integral de línea de un campo vectorial

7/26/2019 Integral de Lnea de Un Campo Vectorial

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INDICE

1. INTRODUCCION...1

2. OBJETIVOS ....2

3.MARCO TEORICO:

3.1 Definiciones.3

3.2 Teorems ! e"em#$os...................%

3.3 Bi&$io'rf(....... .1)

1. INTRODUCCION:


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En matemtica, una integral de lnea o curvilnea es aquella integral cuya

funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos

dimensiones o del plano compleo, se llama tambi!n integral de contorno.

Eemplos prcticos de su utili"acin pueden ser#

El clculo de la longitud de una curva en el espacio,

$ tambi!n para el clculo del trabao que se reali"a para mover alg%n

obeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuer"as

&descritos por campos vectoriales' que act%en sobre el mismo.

Una integral de lnea es una integral donde la funcin a integrar es

evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integralescurvilneas diferentes. En el caso de una curva cerrada tambin sela denomina integral de contorno.La funcin a integrar puede ser un campo escalar o un campovectorial. El valor de la integral curvilnea es la suma de los valoresdel campo en los puntos de la lnea, ponderados por algunafuncin escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o,en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campovectorial por un vector diferencial de la curva. Esta ponderacindistingue las integrales curvilneas de las integrales m!s sencillas

de"nidas sobre intervalos.

La integral de lnea tiene varias aplicaciones en el !rea deingeniera, # una de las interpretaciones importantes para talesaplicaciones es el signi"cado $ue posee la integral de lnea de uncampo escalar.En matem!tica, una integral de lnea o curvilnea es a$uellaintegral cu#a funcin es evaluada sobre una curva.

(as integrales de lnea de un campo vectorial son independientes de la

parametri"acin siempre y cuando las distintas parametri"aciones mantengan elsentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametri"aciones consentidos de recorrido contrarios, las integrales de lnea del mismo campo vectorialresultarn con iguales mdulos y signos contrarios.

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https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo


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2. OBJETIVOS:

Estudiar e investigar la integral de lnea de un campovectorial.

El estudiante es capaz de realizar, analizar, comprender losintegrales de lnea sobre un campo vectorial.

igura ') %ntegral de lnea de un campo vectorial.uente) *oogle

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3. MARCO TEORICO3.1 Definiciones:

.-Curva: En matemticas, el concepto de curva o lnea curva, es una lneacontinua de una dimensin que vara de direccin paulatinamente. Eemplossencillos de curvas cerradas simples son la elipse o la circunferencia, y de curvasabiertas la parbola, la )ip!rbola o la catenaria. (a recta sera el caso lmite de uncircunferencia de radio de curvatura infinito. (a curva es uno de los obetosprimordiales de la geometra diferencial.

*igura +# Curva algebraica*olium de Descartes x3+y33axy=0,a=1

.-Curva regular:

Definicin# &Curvas en Rn

'. -n conunto C de Rn

es una curva regular y

simple si eiste una funcin /# 0a, b1 2 Rn

inyectiva y regular tal que C 3 / &0a, b1'

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*uente# 4mpliacin de anlisis de varias variables &-niversidad de Cantabria'

.-Curva cerrada:

-na curva diferenciable escerradacuando x : [a ,b ] Rn

cuando x (a )=x (b) .

5i adems, la funcin x esin#ectivaen el intervalo (a . b) entonces se dice

que la curva es una curva cerrada simple. -na curva cerrada simple

eshomeomorfaal crculo s1

, es decir, tiene la misma topologa de un anillo. (a

curva x : [0,1] Rn

dada por#

x ( t)=[a .cos (2t) , bsin(2t)]

Es una curva diferenciable cerrada, de )ec)o dic)a curva resulta ser una elipse desemiees a y b.

.-ongi!ud de arco: $ rectificacin de una curva, es la medida de la distancia ocamino recorrido a lo largo de una curva o dimensin lineal.

-n caso un poco general, es el caso de coordenadas curvilneas generales &e

incluso el de espacios no eucldeos' caracteri"adas por un tensor m!trico gik

donde la longitud de una curva C: [a ,b ] M viene dada por#

s=a

b

i ,k gikd x

i

dt

d xk

dt dt

.-In!egral curvil"nea de un ca#$o vec!orial

(as integrales de lnea de un campo vectorial son independientes de laparametri"acin siempre y cuando las distintas parametri"aciones mantengan elsentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametri"aciones consentidos de recorrido contrarios, las integrales de lnea del mismo campo vectorialresultarn con iguales mdulos y signos contrarios.

6ara *# 7n 2 7n un campo vectorial, la integral de lnea sobre la curva C,parametri"ada como r &t' con t 0a, b1, est definida como#

Donde es el producto escalar y r# 0a, b1 2 C es una parametri"acin biyectivaarbitraria de la curva C de tal manera que r&a' y r&b' son los puntos finales de C.

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https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva


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$tra forma de visuali"ar esta construccin es considerar que

Donde se aprecia que la integral de lnea es un operadorque asigna un n%mero

real al par donde

Es una89forma.

.-Inde$endencia de la curva de in!egraci%n

5i el campo vectorial * es el gradientede un campo escalar : &o sea, si el campo

vectorial * es conservativo', esto es#

Entonces la derivadade la funcin composicin de : y r &t' es#

Con lo cual, evaluamos la integral de lnea de esta manera#

(a integral de * sobreC depende solamente de los valores en los puntos r&b' y r&a' y es independiente delcamino entre a y b.

https://es.wikipedia.org/wiki/Operadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Forma_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Forma_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Operadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Forma_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada


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&.& TEOREMA':

Si aplicamos el /eorema undamental del 0alculo estudiado en 1n!lisis2atem!tico %, a una funcin de una variable g) 3a, b4 5 6, con derivadacontinua en el intervalo 3a, b4, obtenemos)

a

b

g' (x ) dx=g (b )g(a)

Es*e res+$*,o firm -+e e$ $or ,e $ in*e'r$ ,e ' ) /0 ,e#en,e so$o ,e$ $or ,e '

en $os #+n*os e0*remos ,e$ in*er$o &4. 5ensemos 6or en +n f+nci7n f ,e ,os o

,e *res ri&$es con ,eri,s #rci$es con*in+s ! en s+ ec*or 'r,ien*e78 f. Es*e

es +n cm#o ec*ori$ -+e ,e $'+n mner 'ener$i9 e$ 8conce#*o ,e ,eri, #r

e$ cso ,e f+nciones ,e ms ,e +n ri&$e. A #r*ir ,e es*o +no se #o,r( #re'+n*r si

e$ Teorem ;+n,men*$ ,e$ C$c+$o *m&i


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C

f . d r=a

b

f . r'( t)dt

a

b

( f x x t+ t y y t+ f z zt)dt

Tenien,o en c+en* $ re'$ ,e $ c,en no*mos -+e $ +$*im in*e'r$ #+e,e

escri&irse R & , ,* f /8 r /*4 ,*. 5or $o *n*o

C f . d r=

a

bd

dt[ f(r ( t)) ] dt= f(r (b ))f (r (a ))

Don,e se #$ic7 e$ *eorem f+n,men*$ ,e$ c$c+$o #r f+nciones ,e +n ri&$e en

e$ $*imo #so. Es*e *eorem , +n m


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EJEMPLO:

>eterminar el traba=o realizado por el siguiente campo conservativo)

F=yz i+xz j+xy k

1 lo largo de una curva suave 01B $ue une los puntos 1 (D', , # B (', :,D-, desde 1 hacia B.

El traba=o realizado por el campo de fuerzas F est! de"nido por la

integral de lneaCAB

F . d r . 0omo #a sabemos $ue el campo F es

conservativo, podemos aplicar el /eorema undamental para %ntegrales deLnea # evaluar el traba=o mediante los valores de la funcin potencial del

campo F en los e


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;E$7E&, y' j un campo vectorial definido en una

regin D abierta y simplemente conea del plano. 5us funciones componentes 6&, y'

y >&, y' tienen derivadas parciales de primer orden continuas en D que satisfacen#

P

y(x , y )=

Q

x(x , y )

6ara todo &, y' D. entonces F es un campo conservativo en D.

E(e#$lo:>eterminar si el campo vectorial @ (.

?.? E@E7CICI$5

EJEMPLO 01)

0alcular el traba=o realizado por el campo de fuerzas

F(x , y , z)=12

xi1

2y j+

1

4k sobre una partcula $ue se mueve $ue

se mueve por la hlice de ecuacin r (t)=costi+sin t j+tk , desde

el punto P1=(1,0,0) hasta el punto P2=(1,0,3)

Solucin

&ara la solucin de este problema lo primero $ue debemos ver esde donde a donde vara t , # lo $ue sabemos es $ue Jt



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aparece en la componente J9 del vector posicinK tambinsabemos de los puntos $ue nos dan de $ue en la componente Jz

varia de M a NK entonces)

0!t !3

Fueremos el traba=o, pero el traba=o lo podemos e


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EJEMPLO 03)

%ntegral de lnea de un campo vectorial &!gina ''


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EJEMPLO 04)

%ntegral de lnea de un campo vectorial &!gina '+


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EJEMPLO 05)

?.A E@E7CICI$5 DE 46(IC4CIBN 4 (4 *I5IC4 Eercicio 8#

%ntegral de lnea de un campo vectorial &!gina '-


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%ntegral de lnea de un campo vectorial &!gina ':


18/22

Eercicio +#

%ntegral de lnea de un campo vectorial &!gina 'C


19/22

Eercicio ?#

Eercicio A#

%ntegral de lnea de un campo vectorial &!gina 'G


20/22

Eercicio #



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?. C$NC(-5I$NE5

Una integral se puede e


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integrales se conocen como integrales de lnea e integrales desuper"cie respectivamente. /ienen importantes aplicaciones en lafsica cuando se trata con campos vectoriales.

La integral de lnea tiene varias aplicaciones en el !rea de ingeniera,

# una de las interpretaciones importante. En matem!tica, una integral de lnea o curvilnea es a$uella integralcu#a funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curvacerrada en dos dimensiones o del plano comple=o, se llama tambinintegral de contorno.

?. I(I$:74*I4

L1O16P, 2. S.(+M'M.ANALISIS MATEMATICO III('aEdicin. Lima) Editorial 2oshera.

ED-47D$, E. 7.&+FFF'.ANALISIS MATEMTICO III &?ra Edicin'. (ima96er%#Editorial# EduG6er%

Ampliacin de varias variables reales/ Curvas Q Universidad

de 0antabria

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http://www.pucp.edu.pe/moises-lazaro-carrionhttp://www.pucp.edu.pe/moises-lazaro-carrion

integral de línea de un campo vectorial

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