 2

1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 1ln( 1) ln( 1) cot3 1 6 1 6 1 3 6 3 3

x xdx dx x x x ar g Cx x x x x

se factoriza por Ruffini el polinomio del denominador de la fracción a integrar x3+1= (x+1).(x2-x+1) resultando el segundo factor cuadrático irreducible, por lo que se descompone la fracción inicial en suma de fracciones de la forma

3 2

11 1 1

A Mx Nx x x x


2

3 2 2

1 .( 1) ( ).( 1)1 1 1 ( 1).( 1)

A Mx N A x x Mx N xx x x x x x x



21 .( 1) ( ).( 1)A x x Mx N x se determina el valor de las constantes, A, M, y, N, dándole sucesivamente dos valores arbitrarios a la variable, x. Los valores arbitrarios que se dan son, x= 0, , x= 1, y, x= -1

x= 1 1= 3A A= 13

x= 0 1= A+N= 13

+N N= 23

x= -1 1= A+2M+2N= 13

+2M+43

M= 2

3

3

3 2

2 12 ( 1) ( 2)

x x dxx x x

se descompone la fracción inicial en suma de fracciones de la forma

3

3 2 3 22

2 1( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)2 ( 1) ( 2)

x x A B C D E Fx x x x x xx x x


3 2 2 2 2 3 3 3 2

3 3 22

2 1 ( 2) .( 1) .( 2) ( 2).( 1) .( 2) .( 1) .( 2) ( 2) .( 1).( 2) ( 2) .( 2) ( 2) .( 1)( 2) .( 1) .( 2)2 ( 1) ( 2)

x x A x x x B x x x C x x D x x x E x x F x xx x xx x x


3 2 2 2 2 3 3 3 22 1 ( 2) .( 1) .( 2) ( 2).( 1) .( 2) .( 1) .( 2) ( 2) .( 1).( 2) ( 2) .( 2) ( 2) .( 1)x x A x x x B x x x C x x D x x x E x x F x x para determinar las constantes, A, B, C, D, E, y, F, se le dan a la variable, x, seis valores arbitrarios. Para simplificar este proceso algunos de estos valores arbitrarios coinciden con las raíces del polinomio del denominador de la fracción.

12 12 12 52 5 5

2 5 752

5. 12 715

1.

xx x dx x ddx x Cx xx

5 3

4 22( 6 2 6 45

4)3

x x x x Cx x x dx

75

133 62 2 5 7 2 66262

32 2 2 6 2 65 7 5 7 5 72 6

x x x x x x x x x xdx x x dx Cx x

x x dxx


5 171 53 2 4 12

4 125 173 2

4 124 44

3 5 3 5 3 5 6 30. .5 172 2 2 2 5 1723 5

24 12

2x x x xdx x x dx x x Cx x

x x dxx

2.cos . 1

2senx x dx sen x C

2 32 1 22 .cos . .

2 2 2.cos

2.

2 2 3x x x xsen dxsen xx sen Cd

3 43 5 2 1.(1 )4

tg tg x tg x dx tg x Cx tg x dx

3

1 22 322sec . 2sec . 3. .

32

tgxx tgx dx tgx d x tgx x C

3

1 2 32

lnc. l osn . 2. ln . ln3 32

senxx senxctgx sen dx senxe

xs nx

dx C

12

1 22 cos3 . 332 cos3

.( 3). 2 cos33 3

x sen xsen x dxxx

x Cd

2

222 1sec .

1 1ec 1s x tgxx dx

tgxdx C

tgx

3

1 22

2.cos . .

2

cos . . 3 3senx

senx x dx senx s x senxe x x Cn d

2 33 1sec .sesec . c . . se. c

3x x tgx tgx x d x Cdx x

23

23

1 ln1 11 ln . .2 2 1 l. ln n1

xx dxx C

x xd

xx

3 13 742 3 7 34 4 44 44 4 4. . 3 7 71

.7

4

x x xx x dx x dx x dx x xdx x x C

1 11 72 6

6 76 6 6 66 66 63 3 2 6 6 6. 2 . 2 2 . 2. . 2. 216

27

.7 71

x xdx x dx x dx x x x xx Cdx

xx


3 113 2 22

3

2cos .c . 3 112

s

2

o sen x sen xx sen xx d dx Cxsen x senx

2 32

1 1ln . . ln3

2ln4

x dx

dxx

x x Cx

22

21 12 ln . . 2. ln ln2

ln x dxx d xx x Cxx

2

32

3 3

1 3 1. ln( 8)3 8 38

x d x dx xxx

Cx

cos . ln( ). x dx senx Csenx

ctgx dx

22

2

2 .cos . ln(1 )1

21

senx x dx sen x Csen x

sen x dxsen x

5 1.5 ln(cos5 )

cos5 5. sen x dtg x xd x C

xx

cos . ln( )x dxdx

tgsenx C

senx x

1

22 2ln 11

1. 1

x dxdxx

x Cx x

23 2

2

12 1 n2 lx dx x x x Cx

x x x dxx

2 22

3

2

2 33 ln( 1)1

3 51 2

xx dx xx x dxx

x Cx

cos ln( cos )cos

coscos

x senx dxsenx x dxsenx

senx x Cse xx n x

2

2

11 ln cot

cot(1 ) cotx dx ar gx C

ardx

x ar ggx x

12 . 2ln coscos 2sen x dx x C

xtg x d

x xx


322 3

23 ln

23

3

xx

x dxx Cd

2 2 21 1. . .

2. 2

2xx xx e d x e x Cx d e

2 22

.2. c .. o2 .. sssen en x sex n xe sene sen x d x x d e Cx x

2cos

gxt

tgxe d e Cx

x

1 22 5 5

ln525 x

x xddx x Cxx

5 55 1 15ccos5 os5 ..

5 5sen s sx en x en xxx e d e d Cx x e

2 2 2lln 2 n 2 ln 2

22

1 2 1.7 72 1 2.ln 7

.72

x xxx dx x dxx

x C

2 2

22 2

2 1 1 1 1 1.( 2). .2.2 22 2 4 4

xx x x

xxe dx e dx e Ce e dx e

22

2 2

4 4 1 55 cot 4 ln 1 4

1 4 ln 4 2.ln 41 4

4 5.161 16

x xx x

xx

x x

x dx dx dx ar g C

cos cossenxx s xnx d Ce x

32 23 secx x dx x tgx C

.cosx xxe e dx sene C

22 21 15 .2 . cos 52

. 5 .2

sen x x dx x Cx sen x dx

1ln . . cos lnsen x dx x C

xsen lnx

dxx

2 2 23 cos .cos . 1 .co cos . coss .cos. .x x dx sen x x dx x sen xx dx x dx

2 2 31 1cos . .cos . cos . 3. .cos .3 3

x dx sen x x dx x dx sen x x dx senx sen x C


2 224 1 cos 2 1 2cos 2 cos 1 1 12cos 2 . cos .

2 4 4 4.

4x x xdxsen x d dx dx x dx x dxx

1 1 1 1 cos 4 1 1 1 12 2 44 4 4 2 4 4 8 32

xx sen x dx x sen x x sen x

3 1 12 48 4 32

x sen x sen x C

5 2 2 24 2 2 2 4 2. .cos . 1 cos ..cos .cos . 1 2cos cos . .cos .. senx sen x x dx x senx x dx x x sesen x x dx n x dx

2 4 6 3 5 71 2 1(cos . 2cos . cos . ). cos cos cos3 5 7

x senx x senx x senx dx x x x C

2 2cos cos ln cos ln l1

.cosn ln

.cos cos cossen x x senx x senxdx dx dx x senx tgx C

senx x x senxse xdx

nx x

2 1 cos8 1 1 8

24

2 16xdx x sen x Csen xdx

4 2 45 22cos .cos . 1 .cos . cos . 2 .cosco . .cos .s x xdx sen x x dx x dx sen x x dx senxdx x x dx

3 52 13 5

senx sen x sen s C

2 2

122 2

c. os scodx

x xx dx tg x C

x

2

2 32 2

2

24

1 1 1. .cos cos coos s 3csen x dsen x dx x tg x dx

xtg x C

x x x

.sec . ln cos seccos cos cocos ssenx tgx senxdx dx dx tgx xsenx tgx d dx x x C

xx x xx

2 2

2 22 2 22

1.c

cos 1 1 c.cos co oss

sen x xdx dx dx tgx tgx Csen x x x sen x

dxsen x x

1

2 22 2 2 2

1 1 1 1 ( 2 )(1 )21 1 1 1

11

x xdx dx dxdxx

x dx x x dxx x x x

2cos 1ar enx x C

2 1 1 11 cos2 22 2 4

. x dx xsen x sedx n x C

2 1 1 11 cos2 22 2 4

cos . xx dx dx x sen x C


2 2 33 1cos . 1 cos .coscos ..3

x sen x dx x sen x x dx senx d x sen x Cx

2 2 33 1. 1 cos cos . . cos cos3

. senx x dx senx x senx dx x xsen x dx C

22 .co2 .. ssenx x dx sensen x dx x C

3 .cos(2 1). 1 5 1 1 1 5 1 1cos cos2 2 2 5 2 2

x x x xsen sen dx Csen x x dx

2 .cos2 2

A B A BsenA senB sen

32

A B x 5 1A x

22

A B x 1B x

2 2 2

2 2

1 cos 1 2cos cos 1 2cos cos(1 cos )(1 cos

1 cos1 cos ) 1 cos

x x x x xdx dx dxx x x s

xe x

xn

dx

2

2 22 2 2 2

1 cos cos 12 2 cos . . cot .x xdx dx dx dx x sen xdx g xdxsen x sen x sen x sen x

2 22

1 22 cos . . 1 cot 1 . cot cotdx x sen x dx g x dx gx gx xsen x senx

22cot gx x Csenx

2 2 2

2 2

1 1 2 1 2(1 )(1

11 c1 ) os

senx senx sen x senx sen xdx dx dxsenx sen

senx dxse x sen xnx x

2

2 22 2 2 2

1 12 2 .cos . .cos cos cos cos

senx sen xdx dx dx dx senx x dx tg x dxx x x x

2 22

1 22 .cos . 1 1 .cos cos

dx senx xdx tg x dx tgx tgx xx x

22cos

tgx x Cx

2

22 1cotsec

1 ) 11 ( ( )senx

dx ar g tgx x Csenx

xsen

xx

dtg x

2 22 22

15 5 5 5 2.2

4 4 4 4 44 2 2 21 12 2

54 8

dxdx dx dxx

dxx x xx x x

5 2

cot2 2

xar g C


2

24 2

21

2 . cot1

x dx ard Cx x gxx

x

22 22

48 8 2 2 2 17 cot

16 8 8 (4 1) 7 7 7 72 1 17

12 1

dxx x

xdx dx dx ar g Cx x x

x

22 22

48 8 2 2 2 17 cot

16 8 8 (4 1) 7 7 7 72 1 17

12 1

dxx x

xdx dx dx ar g Cx x x

x

3

3 32

22

122

1 11 .(2 1). 13 1

2

1

1

1 2x x x dx dx

x xx x x C C

x x

3

44

3

4

1 4 4 1. ln 4 74 4

14 7 47

x dx d x x x Cx

xx xx

22

1

cos lnl1 ln 1 nx dx ar en x C

xdx

x x

1

2 22 2 22

12 5 5 39 .( 2 ) .3

39 92 59

13

x dx dx x x dx dx dx

xxx x x

12 2

29

5 cos 2 9 5 cos1 3 32

x x xar en x ar en C

2 2

2 1 2 ln 2 1 cos 2ln 2 ln 21 2 1

24 21

x xx

x x

x

xdx dx ar en Cdx

2

22 224

2 21 3 1 23. cos3 32 2 2 222 19

3

21

3

9x xdx dx arx dx

xen C

xx


Hallar la función, F(x), cuya derivada es, f(x)= x+6, tal que para, x= 2, tome el valor, 25.

2

6 62xx dx x C

se verifica

2225 6.22

C C= 11

2

( ) 6 112xF x x

¿De las infinitas funciones primitivas de la función, y= x2-x+1. ¿cuál es la que para, x= 3, toma el valor, 5?.

3 2

2 13 2x xx x dx x C

se verifica

3 23 35 33 2

C C= 52

3 2 5

3 2 2x xy x

Hallar la función primitiva de, y= x2+2x, cuya representación gráfica pasa por el punto, P(1,3).

3 2 3

2 22 23 2 3x x xx x dx x C

3

2

3xy x C

se verifica por pasar por el punto, P(1,3)

3213 1

3C C=

53

3

2 53 3xy x

Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto, P(1,5), y cuya pendiente en cualquier punto es, 3x2+5x-2. y’= 3x2+5x-2

2 3 253 5 2 22

y x x dx x x x C

se verifica por pasar por el punto, P(1,5)

3 255 1 1 2.12

C C= 72

3 25 722 2

y x x x


Hallar la función primitiva de la función, 2( ) 1f x x x , que se anula para, x= 2.

3

21 22 2 2

11 11. 2 .( 1) 32 22

xx x dx x x dx C

se verifica

321 2 1 03

C C= 3 321( ) 1 33

F x x

3 332 2

3 3 1 13.

3 1. . .

x xdx dx dx x dx dx x dxxx x x x x

xx

x x dx x

3 12 2

22 23ln 3ln5 1 52 2

x xx x x x Cx

2

2 22 2 2

2

cc os 1 1 1 2 seos2cos

ccosx sen x dx tg x dx sen x dx dx

xx x dx

x

22. sec . 2dx x dx x tgx C

22

22 2

1 1 11 cot11 1

x x dx dx x ar gxdxx

Cx x

1 1 13 .cos3 . 3 .cos3 . .cos3.cos2 .co .2 2

s3 .2

sen x senx x dx sen x x dx sensenx x x dx x d xx

1 1 1 cos6 1 cos 4 1 cos 26 . 4 2 . . .4 4 4 6 4 4 4 2

x x xsen x dx sen x sen x dx

1 1 1cos6 cos 4 cos 2

24 16 8x x x C

las expresiones trigonométricas que se utilizan en este ejercicio son:

sen x.cos 2x= 1 13 ( ) 32 2

sen x sen x sen x senx

sen 3x.cos 3x= 1 12 3 cos3 62 2

sen x x sen x

sen x.cos 3x= 1 1 14 cos( 2 ) 4 22 2 2

sen x x sen x sen x


2 2 1 cos 2 1 1cos .cos . cos . cos2 .2

12 2

tt t dt t dt dt dt t ddx tx

21 1 1 1 1 12 .cos cos . 12 4 2 2 2 2

t sen t t sent t ar enx x x C

el cambio de variable que se hace es:

x= sen t dx= cos t.dt 2 2 21 1 cos cosx sen t t t

1 coscos2 2x x 2 1 coscos

2 2x x

22 6 4 2 7 52 32 4 21 .2 . 2 4 2 .7

. 15 3

. t t dt t tx x dx t dt t t t C

7 5 32 2 2

2 4 21 1 17 5 3

x x x C


x+1= t2 x= t2-1 dx= 2t.dt t= 1x

7 3 7 3

8 48 8 88 8

7 3 3 1 8 3 4 1 3ln 1 c31

ot1 1 8 1 4 1 8 4

x x x xdxx x dxx

dx dx dx x ar gx Cx x x x

22

1 1. ccot ot . . cot ln 11 2

. x ar gx x dx x ar gx x Cx

ar gx dx

u= arco tg x du= 2

11 x

dv= dx v= x

22 2(1 ).cos 2 (1 ).cos 2.. . cco oss1 . ( ). .x x dx x x senx xx xx enx xs dx

21 cos 2 .x x x senx C

u= x2+1 du= 2x.dx dv= sen x.dx v= -cos x . . . c.c . osos x senx senx dx x sex nx xd xx

u= x du= dx dv= cos x.dx v=sen x

5 3

2 3 23 23

6 6 66 6 6 . 2 3 6 6l11 12

n2

1t tdt dt t t dt t t t tt

dt

xx tx t

3 6 62 2 3 2 2 6ln 1 2x x x x C


x+2= t6 16( 2)t x dx= 6t5.dt


2

22 2 2 22

2 2 2 2( 1). . 21 1 2. .1 1

.11

t tt t dt dtx dxx

dt dt dtt t tx t

2

1 11 2 22 2 2 2 2 ln( 1) ln( 1)

1 1 1t dt t dt t t t

t t t

211 111 1 12 ln 2 ln 2 ln 11 1 1

xxxt x xxt

t x xxxx

12 2ln 1x x x Cx


1xx

= t2 x+1= x.t2 1= x.t2-x x= 2

11t

dx= 22

2

1

t dtt

1 3 5

2 2 2 45 (1 ) . . 2 21

.co .3

s5

m m mm m m mm t t tt t dt t t t dsen x x dx t t

m m m

1 3 5cos cos cos21 3 5

m m mx x x Cm m m

el cambio de variable debido a que el exponente del, sen x, es, 5, viene dado por:

t= cos x dt= -sen x.dx

sen5x.dx= sen4x.sen x.dx= (sen2x)2.(-dt)= (1-cos2x)2.(-dt)= -(1-t2)2.dt

22 24 2 1 1. .cos 2 cos.cos . 2 . . 2 .2 4

s sen x senx x dx x sen edx n dxx x x

2 2 21 1 12 . 2 .cos 2 . 1 cos 48 8 2 2

dusen x dx sen x x dx x dx u

3

31 1 1 1 11 cos 4 . 4 216 16 3 16 64 48

ux dx x sen x sen x C

el cambio de variable es:

u= sen 2x du= 2.cos 2x.dx


44

4

82 2 4 2

4 4 2

1 1. .(1 ) . .(1 )coc s cos 1ossen x dx t t dt t t dt

x x tsen x dx

x

5 3

5 31 15 7 5 3

tg x tg xt t C C

el cambio de variable por ser la función racional y par en, sen x, y en, cos x:

4 4

8 8

( ) ( )( , cos ) ( ,cos )( cos ) (cos )

senx senxR senx x R senx xx x

t= tg x x= arco tg t dx= 2

11

dtt

cos2x= 2

11 t

sen2x= 2

21t

t

2 2

2 2 2

3

2

cos 1 2.cos . 11 1 1

cos1

x tx dxx dxsen x

dt dtsen x t t

2 cot 2 cot ( )t ar gt senx ar g senx C

el cambio de variable por ser la función racional impar en, cos x, es:

sen x= t dt= cos x.dx cos x= 21 .t dt

2

2 2 2

2 2

2.2.1

12.1

2 1 1 2 1 2cos 2 111 1

dtdt dt dtt

t t t t t t tt

dxse

tnx x

ln(1 ) ln 12xt tg C


t= 2xtg dx= 2

2.1

dtt

cos x= 2

2

11

tt

sen x= 2

21

tt

2

2 2 2

4 5.(4 ) 1 1 5.4 1 5.4 .ln 4.

1 (4 ) ln 44

1 (5.16

1 4 116 )

x x xx

x x

x xx

tdx dx dtt

dx

22 2

1 5 55 cot ln(1 ) cot 4 ln(1 16 )1 1 2 2

x xtdt dt ar gt t ar g Ct t


t= 4x dt= 4x.ln 4.dx


222

. 1 1 1.( 2) 2 3 1 6 22 .

12

x

x xx x x

e dx dt dt dt dtt t

dxe e t t t te e e

6 36 31 1 1 2. 1 2. 1ln ln( 1) ln( 2) ln ln

2 3 6

x x

x

t t e et t t Ct e

el cambio de variable es: t= ex dt= ex.dx también se ha tenido en cuenta la igualdad

1 .( 1).( 2) . .( 2) . .( 1).( 1).( 2) 1 2 .( 1).( 2)

A B C A t t B t t C t tt t t t t t t t t

Si, t= 0, A= 12

Si, t= 1, B= 13

Si, t= -2, C= 16

3

3 2 23

2

8.2cos . 8 . 8 . . 8 (1 cos .

s4).

2cosen t t dt sen t dt sen t sent dt t sent ddx

txtx

3

2 233 2 28 8 18cos cos 1 8 1 4 4 4

3 3 2 2 3x xt t x x C


x= 2 sen t 2 24 4 4 2cosx sen t t dx= 2cos t.dt

5 2cos . 1cos

dxar enx x

t ar enx

3. 2 1.

2 1

x x dx

t x

1x x

x

dxe e

t e


2

1. 11

dxx x

xt

3

6

dx dxx x

x t

2. 1 .x x dx

x sent

21 cos21 cos2

sen x dxx

t x

3 2 25

2

.(1 2 )

1 2

x x dx

t x

1

2 21 (2 1)

2 1

x dx

x sent

5

3

3

11

x dxx

t x

2 2 3

2 2

1 (1 )

1

x dxx x

x t

coscoscos

senx x dxsenx x

t senx x

2

3

3

11

x dxx

t x


4

21

x dxx

t x

3

8

4

1x dx

xt x

21 42

x

x

x

dx

t

32 2(1 )x dx

x sent

cos.

cos

xsenx e dx

x t


INTEGRAL Integral definida

CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

La integral definida se representa por,

∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es el diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. La integral definida tiene las siguientes propiedades:

Teorema

Si, f(x), es una función continua en el intervalo cerrado, [a,b], entonces la función integral, F(x), es derivable en todos los puntos, x, de dicho intervalo cerrado y además en ellos F’(x)= f(x)

La derivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original. El valor de la integral definida cambia de signo al permutar los límites de integración

Se deduce que si los límites de integración coinciden la integral definida es nula

pues en este caso

( ) ( )a a

a af x f x

escribiendo las dos integrales en el primer miembro de la igualdad anterior

( ) ( ) 2 ( ) 0a a a

a a af x f x f x

se tiene

( ) 0a

af x


Si, c, es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales definidas

La integral definida del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral definida de la función

Las constantes pueden sacarse fuera del signo de la integral o introducirse, según convenga. Las dos últimas propiedades indican que las funciones integral definida en un intervalo, [a,b], constituyen un espacio vectorial. Teorema de la media Si una función es continua en un intervalo cerrado, [a, b], existe un punto, c, en el interior del intervalo tal que

A B

AB’ represente el arco de la gráfica en el intervalo cerrado, [a,b].

abB’A en un trapecio mixtilíneo

Se verifica la relación A’ B’

Área(abB’A’)<área(abB’A)<área(abBA) Existe pues un rectángulo intermedio entre, abB’A’, y, abBA, que tenga la misma área que el trapecio mixtilíneo, abB’A. Para hallar la altura de este rectángulo se sigue:

sea, m, el valor mínimo de la función, f(x), en el intervalo cerrado, [a,b], y, M, su valor máximo en dicho intervalo cerrado. Se verifica (b-a).m (b-a).M se dividen todos los términos por, b-a, y se tiene

1 ( ).

b

am f x dx M

b a

por el teorema del valor intermedio, al ser la función, f(x), continua en el intervalo cerrado, [a,b], toma todos los valores intermedios entre el valor mínimo, m, y el valor máximo, M, se razona la existencia de un punto, c, interior al intervalo cerrado, [a,b], que verifica


1 ( ). ( )

b

af x dx f c

b a

se despeja la integral definida de esta expresión = (b-a).f(c) el área del trapecio mixtilíneo, abB’A, es igual al área de un rectángulo de base, b-a, y altura, f(c), siendo, c, un punto interior del intervalo cerrado, [a,b]. El valor, f(c), recibe el nombre de altura media o valor medio de la función.

3

0

3

02 1 2.(2 1) 2

1xdx

x

41 3 334 2 22 2 22

0

4 2

00

. 9. 1 1 1 982 .( 9) 9 25 92 3 3 3

x x dx xx x dx

1 33 2 22

2 2

3

22

12 .( 1 3

11) 8

2x dx x x dx x

x

3 3

121cot cot 3 cot 1

41 3 12ar gx adx r g ar g

x

000

2 1 cos2 1 22 2 4

.2

x xdx sen xsen x dx

0 0

2 2

0sec 1. x dt x tgxx d xg x

0

2

0

12

cos 0. . sen xsenx x dx

3

22

32

2

1 1 8ln 1 ln8 ln3 ln2 21 3

xx dxx

3

33 4

3 3 3222

4

1 1 1 1ln .3ln 3ln 3 3lnln 2

x dxxx x x

dx

320

22 2 32 20 0

0

11 cos . . cos . cos c. os

3x senx dx senx x senx dxsen x dx x x

3 31 1 1 2cos cos cos0 cos 0 1

2 3 2 3 3 3

0

0

0

0s 0co . senxsenxe dx e e e


1

2 2 22

1

32

1 1 1 1 52( 1) 2 ( 2) ( 3) 2( ) 71

dx

xx

2 2 2

00 0

4

0

2 12 1 2 ln(1 ) 4 2l 3

1 11n

d t dt dt t tx t

xt

x= t2 dx= 2t.dt 4= t2 t= 2 0= t2 t= 0

22 2 ( .c. 2 . 2. . . os cos .cos . )x senx dxx senx x x s x xex dx dxn xx

2. 2 .cos 2x senx x x senx C u= x2 du= 2x.dx dv= cos x v= sen x .c. os .. cosx senx dx x x x dx

u= x du= 1.dx dv= sen x v= -cos x

2 2

00.cos . . 2 .cos 2 2x x dx x senx x x senx

2 0

0

21

1

2.( cos .) ..t sen t sentar x dx tt dt d

arcos x= t x= cos t dx= -sen t.dt 1= cos t t= 0 -1= cos t t=

2

0 000

2 2

0 0

2c . .. . cos 2 3o co .s 2 . s t sent st t t t d ent dtt sent dt t tt

u= t2 du= 2t.dt u= t du= dt dv= sen t v= -cos t dv= cos t v= sen t

Longitud de un arco La longitud del arco de una función, f(x), limitado por las rectas verticales, x= a, y, x= b, viene dado por la expresión

21 '( ) .b

al f x dx

Teorema fundamental del cálculo integral

Dada una función, f(x), integrable en el intervalo cerrado, [a,b], existe para todo valor, x, de dicho intervalo cerrado la integral definida

( ).x

af t dt

Si la función, f(x), y el límite inferior de integración son fijos, la integral definida anterior puede considerarse en el intervalo cerrado, [a,b], como una función de la variable, x, que es su límite de integración superior, llamada función integral.


F(x)= ( ).x

af t dt

Si, , , la función integral, F(x), da el área comprendida entre la gráfica de la función, f(x), el eje, X, y las líneas verticales, x=a, y, x= x, Se dan los siguientes casos para determinar el área comprendida entre la gráfica de la función, f(x), el eje de abscisas, X, y dos líneas verticales, x=a, y, x=b:

La gráfica de la función es positiva en el intervalo cerrado, [a,b]

Si la función es positiva en el intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área se sigue:

se hallan los puntos de corte con el eje de abscisas, X, haciendo, f(x)= 0, y resolviendo la ecuación resultante. el área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración las raíces obtenidas ó puntos de corte de la función, f(x), con el eje, X.

La gráfica de la función es negativa en el intervalo cerrado, [a,b]

Si la función es negativa en el intervalo cerrado, [a, b], entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas, X. El área de la función viene dada por una de estas expresiones equivalentes

La gráfica de la función es positiva y negativa en el intervalo cerrado, [a,b]

En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas, X. Para hallar el área de la función se sigue:

se hallan los puntos de corte con el eje de abscisas, OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación resultante. se ordenan de menor a mayor las raíces obtenidas, que serán los límites de integración. el área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

, , ( ) 0x a b f x


Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Regla de Barrow La integral definida de una función continua, f(x), en un intervalo cerrado [a,b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva, G(x), de, f(x), en los extremos de dicho intervalo.

( ). ( ) ( ) ( )bb

a af x dx G x G b G a

Sea, F(x)= ( ).x

af t dt , la función integral primitiva de la función, f(x).

por ser, G(x), también una función primitiva de la función, f(x), se tiene

F(x)= G(x) + C C constante de integración

para obtener le valor de la constante de integración, C, se hace, x=a, verificándose:

F(a)= ( ). 0a

af t dt = G(a) + C de donde C= -G(a)

lo que permite escribir

F(x)= G(x) – G(a)

como esta relación se cumple para todos los puntos del intervalo cerrado, [a,b], en particular se cumple para el punto, b

F(b)= ( ).b

af t dt ( ) b

aG x = G(b) – G(a)=


Método de los trapecios Da una aproximación del área bajo la curva de la función, f(x), a partir de la suma de las áreas de trapecios construidos en su intervalo de definición. El método consiste realizar una partición del intervalo, [x0,xn], en, n, partes todas del mismo ancho, h= xi-xi-1, de forma que el área bajo la curva se aproxima a la suma de las áreas de los trapecios cuyas bases son, y0, y1, y2,…,yn, respectivamente. Se tiene entonces:

0 1 1 2 2 1 1( ). . . ... . .2 2 2 2

b n n n na

y y y y y y y yf x dx h h h h

0 1 1 2 2 1 1 01 2 1. ... . ...

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n n

ny y y y y y y y y yh h y y y

Regla de Simpson

La regla de Simpson pretende obtener una aproximación adecuada de la función integrable, f(x), a través de un polinomio de grado superior obtenido a partir del desarrollo de Lagrange. Se distingue Regla de Simpson, 1/3

Utiliza una aproximación polinomial de segundo orden. Sea

f(x) función que se quiere aproximar a través de un polinomio de orden superior en el intervalo, [a,b]

f(a) valor de la función en el extremo inferior del intervalo, [a,b] f(b) valor de la función en el extremo superior del intervalo, [a,b] x1 punto interior del intervalo, [a,b], equidistante de ambos extremos.

1 2a bx h

f(x1) valor comprendido entre, f(a), y, f(b), que junto a esos valores permite

aproximar la función, f(x), en el intervalo, [a,b], por una parábola. aproximación por un polinomio de grado, 2. El área bajo la curva se obtiene a través de la aproximación del área bajo la parábola que une los tres puntos.

2( ). ( ).b b

a aI f x dx f x dx

2f interpolación polinomial de segundo orden

obtenida con el polinomio de Lagrange de segundo grado.


m=2

a b punto medio del intervalo, [a.b].

La función de Lagrange que aproxima a la función, f(x), viene dada por la expresión

2 2( ).( ) ( ).( ) ( ).( )( ) ( ). ( ). ( ).( ).( ) ( ).( ) ( ).( )x c x b x a x b x a x cf P x f a f c f ba c a b c a c b b a b c

1 2 3( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )L x f a L x f c L x f b sustituyendo en la ecuación de la integral, se obtiene

2 2( ). ( ). ( ).b b b

a a aI f x dx f x dx P x dx

1 2 3( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) .b

aL x f a L x f c L x f b dx

1 2 3( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ).b b b

a a af a L x dx f c L x dx f b L x dx =

( ) 4 ( ) ( )3h f a f c f b

Regla de Simpson compuesta

Consiste en tomar para cada tres puntos consecutivos de la partición el polinomio de interpolación de Lagrange de grado, 2, correspondiente a los pares de puntos, (xi,f(xi)), (xi+1,f(xi+1)), y, (xi+2,f(xi+2)), y calcular el área bajo dicho polinomio de interpolación sumando después todas estas áreas.

0 2 2 1 2( ). 4. 2.3

b

n n na

hf x dx y y y y

2 1ny suma de las ordenadas impares no extremas de la partición 2ny suma de las ordenadas pares no extremas de la partición

utiliza una aproximación polinomial de segundo orden superior. Sea f(x) función que se quiere aproximar a través de un polinomio de orden superior en

el intervalo, [a,b] x1, x2,…,xi

puntos intermedios del intervalo, [a,b], equidistantes entre ellos y con los extremos del intervalo. Dividen al intervalo, [a,b],en, i+1, partes de longitud

1a bhi

De esta forma se tendrán, i+2, puntos, (a,f(a)), (x1,f(x1)),...,(xi,f(xi)), (b,f(b)), de la gráfica de la función, f(x), que permiten ajustar la función, f(x), por un polinomio de Lagrange de grado, i+1


aproximación por un polinomio de grado, 3 El área bajo la curva se obtiene a través de la aproximación del área bajo el polinomio de grado, 3, que une los cuatro puntos. Cuando se conocen un número par de puntos, (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), (x2,f(x2)),..., (xn,f(xn)), del intervalo, [x0,xn], de forma que dicho intervalo quede dividido en, n-partes, iguales de longitud

0nx xhn

n par

El área bajo la gráfica de la función, f(x), se aproxima por la expresión

1 2

01,3,5,... 2,4,6,...

( ). ( ) 4. ( ) 2. ( ) ( )3

n nb

i j nai j

hI f x dx f x f x f x f x

0( ) 4. 2. ( )3 nh f x I P f x

I suma de las ordenadas impares no extremas

P suma de las ordenadas paras no extremas

Volumen de revolución de una función alrededor del eje, X

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva, f(x), alrededor del eje de abscisas, OX, y limitado por las rectas verticales, x= a, y, x= b, viene dado por:

Volumen de revolución de una función alrededor del eje, X

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva, f(x), alrededor del eje de ordenadas, OY, y limitado por las rectas horizontales, y= c, e, y= d, viene dado por:

22. ( ) .

d d

c cV x dy g y dy

x= g(y) Hallar el área del recinto limitado por la curva, y= 4x−x2, y el eje de abscisas, OX. se hallan los puntos de corte con el eje de abscisas, OX, para representar la curva y conocer los límites de integración. 0= 4x-x2 x= 0 x= 4 se halla la integral:

434 2 2 2

00

32(4 ) 23 2xA x x dx x u


Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva, y= ln x, entre el punto de corte con el eje de abscisas, OX, y el punto de abscisa, x= e. se halla el punto de corte con el eje de abscisas. ln x= 0 e0= 1 (1,0)

ln . .ln .lnx dx x x dx x x x C

v= ln x dv= 1 dxx

dv= 1 v= x

1 1 1 2

0 00ln . .ln .(ln 1) 0 1 1x dx x x x x x u

Hallar el área del círculo de radio, r. se parte de la ecuación de la circunferencia x²+y²= r². el área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.

2 21 0

.r

A r x dx

se halla la integral indefinida por cambio de variable.

2 2 .r x dx

x= r.sen t dx= r.cos t.dt

2 2 2 2 2 2 2 2 2. . .cos . (1 ). .cos . .cos .r x dx r r sen t r t dt r sen t r t dt r t dt

2 2 2 2 21 cos 2 1cos . 22 2 4

t tr t dt r dt r sen t C

se hallan los nuevos límites de integración. x= 0 0= r.sen t sen t= 0 t= 0

x= r r= r.sen t sen t= 1 t=2

22 2 2 21

0

1 12 02 4 4 4tA r sen t r r

A= 4.A1= r2


Hallar el área limitada por la recta, x+y= 10, el eje, OX, y las ordenadas de, x= 2, y, x= 8. 828 2

22

(10 ) 10 302xA x dx x u

Hallar el área de una elipse de semiejes, a, y, b.

2 2

2 2 1x ya b

2 2by a xa

por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida es, 4, veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

2 2

04 .

a bA a x dxa

2 2 2 2 2 2 2 2 2. . . .cos . (1 ). .cos . .cos .a x dx a a sen t a t dt a sen t a t dt a t dt

2 2 2 2 21 cos2 1cos . 2

2 2 4t ta t dt a a sen t C

x= a.sen t dx= a.cos t.dt se hallan los nuevos límites de integración. x= 0 0= r.sen t sen t= 0 t= 0

x= a a= a.sen t sen t= 1 t= 2

22 2 2 2

00

14 . 4. . 2 42 4 4

a b b tA a x dx a sen t ab aba a

Hallar el área limitada por la curva, y= 6x2−3x3, y el eje de abscisas. 6x2-3x3= 0, 3x2.(2-x)= 0, x1= 0, y, x2= 2

22 2 3 3 4 2

00

3(6 3 ) 2 16 12 44

A x x dx x x u

Hallar el área limitada por la parábola, y2= 4x, y la recta, y= x. se hallan los puntos de corte de estas funciones para determinar los límites de integración. y2= 4x

y2= 4y (0,0) (4,0) y= x de, x= 0, a, x= 4, la parábola queda por encima de la recta.

43 24 4 4 220 0 0

0

4 84 . . ( 4 )3 2 3

xA x dx x dx x x dx x u


Hallar el área limitada por la curva, y= x2-5x+6, y la recta, y= 2x. en primer lugar se hallan los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración. y= x2-5x+6 x1= 1 x2= 6 y= 2x De, x= 1, a, x= 6, la recta queda por encima de la parábola.

63 26 62 2

1 11

72 5 6 ( 7 6) 63 2x xA x x x dx x x dx x

3 2 3 2

26 7.6 1 7.1 1256.6 6.13 2 3 2 6

u

Hallar el área limitada por las gráficas de las funciones 3y = x2 e y = −x2 + 4x. en primer lugar se representan las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

2

3xy xv= 0 yv= 0 V(0,0)

y= -x2+4x xv= 2 yv= 4 V(2,4) los puntos de corte de esta función con el eje, X, son -x2+4x= 0 x1= 0 x2= 4 se hallan también los puntos de corte de las funciones, que darán los límites de integración.

2

3xy

(0,0) (3,3) y= -x2+4x

323 32 2 3 2 2

0 00

4 44 4 2 12 18 63 3 9xA x x dx x x dx x x u

Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por la curva, y= sen x, y las rectas, x= 0, y, x= π, al girar en torno al eje, OX.

2

2 3

0 00

1 1. 1 cos 2 22 2 2 2

V sen xdx x dx x sen x u

Hallar el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas, y= 2, x= 1, y, x= 4, y el eje, OX, al girar alrededor de este eje.

4 42 3

112 . 4 4 .(4 1) 12V dx x u


Hallar el área de la figura plana limitada por las parábolas, y= x2−2x, e, y= −x2+4x. se representan las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes. el vértice de la primera parábola es, xv= 1 yv= -1 V(1,-1) los puntos de corte con el eje, X, de la primera parábola son 0= x2-2x 0=x.(x-2) (0,0) (2,0) el vértice de la segunda parábola es, xv= 2 yv= 4 V(2,4) los puntos de corte con el eje, X, de la primera parábola son 0= -x2+4x 0=x.(-x+4) (0,0) (4,0) los puntos de corte de las funciones, que darán los límites de integración. y= x2−2x

x2−2x= −x2+4x solución de esta ecuación, (0,0), y, (3,3) y= −x2+4x

232 2 2

1 00

423 3xA x x dx x

21

43

A u

333 2 2

2 00

4 2 93xA x x dx x

2

2 9A u

333 2 2

3 22

423 3xA x x dx x

2

343

A u

2

1 2 34 49 93 3

A A A A u

Hallar el área de de la región limitada por las funciones, y= sen x, y= cos x, y, x= 0. en primer lugar se halla el punto de intersección de las funciones: y= sen x

sen x= cos x 4

x

y= cos x la gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

24 400

cos cos 2 1A x senx dx senx x u


Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta, y= x+2, y las coordenadas correspondientes a, x= 4, y, x= 10, al girar alrededor del eje, OX.

10310 102 2 2 3

4 44

1000 64( 2) ( 4 4) 2 4 200 40 32 16 5043 3 3xV x dx x x dx x x u

Hallar el volumen engendrado al girar alrededor del eje, OX, el recinto limitado por las gráficas de, y= 2x−x2, y= −x + 2. puntos de intersección entre la parábola y la recta: y= 2x-x2

2x-x2= −x+2 solución, (1,1), y, (2,0) y= −x+4 la parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

252 22 22 4 3 2 4 3 2 3

1 11

2 2 ( 4 3 4 4) 2 45 5xV x x x dx x x x x dx x x x x u

Hallar el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola, y2= x, y la recta, x= 2, alrededor del eje, OY. como gira alrededor del eje, OY, se aplica: el volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos, y= −4, e, y= 4.

2.b

aV x dy

como la parábola es simétrica con respecto al eje, OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre, y= 0, e, y= 4.

2 42 54 42 3

0 00

1282 2 2 2 48 320 5y yV dy dy y u

Hallar el volumen de la esfera de radio, r. se parte de la ecuación de la circunferencia, x²+y²= r². se gira un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.

22 2 2 2( )r r

r rV r x dx r x dx

3 3 3

2 32 2 43 3 3 3

r

r

x r rr x r


Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse, 16x2+25y2= 400, al girar: Alrededor de su eje mayor. Alrededor de su eje menor. como la elipse es simétrica respecto de los dos ejes, el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

16x2+25y2= 400 2

2 400 1625

xy (5,0)

2 525 3 31 0

0

400 16 16 3202 2 1625 75 3

xV dx x x u

16x2+25y2= 400 2

2 400 2516

yx (0,4)

2 424 3 32 0

0

400 25 25 4002 2 2516 48 3

yV dy y y u

integral función primitiva xuvia-narón · se llama integral indefinida al conjunto de las...

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