Funciones

Tammy Roterman y Orli Glogower

Función

• Qué es una función?

• Es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el rango) de manera que a cada elemento x del dominio le corresponda uno y solo un elemento del rango f(x).

• A cada Pre Imagen le corresponde una sola y solo una Imagen.

Formas de expresar una función

Generalidades de las funciones

• Elementos:• Variable independiente: Son los posibles valores del

conjunto de salida. La variable independiente se llama X.• Variable dependiente: Son los posibles valores del

conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y.• Los dos principales elementos de una función son los

posibles valores que pueden tomar ambas variables. Estos valores son llamados Imágenes y Pre Imágenes.

• Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida.

• Pre Imagen: Los valores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada.

• Dominio: Conjunto de elementos del conjunto de salida que están relacionadas con algún elemento del conjunto de llegada.

• Rango: Conjunto de elementos del conjunto de llegada que están relacionadas con un valor del conjunto de salida.

• Conjunto de Salida: Conjunto de Pre Imágenes.• Conjunto de Llegada: Conjunto de Imágenes. Puntos

de corte:• Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se iguala

la función a 0.• Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se

reemplaza X por 0.

• Funciones Inyectivas• Una función es Inyectiva si todos los

elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen.

• Funciones Sobreyectivas• Una función es Sobreyectiva si a

cada elemento del dominio le corresponde un elemento del rango.

1

2

3

D

B

C

A

X Y

1

2

3

4

D

B

C

X Y

Función Biyectiva

• Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva).

1

2

3

4

D

B

C

A

X Y

• Función Impar:

• Se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que:

• Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas.

• Ejemplo:

• f(x)= X3

• f(2)=8

• f(-2)=-8

• Todas las funciones impares cumplen la ecuación:

• Función Par:

• Se llama función par a la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que:

• Se produce una simetría con respecto al eje y.

• Ejemplo:

• f(x)= X2

• f(-2)= 4

• f(2)= 4

• Todas las funciones pares cumple la ecuación:

Tipos de funciones

Trigonométricas

Por Partes o A Trozos

Valor Absoluto

Exponencial

Logarítmica

RacionalPolinómica

Idéntica

Grado Impar

Polinómicas

Cuadrática

Grado ParConstante

Lineal

Cúbica

Afín

Función Constante

• Función polinómica de grado cero en donde todas las variables de x son iguales a las variable de Y.

• Se define por la ecuación: y= f(x)• Elementos:• Dominio= IR• Rango= IR• Conjunto de Salida= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con X= 0• Punto de corte con Y= 0

Funciones de grado par

Función Cuadrática

• Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

• Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a.

• El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación:

• Elementos:

• Dominio= IR

• Rango= IR

• Conjunto de salida= IR

• Conjunto de llegada= IR

• Punto de corte con X: y=0

• Punto de corte con y: x=0

Funcion de grado impar

Función Lineal

Función que se define por:f(x): mx

Elementos:Dominio= IRRango= IRConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con Y= 0Punto de corte con X= 0

Función Afín• La función afín viene dada

por la ecuación: y= mx+n• Donde X y Y son las

variables• m es la pendiente• n es la ordenada en el

origen• La m de una recta

determina la inclinación de la misma, entonces:

• Si m<0 decreciente• Si m>0 creciente • Si m=0 constantem se calcula:

• Elementos:• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con Y= n

Función Cúbica

• Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

con a ≠ 0 , a,b,c,d IR∈• Elementos:• Dominio= IR

• Conjunto de Salida= IR

• Rango= IR

• Conjunto de Llegada= IR

Función Idéntica• Función que asigna como

imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento.

• Se define por la ecuación: y= x• Su pendiente es m=1• Su gráfica es la recta bisectriz

de los cuadrantes primero y tercero.

• Elementos:• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con X y Y= 0

Función Logarítmica• Se define por la ecuación: y= loga x• Solo esta definida en los números

positivos.• Si a>1:• Dominio= IR+

• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Puntos: (1,0) y (a,1)• Creciente• Si 0<a<1:• Dominio= IR+

• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Puntos: (1,0) y (a,1)• Decreciente

• Gráfica:• y= log2 x

• y= log1/2 x

Función Racional• Esta definida por una expresión

algebraica que es el cociente de dos polinomios:

• Asíntotas:• Verticales: se iguala

el denominador a 0.• Horizontales

• Elementos: • D= IR• CS= IR• R= R- {números que son los ceros del denominador}• CLL= IR

• En las funciones racionales, la variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Y es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de q.

Referencias de consulta

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar

• http://www.x.edu.uy/lineal.htm

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm• http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par• http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar• http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm• http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf• http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf• http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html• http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html• http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/

Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm