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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

“ANÁLISIS ESTRUCTURAL DINÁMICO DE UN ÁRBOL DE

TRANSMISIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS

EN INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA:

ING. ELMER TORRES BAUTISTA.

DIRECTOR DE TESIS:

DR. JOSÉ ÁNGEL ORTEGA HERRERA.

MÉXICO, D.F. ENERO DE 2016

CARTA CESIÓN DE DERECHOS

En la Ciudad de México, D.F. el día 11 del mes de Enero del año 2016, el que suscribe

Elmer Torres Bautista alumno del Programa de Maestría en Ciencias en Ingeniería

Mecánica, con número de registro B130917, adscrito a la Sección de Estudios de

Posgrado e Investigación de la ESIME Unidad Zacatenco, manifiesta que es el autor

intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección del Dr. José Ángel Ortega

Herrera y cede los derechos del trabajo titulado: Análisis Estructural Dinámico de un

Árbol de Transmisión Mediante el Método del Elemento Finito, al Instituto Politécnico

Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos

del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser

obtenido escribiendo a la siguiente dirección [email protected]. Si el permiso se

otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.

Elmer Torres Bautista

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO

AGRADECIMIENTOS

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), por el fomento a la

investigación y por su programa de becas para estudiantes de posgrado.

Al Instituto Politécnico Nacional, por la formación académica y su programa de becas

institucionales para la culminación del trabajo de tesis.

Al Dr. José Ángel Ortega Herrera, por la invitación a formar parte de su grupo, dirección,

asesoría y apoyo en la conclusión de la presente tesis.

A mi padre, el profesor Tomás Torres Soto por su apoyo incondicional y a quien debo todo

lo que soy.

I Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

CONTENIDO

RESUMEN ........................................................................................................................ V

ABSTRACT ...................................................................................................................... VI

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... VII

OBJETIVOS .................................................................................................................. VIII

Objetivo general ......................................................................................................... VIII

Objetivos particulares ................................................................................................. VIII

JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................. IX

ALCANCE ........................................................................................................................ IX

Capítulo I. Árbol de transmisión en vehículos con tracción trasera. .................................. 1

1.1. Transmisión automotriz. ........................................................................................... 1

1.1.1. El árbol de transmisión automotriz. ...................................................................... 1

1.1.2. Elementos de un sistema de árbol de transmisión. ................................................ 2

1.1.3. Disposición del árbol de transmisión. ................................................................... 4

1.1.4. Par de torsión en el árbol de transmisión automotriz. ........................................... 5

1.2. Dinámica vehicular. ................................................................................................. 6

1.2.1. Automóvil estacionado sobre camino a nivel. ...................................................... 7

1.2.2. Automóvil estacionado sobre camino inclinado. .................................................. 8

1.2.3. Automóvil en aceleración sobre camino a nivel. .................................................. 9

1.2.4. Automóvil en aceleración sobre camino inclinado. ............................................ 10

1.3. Materiales para componentes del tren de transmisión............................................ 11

1.4. Trabajos realizados en árboles de transmisión. ...................................................... 12

1.5. Referencias. ............................................................................................................ 15

Capítulo II. Análisis de esfuerzos y deformaciones en árboles de transmisión. ............... 17

2.1. Teoría de torsión. .................................................................................................... 17

II Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

2.1.1. Deformaciones torsionales de un árbol de sección circular. ............................... 17

2.1.2. Barras circulares huecas o tubos. ........................................................................ 20

2.1.3. Esfuerzos cortantes en la zona elástica................................................................ 21

2.1.4. Torsión de barras con sección transversal circular. ............................................. 23

2.1.5. Energía de deformación en torsión. ..................................................................... 25

2.2. Transmisión de potencia. ........................................................................................ 26

2.3. Teoría de flexión. ................................................................................................... 27

2.3.1. Radio de curvatura. ............................................................................................. 28

2.3.2. Relación esfuerzo – deformación. ....................................................................... 29

2.4. Deflexión. ............................................................................................................... 32

2.5. Pandeo. ................................................................................................................... 34

2.5.1. Importancia de la carga de pandeo. ..................................................................... 34

2.5.2. Pandeo de una flecha sometido a torsión. ........................................................... 35

2.6. Referencias. ............................................................................................................ 37

Capítulo III. Vibraciones en el árbol de transmisión. ....................................................... 38

3.1. Problemas de vibración en el tren de transmisión. ................................................. 38

3.2. Vibración. ............................................................................................................... 39

3.2.1. Sistemas discretos y continuos. ........................................................................... 40

3.2.2. Tipos de vibración. .............................................................................................. 40

3.2.3. Resonancia. ......................................................................................................... 42

3.2.4. Frecuencia y Periodo. .......................................................................................... 42

3.2.5. Ecuación de movimiento. .................................................................................... 42

3.2.6. Vibración libre de un sistema traslacional no amortiguado. ............................... 43

3.2.7. Vibración libre de un sistema torsional no amortiguado. .................................... 45

3.3. Vibración lateral en vigas. ...................................................................................... 46

III Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

3.3.1. Frecuencia natural de flexión. ............................................................................. 48

3.4 Vibración torsional de flechas. ................................................................................ 52

3.5 Referencias. ............................................................................................................. 55

Capítulo IV. Análisis de elemento finito. ......................................................................... 56

4.1. Introducción. .......................................................................................................... 56

4.1.1. Ventajas de usar el análisis de elemento finito. .................................................. 56

4.1.2. Pasos básicos en el método del elemento finito. ................................................. 57

4.2. Método del elemento finito de una barra a tensión. ............................................... 58

4.3. Método del elemento finito de una barra a torsión. ................................................ 62

4.3.1. Método del elemento finito para una barra sólida sometida a torsión cuya sección

no es circular. ................................................................................................................ 66

4.4. Análisis modal. ....................................................................................................... 69

4.4.1. Vibración libre y no amortiguada. ....................................................................... 70

4.5. Análisis de pandeo. ................................................................................................ 73

4.5.1. Tipos de análisis de pandeo. ................................................................................ 73

4.5.1.1. Análisis de pandeo no lineal. ............................................................................ 73

4.5.1.2. Análisis de pandeo valor propio (Eigenvalue). ................................................ 73

4.6. Referencias. ............................................................................................................ 75

Capítulo V. Simulación numérica y análisis de resultados. .............................................. 76

5.1. Diseño del árbol de transmisión automotriz. .......................................................... 76

5.2. Obtención de las frecuencias naturales sin considerar geometría de horquillas. ... 77

5.2.1. Método por fórmula de resistencia de materiales. .............................................. 77

5.2.2. Empleando el análisis de elemento finito. ........................................................... 80

5.2.3. Comparación de resultados. ................................................................................ 81

5.2.4. Formas modales obtenidas. ................................................................................. 84

IV Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

5.3. Obtención de las frecuencias naturales considerando geometría de horquillas. .... 85

5.3.1. Empleando el análisis de elemento finito. ........................................................... 85


5.3.3. Formas modales obtenidas. ................................................................................. 88

5.4. Capacidad al pandeo de una flecha sujeta a torsión ............................................... 90

5.4.1. Par de torsión crítico, solución teórica. ............................................................... 90

5.4.2. Par de torsión crítico, análisis de elemento finito. .............................................. 91


Conclusiones. .................................................................................................................... 94

Trabajos futuros. ............................................................................................................... 95

Anexo capítulo IV. ............................................................................................................ 96

V Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

RESUMEN

La velocidad crítica que se presenta en componentes rotantes como lo es el árbol de

transmisión, es aquella que produce una frecuencia de excitación igual a la frecuencia

natural del árbol o del sistema que lo conforma. Por lo que para proponer algún material

alterno al acero como el aluminio en su fabricación con la intención de reducir peso, es

importante realizar un estudio que avale su funcionalidad. El presente trabajo muestra los

resultados obtenidos utilizando la teoría clásica de resistencia de materiales en el diseño de

árboles, que se comparan por los obtenidos a partir de un modelo tridimensional utilizando

el análisis de elemento finito. Se evalúan dos casos para el análisis modal, una donde se

excluyen las horquillas de la geometría para poder ser comparados con los cálculos

teóricos, y en un segundo caso donde las horquillas son consideradas para el análisis de

elemento finito, en ambas situaciones se obtienen las primeras formas modales.

Debido a los espesores en los tubos de las flechas, se determinaron los valores de par de

torsión que generan la inestabilidad utilizando la fórmula teórica de estabilidad elástica y

se comparan con los valores obtenidos en la simulación, de igual forma se obtuvieron las

formas pandeadas para cada material.

VI Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

ABSTRACT

The critical speed which occurs in rotating components like the driveshaft is that which

produces an excitation frequency equal to shaft’s natural frequency or driveshaft system’s

natural frequency. In order to propose alternative materials instead steel, like aluminum in

its manufacture with the intention of reduce weight, it is important to carry out a study that

guarantees its functionality. This work shows the results obtained using the classical theory

of strength of materials in the design of driveshafts which are compared by those obtained

from a 3D model using the finite element analysis. Two cases for modal analysis are

evaluated, first yokes are excluded from geometry to compare with theoretical calculations,

in a second case yokes are considered for finite element analysis, both situations modal

shapes are obtained.

Because of the thicknesses of driveshaft’s tubes buckling torque is calculated using the

theoretical formula of elastic stability, results are compared with results from the

simulation, buckling shapes are shown for each material.

VII Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

INTRODUCCIÓN

Los árboles de transmisión son elementos mecánicos por lo general de sección transversal

circular utilizados ampliamente en distintas industrias tales como la automotriz,

aeronáutica y aeroespacial, que se someten a distintas cargas según su campo de aplicación,

tales como torsión, flexión, tensión y compresión que actúan de manera individual o

combinadas. Los árboles de transmisión para aplicaciones automotrices son diseñados para

transmitir la potencia y el par motor a los diferenciales, para que estos a su vez generen el

movimiento rotatorio en los neumáticos, por lo que son componentes integrales del tren

motriz. Durante el proceso de transmitir potencia a una velocidad rotacional específica, el

árbol se expone, de manera inherente a torsión, por lo que en él se generan esfuerzos

cortantes.

Uno de los temas principales de actualidad en la industria automotriz es sin duda el

consumo eficiente de combustible, por lo que la optimización de los componentes que

conforman el vehículo ha tomado gran fuerza, principalmente para reducir el peso sin

comprometer la funcionalidad y el costo total del producto final.

Con los avances actuales en computación y desarrollo de software basados en el método

de elemento finito, ha llevado al estudio y diseño de elementos mecánicos a una nueva era

en el desarrollo conceptual integrando herramientas como el CAD, CAE y CAM, ayudando

a resolver problemas de resistencia de materiales y muchas otras áreas. Han favorecido a

comprender la naturaleza de los fenómenos físicos con mayor amplitud.

Los modelos computacionales permiten realizar experimentos bajo condiciones

controladas, permitiendo el estudio de los distintos parámetros por separado prediciendo el

comportamiento durante el proceso. Es un método efectivo, complementario a la técnica

experimental y analítica.

VIII Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

OBJETIVOS

Objetivo general

Analizar el comportamiento del árbol de transmisión al someterse a cargas estáticas y

dinámicas empleando el método del elemento finito, para estudiar la distribución de

esfuerzos, deformaciones y modos de vibración en la geometría.

Objetivos particulares

Investigar los esfuerzos y deformaciones a los que se somete el árbol de transmisión

por los métodos de resistencia de materiales.

Generar una simulación numérica computacional para el estudio modal del árbol de

transmisión.

Realizar un análisis de estabilidad y obtener sus respectivas formas de pandeo por

simulación.

IX Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

JUSTIFICACIÓN

Los nuevos diseños de tren motriz están principalmente enfocados a la mejora en el

consumo de combustible, y uno de los medios para lograr este propósito es reducir el peso

donde sea posible. En el rango de automóviles considerados de pasajeros o de carga que

no sobrepasan las 3.5 toneladas de peso bruto, donde los pares de torsión transmitidos son

relativamente bajos, el uso de flechas fabricadas con aleaciones de aluminio son la mejor

opción para sustituir al acero, puesto que no se sacrifica la funcionalidad y el costo.

Los estudios teóricos y análisis por elemento finito realizados hasta la fecha en árboles de

transmisión para obtener los valores de velocidad crítica, excluyen las piezas de sujeción

que van unidas al tubo, considerando al árbol en su totalidad como una barra cilíndrica

hueca. No hay investigaciones publicadas para la obtención de las frecuencias naturales

donde consideren las uniones universales.

Debido a las optimizaciones en geometría y materiales para la manufactura de flechas,

determinar el valor del pandeo torsional toma gran importancia para que el árbol no falle

por inestabilidad estructural.

ALCANCE

En este análisis se toma únicamente el diseño de flecha de sección transversal tubular

uniforme y uniones universales Hooke empleados en un automóvil, los materiales son

considerados linealmente elásticos. No se considera otro tipo de uniones.

1 Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Capítulo I. Árbol de transmisión en vehículos con tracción trasera.

1.1. Transmisión automotriz.

Generalmente hablando el término tren de potencia y tren de transmisión se refieren a los

componentes del vehículo que producen y liberan potencia y par de torsión.

El término tren de potencia en ocasiones enfatiza al motor y la transmisión (caja de

velocidades), mientras que el término tren de transmisión (o línea de transmisión) pone

mayor atención en el embrague (convertidor de par), caja de velocidades (transmisión),

árbol de transmisión, diferencial, semiejes y los neumáticos. El tren de transmisión entrega

par de torsión proveniente del motor a los neumáticos, haciendo posible la aceleración o la

subida de pendientes [1.1].

1.1.1. El árbol de transmisión automotriz.

Los árboles de transmisión (también conocidos como Flechas de transmisión) son

necesarios para los vehículos con tracción trasera para transmitir par de torsión y potencia

provenientes de la flecha de la caja de velocidades al diferencial que no están en línea, de

manera suave, ininterrumpida y lo más uniforme posible. Esta función general, puede

dividirse en tres:

1. Transmisión uniforme del par de torsión y rotación.

2. Capacidad para poder alterar la distancia entre la entrada y salida.

3. Modificar el ángulo en sus extremos.


Figura 1.1. Rango de árboles de transmisión de GKN [1.21]. A.- Tubo de aluminio de una

sola pieza. B.- Dos piezas tubo de aluminio. C.- Dos piezas tubo de acero. D.- Tres piezas

tubo de acero. E.- Una sola pieza tubo de material compuesto.

1.1.2. Elementos de un sistema de árbol de transmisión.

Como se muestra en la siguiente figura, los elementos que conforman este sistema son

[1.2]:

1. Los árboles de conexión.

2. Las articulaciones.

3. Árbol intermedio.

A B C D E


Figura 1.2. Sistema de árbol de transmisión [1.2]. a Flecha cardán en configuración Z,

b representación esquemática de los elementos.

Las partes que conforman un árbol de trasmisión con unión universal Hooke se ilustran en

la figura 1.3., los elementos 1 y 2 son tubos conectados por un estriado que permite el

cambio de longitud debido a los movimientos en los ejes por la suspensión, son lubricados

con grasa y cuentan con horquillas en sus terminales. 3 es el Anillo sellador de goma. No.4

Bridas que conectan la flecha de salida de la caja de velocidades a la fecha de entrada del

diferencial. 5 para las Crucetas que conectan las horquillas de los tubos con las horquillas

de las bridas y 6 los Anillos de retención [1.3], [1.4].

Figura 1.3. Vista en explosión de las partes móviles de una flecha cardán [1.3].


1.1.3. Disposición del árbol de transmisión.

La disposición de la flecha de transmisión en el tren motriz de vehículo de pasajeros, vans,

SUVs y pick ups con tracción trasera, se muestra en las figura 1.4.

Figura 1.4. Diagrama esquemático de una flecha de transmisión convencional de una sola

pieza [1.6].

El diseño de dos piezas es demandado debido a la pertinente distancia entre las placas a

conectar, cuando la distancia entre ejes es mayor a 2.5 metros, existen unidades auxiliares

adjuntas, el diseño de una sola pieza provee una inadecuada velocidad crítica, y las

vibraciones por flexión y torsión influyen negativamente en la conducción del vehículo.

El uso de la flecha de transmisión depende principalmente de las configuraciones que el

tren motriz pudiera tener, por lo que las configuraciones en donde se emplea este sistema

son [1.5] [1.6]:

Motor en posición delantera montado longitudinalmente con tracción trasera o integral.

Motor en posición delantera montado transversalmente con tracción trasera o integral.

Motor en posición trasera con tracción integral (aplicaciones deportivas).


1.1.4. Par de torsión en el árbol de transmisión automotriz.

Los siguientes problemas en la flecha son usualmente el resultado de sobrecargas de par

de torsión:

Tubo del árbol retorcido.

Fractura de, horquillas del tubo, horquillas de las bridas, crucetas, tubo y tubo estriado.

Razón por la cual es muy importante calcular cuánto par de torsión se puede generar en el

árbol según sea el vehículo donde se use. Para calcular el máximo valor utilizamos la

siguiente fórmula [1.7]

𝐿𝐺𝑇 = 𝑇 ∗ 𝑇𝐿𝐺𝑅 ∗ 𝑇𝐸 ∗ 𝑆𝑅 ∗ 𝑇𝐶𝑅 ∗ 𝐶 (1.1)

Donde por sus siglas en inglés son:

𝐿𝐺𝑇 = Par máximo al cambio más bajo de la caja de transmisión.

𝑇 = Par neto del motor o 95% del par bruto del motor.

𝑇𝐿𝐺𝑅 = Valor de la relación al cambio más bajo de la transmisión.

𝑇𝐸 = Eficiencia de la transmisión (Automática 0.8; Manual 0.85).

𝑆𝑅 = Relación de stall del convertidor de par (Si aplica).

𝑇𝐶𝑅 = Relación de la caja de transferencia (Si aplica).

𝐶 = Eficiencia de la caja de transferencia (Si aplica, 0.95).

Para el caso de vehículos de pasajeros, SUVs, vans y camionetas ligeras con transmisión

manual la fórmula resultante queda

𝐿𝐺𝑇 = 𝑇 ∗ 𝑇𝐿𝐺𝑅 ∗ 0.85 (1.2)


Figura 1.5. Flechas dañadas [1.7], izquierda soldadura fracturada, derecha tubo retorcido.

1.2. Dinámica vehicular.

El automóvil así como los componentes del tren motriz son estudiados para poder definir

las fuerzas que se generan en condiciones de reposo y movimiento. La ley fundamental de

donde la mayor parte de los análisis dinámicos vehiculares comienzan, es la segunda ley

formulada por Sir Isaac Newton (1642 – 1727), esta ley aplica para sistemas de traslación

y rotación [1.8].

Sistemas traslacionales. La suma de las fuerzas externas que actúan en un cuerpo en una

dirección dada, es igual al producto de su masa y la aceleración en esa dirección (la masa

permanece constante).

∑𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 (1.3)

Sistemas rotacionales. La suma de los pares de torsión que actúan en un cuerpo respecto a

un eje de giro dado, es igual al producto de su momento rotacional de inercia y a la

aceleración rotacional alrededor de ese eje.

∑𝑇𝑥 = 𝐼𝑥𝑥𝛼𝑥 (1.4)


1.2.1. Automóvil estacionado sobre camino a nivel.

En la siguiente figura se muestra las fuerzas presentes en un vehículo en estado de reposo

y en una superficie plana a nivel.

Figura 1.6. Automóvil estacionado en un camino a nivel [1.9].

Donde:

C = centro de masa,

m = la masa del vehículo,

g = aceleración de la gravedad,

𝐹𝑧= fuerza normal,

𝑎1= distancia del eje delantero al centro de masa,

𝑎2= distancia del eje trasero al centro de masa,

l = distancia entre ejes.

La fuerza normal 𝐹𝑧, bajo cada una de las ruedas delanteras 𝐹𝑧1 y traseras 𝐹𝑧2, es:

𝐹𝑧1 =1

2𝑚𝑔

𝑎2𝑙 (1.5) ; 𝐹𝑧2 =

1

2𝑚𝑔

𝑎1𝑙 (1.6) ; 𝑙 = 𝑎1 + 𝑎2 (1.7)


1.2.2. Automóvil estacionado sobre camino inclinado.

Por lo general los autos de pasajeros están equipados con freno de mano que actúan en las

llantas traseras.

Figura 1.7. Automóvil estacionado sobre camino inclinado [1.9].

Donde:

𝜙 = ángulo de inclinación de la superficie,

h = altura de la superficie al centro de masa,

𝐹𝑥2= Fuerza de frenado.

Cuando un auto está estacionado sobre una pendiente, la fuerza normal 𝐹𝑧, bajo cada una

de las ruedas delanteras y traseras 𝐹𝑧1, 𝐹𝑧2 es:

𝐹𝑧1 =1

2𝑚𝑔

𝑎2𝑙cos 𝜙 −

1

2𝑚𝑔

ℎ

𝑙sin𝜙 (1.8); 𝐹𝑧2 =

1

2𝑚𝑔


1

2𝑚𝑔

ℎ

𝑙sin𝜙 (1.9)

𝑙 = 𝑎1 + 𝑎2 (1.10)

Y la fuerza de frenado 𝐹𝑥2 =1

2𝑚𝑔 sin𝜙 (1.11)


1.2.3. Automóvil en aceleración sobre camino a nivel.

Cuando un auto está en movimiento con una aceleración 𝑎 sobre un camino a nivel como

se muestra en la figura 1.8, las fuerzas verticales bajo los neumáticos delanteros y traseros

son:

𝐹𝑧1 =1

2𝑚𝑔

𝑎2𝑙−1

2𝑚𝑎

ℎ

𝑙 (1.12) ; 𝐹𝑧2 =

1

2𝑚𝑔

𝑎1𝑙+1

2𝑚𝑎

ℎ

𝑙 (1.13)

Figura 1.8. Automóvil en estado de aceleración sobre un camino a nivel [1.9].

Donde:

a = aceleración del vehículo.

Los primeros términos de cada ecuación, 1

2𝑚𝑔

𝑎2

𝑙 y

1

2𝑚𝑔

𝑎1

𝑙, son llamados partes estáticas,

y los segundos términos ±1

2𝑚𝑎

ℎ

𝑙, son llamados partes dinámicas de las fuerzas normales.


1.2.4. Automóvil en aceleración sobre camino inclinado.

Cuando un auto está en movimiento con una aceleración 𝑎 sobre un camino inclinado con

un ángulo 𝜙, las fuerzas normales bajo los neumáticos delanteros y traseros serán:

𝐹𝑧1 =1

2𝑚𝑔 (


ℎ

𝑙sin𝜙) −

1

2𝑚𝑎

ℎ

𝑙 (1.14)

𝐹𝑧2 =1

2𝑚𝑔 (

𝑎1𝑙cos 𝜙 +

ℎ

𝑙sin 𝜙) +

1

2𝑚𝑎

ℎ

𝑙 (1.15)

Las partes dinámicas ±1

2𝑚𝑎

ℎ

𝑙, dependen de la aceleración 𝑎 y la altura ℎ del centro de

masa 𝐶 y no de la pendiente 𝜙, mientras que las partes estáticas son influenciadas por el

ángulo de la pendiente 𝜙, así como de la posición longitudinal y vertical del centro de masa

[1.9] [1.10].

Figura 1.9. Automóvil acelerando sobre camino inclinado [1.9].


1.3. Materiales para componentes del tren de transmisión.

En la actualidad las partes estructurales del automóvil están fabricados en metal laminado

y el material básico es el acero de bajo carbono, elegido por la facilidad de estampado y

soldado más que por sus propiedades mecánicas. Esto es algo que no ha cambiado desde

hace más de medio siglo, y es poco probable que los cambios radicales entren al mercado

de la producción en masa en un futuro próximo. Las partes mecánicas del tren de

transmisión son fabricados de una gama más amplia de materiales, como aceros de alta

resistencia, aleaciones de aluminio, hierro de fundición, etc.

Acero de alta resistencia, es la alternativa lógica ante el acero de bajo carbono para las

partes más cargadas del chasis y la carrocería, y esto podría resultar en una no despreciable

reducción de peso. Esta consideración es mitigada por el hecho de que el acero de alto

rendimiento es más resistente pero no más rígido (su módulo de Young es

aproximadamente el mismo que para el acero de bajo carbono) por lo que no muestra

ninguna ventaja en aquellos componentes que son diseñados para tener rigidez y no para

resistencia.

Aleaciones de aluminio (aleaciones ligeras), son comúnmente utilizadas en la construcción

de motores, componentes del tren de transmisión y para algunos componentes del chasis

como partes de la suspensión debido a su relativo bajo costo. Rara vez son consideradas

estas aleaciones para la carrocería, excepto para el caso de autos deportivos y todo terreno

en producciones limitadas. La fecha tubular de aluminio extruido tiene buenas propiedades

en cuanto a ruido, comportamiento en choques, resistencia a la temperatura (130 – 145°C)

y también es barato. A través de la soldadura por fricción los tubos de aluminio se pueden

conectar a bridas hechas de acero.

Plásticos Reforzados (Compuestos), ahora los autos de carrera se construyen utilizando

materiales compuestos de fibra de carbono, fibra de vidrio o incluso vidrio poliéster, y

muchos coches especiales producidos en pequeñas cantidades tiene materiales compuestos

en su carrocería y tren motriz, todo con la finalidad de disminuir el peso total del vehículo,


mejorar las propiedades mecánicas de los componentes, y así como evitar el alto costo en

herramental en el caso de producción de bajos volúmenes.

El punto es que los componentes estructurales fabricados de materiales compuestos se

prestan para la producción a baja escala, pero, a diferencia de la producción a gran escala,

estos suelen ser muy costosos en comparación con las construcciones tradicionales de

acero. Matrices de alto rendimiento, como resinas epoxi, tienen un tiempo de curado

prolongado y requieren de altas temperaturas. La energía requerida para una operación de

curado es más que la energía requerida en un proceso convencional de estampado de acero.

Las medidas de seguridad y protección medioambiental cuando se trabaja con resinas

tóxicas añaden mucho al costo de la producción. Y finalmente los componentes de metal

son fácilmente reciclados al final del ciclo de vida del vehículo, mientras que el reciclado

de materiales compuestos es mucho más difícil que en ocasiones resulta inútil [1.4].

1.4. Trabajos realizados en árboles de transmisión.

Desde hace muchos años limitaciones como el peso, vibración, fatiga y velocidades críticas

son serios problemas reconocidos en la industria automotriz. Por lo que los efectos

asociados y posibles soluciones han sido sujetos a análisis detallados.

En la actualidad los nuevos diseños automotrices en lo que respecta a funcionalidad, se

enfocan principalmente a la mejora en eficiencia de consumo de combustible, minimizar

la emisión de gases contaminantes y en lo posible reducir el peso total de vehículo. Todo

esto ha hecho que los componentes sean más sensibles a excitaciones. Esta situación da

como resultado un número de problemas de confort, particularmente en rangos de bajas

velocidades que son las deseables para el consumo eficiente de combustible [1.11].

Motores altamente turbo cargados y especialmente motores altamente súper cargados de

baja cilindrada inducen pares de torsión inestables y altamente dinámicos en adición a los


existentes altos pares de torsión promedio. Esto puedo causar problemas de vibración de

consideración en el tren motriz [1.12].

El árbol de transmisión es uno de los componentes con mayor estudio debido a su

importancia en la transmisión de potencia. El primer árbol de transmisión de materiales

compuestos fue desarrollada por la división Spicer U-Joint de Dana Corporation para las

van ecoline de Ford modelos 1985. Las camionetas ligeras de General Motors que

adoptaron los productos Spicer, disfrutaron de una demanda tres veces de lo que fue la

proyección en ventas en su primer año (1988) [1.13].

Las flechas construidas de materiales compuestos tienen muchos beneficios como el peso

reducido, menos ruido y vibración. Sin embargo, debido al alto costo de los insumos y

fabricación, esta opción se ha retirado de la producción a gran escala, exceptuando a

vehículos deportivos de grandes prestaciones, por lo que se ha regresado a utilizar acero y

aluminio [1.14]. Lee DG et al. [1.15] en 2003, desarrolló y manufacturó un árbol híbrido

con una nueva técnica de manufactura utilizando aluminio y parte de material compuesto,

logrando aumentar la frecuencia natural de flexión y reducir el peso a un 75% en

comparación con uno fabricado con acero. Shokrieh MM et al. [1.16] en 2003, utilizando

el método del elemento finito estudió la estabilidad torsional del árbol de transmisión

fabricado con material compuesto, para validar sus resultados los comparó con resultados

analíticos y experimentales, además realizó un estudio de los efectos de las condiciones de

frontera, donde obtuvo como resultado que el torque de pandeo no se ve muy afectado.

Kim HS et al. [1.17] en 2004, investigó las características del daño al impacto de baja

velocidad en árboles híbridos de aluminio/material compuesto, utilizando un probador de

impactos por caída de peso, con sus resultados el sugiere como debe ser el apilado de los

filamentos de los materiales y el espesor del tubo de aluminio para impactos a baja

velocidad. Mustasher SA [1.18] en 2008, investigó la máxima capacidad de torsión de una

flecha híbrida aluminio/material compuesto cambiando los ángulos del devanado de las

fibras y el número de capas, utilizó el método del elemento finito para analizar el árbol bajo

torsión estática, ANSYS fue el software comercial para efectuar el análisis numérico, los

resultados tuvieron concordancia con los valores experimentales. Talib A et al. [1.19] en


2009, utilizó el método del elemento finito para desarrollar una flecha que tuviera fibra de

carbono y fibra de vidrio sobre una matriz epóxica, las propiedades de los materiales fueron

analizados con la teoría clásica de láminas, el modelo de elemento finito fue hecho usando

LUSAS un software comercial, se efectuó un análisis de valor propio lineal de pandeo para

definir el par de torsión crítico de pandeo. Badie MA et al. [1.20] en 2010, Llevó a cabo

cuatro tipos de simulaciones en una flecha híbrida de fibra de carbono/fibra de vidrio con

el software LUSAS. Analizó los esfuerzos, para definir el par crítico de pandeo realizó un

análisis de valor propio en la forma de análisis lineal de pandeo, efectuó un análisis modal

para obtener la frecuencia natural y finalmente un análisis de fatiga, los resultados de las

simulaciones muestran concordancia con los analíticos.


1.5. Referencias.

[1.1] Chen H, Gao B. Nonlinear Estimation and Control of Automotive Drivetrains, Springer

2014.

[1.2] Seherr-Thoss HC, Schmelz F, Aucktor E. Universal Joints and Driveshafts, 2nd

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[1.3] Genta G, Morello L. The Automotive Chassis. Vol. 1: Components Design, Springer

2009.

[1.4] Genta G, Morello L, Cavallino F, Filtri L. The Motor Car: Past, Present and Future,

Springer 2014.

[1.5] Naunheimer H, Bertsche B, Ryborz J, Novak W. Automotive Transmissions:

Fundamentals, Selection, Design and Application, Second Edition, Springer 2011.

[1.6] Heißing B, Ersoy M. Chassis Handbook, Springer 2011.

[1.7] Application Guidelines. Spicer Driveshaft Products, Dana Holding Corporation 2013.

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[1.12] Lienkamp Markus Ed. Conference on Future Automotive Technology. Germany 2013.

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[1.14] Kim HS, Lee DG. Optimal design of the press fit joint for a hybrid

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[1.15] Lee DG. Kim HS. Kim JW. Kim JK. Design and manufacture of an automotive hybrid

aluminum/composite drive shaft. Composite Structures 2004; Vol. 63: 87 – 99.

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carbon/glass fiber-reinforced, epoxy composite automotive drive shaft. Materials and

Design 2010; Vol. 31: 514 – 521.

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[1.21] GKN Driveline Driveshafts [en línea]. Reino Unido [fecha de consulta: 1 de Junio

2015]. Disponible en http://www.gkn.com/driveline/our-solutions/cvj-

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http://www.gkn.com/


Capítulo II. Análisis de esfuerzos y deformaciones en árboles de

transmisión.

2.1. Teoría de torsión.

La torsión se puede definir como la carga en una barra recta que tiende a hacerlo girar o

torcerlo, tal rotación se efectúa con respecto al eje longitudinal de la barra. La carga es

mejor conocida como par de torsión, momento torsional o simplemente par. Los

componentes sometidos a torsión son encontrados en muchas aplicaciones de ingeniería,

la más común es la del árbol de transmisión para aplicaciones automotrices.

Figura 2.1 Árbol de transmisión instalado en el tren de potencia de una camioneta [2.8].

2.1.1. Deformaciones torsionales de un árbol de sección circular.

Cuando una barra prismática de sección transversal circular es sometida a torsión T en sus

extremos como lo muestra la figura 2.2, y dado que cada sección transversal a lo largo de

la barra es sometida al mismo par de torsión interno, se dice que la barra se encuentra en

torsión pura. Para deducir las ecuaciones básicas empezaremos tomando las siguientes

suposiciones cinemáticas [2.1]:


El material es homogéneo, es decir, de uniforme propiedad elástica en todas las

direcciones de la barra.

El material es elástico, obedece la ley de Hooke, con el esfuerzo cortante 𝜏 proporcional

a la deformación cortante 𝛾.

El esfuerzo no excede el límite elástico o el límite de proporcionalidad.

Las secciones transversales permanecen sin cambios durante la torsión T, es decir,

todos los puntos de una sección transversal se someten al mismo giro, por lo que

permanecen circulares.

Los planos de las secciones trasversales permanecen planas, en otras palabras no se

deforman, por lo que no se observan deformaciones perpendiculares a las secciones.

Las secciones transversales giran como si fueran un elemento rígido, es decir, cada

diámetro gira a través del mismo ángulo 𝜙.

Pruebas prácticas realizadas en flechas de sección transversal circular, han demostrado que

la teoría desarrollada en las siguientes ecuaciones basadas en las anteriores suposiciones,

muestran una excelente correlación con los resultados experimentales.

Figura 2.2. Deformaciones de una barra sometida a torsión pura.

𝑇

𝑇

𝜙(𝑥)

𝜙

𝑝

𝑞′ 𝑞

𝑅


Un cilindro infinitesimal con radio arbitrario 𝑟 aislado de la restante barra circular,

permanece como cilindro después de torcerse. Solamente se observa una relativa rotación

de dos secciones transversales adyacentes (con distancia 𝑑𝑥) por un infinitesimal ángulo

de torsión (o ángulo de rotación) 𝑑𝜙.

Figura 2.3. Deformación de un cilindro infinitesimal con longitud 𝑑𝑥 tomado de una

barra sometida a torsión.

Para pequeñas deformaciones la relación entre el ángulo de torsión infinitesimal 𝑑𝜙 y la

deformación unitaria cortante 𝛾 es

𝑟𝑑𝜙 = 𝛾𝑑𝑥 → 𝛾 = 𝑟𝑑𝜙

𝑑𝑥 (2.1)

La ecuación anterior se aplica a cualquier valor de 𝑟 , alcanzando un valor máximo en la

superficie exterior 𝑅, la deformación unitaria cortante varia linealmente con el radio y se

relaciona con el ángulo de torsión.

Por lo que la ecuación de deformación unitaria por cortante en la superficie exterior es:

𝛾𝑚𝑎𝑥 = 𝑅𝑑𝜙

𝑑𝑥 (2.2)

𝑑𝜙

𝑟

𝛾


El término 𝑑𝜙/𝑑𝑥 representa la razón de cambio del ángulo de torsión 𝜙 con respecto a la

distancia 𝑥 medida a lo largo del eje de la barra, y la expresaremos como 𝜃. Se le conoce

como razón de torsión o ángulo de torsión por unidad de longitud.

𝜃 =𝑑𝜙

𝑑𝑥 (2.3)

Por lo tanto la ecuación para la deformación unitaria por cortante se denota como:

𝛾 = 𝑟𝜃 ; 𝛾𝑚𝑎𝑥 = 𝑅𝜃 (2.4)

sólo para torsión pura:

𝛾 = 𝑟𝜃 =𝑟𝜙

𝐿 (2.5)

debido a que 𝜃 = 𝜙/𝐿, donde 𝐿 es la longitud.

2.1.2. Barras circulares huecas o tubos.

Las ecuaciones anteriores también son aplicables a las barras circulares huecas.

𝛾𝑚𝑎𝑥 =𝑟2𝜙

𝐿 ; 𝛾𝑚𝑖𝑛 =

𝑟1𝑟2 𝛾𝑚𝑎𝑥 ; 𝛾𝑚𝑖𝑛 =

𝑟1𝜙

𝐿 (2.6)

En donde 𝑟1 𝑦 𝑟2 representan los radios interior y exterior respectivamente de la barra

hueca.


Figura 2.4. Deformaciones unitarias por cortante en un tubo con sección transversal

circular.

2.1.3. Esfuerzos cortantes en la zona elástica.

Consideremos el caso en el que el par de torsión aplicado es tal que los esfuerzos cortantes

en la flecha permanecen por debajo de la resistencia a la cedencia en cortante 𝜏𝑦. Esto

quiere decir que los esfuerzos cortantes estarán dentro del límite de proporcionalidad y del

límite elástico. Por lo que podemos utilizar la ley de Hooke en cortante [2.2]:

𝜏 = 𝐺𝛾 (2.7)

𝐺, es una constate de proporcionalidad, mejor conocido como módulo de elasticidad en

cortante. El módulo cortante es un valor propio del material que caracteriza su resistencia

contra la deformación del material cuando se somete a esfuerzos cortantes.

Figura 2.5. Elemento cuadrangular en la superficie de una barra sometida a torsión.

𝛾𝑚𝑎𝑥

𝛾𝑚𝑖𝑛

𝑟1

𝑟2

𝑇

𝛾

𝜏 𝜏

𝜏

𝜏

𝜏𝑚𝑎𝑥

𝜏𝑚𝑎𝑥

𝜏𝑚𝑖𝑛

𝜏𝑚𝑖𝑛

𝑇


Al combinar la ley de Hooke en cortante con las ecuaciones anteriormente descritas para

las deformaciones unitarias por cortante se obtienen:

𝜏 = 𝐺𝑟𝜃 (2.8)

Por consiguiente, el esfuerzo cortante 𝜏 varía linealmente desde 0 hasta un valor máximo

que se da en la superficie exterior 𝑅 para el caso de una flecha circular.

Figura 2.6. Curva esfuerzo cortante – Deformación cortante unitaria en el rango lineal

elástico.

Los valores de 𝐺 no siempre son fácilmente accesibles. Una buena aproximación para un

material homogéneo e isotrópico es [2.3]:

𝐺 =𝐸

2(1 + 𝜈) (2.9)

𝐸, 𝐺, y 𝜈 (relación de Poisson) son propiedades elásticas del material.

Para la mayoría de los metales se tiene una aproximación para la relación de Poisson

𝜈~1/3, por lo que 𝐺 se puede aproximar:

𝐺 ≈3

8𝐸 (2.10)

𝜏

𝛾

𝐺


2.1.4. Torsión de barras con sección transversal circular.

Figura 2.7. Area infinitesimal del cilindro sometido a esfuerzo cortante.

El torque T debe ser estáticamente equivalente al momento resultante del esfuerzo cortante,

por lo que de la figura 2.7 es:

𝑇 = ∫𝑟𝜏𝑑𝐴 (2.11)

dA es un elemento de área, e insertando (2.8) en (2.11 ) resulta:

𝑇 = 𝐺𝜃∫𝑟2𝑑𝐴 = 𝐺𝜃𝐼𝑝 (2.12)

Para obtener una ecuación que dé como resultado el esfuerzo cortante (máximo en la

superficie exterior 𝑅), podemos despejar el ángulo de torsión por unidad de longitud 𝜃 de

la ecuación (2.8), y sustituyendo su valor en (2.12), dándonos como resultado:

𝜏 =𝑇𝑟

𝐼𝑝 (2.13 )

El ángulo de torsión 𝜃 se obtiene simplemente despejando de la ecuación (2.12)

𝜃 =𝑇

𝐺𝐼𝑝 (2.14)

𝑑𝐴

𝑅 𝑟

𝜏


La cantidad 𝐺𝐼𝑝 es conocida como rigidez torsional de la barra. Para una barra sometida a

torsión pura, el ángulo de torsión 𝜙 total, igual a la razón de torsión multiplicada por la

longitud de la barra, es [2.3]:

𝜙 =𝑇𝐿

𝐺𝐼𝑝 (2.15)

El valor de 𝐺𝐼𝑝/𝐿, llamada rigidez torsional de la barra, la flexibilidad torsional es el

reciproco de la rigidez, o 𝐿/𝐺𝐼𝑝:

𝑘𝑇 =𝐺𝐼𝑝

𝐿 ( 2.16) ; 𝑓𝑇 =

𝐿

𝐺𝐼𝑝 (2.17 )

El valor 𝐼𝑝 es el resultado de la integral ∫ 𝑟2𝑑𝐴 de la ecuación (2.12), un valor puramente

geométrico y es conocido como el momento polar de inercia de área (o momento polar de

inercia). Para un círculo con radio 𝑟 y diámetro 𝑑, el momento polar de inercia es:

𝐼𝑝 =𝜋𝑟4

2=𝜋𝑑4

32 (2.18)

Para el caso de tubos circulares, el momento polar de inercia resulta:

𝐼𝑝 =𝜋

2(𝑟24 − 𝑟1

4) =𝜋

32(𝑑2

4 − 𝑑14) (2.19)

Las expresiones anteriores pueden ser escritas considerando el espesor, 𝑡 = 𝑟2 − 𝑟1 de la

pared del tubo, 𝑟 y 𝑑 son el radio promedio (𝑟1 + 𝑟2)/2 y diámetro promedio (𝑑1 + 𝑑2)/2,

respectivamente. Por lo que resulta:

𝐼𝑝 =𝜋𝑟𝑡

2(4𝑟2 + 𝑡2) =

𝜋𝑑𝑡

4(𝑑2 + 𝑡2) (2.20)


Las ecuaciones (2.19) y (2.20), dan el mismo resultado, por lo que su uso es indistinto,

aunque en ocasiones el uso de la última resulta más práctica.

En el caso de tubos de pared delgada, donde el espesor 𝑡 es pequeño en comparación con

el radio promedio, el valor 𝑡2 puede despreciarse de la ecuación (2.20), por lo que se

obtienen fórmulas aproximadas del momento polar de inercia:

𝐼𝑝 ≈ 2𝜋𝑟3𝑡 =

𝜋𝑑3𝑡

4 (2.21)

2.1.5. Energía de deformación en torsión.

Cuando se aplica un par de torsión a una flecha, la carga realiza trabajo y en la flecha se

desarrolla energía de deformación, también conocida como energía elástica. Todo esto

cuando el material tiene un comportamiento linealmente elástico con ángulos de torsión

pequeños y obedeciendo la ley de Hooke.

El trabajo 𝑊 realizado por el par de torsión T conforme gira a través del ángulo 𝜙 es igual

al área bajo la curva par de torsión – rotación, conforme a la figura 2.8, es el área del

triángulo rectángulo sombreado. La energía de deformación U de la barra es igual al trabajo

realizado por la carga, siempre que no se gane o pierda energía en forma de calor.

Figura 2.8. Diagrama Par de torsión – Rotación para una flecha en torsión pura (zona

elástica).

𝜙

𝑇

𝑈 = 𝑊 =𝑇𝜙

2


Por lo que la ecuación de energía de deformación de la barra sometida a torsión pura es:

𝑈 = 𝑊 =𝑇𝜙

2 (2.22)

Tomando la ecuación (2.15), la energía de deformación puede expresarse de las siguientes

formas,

En términos de la carga:

𝑈 =𝑇2𝐿

2𝐺𝐼𝑝 (2.23)

En términos del ángulo de torsión:

𝑈 =𝐺𝐼𝑝𝜙

2

2𝐿 (2.24)

2.2. Transmisión de potencia.

La potencia con frecuencia es transmitida a través de flechas, por ejemplo el árbol impulsor

de un automóvil, la flecha de una hélice de barco. Las principales especificaciones a

cumplir en el diseño de árboles de transmisión son, la potencia a trasmitir y la velocidad

de rotación a la que será sometida la flecha. La función del diseñador es determinar el

tamaño necesario así como la selección del material de tal forma que no se sobrepasen los

esfuerzos cortantes permisibles.

Para determinar la potencia transmitida por la flecha usamos la siguiente fórmula:

𝑃 = 𝑇𝜔 (𝜔 = 𝑟𝑎𝑑/𝑠) (2.25)

Donde 𝑃 representa la potencia, 𝑇 el par de torsión y 𝜔 la velocidad angular.

Para calcular la velocidad angular tenemos:


𝜔 = 2𝜋𝑓 (2.26)

𝑓 es la frecuencia de rotación, es decir, el número de revoluciones por unidad de tiempo

(𝐻𝑧; 𝑠−1). Sustituyendo (2.26) en (2.25) obtenemos:

𝑃 = 2𝜋𝑓𝑇 (2.27)

Despejando 𝑇 de la anterior ecuación, obtenemos el torque ejercido en una flecha que

transmite una potencia 𝑃 a una frecuencia de rotación 𝑓

𝑇 =𝑃

2𝜋𝑓 (2.28)

2.3. Teoría de flexión.

La flexión es la aplicación de cargas (fuerzas, momentos flexionantes) a una viga que la

deforman, y su eje longitudinal toma forma de curva. La condición de fuerza cortante cero

y momento flexionante constante es conocida como flexión pura. Las vigas deben soportar

estas cargas sin ruptura o deflexión excesiva.

Para el desarrollo de las ecuaciones básicas de la teoría simple de flexión, se toman las

siguientes suposiciones [2.1].

La viga es inicialmente recta y sin esfuerzos.

El material de la viga es perfectamente homogéneo e isotrópico, es decir, las mismas

propiedades elásticas en todo el elemento.

El límite elástico no es excedido.

El módulo de Young para el material es el mismo en condición de tensión y

compresión.


Los planos de las secciones transversales permanecen planos antes y después de la

flexión.

Cada sección transversal de la viga es simétrica con respecto al plano de flexión, es

decir, con respecto a un eje perpendicular al eje neutro.

No hay fuerza resultante perpendicular a cualquier sección transversal.

2.3.1. Radio de curvatura.

Las deformaciones unitarias y los esfuerzos presentes en la viga están directamente

relacionados con la curvatura de la curva de flexión. Como el momento flexionante y la

sección transversal son constantes a lo largo del eje 𝑥, en cada punto de la viga a lo largo

de su longitud debe doblarse, o curvarse de la misma manera. Por lo tanto la viga debe

deformase en la forma de un arco de un círculo, dado que el círculo es la única forma que

tiene una curvatura constante [2.4].

En flexión pura, cada sección transversal debe deformarse de la misma manera. Por lo que

cada uno se alinea con un radio del círculo. Las extensiones gráficas de los planos de las

secciones transversales coinciden en un solo punto,𝑂, llamado el centro de curvatura.

Figura 2.9. Vista lateral de una viga simétrica al eje y.

𝑦

𝑧

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒

𝐻

𝐴 𝐸

𝐺

𝐵 𝐹

𝐶

𝐷

𝑦

𝑥

L

𝐸𝑗𝑒 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜


Figura 2.10. Vista lateral de una viga en flexión pura, los momentos son sobre el eje Z.

El radio del arco circular que dobla la viga de la figura 2.10, medida desde el centro de la

curvatura hasta el eje neutro, es el radio de curvatura R. El inverso de R es la curvatura 𝜅:

𝜅 =1

𝑅 (2.29)

2.3.2. Relación esfuerzo – deformación.

La viga permanece con la longitud 𝐿 en flexión. De la figura 2.9 la línea 𝐺𝐻 (representa

un plano paralelo al plano neutro) se encuentra a una distancia 𝑦 del eje neutro. La longitud

original de 𝐺𝐻 es 𝐿. La longitud deformada 𝐺′𝐻′ cae sobre un arco circular de radio 𝑅 − 𝑦

desde el centro de la curvatura. A partir de la proporcionalidad:

𝐺′𝐻′

𝐿=𝑅 − 𝑦

𝑅 (2.30)

La deformación unitaria 휀 de 𝐺𝐻 es lineal con respecto a 𝑦:

휀(𝑦) =𝐺′𝐻′ − 𝐿

𝐿=(𝑅 − 𝑦) − 𝑅

𝑅= −

𝑦

𝑅 (2.31)

𝐵′

𝐴′ 𝐻′ 𝐸′

𝐹′

𝐺′ 𝐶′

𝐷′

𝑦

𝑥

𝑅

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑂

𝑀 𝑀

𝐸𝑗𝑒 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑅 − 𝑦

𝑦


De la ley de Hooke, el esfuerzo normal 𝜎 debido a la flexión varía linealmente con respecto

a 𝑦:

𝜎(𝑦) = 𝐸휀(𝑦) = −𝐸𝑦

𝑅 (2.32)

donde E es el módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal.

El esfuerzo normal 𝜎 y la deformación unitaria 휀 son cero en el eje neutro (𝑦 = 0).

La ecuación del momento M relacionado con la ecuación de la curvatura es:

𝑀 =𝐸𝐼

𝑅= 𝐸𝐼𝜅 (2.33)

A la cantidad 𝐸𝐼, se le denomina rigidez a la flexión de la viga. El valor 𝐼 es el segundo

momento de área de la sección transversal, una propiedad geométrica también llamada

momento de inercia.

En una sección transversal circular y circular hueca, los segundos momentos de área se

calculan con las siguientes fórmulas:

𝐼 =𝜋𝑅4

4=𝜋𝐷4

64 (2.34) 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑎

donde R es el radio y D el diámetro.

𝐼 =𝜋(𝑟2

4 − 𝑟14)

4=𝜋(𝑑2

4 − 𝑑14)

64 (2.35) 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑎

donde 𝑟2 y 𝑑2 son el radio y diámetro exterior; 𝑟1 y 𝑑1 el radio y diámetro interior

respectivamente.


Para obtener la distribución de esfuerzos en la sección transversal de la viga tenemos:

𝜎(𝑦) = 𝐸휀(𝑦) = −𝐸𝑦

𝑅= −𝑦

𝑀

𝐼 (2.36)

El esfuerzo normal debido al momento flexionante es el esfuerzo de flexión:

𝜎(𝑦) = −𝑀𝑦

𝐼 (2.37)

El esfuerzo de flexión es cero en el centroide, 𝑦 = 0 (en el eje neutro o plano neutro),

aumenta linealmente con respecto a 𝑦, y alcanza sus valores máximos en la parte superior

e inferior de la viga. El esfuerzo de flexión es positivo (tensión) en un lado del plano neutro

y negativo (compresivo) por el otro lado.

La magnitud del esfuerzo de flexión máximo a una sección transversal dada es:

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐

𝐼 (2.38)

Donde 𝑐 representa el punto más lejano del material con respecto al eje neutro, es decir

𝑐 = 𝑦𝑚𝑎𝑥.

De la ecuación anterior se nota la relación 𝐼/𝑐 , que sólo depende de la geometría de la

sección trasversal. Esta relación es conocida como el módulo de sección elástico 𝑆

𝑆 =𝐼

𝑐 (2.39)

Por lo que queda una ecuación alternativa del esfuerzo de flexión máximo:

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀

𝑆 (2.40)


2.4. Deflexión.

Se da cuando una viga con un eje longitudinal recto se somete a cargas laterales de tal

forma que el eje se deforma y adopta una forma curva, llamada como curva de deflexión.

El cálculo de deflexiones bajo distintas condiciones de carga es una parte importante del

análisis y diseño estructural de sistemas de ingeniería. Con frecuencia la deflexión máxima

permitida 𝛿𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 en una viga o barra prismática es definida en términos del tramo 𝐿 de

la viga.

El índice de deflexión es definido como 𝑓 = 𝛿/𝐿. El valor permisible de 𝑓 es

aproximadamente 1/240 para un amplio rango de aplicaciones en ingeniería. Este pequeño

desplazamiento con respecto al tramo 𝐿 de la barra significa que la pendiente de la curva

de deflexión es también pequeña.

En ocasiones las deflexiones se calculan con el fin de verificar que estén dentro de los

límites tolerables y así evitar dificultades en el servicio, como en el caso de máquinas y sus

componentes, las especificaciones pueden limitar las deflexiones a fin de evitar vibraciones

indeseables, desajustes o interferencias de partes móviles.

En un sistema coordenado 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 , el desplazamiento o deflexión de una barra ubicada

en el plano 𝑥 − 𝑦, con sección transversal ubicada en un plano normal (𝑦 − 𝑧) es 𝑣(𝑥), la

forma flexionada describe como el eje neutro se deflexiona con respecto a 𝑥. La función

𝑣(𝑥) es también conocida como la curva elástica; es la deflexión elástica de la barra (la

cedencia no ocurre).

De la geometría analítica, la expresión para el radio de curvatura 𝑅 que varía con respecto

a la deflexión 𝑣(𝑥) se tiene la siguiente expresión:

𝜅 =1

𝑅(𝑥)= [

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2] [1 + (

𝑑𝑣

𝑑𝑥)2

]

−32

(2.41)


En problemas prácticos, la pendiente 𝑑𝑣/𝑑𝑥 es mucho más pequeño que la unidad (el

desplazamiento permisible es típicamente menor que el tramo 𝐿 dividida por 240). Por lo

que el segundo corchete de la ecuación se reduce a 1, por lo que:

𝜅 =1

𝑅(𝑥)=𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 (2.42)

Esta ecuación es válida para una barra de cualquier material, y si es linealmente elástico,

sigue la ley de Hooke por lo que queda:

𝜅 =1

𝑅(𝑥)=𝑀

𝐸𝐼 (2.43)

Al combinar las ecuaciones (2.42) y (2.43) se obtiene la ecuación diferencial básica de

la curva de deflexión de una barra [2.5]:

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2=𝑀

𝐸𝐼 (2.44)

Esta ecuación se puede integrar en cada caso particular (condiciones de frontera

geométricos de la barra o viga) para encontrar la deflexión, siempre que se conozcan el

momento flexionante 𝑀 y la rigidez a la flexión 𝐸𝐼 como funciones de 𝑥.

A partir de las relaciones entre el momento flexionante 𝑀, la fuerza cortante 𝑉 y la

intensidad 𝑞 de la carga distribuida, se pueden obtener ecuaciones adicionales para vigas

prismáticas.

𝐸𝐼𝑑2𝑣

𝑑𝑥2= 𝑀; 𝐸𝐼

𝑑3𝑣

𝑑𝑥3= 𝑉; 𝐸𝐼

𝑑4𝑣

𝑑𝑥4= −𝑞 (2.45)


2.5. Pandeo.

Cuando una estructura esbelta es cargada en compresión, para pequeñas cargas se deforma

sin casi ningún cambio notable en la geometría y en su capacidad de carga. Conforme la

carga va en aumento se alcanza una condición de equilibrio neutro, en la que la estructura

puede tener una forma flexionada, a este valor de carga se le conoce como carga crítica 𝑃𝑐𝑟,

cuando este valor es superado, la estructura experimenta una gran deformación súbita

(flexión lateral) y por lo cual puede perder la capacidad de soportar la carga. A esta punto,

la estructura se considera que se ha pandeo.

El pandeo, también conocido como inestabilidad estructural se define como la pérdida de

estabilidad de una configuración de equilibrio, sin fractura o separación de material o al

menos antes de que ocurra.

2.5.1. Importancia de la carga de pandeo.

El diseño de estructuras con frecuencia es basado en consideraciones de resistencia y

rigidez. La resistencia es definida como la habilidad de la estructura de soportar la carga,

mientras que la rigidez es la resistencia a la deformación (es decir, la estructura es lo

suficientemente rígida como para no deformarse más allá de los límites permisibles). Sin

embargo, una estructura puede volverse inestable mucho antes de que los criterios de

resistencia y rigidez sean violados.

Por lo tanto, la carga de pandeo gobierna el diseño antes de que el criterio por resistencia.

Por lo que el pandeo es una consideración importante en el diseño de una flecha,

especialmente cuando esta es delgada y ligera.

Para el pandeo de una columna ideal articulada con carga a compresión, la ecuación

diferencial de la curva de deflexión se obtiene a partir de la ecuación del momento

flexionante, por lo que se tiene [2.6]:


𝐸𝐼𝑑2𝑣

𝑑𝑥2+ 𝑃𝑣 = 0 (2.46)

Con la resolución de la ecuación diferencial (de segundo orden, homogénea, lineal y con

coeficientes constantes) podemos determinar el valor de la carga critica 𝑃𝑐𝑟 y la forma

flexionada de la columna en condición de pandeo.

El árbol de transmisión es considerado como una viga simplemente apoyada en sus

extremos para la mayoría de los casos de análisis, esto es debido a que en sus extremos se

le ensamblan horquillas (uniones cardán) que le permite tener cierto grado de libertad.

La carga crítica menor para una columna con los extremos articulados es:

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼

𝐿2 (2.47)

y la forma pandeada correspondiente:

𝑣 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑥

𝐿) (2.48)

La constante 𝐶1 representa la deflexión en el punto medio de la columna.

El esfuerzo crítico puede ser calculado al dividir la carga entre el área A de la sección

transversal:

𝜎𝑐𝑟 =𝑃𝑐𝑟𝐴=𝜋2𝐸𝐼

𝐴𝐿2 (2.49)

2.5.2. Pandeo de una flecha sometido a torsión.

En el caso de pandeo de una flecha cilíndrica de pared delgada bajo la acción de pares de

torsión T aplicada en los extremos, el esfuerzo cortante 𝜏 toma una gran importancia.


Para poder definir si la flecha es considerada larga, aplicamos la siguiente fórmula para el

caso de apoyos simpes en los extremos. En caso contrario, la flecha se considera de tamaño

corto o mediano [2.7]:

1

√1 − 𝜈2

𝐿2𝑡

(2 ∙ 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚)3 > 5.5 (2.50)

Para flechas largas, el torque de pandeo o torque crítico se calcula con la expresión:

𝑇𝑐𝑟 =𝜋 ∙ √2 ∙ 𝐸

3(1 − 𝜈2)3/4√𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝑡5 (2.51)

donde 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 es el radio promedio, t el espesor, L la longitud del árbol, E el módulo de

Young y 𝜈 la relación de Poisson.

Y para el cálculo del esfuerzo cortante crítico 𝜏𝑐𝑟 que se tiene durante el torque de pandeo

𝑇𝑐𝑟, de una flecha larga tenemos:

𝜏𝑐𝑟 =𝑇𝑐𝑟

2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚2 ∙ 𝑡=

𝐸

3 ∙ √2 ∙ (1 − 𝜈2)3/4∙ (

𝑡

𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚)

3/2

(2.52)

En flechas consideradas de tamaño corto o mediano el esfuerzo cortante crítico es:

𝜏𝑐𝑟 = 4.39𝐸

1 − 𝜈2𝑡2

𝐿2√1 + 0.0257(1 − 𝜈2)3/4 (

𝐿

√𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝑡)

3

(2.53)

La relación entre el torque crítico de pandeo y el esfuerzo cortante crítico resulta en:

𝑇𝑐𝑟 = 𝜏𝑐𝑟 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚2 (2.54)


2.6. Referencias.

[2.1] Hearn E. Mechanics of Materials 1, Third Edition, Butterworth-Heinemann 2000.

[2.2] Hartsuijker C, Welleman J. Engineering Mechanics Volume 2: Stresses, Strains,

Displacements, Springer 2007.

[2.3] Gere J, Goodno B, Mecánica de materiales, Séptima Edición, Cengage Learning

Editores 2009.

[2.4] Leckie F, J. D, Bello D. Strength and Stiffness of Engineering Systems, Springer 2009.

[2.5] Gross D, Hauger W, Schroder J, Wall W, Bonet J. Engineering Mechanics 2, Springer

2011.

[2.6] Shanley F. Mecánica de Materiales, McGraw-Hill 1971.

[2.7] Timoshenko S, Gere J. Theory of Elastic Stability, Second Edition, International

Student Edition, McGraw Hill 1963.

[2.8] 5 Cool Ways Ford Stripped Weight Out of the 2015 F-150’s Chassis [en línea].

Michigan, USA [fecha de consulta: 1 de Junio 2015]. Disponible en

http://blog.caranddriver.com/5-cool-ways-ford-stripped-weight-out-of-the-2015-f-

150s-chassis/. Car and Driver Hearst Communications, Inc.

http://www.caranddriver.com.

http://blog.caranddriver.com/5-cool-ways-ford-stripped-weight-out-of-the-2015-f-150s-chassis/

http://blog.caranddriver.com/5-cool-ways-ford-stripped-weight-out-of-the-2015-f-150s-chassis/

http://www.caranddriver.com/


Capítulo III. Vibraciones en el árbol de transmisión.

3.1. Problemas de vibración en el tren de transmisión.

La vibración es un fenómeno inevitable en la dinámica del automóvil. Al viajar, todos los

vehículos están sujetos a varias excitaciones dinámicas, estas vibraciones inducidas tienen

un número de efectos en el vehículo y sus ocupantes, que van desde la integridad de la

estructura a la percepción de comodidad así como en el rendimiento de la conducción.

Probablemente uno haya experimentado algún tipo de efecto de la vibración conforme un

auto incrementa su velocidad desde una posición en reposo hasta una velocidad crucero.

Conforme uno empieza con la aceleración se puede notar una ligera sacudida en los

asientos, quizá se note en el espejo retrovisor o en el volante. Conforme la velocidad va en

aumento la vibración o se detiene o disminuye progresivamente.

La vibración ha sido reconocida como el mayor problema en el tren de transmisión por lo

que ha sido por muchos años el tema de muchos análisis teóricos y experimentales con el

fin de poder controlarla y reducirla. Los problemas de vibración en automóviles, SUVs,

vans y camionetas ligeras no son fallas tan catastróficas como lo es en los camiones, sino

más bien tiene que ver con el peso, ruido e incomodidad de los pasajeros. La falla de los

componentes del tren de trasmisión aún puede ser un problema a altas velocidades, dado

que se alcanzan las frecuencias naturales del árbol de transmisión. GKN declara que, el

Mark VIII tiene una velocidad limitada a 128 mph debido a su largo árbol de transmisión,

sobrepasando este valor la flecha comienza a flexionarse y vibrar hasta destrozarse. Para

eliminar este problema, los automóviles europeos que alcanzan mayor velocidad

usualmente recurren al uso de un árbol de dos piezas conectados a un balero central.

Las principales fuentes de excitación provenientes del tren motriz y sus causas son [3.1]:

Motor: Ignición, ignición irregular, cambios de torque.

Embrague: Trepidación.


Amortiguador torsional: Cambios periódicos en los valores de amortiguamiento.

Caja de velocidades: Imprecisión en el paso de los engranes, cambio de engranaje.

Cigüeñal: Ángulo de flexión.

Neumáticos: Condiciones de superficie de contacto, alineación y balanceo.

Las vibraciones que se presentan en el árbol de transmisión son del tipo transversal y

torsional.

Vibración Transversal o Lateral. Es el resultado de una condición de desbalanceo actuando

en el árbol. Esta condición se da usualmente porque es imposible manufacturar un flecha

de sección circular con un valor de excentricidad 0, hacer coincidir el centro de masa con

el eje de rotación debido a la falta de homogeneidad en el material, suciedad o por

materiales ajenos sobre la flecha.

Vibración Torsional. Es la rápida fluctuación de la velocidad angular de la flecha respecto

a su eje de rotación. Como una máquina cambia de velocidades, el torque es aplicado al

árbol en una dirección u otra. Con frecuencia una máquina incrementa o reduce su

velocidad durante un periodo de tiempo. Debido a que este tipo de vibración implica

movimiento angular, el desplazamiento del cuerpo se mide en función de una coordenada

angular.

3.2. Vibración.

Los sistemas de ingeniería que poseen masa y elasticidad están capacitados para tener

movimiento relativo. Si el movimiento de estos sistemas se repite después de un

determinado intervalo de tiempo, el movimiento se conoce como vibración.

Por lo común un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energía potencial

(resorte o elasticidad), un medio para conservar energía cinética (masa o inercia) y un

medio por el cual la energía se pierde gradualmente (amortiguador). La vibración de un


sistema implica la transformación de su energía potencial en energía cinética y de ésta en

energía potencial, de manera alterna [3.2].

3.2.1. Sistemas discretos y continuos.

Los sistemas con una cantidad finita de grados de libertad se conocen como sistemas

discretos o de parámetro concentrado, y los que cuentan con una infinitud de grados de

libertad se conocen como sistemas continuos o distribuidos.

La mayor parte del tiempo, los sistemas continuos se representan de forma aproximada

como sistemas discretos y las soluciones se obtienen de una manera simple. Aun cuando

el tratamiento de un sistema como continuo da resultados exactos, el método analítico

disponible para ocuparse de los sistemas continuos se limita a una escasa selección de

problemas como vigas uniformes, variables esbeltas y placas delgadas. De ahí que la

mayoría de los sistemas prácticos se estudian tratándolos como masas concentradas finitas,

resortes y amortiguadores. Por lo común se obtienen resultados más precisos aumentando

la cantidad de masas, resortes y amortiguadores, es decir, aumentando la cantidad de grados

de libertad.

3.2.2. Tipos de vibración.

Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse en las siguientes categorías [3.3]:

Vibración libre. Se encuentra cuando un cuerpo es perturbado de su posición de equilibrio,

y se produce una vibración correspondiente. Sin embargo, no hay una fuerza externa de

larga duración que actúe en el sistema después de la perturbación inicial. La vibración libre

se observa como un decaimiento exponencial de la respuesta periódica a las condiciones

iniciales como se muestra en la figura 3.1. Este movimiento periódico ocurre a la frecuencia

natural del sistema (amortiguado).


Figura 3.1. Vibración libre [3.3]. La magnitud del movimiento oscilatorio decae con el

tiempo y la vibración periódica ocurre a la frecuencia natural.

Vibración forzada. En este caso, una excitación periódica continua se aplica al sistema.

Después de algunos transitorios iniciales el sistema alcanza el comportamiento en estado

estable. En estado estacionario, la respuesta del sistema asemeja a la función de la fuerza

y la frecuencia de vibración coincide con la frecuencia de la fuerza.

A diferencia de la vibración libre, donde la respuesta del sistema a las condiciones iniciales

es típicamente graficada como una función del tiempo, la vibración forzada a menudo es

descrita como una función de la frecuencia de la fuerza.

Figura 3.2. Vibración Forzada [3.3]. La resonancia es identificada donde la frecuencia de

la fuerza es igual a la frecuencia natural.


Vibración no amortiguada y amortiguada. Si no se pierde o disipa energía por fricción u

otra resistencia durante la oscilación, la vibración se conoce como vibración no

amortiguada. Sin embargo, si se pierde energía se llama vibración amortiguada. En muchos

sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede ser ignorada en

la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. Sin embargo, la consideración del

amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios

próximos a la resonancia.

3.2.3. Resonancia.

Una situación especial surge cuando la frecuencia de la fuerza de excitación es igual a la

frecuencia natural del sistema, cuando esto ocurre la amplitud de la vibración aumentará

indefinidamente y estará gobernada únicamente por la cantidad de amortiguamiento

presente en el sistema y se conoce como resonancia. Por lo tanto, la frecuencia natural del

sistema debe conocerse y escogerse con cuidado, con el fin de evitar los efectos desastrosos

producidos por una amplitud muy grande de vibración en resonancia.

3.2.4. Frecuencia y Periodo.

El periodo es el tiempo necesario para que un movimiento periódico se repita; la frecuencia

es el número de ciclos por unidad de tiempo.

Frecuencia natural es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre sin fricción,

mientras que frecuencia natural amortiguada es la frecuencia de un sistema que tiene

vibración libre con fricción.

3.2.5. Ecuación de movimiento.

Para eliminar los efectos perjudiciales de la mayor parte de las vibraciones, uno de los

medios consiste en hacer un completo estudio de la ecuación de movimiento del sistema

en cuestión. En primer lugar el sistema es idealizado en términos de masa, resorte


(elasticidad) y amortiguador (fricción). Entonces, la ecuación de movimiento expresa el

desplazamiento como una función del tiempo o también, la distancia entre cualquier

posición instantánea de la masa durante su movimiento y la posición de equilibrio. La

propiedad más importante de un sistema vibrante es la frecuencia natural, y es obtenida

con la ecuación de movimiento [3.4].

3.2.6. Vibración libre de un sistema traslacional no amortiguado.

Utilizando la segunda ley de movimiento de Newton se derivará la ecuación de movimiento

La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento (momento) de una masa es igual a

la fuerza que actúa en ella.

Si una masa 𝑚 se desplaza una distancia 𝑥(𝑡) cuando una fuerza resultante 𝐹(𝑡) actúa en

ella en la misma dirección, la segunda ley del movimiento da

𝐹(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡(𝑚

𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡) (3.1)

si la masa 𝑚 es constante

𝐹(𝑡) = 𝑚𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= 𝑚�̈� (3.2)

donde

�̈� =𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2 (3.3)

es la aceleración de la masa.

Para un cuerpo rígido sometido a movimiento de rotación, la ley de Newton da

𝑀(𝑡) = 𝐼𝑚�̈� (3.4)

𝑀 es el momento que actúa en el cuerpo, 𝜃 y �̈� = 𝑑2𝜃(𝑡)/𝑑𝑡2 son el desplazamiento

angular y aceleración angular resultantes, 𝐼𝑚 es el momento de inercia de masa.


Figura 3.3. Sistema masa resorte posición horizontal, un solo grado de libertad [3.2].

La ecuación de movimiento de un sistema traslacional de un solo grado de libertad y no

amortiguado en donde k es la constante del resorte resulta:

𝐹(𝑡) = −𝑘𝑥 = 𝑚�̈�; 𝑜 𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = 0; 𝑜 �̈� + (𝑘

𝑚)𝑥 = 0 (3.5)

Esta debe ser reconocida como la ecuación del movimiento armónico simple, cuya solución

es

𝑥 = 𝐴 cos𝜔𝑡 + 𝐵 sin𝜔𝑡 (3.6)

A y B son constantes que pueden ser encontradas considerando las condiciones iniciales,

𝜔 es la frecuencia circular del movimiento, t tiempo. Sustituyendo 3.6 en 3.5 obtenemos

−𝜔2(𝐴 cos𝜔𝑡 + 𝐵 sin𝜔𝑡) + (𝑘

𝑚) (𝐴 cos𝜔𝑡 + 𝐵 sin𝜔𝑡) = 0 (3.7)

Tomando en cuenta que (𝐴 cos𝜔𝑡 + 𝐵 sin𝜔𝑡) ≠ 0 (de otra manera no habría movimiento)

𝜔 = √𝑘

𝑚 𝑟𝑎𝑑

𝑠 (3.8)

La masa del cuerpo es importante, su peso no, así que para un sistema dado, 𝜔 es

independiente del campo gravitacional local. La frecuencia de vibración 𝑓, es

𝑓 =1

2𝜋√𝑘

𝑚 𝐻𝑧 (3.9)


3.2.7. Vibración libre de un sistema torsional no amortiguado.

La ecuación de movimiento angular es idéntica a la ecuación de movimiento traslacional

3.5, por lo que aplicando la segunda ley de movimiento de Newton queda:

𝐼𝑚�̈� + 𝑘𝑇𝜃 = 0 (3.10)

Figura 3.4. Modelo de un solo grado de libertad, vibración torsional.

Si el momento de inercia de masa 𝐼𝑚, el desplazamiento angular 𝜃 y la constante del resorte

torsional 𝑘𝑇, se reemplazan con la masa 𝑚, el desplazamiento 𝑥 y la constante de resorte

lineal 𝑘 respectivamente, la frecuencia circular natural del sistema torsional es

𝜔 = √𝑘𝑇𝐼𝑚 (3.11)

La frecuencia torsional está directamente relacionado a la rigidez torsional de la flecha

(𝑇/𝜙), por lo que puede ser presentado como [3.5] [3.6]:

𝑓𝑡 =1

2𝜋√𝐾

𝐼𝑚 𝐻𝑧 (3.12)


Donde 𝐾 es el índice de rigidez torsional, y es igual a la rigidez torsional 𝑘𝑇, 𝐼𝑚 el momento

de inercia de masa de la flecha.

𝐾 =𝑇

𝜙=𝐺𝐼𝑝

𝐿= 𝑘𝑇 (3.13)

3.3. Vibración lateral en vigas.

De la figura 3.5, 𝑀(𝑥, 𝑡) es el momento de flexión, 𝑉(𝑥, 𝑡) es la fuerza cortante, y 𝑓(𝑥, 𝑡)

es la fuerza externa por unidad de longitud de la viga. Como la fuerza de inercia que actúa

en el elemento de la viga es [3.2]

𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥𝜕2𝑤

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) (3.14)

Figura 3.5. Viga sometida a flexión.

la ecuación de movimiento producido por la fuerza en la dirección z da

−(𝑉 + 𝑑𝑉) + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑉 = 𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥𝜕2𝑤

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) (3.15)

𝜌 es la densidad de masa y 𝐴(𝑥) es el área de la sección transversal. La ecuación de

movimiento producido por el momento con respecto al eje y resulta


(𝑀 + 𝑑𝑀) − (𝑉 + 𝑑𝑉)𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑥

2−𝑀 = 0 (3.16)

y si, 𝑑𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑀 =

𝜕𝑀

𝜕𝑥𝑑𝑥

omitiendo las términos que implican las segundas potencias en 𝑑𝑥, las ecuaciones 3.15 y

3.16 se escriben como

−𝜕𝑉

𝜕𝑥(𝑥, 𝑡) + 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝜌𝐴(𝑥)

𝜕2𝑤

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) (3.17)

𝜕𝑀

𝜕𝑥(𝑥, 𝑡) − 𝑉(𝑥, 𝑡) = 0 (3.18)

Utilizando la relación 𝑉 = 𝜕𝑀/𝜕𝑥 de la ecuación 3.18, la ecuación 3.17 queda como

−𝜕2𝑀

𝜕𝑥2(𝑥, 𝑡) + 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝜌𝐴(𝑥)

𝜕2𝑤

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) (3.19)

De acuerdo con la teoría elemental de flexión de vigas (también conocida como teoría de

vigas delgadas o de Euler-Bernoulli), la relación entre el momento de flexión y la deflexión

se expresa de la siguiente forma

𝑀(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝐼(𝑥)𝜕2𝑤

𝜕𝑥2(𝑥, 𝑡) (3.20)

𝐸 es el módulo de elasticidad e 𝐼(𝑥) el momento de inercia de la sección transversal de la

viga con respecto al eje y. Insertando la ecuación 3.20 en 3.19 obtenemos la ecuación de

movimiento para la vibración lateral forzada de una viga no uniforme:

𝜕2

𝜕𝑥2[𝐸𝐼(𝑥)

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2(𝑥, 𝑡)] + 𝜌𝐴(𝑥)

𝜕2𝑤

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡) (3.21)

Para una viga con sección transversal uniforme, le ecuación anterior queda


𝐸𝐼𝜕4𝑤

𝑑𝑥4(𝑥, 𝑡) + 𝜌𝐴

𝜕2𝑤

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡) (3.22)

Para vibración libre, la fuerza de excitación es 𝑓(𝑥, 𝑡) = 0 por lo que la ecuación de

movimiento resulta en

𝑐2𝜕4𝑤

𝜕𝑥4(𝑥, 𝑡) +

𝜕2𝑤

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) = 0 (3.23)

donde

𝑐 = √𝐸𝐼

𝜌𝐴 (3.24)

3.3.1. Frecuencia natural de flexión.

Como la ecuación de movimiento implica una derivada de segundo orden con respecto al

tiempo y una derivada de cuarto orden con respecto a 𝑥, se requieren dos condiciones

iniciales y cuatro condiciones límite para determinar una solución única para 𝑤(𝑥, 𝑡). Los

valores de desplazamiento lateral y velocidad se suelen especificar como 𝑤0(𝑥) y �̇�0(𝑥)

en el instante 𝑡 = 0, de modo que las condiciones iniciales son

𝑤(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝑤0(𝑥) (3.25)

𝜕𝑤

𝜕𝑡(𝑥, 𝑡 = 0) = �̇�0(𝑥) (3.26)

La solución de vibración libre se determina con el método de separación de variables como

𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑊(𝑥)𝑇(𝑡) (3.27)

Sustituyendo la ecuación 3.27 en 3.23 y reacomodando términos se llega a


𝑐2

𝑊(𝑥)

𝑑4𝑊(𝑥)

𝑑𝑥4= −

1

𝑇(𝑡)

𝑑2𝑇(𝑡)

𝑑𝑡2= 𝑎 = 𝜔2 (3.28)

donde 𝑎 = 𝜔2 es una constante positiva, la ecuación 3.28 se puede reescribir como dos

ecuaciones:

𝑑4𝑊(𝑥)

𝑑𝑥4− 𝛽4𝑊(𝑥) = 0 (3.29)

𝑑2𝑇(𝑡)

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝑇(𝑡) = 0 (3.30)

donde

𝛽4 =𝜔2

𝑐2=𝜌𝐴𝜔2

𝐸𝐼 (3.31)

La solución para la ecuación 3.30 se puede expresar como

𝑇(𝑡) = 𝐴 cos𝜔𝑡 + 𝐵 sin𝜔𝑡 (3.32)

Donde A y B son constantes que se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales.

Para la ecuación 3.29, supongamos

𝑊(𝑥) = 𝐶𝑒𝑠𝑥 (3.33)

donde C y s son constantes, y derive la ecuación auxiliar como

𝑠4 − 𝛽4 = 0 (3.34)

Las raíces de esta ecuación son

𝑠1,2 = ±𝛽, 𝑠3,4 = ±𝑖𝛽 (3.35)

De aquí que la ecuación 3.29 sea

𝑊(𝑥) = 𝐶1𝑒𝛽𝑥 + 𝐶2𝑒

−𝛽𝑥 + 𝐶3𝑒𝑖𝛽𝑥 + 𝐶4𝑒

−𝑖𝛽𝑥 (3.36)


donde 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 𝑦 𝐶4 son constantes. La ecuación anterior también se expresa como

𝑊(𝑥) = 𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2 sin 𝛽𝑥 + 𝐶3 cosh𝛽𝑥 + 𝐶4 sinh 𝛽𝑥 (3.37)

o

𝑊(𝑥) = 𝐶1(cos 𝛽𝑥 + cosh𝛽𝑥) + 𝐶2(cos 𝛽𝑥 − cosh𝛽𝑥) + 𝐶3(sin𝛽𝑥 + sinh 𝛽𝑥)

+ 𝐶4(sin 𝛽𝑥 − sinh𝛽𝑥) (3.38)

donde 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 𝑦 𝐶4 en cada caso, son constantes diferentes.

Las constantes 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 𝑦 𝐶4 se determinan a partir de las condiciones límite. Las

frecuencias naturales de la viga se calculan según la ecuación 3.31 como

𝜔 = 𝛽2√𝐸𝐼

𝜌𝐴= (𝛽𝑙)2√

𝐸𝐼

𝜌𝐴𝑙4=(𝛽𝑙)2

𝑙2√𝐸𝐼

𝜌𝐴 (3.39)

La función 𝑊(𝑥) se conoce como modo normal o función característica de la viga y 𝜔 se

conoce como frecuencia natural de vibración. Para cualquier viga habrá una infinitud de

modos normales con una frecuencia natural asociada a cada modo normal. Las constantes

desconocidas 𝐶1 a 𝐶4 en la ecuación 3.37 o 3.38 y el valor de 𝛽 en la ecuación 3.39 se

pueden determinar a partir de las condiciones límite de la viga.

Para calcular la frecuencia natural del árbol de transmisión automotriz, las condiciones

límite que se presentan son el de articulaciones que proporcionan las crucetas a las

horquillas unidas al tubo, un comportamiento similar a la de una viga con ambos extremos

articulados.

Aparte del primer modo de vibración de la flecha, otros modos mayores de vibración

ocurren, por lo que se muestran los tres primeros en la figura 3.6.

Los primeros tres valores de 𝛽𝑛𝑙 se dan en la tabla 3.1, son específicamente para las

condiciones limite anteriormente mencionadas [3.7], [3.6].


Figura 3.6. 1er, 2do y 3er modo de vibración [3.9].

Tabla 3.1. Valores de 𝛽𝑛𝑙 para vigas con extremos articulados.

𝛽1𝑙 𝛽2𝑙 𝛽3𝑙

𝜋 2𝜋 3𝜋

Y para obtener el valor de la frecuencia en Hz, simplemente se hace la conversión de

unidades:

𝑓 =𝜔

2𝜋 𝐻𝑧 (3.40)

En 1887 Carl Gustav de Laval encontró que un rotor montado en una flecha flexible no

siempre se defeccionaba más y más de su eje de rotación conforme la velocidad aumentaba:

después de pasar una velocidad “crítica”, giraba con más suavidad así como la velocidad

incrementaba. Esta velocidad crítica debe ser pasaba lo más rápido posible o evitar que la

flecha alcance dicho valor para que no exista algún daño.

Por lo que para para obtener el valor de la velocidad en revoluciones por minuto (rpm),

unidad de uso frecuente en ingeniería para elementos rotativos, tenemos:

𝑁 = (𝐻𝑧) (60 𝑠𝑒𝑔

1 𝑚𝑖𝑛) = 𝑟𝑝𝑚 (3.41)


Por lo general, los fabricantes de árboles de trasmisión especifican sus productos en

unidades inglesas, por lo que la velocidad crítica VC en estas unidades está dada por la

ecuación estándar [3.8]:

𝑉𝐶 = 30𝜋√386.4𝐸(𝑑2

2 + 𝑑12)

16𝜌𝐿4 𝑟𝑝𝑚 (3.42)

Las unidades para la longitud 𝐿 y los diámetros exterior 𝑑2 e interior 𝑑1, deben ser dados

en pulgadas, el módulo de Young 𝐸 en 𝑝𝑠𝑖, y la densidad 𝜌 en 𝑙𝑏𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔3.

A fin de evitar las vibraciones, se debe mantener un margen de seguridad [3.9].

𝑁𝑚𝑎𝑥.𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = (0.75 𝑎 0.85) 𝑥 𝑁 𝑟𝑝𝑚 (3.43)

El rango de valor a elegir de 0.75 a 0.85 depende de la calidad en el balanceo de la flecha.

3.4 Vibración torsional de flechas.

Si un cuerpo rígido oscila con respecto a un eje de referencia específico, el movimiento

resultante se conoce como vibración torsional. En este caso, el desplazamiento del cuerpo

se mide en función de una coordenada angular.

Figura 3.7. Vibración torsional de una flecha.


La figura 3.7 representa una flecha no uniforme sometida a un par de torsión externo 𝑓(𝑥, 𝑡)

por longitud unitaria. Si 𝜃(𝑥, 𝑡) indica el ángulo de torsión de la sección transversal, la

relación entre la deflexión torsional y el momento de torsión 𝑀𝑡(𝑥, 𝑡) es

𝑀𝑡(𝑥, 𝑡) = 𝐺𝐼𝑝(𝑥)𝜕𝜃

𝜕𝑥(𝑥, 𝑡) (3.44)

Donde 𝐺 es el módulo de elasticidad en cortante, 𝐺𝐼𝑝(𝑥) la rigidez torsional, e 𝐼𝑝(𝑥) el

momento polar de inercia de la sección transversal en el caso de una sección circular. Si el

momento de inercia de masa de la flecha por longitud unitaria es 𝐼𝑚0, el par de torsión de

inercia que actúa en el elemento de longitud 𝑑𝑥 es

𝐼𝑚0𝑑𝑥𝜕2𝜃

𝜕𝑡2 (3.45)

Si un par de torsión externo 𝑓(𝑥, 𝑡) actúa en la flecha por unidad de longitud, la aplicación

de la segunda ley de Newton define la ecuación de movimiento:

(𝑀𝑡 + 𝑑𝑀𝑡) + 𝑓𝑑𝑥 −𝑀𝑡 = 𝐼𝑚0𝑑𝑥𝜕2𝜃

𝜕𝑡2 (3.46)

Expresando 𝑑𝑀𝑡 como

𝜕𝑀𝑡

𝜕𝑥𝑑𝑥

Utilizando la ecuación 3.44, se puede obtener la ecuación de vibración torsional forzada

para una flecha no uniforme:

𝜕

𝜕𝑥[𝐺𝐼𝑝(𝑥)

𝜕𝜃

𝜕𝑥(𝑥, 𝑡)] + 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐼𝑚0(𝑥)

𝜕2𝜃

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) (3.47)


Para una flecha uniforme, la ecuación se transforma en

𝐺𝐼𝑝𝜕2𝜃

𝜕𝑥2(𝑥, 𝑡) + 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐼𝑚0

𝜕2𝜃

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) (3.48)

y para el caso de vibración libre, se reduce a

𝑐2𝜕2𝜃

𝜕𝑥2(𝑥, 𝑡) =

𝜕2𝜃

𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) (3.49)

donde

𝑐 = √𝐺𝐼𝑝

𝐼𝑚0 (3.50)

Si a la flecha se le imprime un desplazamiento angular 𝜃0(𝑥) y una velocidad angular

�̇�0(𝑥) en el instante 𝑡 = 0, las condiciones iniciales se expresan como

𝜃(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝜃0(𝑥); 𝜕𝜃

𝜕𝑡(𝑥, 𝑡 = 0) = �̇�0(𝑥) (3.51)

La solución general de la ecuación 3.49 se expresa como

𝜃(𝑥, 𝑡) = (𝐴 cos𝜔𝑥

𝑐+ 𝐵 sin

𝜔𝑥

𝑥) (𝐶 cos𝜔𝑡 + 𝐷 sin𝜔𝑡) (3.52)


3.5 Referencias.

[3.1] 4th International Symposium. Torsional Vibrations in the Drive Train. Germany 1990.

[3.2] Rao S. Vibraciones Mecánicas, Quinta Edición, Pearson Educación, México 2012.

[3.3] Schmitz T, Smith K. Mechanical Vibrations: Modeling and Measurement. Springer

2012.

[3.4] Seto W. Vibraciones Mecánicas. McGraw-Hill 1970.

[3.5] Beards C.F. Engineering Vibration Analysis with Application to Control Systems.

Edward Arnold, A member of the Hodder Headline Group 1995.

[3.6] Beards C. F. Structural Vibration: Analysis and Damping. Arnold, A member of the

Hodder Headline Group 1996.

[3.7] Lalanne M, Berthier P, Der Hagopian J. Mechanical Vibrations for Engineers, John

Wiley & Sons Ltd 1984.

[3.8] Application Guidelines. Spicer Driveshaft Products, Dana Holding Corporation 2013.

[3.9] Seherr-Thoss HC, Schmelz F, Aucktor E. Universal Joints and Driveshafts, 2nd

Edition, Springer 2006.


Capítulo IV. Análisis de elemento finito.

4.1. Introducción.

El análisis de elemento finito (FEA por sus siglas en inglés), es una poderosa técnica

computacional usada para aproximar soluciones a una variedad de problemas de ingeniería

que tienen dominios complejos y sujetos a condiciones generales de frontera. Puede ser

usado para calcular esfuerzos, deformaciones, deflexiones, vibraciones, inestabilidad y

muchos otros fenómenos. El análisis de elemento finito se ha convertido en un paso

esencial en el diseño o el modelado de un fenómeno físico en diversas disciplinas de la

ingeniería y ciencias donde la solución analítica es difícil de obtener. Usa un procedimiento

numérico llamado el método del elemento finito (FEM por sus siglas en inglés), cuya idea

básica es dividir el dominio en varios subdominios llamados elementos finitos, o

simplemente elementos que están interconectados por puntos comunes de dos o más

elementos llamados puntos nodales o nodos [4.1]. Se aplican leyes físicas conocidas a cada

pequeño elemento, cada uno de los cuales por lo general tiene una geometría muy simple.

Una función continua de una variable de campo desconocida se aproxima utilizando

funciones lineales definidas por partes en cada subdominio. Las incógnitas son entonces

los valores discretos de la variable de campo en los nodos. A continuación, se siguen los

principios adecuados para establecer ecuaciones a los elementos, tras el cual los elementos

están conectados el uno al otro. Este proceso conduce a un conjunto de ecuaciones

algebraicas simultáneas lineales para todo el sistema que se puede resolver fácilmente para

obtener la variable de campo requerida.

4.1.1. Ventajas de usar el análisis de elemento finito.

El uso del método del elemento finito proporciona varias ventajas sobre los métodos

convencionales de resistencia de materiales y técnicas experimentales, muchas de las

cuales se enlistan:

Permite el fácil análisis de partes con geometrías irregulares.


Puede analizar piezas que están fabricadas de distintos tipos de materiales, debido a

que la ecuación de cada elemento es formulado separadamente.

Permite colocar cargas irregulares en la pieza que se está analizando.

Permite un número basto de ubicaciones para que la pieza pueda ser restringida.

Provee resultados de deflexiones y esfuerzos en toda la pieza.

Fácilmente permite cambios en el modelo para que diseños alternativos puedan ser

evaluados. Esto reduce el número de prototipos físicos que necesitan ser construidos.

4.1.2. Pasos básicos en el método del elemento finito.

Los pasos básicos involucrados en cualquier análisis de elemento finito consiste de los

siguientes [4.1] [4.2]:

Fase de Pre proceso.

1. Discretización del dominio en un número finito de subdominios (elementos).

2. Selección de funciones de interpolación.

3. Desarrollar las ecuaciones para el subdominio (matriz de un elemento).

4. Ensamblar las matrices de cada subdominio para obtener la matriz global de todo el

dominio.

5. Aplicar las condiciones de frontera, condiciones iniciales y cargas.

Fase de Solución.

6. Resolver un conjunto de ecuaciones lineales o no lineales de manera simultánea para

obtener valores nodales.

Fase de Pos proceso.

7. Obtener otra información importante. A este punto uno puede estar interesado en

valores de esfuerzos principales, etc.


En este proyecto, el análisis de elemento finito fue efectuado utilizando el software

comercial ANSYS Workbench Versión 15.0.

4.2. Método del elemento finito de una barra a tensión.

La barra a tensión es definida como un cuerpo prismático con un solo eje. Los nodos son

introducidos en ambos extremos de la barra a tensión, donde las fuerzas y desplazamientos

son positivos de la forma que lo muestra la figura 4.1a. El objetivo principal es el obtener

una relación de rigidez para este elemento en la forma

𝑭𝑒 = 𝒌𝑒 ∙ 𝒖𝑝

o

[𝐹1𝐹2]𝑒

= [∙ ∙∙ ∙] [

𝑢1𝑢2]. (4.1)

Con esta relación de rigidez el elemento barra puede ser integrado en una estructura.

Además, los desplazamientos, deformaciones unitarias y los esfuerzos dentro del elemento

son desconocidos. En primera instancia, se introduce un enfoque sencillo en el que la barra

es modelada como un resorte lineal (figura 4.1b).

Figura 4.1. Barra sometida a tensión axial. a) Elemento con nodos en sus extremos.

b) Modelado como un resorte lineal.

a)

b)


Esto es posible cuando

El área de la sección transversal A y

El módulo de elasticidad E

Son constantes a lo largo del eje del cuerpo. La rigidez axial de una barra a tensión puede

ser interpretada como una constante o rigidez de un resorte lineal debido a

𝐹

∆𝐿=𝐸𝐴

𝐿= 𝑘. (4.2)

Para la derivación de la relación de rigidez, el cual es requerida por el método del elemento

finito, se llevó a cabo un experimento mental. Si dentro del modelo del resorte al principio

solo la fuerza 𝐹2 está en vigor y la fuerza 𝐹1 está desvanecida, entonces la ecuación

𝐹2 = 𝑘∆𝑢 = 𝑘(𝑢2 − 𝑢1) (4.3)

describe la relación entre la fuerza del resorte y la variación en la longitud del resorte. Si

subsecuentemente solo la fuerza 𝐹1 toma efecto y la fuerza 𝐹2 se desvanece, la ecuación

𝐹1 = 𝑘∆𝑢 = 𝑘(𝑢1 − 𝑢2) (4.4)

describe la relación entre la fuerza del resorte y la variación en la longitud del resorte.

Ambas situaciones pueden ser superpuestas y resumidas en una forma compacta como la

matricial

[𝐹1𝐹2]𝑒

= [𝑘 −𝑘−𝑘 𝑘

] [𝑢1𝑢2]. (4.5)

Con eso la deseada relación de rigidez entre las fuerzas y deformaciones en los puntos

nodales es derivada.

Sin embargo la eficiencia de este modelo simple es limitada. Por lo que no se pueden hacer

declaraciones relacionadas con el desplazamiento, deformación unitaria y distribución de

esfuerzos en el interior. Por lo tanto, es necesario un modelo más elaborado.


Primero será descrita la distribución del desplazamiento 𝑢𝑒(𝑥) dentro de la barra a través

de las funciones de forma 𝑵(𝑥) y los desplazamientos 𝒖𝑝 en los nodos:

𝑢𝑒(𝑥) = 𝑵(𝑥)𝒖𝑝. (4.6)

En el caso más simple, la distribución del desplazamiento es aproximada linealmente para

la barra a tensión (Figura 4.2). Con el siguiente enfoque

Figura 4.2. Aproximación lineal de la distribución del desplazamiento en la barra a tensión.

𝑢𝑒(𝑥) = 𝛼1 + 𝛼2𝑥 (4.7)

los desplazamientos en los nodos

[𝑢1𝑢2] = [

1𝑥11𝑥2

] [𝛼1𝛼2] (4.8)

pueden ser descritos. Después de la eliminación de 𝛼𝑖 lo siguiente resulta para la

distribución del desplazamiento:

𝑢𝑒(𝑥) =𝑥2 − 𝑥

𝑥2 − 𝑥1𝑢1 +

𝑥 − 𝑥1𝑥2 − 𝑥1

𝑢2 (4.9)

o resumido

𝑢𝑒(𝑥) =1

𝐿(𝑥2 − 𝑥)𝑢1 +

1

𝐿(𝑥 − 𝑥1)𝑢2. (4.10)

Por esto las funciones de forma 𝑁1(𝑥) y 𝑁2(𝑥) pueden ser descritas con

Desplazamiento continuo

Aproximación


𝑁1(𝑥) =1

𝐿(𝑥2 − 𝑥) ; 𝑁2(𝑥) =

1

𝐿(𝑥 − 𝑥1). (4.11)

La distribución del desplazamiento en forma compacta resulta en:

𝑢𝑒(𝑥) = 𝑁1(𝑥)𝑢1 + 𝑁2(𝑥)𝑢2 = [𝑁1 𝑁2] [𝑢1𝑢2] = 𝑵(𝑥)𝒖𝑝. (4.12)

A través de las relaciones cinemáticas la distribución de la deformación unitaria resulta

휀𝑒(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥𝑢𝑒(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥𝑵(𝑥)𝒖𝑝 = 𝑩𝒖𝑝 (4.13)

y debido a la ecuación constitutiva la distribución de esfuerzo resulta en

𝜎𝑒(𝑥) = 𝐸휀𝑒(𝑥) = 𝐸𝑩𝒖𝑝, (4.14)

donde la matriz B es introducida para la derivación de las funciones de forma. Para la

aproximación lineal de la distribución del desplazamiento las derivadas de las funciones

de forma resultan en:

𝑑

𝑑𝑥𝑁1(𝑥) = −

1

𝐿,

𝑑

𝑑𝑥𝑁2(𝑥) =

1

𝐿 (4.15)

y por consiguiente la matriz B resulta en

𝐵 =1

𝐿[−1 1]. (4.16)

Para la deducción de la matriz de rigidez del elemento, la siguiente integral tiene que ser

evaluada


𝒌𝑒 ∫ 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑Ω.

Ω

(4.17)

La matriz de elasticidad D es representada sólo a través del módulo de elasticidad E. Por

lo tanto para la barra a tensión, la matriz de rigidez resulta en:

𝒌𝑒 = 𝐴𝐸∫1

𝐿[1−1]

𝐿

1

𝐿[−1 1]𝑑𝑥 =

𝐸𝐴

𝐿2𝐿 [

1 −1−1 1

]. (4.18)

En una forma compacta, la matriz de rigidez del elemento es:

𝒌𝑒 =𝐸𝐴

𝐿[1 −1−1 1

]. (4.19)

4.3. Método del elemento finito de una barra a torsión.

Primero se introducirá un enfoque sencillo en donde la barra sometida a torsión es

modelada como un resorte de torsión lineal.

Figura 4.3. Barra sometida a torsión Pura. a) Introducción de nodos en ambos extremos.

b) Modelado como resorte de torsión lineal.

𝜙1

𝜙2

𝜙1

𝜙2

a)

b)


Esto es posible solamente cuando la rigidez torsional 𝐺𝐼𝑝 es constante a lo largo del eje de

la barra. La ecuación de la rigidez deducida previamente en el capítulo II, la podemos

interpretar como una constante del resorte o la rigidez de un resorte de torsión lineal.

𝑘𝑇 =𝐺𝐼𝑝

𝐿 (4.20)

Para la deducción de la relación de rigidez que se requiere en el método del elemento finito,

se lleva a cabo el siguiente experimento imaginario. Si en un principio dentro del modelo

del resorte solo el par de torsión 𝑇2 está en vigor y 𝑇1 se desvanece, la siguiente ecuación

describe la relación entre el momento del resorte y el ángulo de torsión de las secciones

transversales de los extremos [4.3]

𝑇2 = 𝑘𝑇∆𝜙 = 𝑘𝑇(𝜙2 − 𝜙1) (4.21)

si subsecuentemente hacemos los mismo, pero ahora con 𝑇1

𝑇1 = 𝑘𝑇∆𝜙 = 𝑘𝑇(𝜙1 − 𝜙2) (4.22)

esta ecuación también describe la relación entre el momento del resorte y el ángulo de

torsión de las secciones transversales de los extremos. Ambas situaciones se pueden

superponer y resumirlos en una forma compacta como lo es la forma matricial

[𝑇1𝑇2]𝑒

= [𝑘𝑇 −𝑘𝑇−𝑘𝑇 𝑘𝑇

] [𝜙1𝜙2] (4.23)

o lo que es

𝑻𝑒 = 𝒌𝑒𝝓𝑝. (4.24)

Con esto se obtiene la deseada relación de rigidez entre los momentos torsionales y la

rotación en los puntos nodales.


La matriz de rigidez del elemento, para el método del elemento finito de una barra sometida

a torsión es:

𝒌𝑒 = 𝑘𝑇 [1 −1−1 1

] =𝐺𝐼𝑝

𝐿[1 −1−1 1

] (4.25)

y es similar a la matriz de rigidez de una barra a tensión. Las variables de campo en el

interior de los elementos son aproximados a través de los valores nodales y las funciones

de forma. El procedimiento es idéntico que para una barra a tensión desde el punto de vista

matemático.

La distribución del ángulo de rotación 𝜙𝑒(𝑥) (desplazamiento torsional o ángulo de

torsión) sobre el eje x de la barra es descrita a través de las funciones de forma 𝑵(𝑥) y las

rotaciones 𝝓𝑝 en los nodos de la siguiente manera:

𝜙𝑒(𝑥) = 𝑵(𝑥)𝝓𝑝 (4.26)

donde las funciones de forma son

𝑁1(𝑥) = 1 −𝑥

𝐿; 𝑁2(𝑥) =

𝑥

𝐿 (4.27)

y los desplazamientos torsionales: 𝜙1, 𝜙2

la distribución del desplazamiento torsional en forma compacta resulta en:

𝜙𝑒(𝑥) = 𝑁1(𝑥)𝜙1 + 𝑁2(𝑥)𝜙2 = [𝑁1 𝑁2] [𝜙1𝜙2] = 𝑵(𝑥)𝝓𝑝. (4.28)

A través de la relación cinemática entre la deformación cortante unitaria y el cambio en el

ángulo descrita en el capítulo II, tenemos


𝛾(𝑥) =𝑑𝑢𝜙

𝑑𝑥= 𝑟

𝑑𝜙(𝑥)

𝑑𝑥 (4.29)

la distribución de la deformación cortante unitaria

𝛾𝑒(𝑥) = 𝑟𝑑

𝑑𝑥𝜙𝑒(𝑥) = 𝑟

𝑑

𝑑𝑥𝑵(𝑥)𝝓𝑝 = 𝑟𝑩𝝓𝑝 (4.30)

la ecuación constitutiva describe la relación entre el esfuerzo cortante y la deformación

cortante unitaria

𝜏(𝑥) = 𝐺𝛾(𝑥) (4.31)

la distribución de esfuerzo cortante resulta en

𝜏𝑒(𝑥) = 𝐺𝛾𝑒(𝑥) = 𝐺(𝑟𝑩𝝓𝑝). (4.32)

A partir de ahora, la matriz B contiene las derivadas de las funciones de forma

multiplicadas por r

𝑩 = [−𝑟

𝐿

𝑟

𝐿]. (4.33)

Para la deducción de la matriz de rigidez del elemento, la misma integral de la ecuación

(4.17) tiene que ser evaluada

𝒌𝑒 ∫ 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑Ω.

Ω

La matriz de elasticidad D es representada sólo a través del módulo de elasticidad en

cortante G, y tomando en cuenta que 𝑑Ω = 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝐴


𝑘𝑒 = 𝐺 ∫ 𝑟 [−1

𝐿1

𝐿

]

Ω

𝑟 [−1

𝐿

1

𝐿] 𝑑Ω (4.34)

Multiplicando las matrices y las constantes r resulta

𝑘𝑒 = 𝐺∫[

1

𝐿2−1

𝐿2

−1

𝐿21

𝐿2

]

𝐿

0

𝑑𝑥 ∫ 𝑟2𝑑𝐴

𝐴

(4.35)

evaluando las integrales

𝑘𝑒 = 𝐺1

𝐿2𝐿 [

1 −1−1 1

] 𝐼𝑝 (4.36)

por lo tanto para la barra a torsión, la matriz de rigidez resulta en:

𝑘𝑒 =𝐺𝐼𝑝

𝐿[1 −1−1 1

]. (4.37)

4.3.1. Método del elemento finito para una barra sólida sometida a torsión cuya

sección no es circular.

Para calcular los esfuerzos cortantes en una barra cuya sección recta no es circular, sujeta

a un momento de torsión T alrededor del eje z, se parte de la ecuación.

∇̅2𝜙 = −2𝐺𝜃 𝑒𝑛 Ω (4.38)

𝜙|𝜕Ω = 0 (4.39)

Los esfuerzos cortantes sobre el plano x -y vienen dados por


Figura 4.4. Barra con sección recta constante no circular.

𝜏𝑧𝑥 =𝜕𝜙

𝜕𝑦; 𝜏𝑧𝑦 = −

𝜕𝜙

𝜕𝑥 (4.40)

El momento de torsión de la barra viene dado por

𝑇 =∑∫ 2𝜙𝑒𝑑Ω

Ω

𝐸

𝑒=1

(4.41)

La funcional para la ecuación que gobierna el fenómeno bajo las condiciones de frontera

dadas

𝐼[𝜙] = ∫ {1

2[(𝜕𝜙

𝜕𝑥)2

+ (𝜕𝜙

𝜕𝑦)2

] − 2𝐺𝜃𝜙} 𝑑Ω

Ω

(4.42)

que en forma matricial

𝐼[𝜙] = ∫ [1

2{𝑔}𝑇[𝐷]{𝑔} − 2𝐺𝜃[𝑁]{𝜙}]

Ω

𝑑Ω

= ∫1

2{𝜙}𝑇[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]{𝜙}𝑑Ω − ∫ 2𝐺𝜃[𝑁]{𝜙}𝑑Ω

ΩΩ

(4.43)

Donde

y

z

x

Ω


{𝑔} =

{

𝜕𝜙

𝜕𝑥𝜕𝜙

𝜕𝑦}

=

[ 𝜕𝑁1𝜕𝑥

…𝜕𝑁𝑝

𝜕𝑥𝜕𝑁1𝜕𝑦

…𝜕𝑁𝑝

𝜕𝑦 ]

{

𝜙1⋮𝜙𝑝

} (4.44)

“p” es el número de nodos en la malla

[𝐵] =

[ 𝜕𝑁1𝜕𝑥

…𝜕𝑁𝑝

𝜕𝑥𝜕𝑁1𝜕𝑦

…𝜕𝑁𝑝

𝜕𝑦 ]

(4.45)

la cual es conocida como la matriz gradiente.

Así mismo [D] es la matriz de las propiedades del material que para este caso es la matriz

identidad.

Ahora bien, si Ω se ha dividido en E elementos finitos, de tal manera que

Ω̃ =E

eU

1∆𝑒 (4.46)

es la región aproximada. Entonces la funcional local 𝐼[𝜙𝑒] definida para cada elemento

con r nodos es

𝐼𝑒 = 𝐼[𝜙𝑒] = ∫1

2{𝜙}𝑇[𝐵𝑒]𝑇[𝐷𝑒][𝐵𝑒]{𝜙}𝑇𝑑Ω

Δ𝑒

− ∫ 2𝐺𝜃[𝑁𝑒]{𝜙}𝑑Ω

Δ𝑒

(4.47)

derivando e igualando a cero se tiene:

𝜕𝐼𝑒

𝜕{𝜙}= ∫[𝐵𝑒]𝑇[𝐷𝑒][𝐵𝑒]{𝜙}𝑑Ω

Δ𝑒

− ∫ 2𝐺𝜃[𝑁𝑒]𝑑Ω

Δ𝑒

= 0 (4.48)

considerando

[𝑘𝑒]{𝜙} = {𝑓𝑒} (4.49)


La matriz de rigidez es

[𝑘𝑒] = ∫[𝐵𝑒]𝑇[𝐷𝑒][𝐵𝑒]𝑑Ω

∆𝑒

(4.50)

Paralelamente, el vector fuerza es

[𝑓𝑒] = ∫ 2𝐺𝜃[𝑁𝑒]𝑑Ω

Δ𝑒

(4.51)

De esta manera llamando a

[𝐾] =∑[𝑘𝑒]

𝐸

𝑒=1

𝑦 {𝑓} =∑[𝑓𝑒]

𝐸

𝑒=1

(4.52)

El ensamble de las matrices es

(𝐾){𝜙} = {𝑓} (4.53)

El cual es el sistema algebraico final que hay que resolver para encontrar los valores

nodales.

4.4. Análisis modal.

Cuando un cuerpo o sistema elástico libre de fuerzas externas es perturbado de su posición

de equilibrio, vibra bajo la influencia de fuerzas inherentes y se dice que está en estado de

vibración libre. El cuerpo vibrará a su frecuencia natural y su amplitud disminuirá

gradualmente con el tiempo debido a la disipación de la energía por el movimiento. Las


frecuencias y modos naturales son parámetros importantes en el diseño de árboles de

transmisión para condiciones de cargas dinámicas.

El análisis modal es utilizado para determinar las características de la vibración libre

(frecuencias y modos naturales) de una estructura o componente de máquina mientras están

en la etapa de diseño. También se puede utilizar como punto de partida para otros análisis

dinámicos más detallados.

La velocidad de rotación está limitada por consideraciones de estabilidad lateral. La

mayoría de los diseños son sub críticos, es decir, la velocidad de rotación debe ser más bajo

que la primera frecuencia natural en flexión del árbol de transmisión. La frecuencia natural

depende de los siguientes parámetros de la flecha, diámetro, espesor, módulo de elasticidad

específico y la longitud.

Se dice que hay dos métodos para el análisis modal. Uno es el análisis teórico y el otro es

el método del elemento finito (MEF). El análisis teórico por lo general se utiliza para

formas simples de un cuerpo elástico, como las barras rectas y placas planas, pero el

análisis teórico no puede darnos el modo de vibración para una forma compleja de un

cuerpo elástico. El MEF puede obtener el modo de vibración para ello.

4.4.1. Vibración libre y no amortiguada.

La ecuación matricial que se resuelve en un análisis dinámico es:

[𝑴]{�̈�} + [𝑪]{�̇�} + [𝑲]{𝑫} = {𝑭} (4.54)

Donde:

{𝐷} Es el vector de los desplazamientos nodales;

{𝐹} Es el vector de las fuerzas externas nodales;

[𝑀] Es la matriz de masa; [𝑀]{�̈�} llamada fuerza de inercia.

[𝐶] Es la matriz de amortiguamiento; [𝐶]{�̇�} Conocida como fuerza de amortiguamiento.

[𝐾] Es la matriz de rigidez; [𝐾]{𝐷} Como fuerza elástica.


Para componentes o estructuras con bajo amortiguamiento como lo son las flechas, son

considerados como sistemas no amortiguados, y con la ausencia de fuerzas externas por

ser vibración libre la ecuación matricial toma la siguiente forma [4.4] [4.5]:

[𝑴]{�̈�} + [𝑲]{𝑫} = 𝟎 (4.55)

La solución para el problema de vibración libre puede ser asumida como:

𝐷(𝑡) = Φ𝑒𝑖𝜔𝑡 (4.56)

Donde Φ es la amplitud del desplazamiento nodal, 𝑖 = √−1 es el número imaginario

estándar, 𝜔 es la frecuencia de la vibración libre y 𝑡 es el tiempo.

Diferenciando dos veces a 𝐷 con respecto del tiempo, obtenemos:

�̈�(𝑡) = Φ(−𝜔2)𝑒𝑖𝜔𝑡 (4.57)

Sustituyendo la ecuación 4.57 y 4.56 en 4.55, resulta:

−[𝑀]𝜔2Φ𝑒𝑖𝜔𝑡 + [𝐾]Φ𝑒𝑖𝜔𝑡 = 0 (4.58)

Combinando términos se obtiene:

𝑒𝑖𝜔𝑡([𝐾] − 𝜔2[𝑀])Φ = 0 (4.59)

Y como 𝑒𝑖𝜔𝑡 no es cero

([𝐾] − 𝜔2[𝑀])Φ = 0 (4.60)

o

([𝐾] − 𝜆[𝑀])Φ = 0 (4.61) Donde 𝜆 = 𝜔2


Por lo que la ecuación 4.60 o 4.61 es un conjunto de ecuaciones lineales homogéneas en

términos de la amplitud del desplazamiento nodal y es llamada la ecuación de valor propio

(eigenvalue). Por lo tanto la ecuación tiene una solución no trivial si y sólo si el

determinante de la matriz coeficiente de Φ es cero, es decir, debemos tener

det[[𝐾] − 𝜆[𝑀]] = |[𝐾] − 𝜆[𝑀]| = 0 (4.62)

La expansión de la ecuación anterior dará lugar a un polinomio de 𝜆 de orden N. Esta

ecuación polinómica tendrá N raíces, 𝜆1,𝜆2,… , 𝜆𝑁, llamados valores propios, que se refiere

a la frecuencia natural del sistema.

Sustituyendo un valor propio 𝜆𝑖 en la ecuación 4.61 de valor propio, obtenemos:

([𝐾] − 𝜆𝑖[𝑀])Φ = 0 (4.63)

El cual es un conjunto de ecuaciones algebraicas. Resolviendo la ecuación anterior para Φ,

se obtiene un vector Φ𝑖. Este vector correspondiente al i-ésimo valor propio 𝜆𝑖 es llamado

el i-ésimo vector propio (eigenvector) que satisface la siguiente ecuación:

([𝐾] − 𝜆𝑖[𝑀])Φ𝑖 = 0 (4.64)

Un vector propio Φ𝑖 corresponde a un modo de vibración que da la forma de vibración de

la estructura de su i-ésimo modo. Por ello, el análisis de la ecuación de valor propio también

proporciona información muy importante sobre posibles modos de vibración

experimentados en la estructura cuando se somete a vibración. Los modos de vibración del

árbol de transmisión son por lo tanto otra importante característica del árbol.

Matemáticamente, los vectores propios se pueden utilizar para construir los campos de

desplazamientos. Se ha encontrado que el uso de algunos de los modos más bajos puede

obtener resultados muy precisos para varios problemas de ingeniería.


4.5. Análisis de pandeo.

El análisis de pandeo o estabilidad es una técnica usada para determinar las cargas de

pandeo (cargas críticas en el que una estructura se vuelve inestable) y las formas pandeadas

(La forma característica asociada con la respuesta de pandeo de una estructura).

4.5.1. Tipos de análisis de pandeo.

Existen dos técnicas disponibles en ANSYS para predecir la carga crítica de pandeo y la

respectiva forma pandeada de una estructura [4.6]: análisis de pandeo no lineal, y análisis

de pandeo lineal o análisis de pandeo de valor propio (eigenvalue). Debido a que los dos

métodos pueden mostrar resultados dramáticamente diferentes, es necesario primero

entender la diferencia entre ellos.

4.5.1.1. Análisis de pandeo no lineal.

Es usualmente el enfoque con mayor precisión y es por lo tanto el recomendado para el

diseño o evaluación de estructuras actuales. Esta técnica emplea un análisis estático no

lineal con el incremento gradual de la carga para encontrar el nivel de carga a la que la

estructura se vuelve inestable.

Usando la técnica no lineal, el modelo puede incluir características tales como

imperfecciones iniciales, comportamiento plástico, vacíos, y respuesta a grandes

deflexiones.

4.5.1.2. Análisis de pandeo valor propio (Eigenvalue).

Este análisis predice la resistencia al pandeo teórico (el punto de bifurcación) de una

estructura elástica lineal ideal descrita en el capítulo II. Este método corresponde al

enfoque dado en los libros de texto sobre análisis de pandeo elástico. Es decir, un análisis

de pandeo de valor propio de una columna coincidirá con la solución clásica de Euler. Sin


embargo, las imperfecciones y no linealidades impiden que las estructuras del mundo real

alcancen su valor teórico de la resistencia al pandeo elástico. En consecuencia, este análisis

a menudo produce resultados poco conservadores, y generalmente no debería de ser usado

para análisis de ingeniería del día a día.

A pesar de que tiende a sobre estimar la carga de pandeo y se desvía de la realidad, el

análisis de pandeo lineal es aun útil por dos razones [4.7]: Primera, es computacionalmente

mucho más barato que un análisis de pandeo no lineal, y debe ser simulado como un primer

paso para estimar el valor de la carga de pandeo. Y segundo, puede ser usado para

determinar las posibles formas de pandeo.


4.6. Referencias.

[4.1] Madenci E, Guven I. The Finite Element Method and Applications in Engineering

Using ANSYS. Second Edition, Springer 2015.

[4.2] Moaveni S. Finite Element Analysis: Theory and Application with ANSYS. Third

Edition, Pearson Prentice Hall 2008.

[4.3] Öchsner A, Merkel M. One-Dimensional Finite Elements. Springer 2013.

[4.4] Liu G, Quek S. The Finite Element Method: A Practical Course. Butterworth-

Heinemann Elsevier Science Ltd 2003.

[4.5] Logan D. A First Course in the Finite Element Method. Fourth Edition, Thomson 2007.

[4.6] Structural Analysis Guide. Ansys, Inc. Release 15 2013.

[4.7] Huang Lee H. Finite Element Simulation with ANSYS Workbench 14. SDC

Publications 2012.

[4.8] Fish J, Belytschko T. A First Course in Finite Elements. John Wiley & Sons Ltd 2007.


Capítulo V. Simulación numérica y análisis de resultados.

5.1. Diseño del árbol de transmisión automotriz.

Para el diseño y fabricación de árboles de transmisión se utiliza una gran variedad de aceros

y aleaciones de aluminio, para el presente estudio se utilizó el acero SM45C y el aluminio

6061-T6.

El análisis es para una flecha típica de camioneta, los valores de diseño así como las

propiedades mecánicas de los materiales se concentran en la tabla 5.1.

Tabla No. 5.1. Datos para el diseño de un árbol de transmisión.

Material Aluminio 6061-T6 Acero SM45C

Módulo de Elasticidad, E (GPa) 72.0 207.0

Módulo Cortante, G (GPa) 27.0 80.0

Relación de Poisson, 𝜐 0.33 0.3

Densidad, 𝜌 (𝑘𝑔/𝑚3) 2700 7600

Resistencia a la Fluencia, 𝑆𝑦

(MPa) 270 370

Resistencia al Corte, 𝑆𝑠 (MPa) 200 -

Diámetro Exterior 𝑑2 [m] 0.0762 0.0762

Diámetro Interior 𝑑1 [m] 0.06985 0.06985

Espesor t [m] 0.003175 0.003175

Radio Promedio 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 [m] 0.0365125 0.0365125

Longitud del árbol [m] 1.442 1.442


5.2. Obtención de las frecuencias naturales sin considerar geometría de horquillas.

Las fórmulas que nos proporcionan los fabricantes y las que encontramos en la literatura

de resistencia de materiales para el cálculo de la frecuencia natural, simplifican la

geometría de la flecha de transmisión considerándola como una barra de sección

transversal constante, cuya longitud L es la distancia entre los centros de los barrenos que

se localizan en las horquillas.

5.2.1. Método por fórmula de resistencia de materiales.

𝜔 =(𝑛𝜋)2

𝐿2√𝐸𝐼

𝜌𝐴= 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Utilizando Acero.

Área: 𝐴 = 𝜋(𝑟22 − 𝑟1

2) = 𝜋(0.03812 − 0.0349252) = 7.2839𝑥10−4 𝑚2

Segundo momento de área:

𝐼 =𝜋(𝑑2

4 − 𝑑14)

64= 𝜋

(0.07624 − 0.069854)

64= 4.8645𝑥10−7 𝑚4

Rigidez axial: 𝐸𝐼 = (207𝑥109)(4.8645𝑥10−7) = 100695.15 𝑁 − 𝑚2

Densidad por área:

𝜌𝐴 = (7600𝑘𝑔

𝑚3) (7.2839𝑥10−4 𝑚2) = 5.5357 𝑘𝑔/𝑚

√𝐸𝐼

𝜌𝐴= √

100695.15

5.5357= 134.87 𝑚2/𝑠

Para el primer valor de la frecuencia natural 𝑛 = 1


𝜔1 = (9.8696

2.0793 𝑚2) (134.87

𝑚2

𝑠) = 640.17 𝑅𝑎𝑑/𝑠

𝑓1 =𝜔

2𝜋=640.17

2𝜋= 101.88 𝐻𝑧

Primera velocidad crítica

𝑁1 = (𝐻𝑧) (60 𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑖𝑛) = 6112.8 𝑟𝑝𝑚.

Para el segundo valor de la frecuencia natural 𝑛 = 2

𝜔2 = (39.478

2.0793 𝑚2) (134.87

𝑚2

𝑠) = 2560.66 𝑅𝑎𝑑/𝑠

𝑓2 = 407.54 𝐻𝑧

El tercer valor de la frecuencia natural 𝑛 = 3

𝜔3 = (88.826

2.0793 𝑚2) (134.87

𝑚2

𝑠) = 5761.56 𝑅𝑎𝑑/𝑠

𝑓3 = 916.98 𝐻𝑧

Utilizando aluminio

Área: 𝐴 = 𝜋(𝑟22 − 𝑟1

2) = 𝜋(0.03812 − 0.0349252) = 7.2839𝑥10−4 𝑚2

Segundo momento de área.

𝐼 =𝜋(𝑑2

4 − 𝑑14)

64= 𝜋

(0.07624 − 0.069854)

64= 4.8645𝑥10−7 𝑚4

Rigidez axial: 𝐸𝐼 = (72𝑥109)(4.8645𝑥10−7) = 35024.42 𝑁 − 𝑚2


Densidad por área

𝜌𝐴 = (2700𝑘𝑔

𝑚3) (7.2839𝑥10−4 𝑚2) = 1.9666 𝑘𝑔/𝑚

√𝐸𝐼

𝜌𝐴= √

35024.42

1.9666= 133.452 𝑚2/𝑠

Para el primer valor de la frecuencia natural 𝑛 = 1

𝜔1 = (9.8696

2.0793 𝑚2)(133.452

𝑚2

𝑠) = 633.44 𝑅𝑎𝑑/𝑠

𝑓1 =𝜔

2𝜋=633.44

2𝜋= 100.81 𝐻𝑧

Primera velocidad crítica

𝑁1 = (𝐻𝑧) (60 𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑖𝑛) = 6048.6 𝑟𝑝𝑚.

Para el segundo valor de la frecuencia natural 𝑛 = 2

𝜔2 = (39.478

2.0793 𝑚2) (133.452

𝑚2

𝑠) = 2533.74 𝑅𝑎𝑑/𝑠

𝑓2 = 403.25 𝐻𝑧

El tercer valor de la frecuencia natural 𝑛 = 3

𝜔3 = (88.826

2.0793 𝑚2) (133.452

𝑚2

𝑠) = 5700.96 𝑅𝑎𝑑/𝑠

𝑓3 = 907.33 𝐻𝑧


5.2.2. Empleando el análisis de elemento finito.

La flecha fue modelada como un cuerpo sólido utilizando el software comercial solidworks

2013 como se muestra en la figura 5.1, para posteriormente ser exportado a ANSYS

workbench, el árbol de transmisión fue modelado en su totalidad como una sección tubular

uniforme, se considera como la longitud total del cuerpo la distancia entre los centros de

los barrenos de las horquillas unidas en las terminales.

Figura 5.1. Modelo idealizado del árbol de transmisión.

Las condiciones de frontera impuestas en las terminales del modelo simulan la condición

de articulación en los extremos (apoyo simple). Debido a que no se requieren valores de

esfuerzos y deformaciones en un análisis modal, no se necesita de una densidad de malla

fina.

Figura 5.2. Condiciones de frontera y mallado del árbol.

El tipo de elemento que se utilizó fue SOLID 186, para cuerpos sólidos tridimensionales,

elemento hexaédrico que cuenta con veinte nodos y cada uno de ellos con tres grados

traslacionales de libertad.

Figura 5.3. Elemento SOLID 186.


5.2.3. Comparación de resultados.

Tabla 5.2. Comparación de valores calculados por teoría de resistencia de materiales.

Los valores mostrados en la tabla 5.2, fueron obtenidos con base a los valores mostrados

en la tabla 5.1.

A pesar de tener menor rigidez axial, el aluminio tiene una velocidad máxima similar al

acero.

Tabla 5.3. Comparación en porcentajes.

En la comparación de porcentajes, se considera como base el aluminio para poder ponderar

los valores del acero.

Los cálculos teóricos muestran que el acero pesa casi 3 veces más que el aluminio, sin

embargo la velocidad crítica solo es 1 % mayor en el acero.


Tabla 5.4. Comparación de valores calculados Aluminio 6061-T6.

La aproximación por el método del elemento finito (MEF) es considerado bueno, la

diferencia en porcentaje es aceptable.

Figura 5.4. Gráfica comparativa de las 3 primeras frecuencias naturales del Al. 6061-T6.

Los valores de frecuencia obtenidos utilizando el análisis de elemento finito muestran una

buena aproximación comparados con los valores teóricos para el mismo material conforme

a los datos de la tabla 5.4, la diferencia porcentual mayor que se obtuvo fue del 7 % que

sucedió en la tercera frecuencia.


Figura 5.5. Gráfica comparativa de valores obtenidos por MEF de las 3 primeras

frecuencias naturales del acero y aluminio.


5.2.4. Formas modales obtenidas.

Los valores mostrados son del 6061-T6, las formas modales son idénticas en el SM45C.

Figura 5.6. Primer modo de vibración.

Figura 5.7. Segundo modo de vibración.

Figura 5.8. Tercer modo de vibración.

99.919 Hz

389.64 Hz

843.03 Hz


5.3. Obtención de las frecuencias naturales considerando geometría de horquillas.

Para un análisis más completo y con mayor apego a la realidad, el árbol de transmisión es

modelado con las horquillas en sus terminales. La longitud de la flecha es siempre tomada

de centro a centro de los barrenos de los extremos.

5.3.1. Empleando el análisis de elemento finito.

Debido a la complejidad en la geometría de las horquillas, obtener las frecuencias naturales

de manera analítica representaría un trabajo extenso e incluso infructuoso. Estos son los

casos donde el método del elemento finito muestra sus ventajas, y el porqué de su

preferencia en los análisis de ingeniería.

Figura 5.9. Modelo CAD del árbol de transmisión con horquillas en sus extremos.

Las condiciones de frontera impuestas al modelo son similares al caso anterior respecto a

la libertad de movimiento de la flecha, solamente que las restricciones para este caso se da

en las superficies de los barrenos, sólo se permite el movimiento tangencial, el movimiento

radial y axial están fijos (soporte tipo cilíndrico).

Figura 5.10. Condiciones de frontera y mallado del árbol con horquillas en los extremos.


Figura 5.11. Degeneración del elemento SOLID 186.

Gracias a la capacidad de degeneración del elemento, se pueden observar diferentes formas

de elementos mezclados en un dominio con geometría irregular, como es nuestro caso.

La unión entre las horquillas y el tubo del árbol es considerada como una conexión fija.

Las crucetas son excluidas del análisis, su presencia en el modelo es simplemente para dar

una mejor idea del tipo de restricción que se necesita y al mismo tiempo ilustrar de una

forma más real el fenómeno.


Figura 5.12. Gráfica comparativa del acero y aluminio de sus primeros 6 modos de

vibración de la flecha con horquillas.

(1.22 %)

(0.28 %)

(1.81 %)

(0.72 %)

(3.14 %)

(0.45 %)


Los resultados por elemento finito muestran disconformidades mínimas entre el acero y el

aluminio, siendo la quinta frecuencia donde se presenta la mayor diferencia que tan solo es

del 3.14 % conforme a la figura 5.12. El único valor comparable entre el primer y segundo

caso para el mismo material es el de la primera frecuencia natural, donde se obtuvo una

diferencia mínima del 0.86 % para el aluminio. Los demás valores no son cotejables y esto

se debe principalmente al segundo momento de área, en el primer caso este valor

permanece constante ante cualquier eje que pase por el centro de la sección transversal y

a lo largo del árbol, pero en el segundo caso no sucede lo mismo debido a la geometría

irregular de las horquillas, ya no es simétrico ante cualquier eje que pase por el centro de

la sección. Con esto podemos demostrar que para obtener los demás valores de frecuencia

es importante considerar el árbol con sus terminales.


5.3.3. Formas modales obtenidas.

Los valores mostrados son del 6061-T6, las formas modales son idénticas en el SM45C.

Figura 5.13. Primer modo de vibración.

Figura 5.14. Segundo modo de vibración.

Figura 5.15. Tercer modo de vibración.

99.056 Hz

246.75 Hz

372.11 Hz


Figura 5.16. Cuarto modo de vibración.

Figura 5.17. Quinto modo de vibración.

Figura 5.18. Sexto modo de vibración.

643.06 Hz

752.15 Hz

1060.7 Hz


5.4. Capacidad al pandeo de una flecha sujeta a torsión

Par el análisis de la capacidad al pandeo por torsión, el árbol de transmisión es considerado

como una superficie cilíndrica tanto para la solución teórica y la numérica. Los mismos

valores de la tabla 5.1 son utilizados.

5.4.1. Par de torsión crítico, solución teórica.

La flecha se considera larga sí:

1

√1 − 𝜈2

𝐿2𝑡

(2 ∙ 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚)3 > 5.5

Para SM45C

1

√1 − 0.32

(1.442 𝑚)2 𝑥 0.003175 𝑚

(2 𝑥 0.0365125 𝑚)3= 17.77 > 5.5

Para flechas largas

𝑇𝑐𝑟 =𝜋 ∙ √2 ∙ 𝐸

3(1 − 𝜈2)3/4√𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝑡5

𝜋 ∙ √2 ∙ 𝐸 = 9.1967 𝑥 1011 𝑃𝑎 ; 3(1 − 𝜈2)3/4 = 3 𝑥 0.9317 = 2.7951

√𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝑡5 = √(0.0365125)(3.2264 𝑥 10−13) = 1.0853 𝑥 10−7 𝑚3

𝑇𝑐𝑟 = (9.1967 𝑥 1011 𝑃𝑎

2.7951) (1.0853 𝑥 10−7 𝑚3) = 35709.55 𝑁 − 𝑚

Para 6061-T6

1

√1 − 0.332

(1.442 𝑚)2 𝑥 0.003175 𝑚

(2 𝑥 0.0365125 𝑚)3= 16.95 > 5.5


𝜋 ∙ √2 ∙ 𝐸 = 3.1988 𝑥 1011 𝑃𝑎 ; 3(1 − 𝜈2)3/4 = 3 𝑥 0.9171 = 2.7514

√𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝑡5 = √(0.0365125 𝑚)(3.2264 𝑥 10−13 𝑚5) = 1.0853 𝑥 10−7 𝑚3

𝑇𝑐𝑟 = (3.1988 𝑥 1011 𝑃𝑎

2.7514) (1.0853 𝑥 10−7 𝑚3) = 12617.78 𝑁 − 𝑚

5.4.2. Par de torsión crítico, análisis de elemento finito.

El tubo que representa a la flecha es modelada como una superficie para el análisis en

ANSYS, se utilizó el elemento SHELL 181 para el mallado, es un elemento cuadrilátero

tridimensional de cuatro nodos, cada uno de ellos con tres grados traslacionales y tres

grados rotacionales de libertad.

Las condiciones de frontera impuestas en el modelo constan de una restricción total en una

de las terminales, y la aplicación de un momento en el extremo opuesto.

Figura 5.19. Condiciones de frontera y mallado para análisis de inestabilidad.


Figura 5.20. Primera forma de pandeo torsional del 6061-T6

Figura 5.21. Primera forma de pandeo torsional del SM45C.



Tabla 5.5. Comparación teórica y numérica.

Los resultados revelan una mínima diferencia en la obtención de los valores por ambos

métodos.

Los valores obtenidos por ambos métodos muestran una excelente correlación, las

diferencias en porcentaje no superan el 0.5 % para ambos materiales. La comparativa nos

muestra que el acero es 2.8 veces superior en capacidad torsional al pandeo, por lo que para

sugerir algún cambio entre ambos materiales es importante tener en cuenta la aplicación a

la que va dirigida, o realizar un cambio geométrico para elevar la capacidad del aluminio.


Conclusiones.

La fórmula teórica sólo es válida para calcular la primera velocidad crítica del árbol de

transmisión, mas no de las demás. Por lo que para el desarrollo de un nuevo diseño se

recomienda no exceder el valor de la velocidad máxima calculada.

El aluminio tiene la capacidad de reemplazar al acero cuando la velocidad de rotación es

el factor decisivo para el diseño de un árbol ligero.

La capacidad al pandeo torsional del aluminio se considera aceptable dentro del rango de

aplicación, los motores de los automóviles de pasajeros y camionetas de carga que no

sobrepasen las 3.5 toneladas de peso bruto producen pares de torsión muy por debajo del

obtenido.


Trabajos futuros.

Realizar una simulación de fatiga con los materiales comunes utilizados en la fabricación

de flechas de transmisión. Para así tener un panorama mayor de las ventajas y desventajas

que ofrece cada material.

Elaborar pruebas experimentales para comprobar los resultados obtenidos en el presente

trabajo, con el fin de complementar y/o dar valores de entrada reales para un estudio más

preciso y confiable.

Analizar numéricamente la vibración forzada que se presenta en el árbol a causa de la

variación constante de carga a la que está expuesto.

Incursionar en la hibridación de materiales para la fabricación de árboles de transmisión,

utilizando metales y fibras sintéticas con el fin de mejorar las propiedades mecánicas.


Anexo capítulo IV.

Formulación variacional de vibraciones mecánicas.

4.1. Formulación variacional para problemas hiperbólicos.

Deduciremos la formulación variacional de los problemas hiperbólicos tales como los

gobernados por la ecuación de la onda que en una dimensión podemos expresar como:

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2(𝑥, 𝑡) =

1

𝑐2𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 (4.1)

En la mecánica del medio continuo una gran mayoría de problemas involucran elementos

y/o máquinas consideradas como cuerpos continuos, por ejemplo, el estudio de los modos

de vibración axial, transversal o torsional de una flecha de transmisión, conduce al estudio

de vibraciones en medios continuos.

Ahora bien, al abordar un problema del medio continuo desde un punto variacional, es

necesario deducir antes la formulación variacional del problema. En efecto, vamos a

considerar el caso unidimensional seleccionando una barra elástica homogénea e

infinitamente larga que sea susceptible de experimentar oscilaciones axiales; es decir,

vibración axial o en otras palabras, desplazamientos oscilatorios a lo largo de su eje.

Nuestro procedimiento consistirá en deducir la formulación variacional de esta barra

continua a partir de un modelo discretizado de ella, y para el cual si conocemos las

ecuaciones del movimiento que son las ecuaciones de Euler-Lagrange y refinando cada vez

más nuestro modelo discretizado de tal manera que al pasar al límite de una distribución

discreta al continuo se tenga la formulación deseada. En efecto, si tomamos como modelo

discreto una cadena de masas puntuales acopladas por resortes de masa despreciable y

constante de rigidez 𝐾, espaciadas una cantidad ∆𝑥 considerada como constante (figura

4.1).


Figura 4.1. Sistema acoplado de resortes, mostrando la posición de equilibrio y el sistema

desplazado.

Si 𝑈𝑖 denota el desplazamiento de la partícula 𝑖, es decir, del desplazamiento del nodo 𝑖 de

la masa ∆𝑚, la energía cinética 𝑇 del sistema de partículas será la suma de las 𝑇𝑖 =1

2∆𝑚�̇�𝑖

2:

𝑇 =1

2∑∆𝑚𝑖�̇�𝑖

2

𝑖

; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: �̇� =𝜕𝑢𝑖𝜕𝑡 (4.2)

Por otro lado, la energía potencial para cada una de las partículas es la debida al potencial

elástico de las fuerzas de tensión y compresión que experimenta la partícula 𝑖 (figura 4.2),

obteniendo de la misma manera un potencial total 𝑉 de toda la cadena, para lo cual

plantearemos lo siguiente: −𝐾(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1) para el sistema en compresión y 𝐾(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)

para el mismo en tensión; siendo el desplazamiento neto hacia la derecha de la partícula

|𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖| y el correspondiente a la izquierda |𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1|. Así entonces, la fuerza

actuando sobre la partícula 𝑖 será:

𝐹𝑖 = 𝐾(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) − 𝐾(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1) Ley de Hooke (4.3)

Esta fuerza 𝐹𝑖 puede derivarse de una función de potencial 𝑉𝑖, como es fácil ver de:

∆𝒙

Equilibrio

𝑋𝑖−1 𝑋𝑖

Desplazado

𝑋𝑖+1

𝑈𝑖−1 𝑈𝑖 𝑈𝑖+1


𝑉𝑖 =1

2𝐾(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1)

2 +1

2𝐾(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)

2 (4.4)

Derivándola:

𝜕𝑉𝑖𝜕𝑢𝑖

= 𝐾(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1) − 𝐾(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) (4.5)

Y observando que:

𝐹𝑖 = −𝜕𝑉𝑖𝜕𝑢𝑖

= 𝐾(𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖) − 𝐾(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1) (4.6)

Figura 4.2. Sistema de resortes mostrando puntos de tensión y compresión.

Ahora bien, del hecho de que la función Lagrangiana viene dada por:

𝐿 = 𝑇 − 𝑉

Tenemos, que para nuestro sistema de partículas que discretizan la barra:

𝐿 =1

2∑∆𝑚�̇�𝑖

2 −1

2∑𝐾(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)

2 −1

2∑𝐾(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1)

2 (4.7)

Así:

𝐿𝑖 =1

2∆𝑥∑[

∆𝑚

∆𝑥�̇�𝑖2 − 𝐾∆𝑥 (

𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖∆𝑥

)2

− 𝐾∆𝑥 (𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1∆𝑥

)2

] =∑∆𝑥𝐿𝑖𝑖

(4.8)

𝑖

Donde 𝐿𝑖 es la lagrangiana de la i-ésima partícula, 𝐿𝑖 = (𝑇𝑖 − 𝑉𝑖)∆𝑥.

∆𝒙

𝑋𝑖−1 𝑋𝑖 𝑋𝑖+1

𝑈𝑖−1 𝑈𝑖 𝑈𝑖+1


𝐿𝑖 = 𝐿𝑖(𝑢𝑖, �̇�, 𝑡) =1

2{∆𝑚

∆𝑥𝑢𝑖2 − 𝐾∆𝑥

(𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖)2

∆𝑥2− 𝐾∆𝑥

(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1)2

∆𝑥2}∆𝑥 (4.9)

Así, las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada masa puntual 𝑖 quedan:

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿𝑖𝜕�̇�𝑖

) − (𝜕𝐿𝑖𝜕𝑢𝑖

) = 0 (4.10)

Haciendo cálculos en 𝐿𝑖 y substituyendo en la expresión anterior:

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿𝑖𝜕�̇�𝑖

) =∆𝑚

∆𝑥�̈�𝑖;

𝜕𝐿𝑖𝜕𝑢𝑖

=∆𝑚

∆𝑥�̇�𝑖;

𝜕𝐿𝑖𝜕𝑢𝑖

= 𝐾∆𝑥 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖∆𝑥2

) − 𝐾∆𝑥 (𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1∆𝑥2

)

Obtenemos como la ecuación de Euler-Lagrange para 𝑖:

∆𝑚

∆𝑥�̇�𝑖 + 𝐾∆𝑥 (

𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1∆𝑥2

) − 𝐾∆𝑥 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖∆𝑥2

) = 0 (4.11)

Ahora vamos a proceder al límite cuando ∆𝑥 → 0, es decir, refinando la discretización lo

que se consigue aumentando el número de partículas a lo largo de la barra y por

consiguiente disminuyendo el espacio ∆𝑥 entre ellas. Esto constituye el meollo del asunto

en el modelaje de modelos continuos mediante la aproximación de modelos discretos. Pero

antes de proceder vamos a hacer algunas consideraciones a lo que se refieren algunas

cantidades: ∆𝑚/∆𝑥 y 𝐾∆𝑥 al pasar al límite ∆𝑥 → 0.

De la ley de Hooke de relación esfuerzo-deformación, se tiene que:

휀𝑖 =(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)

∆𝑥 (𝑎)

𝑓𝑖 = 𝐾(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) = 𝐾∆𝑥(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)

∆𝑥 (𝑏)

La ecuación 4.12 representa (a) la deformación y (b) el esfuerzo unitario que experimenta

la partícula 𝑖 en el nodo 𝑥𝑖, de esta manera, al tender al límite ∆𝑥 → 0, las cantidades

(4.12)


∆𝑚/∆𝑥 y 𝐾∆𝑥, representan la densidad 𝜎(𝑥), es decir, la constante módulo de Young (E)

del material, siendo:

𝜎(𝑥) =𝑙𝑖𝑚

∆𝑥 → 0

∆𝑚

∆𝑥; 𝐸 =

𝑙𝑖𝑚

∆𝑥 → 0

∆𝑚

∆𝑥

Por otro lado, el nodo 𝑖 de la cadena 𝑥𝑖, que experimenta un desplazamiento 𝑢𝑖, entonces

podemos considerar:

𝑢𝑖 = 𝑢(𝑥𝑖, 𝑡); 𝑢𝑖+1 = 𝑢(𝑥𝑖 + ∆𝑥, 𝑡); 𝑢𝑖−1 = 𝑢(𝑥𝑖 − ∆𝑥, 𝑡)

Así las deformaciones unitarias quedarán:

𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖∆𝑥

=𝑢(𝑥𝑖 + ∆𝑥, 𝑡) − 𝑢(𝑥, 𝑡)

∆𝑥; 𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1

∆𝑥=𝑢(𝑥𝑖 , 𝑡) − 𝑢(𝑥𝑖 − ∆𝑥, 𝑡)

∆𝑥 (4.13)

Que sustituidas en la ecuación de Lagrange:

∆𝑚

∆𝑥

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2(𝑥𝑖, 𝑡) − 𝐾∆𝑥

[𝑢(𝑥𝑖 + ∆𝑥, 𝑡) − 𝑢(𝑥𝑖, 𝑡)]

∆𝑥2+ 𝐾∆𝑥

[𝑢(𝑥𝑖, 𝑡) − 𝑢(𝑥𝑖 − ∆𝑥, 𝑡)]

∆𝑥2= 0

(4.14)

Procediendo al límite y del hecho que:

𝜎(𝑥)𝜕2𝑢

𝜕𝑡2(𝑥𝑖, 𝑡) = lim

𝑥→0𝐾∆𝑥 [

𝑢𝑖+1 − 2𝑢𝑖 + 𝑢𝑖−1∆𝑥2

] (4.15)

Se obtiene que para cada 𝑥𝑖:

lim𝑥→0

{𝜕

𝜕𝑡(𝜕𝐿𝑖𝜕�̇�𝑖

) −𝜕𝐿𝑖𝜕𝑢} = 𝜎

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2(𝑥𝑖 , 𝑡) − 𝐸

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2(𝑥𝑖, 𝑡) = 0 (4.16)


Que es la ecuación de la i-ésima partícula.

𝜎𝜕2𝑢

𝜕𝑡2(𝑥𝑖, 𝑡) − 𝐸

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2(𝑥𝑖, 𝑡) = 0 (4.17)

Por otro lado, con relación a la Lagrangiana, se tiene que:

𝐿 =1

2∑(

∆𝑚

∆𝑥(𝜕𝑢

𝜕𝑡(𝑥𝑖 , 𝑡))

2

− 𝐾∆𝑥 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖∆𝑥

)2

)∆𝑥 (4.18)

𝑖

Y reemplazando a 𝑥𝑖 por 𝑥, se tiene en general 𝐿(𝑢, �̇�, 𝑡) como:

lim𝑥→0

1

2∑(

∆𝑚

∆𝑥(𝜕𝑢

𝜕𝑡(𝑥𝑖, 𝑡))

2

− 𝐾∆𝑥 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖

∆𝑥)2

)∆𝑥

𝑖

=1

2∫[𝜎 (

𝜕𝑢

𝜕𝑡)2

− 𝐸 (𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

]

𝐿

0

𝑑𝑥

(4.19)

De donde se obtiene:

𝐿(𝑢, �̇�, 𝑡) =1

2∫ [𝜎 (

𝜕𝑢

𝜕𝑡)2

− 𝐸 (𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

]

𝐿

0

𝑑𝑥 (4.20)

Que es la funcional energía para la vibración axial de la barra.

Sin embargo, por conveniencia haremos 𝜎/𝐸 = 1/𝑐2 de tal manera que la Lagrangiana

adopte la forma:

𝐿 =1

2∫ [

1

𝑐2(𝜕𝑢

𝜕𝑡)2

− (𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

] 𝑑𝑥

𝐿

0

(4.21)


Ahora bien, el principio de Hamilton dice que, de entre todas las trayectorias posibles en

que el sistema se traslada durante los tiempos 𝑡1 y 𝑡2, existe una trayectoria tal, que la

funcional:

𝐼[𝑢] = ∫ 𝐿𝑑𝑡

𝑡1

𝑡2

satisface a: 𝛿𝐼[𝑢] = 0 (4.22)

Además, sabemos que el principio de Hamilton es una condición necesaria y suficiente

para que se verifiquen las ecuaciones de Euler-Lagrange del movimiento, entonces se tiene

que: la trayectoria 𝑢(𝑥, 𝑡) representa un valor estacionario de la energía 𝐼[𝑢], esto es:

𝛿𝐼(𝑢) = 𝛿 ∫ 𝐿𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= 𝛿 ∫1

2

𝑡2

𝑡1

∫{1

𝑐2(𝜕𝑢

𝜕𝑡)2

− (𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

} 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 0 (4.23)

𝐿

0

Nótese que el término -½ no afecta en absoluto el proceso de derivación de 𝐼(𝑢). Por lo

que podemos tomar como expresión definitiva para nuestra funcional a:

𝐼(𝑢) = ∫ ∫{(𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

−1

𝑐2(𝜕𝑢

𝜕𝑡)2

}

𝐿

0

𝑡2

𝑡1

𝑑𝑥𝑑𝑡 = 0 (4.24)

Lo que representa la funcional energía de nuestro sistema continúo o sea, la cuerda elástica

homogénea de longitud 𝑙 y cuya ecuación es:

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2=1

𝑐2𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 ; 0 < 𝑥 < 𝑙 ; 0 < 𝑡

Donde: 𝑐2 = 𝑇/𝜎 representa la razón de la tensión de la cuerda a su masa por unidad de

longitud, la cual, para un problema real, estará sujeta a condiciones tanto de frontera como

iniciales.

Condiciones de frontera: 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0 (4.25)


Condiciones iniciales:

𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) ; 0 < 𝑥 < 𝑙

𝜕𝑢

𝜕𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) ; 0 < 𝑥 < 𝑙 (4.26)

La energía cinética está dada por:

𝑇 =1

2𝜎∫(

𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

𝑑𝑥

𝑡

0

(4.27𝑎)

Y la energía potencial será entonces:

𝑉 =1

2𝜌∫(

𝜕𝑢

𝜕𝑥)2

𝑑𝑥 (4.27𝑏)

𝑡

0

Ahora bien, el principio de Hamilton implica la verificación de las ecuaciones de Euler-

Lagrange para el sistema de partículas discretizado de nuestra barra sometida a vibración

axial:

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑢= 0

Y cuya funcional Energía 𝐼[𝑢, �̇�, 𝑡] corresponde a la ecuación (4.1) bajo condiciones

iniciales (4.26) y de frontera (4.25):

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2=1

𝑐2𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 ; 0 < 𝑥 < 𝑙 ; 0 < 𝑡 < ∞

Que es una ecuación diferencial hiperbólica, donde el operador diferencial: 𝐷[ ] =

𝜕2[ ]

𝜕𝑥2=

1

𝑐2𝜕2[ ]

𝜕𝑡2 es un operador hiperbólico, lo que significa que 𝐼(𝑢) no necesariamente

tiene un valor extremal (maximal o minimal), sino que apenas representa un valor

estacionario de 𝐼(𝑢), o sea, solución a 𝛿𝐼(𝑢) = 0. A diferencia de las ecuaciones Elípticas


en donde el operador diferencial era definido positivo y por consiguiente aseguraba que

toda solución 𝑢 de ella, representaba un valor extremal de 𝐼(𝑢). Esto significa que los

algoritmos numéricos basados en esta funcional no necesariamente convergen a la única

solución del problema, como es el caso de los operadores diferenciales elípticos definidos

positivos. Esto es válido en general, para los problemas de ingeniería con valores iniciales,

no existe una formulación variacional que asegure valores extremales, sin embargo, sirven

en el sentido de que podemos determinar soluciones aproximadas a la solución del

problema, es decir, a los valores estacionarios de 𝐼(𝑢). Para este fin se requiere que las

funciones 𝑢 sobre las que se este ensayando la solución deban de satisfacer las condiciones

de frontera: 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0 en forma esencial.

4.2. La Formulación lagrangiana y el método del elemento finito.

4.2.1. Cuerpos con geometría regular.

A fin de deducir las ecuaciones generales del método del elemento finito para el análisis

de vibraciones lineales, continuaremos nuestra línea de exposición al analizar una barra

prismática (figura 4.3) de longitud 𝐿 y de sección transversal 𝐴 susceptible de experimentar

desplazamientos periódicos a lo largo de su eje; es decir, vibraciones axiales.

Figura 4.3. Barra prismática susceptible de vibraciones axiales.

𝐴

𝐿

𝑥


Para esto, vamos a dividir nuestro modelo Ω̅, o sea la barra, en una familia de elementos:

𝑃(Ω̅) = {Δ(1), Δ(2), … , Δ(𝐸)} (4.28)

Esto se logra seleccionando una serie de puntos 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑝 a lo largo del eje de la barra

con cierto criterio de ingeniería y que depende de Ω̅ (Figura 4.4).

Figura 4.4. Representación con elementos finitos.

Donde cada uno de los elementos Δ(𝑒) tiene por extremos 𝑖, 𝑗 (figura 4.5) y de masa

Δ𝑚(𝑒) = 𝜌(𝑒)𝐴(𝑒)𝐿(𝑒). Donde 𝜌(𝑒), 𝐴(𝑒), 𝐿(𝑒) son respectivamente la densidad, área de

sección transversal y longitud del elemento Δ(𝑒). Siendo que nuestro estudio es el analizar

los desplazamientos axiales de la barra, esto equivale a analizar los desplazamientos de

cada uno de los Δ(𝑒) y por consiguiente el análisis de los desplazamientos axiales que sufren

los nodos 𝑖, 𝑗 de cada elemento Δ(𝑒).

Figura 4.5. Representación de un elemento con sus nodos.

Esto se logra asumiendo una cantidad variable que nos aproxime linealmente los

desplazamientos que experimentan los puntos 𝑥 del elemento Δ(𝑒) en el instante 𝑡. Sea

𝑢(𝑥, 𝑡) el desplazamiento del punto 𝑥 en el instante 𝑡, como 𝑥𝑖 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑗, donde 𝐿(𝑒) =

𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 denotaremos a �̃�(𝑒)(𝑥, 𝑡) los desplazamientos del elemento ∆(𝑒). De esta manera:

�̃�(𝑒)(𝑥, 𝑡) = 𝑁𝑖(𝑒)(𝑥)𝑈𝑖(𝑡) + 𝑁𝑗(𝑥)𝑈𝑗(𝑡) (4.29)

𝑥1 1

𝑥2 2

𝑥3 3

𝑥𝑝−1

p-1

𝑥𝑝

p

Δ(1) Δ(2) Δ(𝐸−1) Δ(𝐸)

i j

Δ(𝑥)


Será un polinomio de interpolación lineal local que aproximará los desplazamientos de los

puntos 𝑥 ∈ ∆(𝑒) en el instante 𝑡. Las funciones 𝑁𝑖(𝑒), 𝑁𝑗

(𝑒) conocidas como las funciones de

forma del polinomio, �̃�(𝑒)(𝑥, 𝑡), estas funciones vienen expresadas como:

𝑁𝑖(𝑒)(𝑥) = (1 −

𝑥

𝐿(𝑒)) ; 𝑁𝑗

(𝑒)(𝑥) =𝑥

𝐿(𝑒); 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿(𝑒) (4.30)

Y tienen las siguientes propiedades:

𝑁𝑖(𝑒)(𝑥𝑗) = 𝑁𝑗

(𝑒)(𝑥𝑖) = 0; 𝑁𝑖(𝑒)(𝑥𝑖) = 𝑁𝑗

(𝑒)(𝑥𝑗) = 1; 𝑁𝑖(𝑒)(𝑥) = 𝑁𝑗

(𝑒)(𝑥) = 1 (4.31)

𝑥𝑖 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑗

Resultando que los desplazamientos �̃�(𝑒)(𝑥, 𝑡) en los nodos 𝑖, 𝑗 de ∆(𝑒) sean:

�̃�(𝑒)(𝑥𝑖, 𝑡) = 𝑁𝑖(𝑒)(𝑥𝑖)𝑈𝑖(𝑡) + 𝑁𝑗

(𝑒)(𝑥𝑖)𝑈𝑗(𝑡) = 𝑈𝑖(𝑡)

�̃�(𝑒)(𝑥𝑗 , 𝑡) = 𝑁𝑖(𝑒)(𝑥𝑗)𝑈𝑗(𝑡) + 𝑁𝑗

(𝑒)(𝑥𝑗)𝑈𝑗(𝑡) = 𝑈𝑗(𝑡)

Donde 𝑈𝑖(𝑡), 𝑈𝑗(𝑡) son los valores nodales en el instante 𝑡, o valores nodales dinámico del

polinomio �̃�(𝑒)(𝑥, 𝑡). También observe que:

𝑈(𝑒)(𝑥𝑖, 𝑡) = [𝑁𝑖(𝑒)(𝑥),𝑁𝑗

(𝑒)(𝑥)] {𝑈𝑖(𝑡)

𝑈𝑗(𝑡)} = [𝑁(𝑒)(𝑥)]{𝑈(𝑡)} (4.32)

Permite determinar la velocidad de los desplazamientos de los nodos 𝑖, 𝑗 para cada ∆(𝑒).

�̇�(𝑒)(𝑥𝑖, 𝑡) =𝜕𝑈(𝑒)

𝜕𝑡(𝑥, 𝑡) = [𝑁𝑖

(𝑒)(𝑥), 𝑁𝑗(𝑒)(𝑥)] {

𝑈𝑖(𝑡)

𝑈𝑗(𝑡)} = [𝑁(𝑒)(𝑥)]{�̇�(𝑡)} (4.33)

Y por consiguiente la energía cinética de la masa ∆𝑚(𝑒), llamada también energía cinética

local, de cada elemento ∆(𝑒) queda expresada por:


𝑇(𝑒)(𝑡) =1

2∫ ∆𝑚(𝑒) [

𝜕𝑈(𝑒)

𝜕𝑡(𝑥, 𝑡)]

2

𝑑𝑥

𝐿(𝑒)

0

(4.34)

En cuanto a su energía potencial 𝑉(𝑒)(𝑡) que es el trabajo realizado por las fuerzas elásticas

la variar �̃�(𝑒)(𝑥, 𝑡) con relación a 𝑥, 𝑡:

𝑉(𝑒)(𝑡) =1

2∫ 𝐸𝐴(𝑒)𝐿(𝑒)

0

[𝜕𝑈(𝑒)

𝜕𝑡(𝑥, 𝑡)]

2

𝑑𝑥 (4.35)

Estas expresiones locales de las energías cinética y potencial pueden ser expresadas

también en forma interpolada:

𝑇(𝑒)(𝑡) =1

2∫ ∆𝑚(𝑒) [(1 −

𝑥

𝐿(𝑒)) �̇�𝑖(𝑡) +

𝑥

𝐿(𝑒)�̇�𝑗(𝑡)]

2

𝑑𝑥

𝐿(𝑒)

0

=1

2

∆𝑚(𝑒)𝐿(𝑒)

3[�̇�𝑖

2(𝑡) + �̇�𝑖(𝑡)�̇�𝑗(𝑡) + �̇�𝑗2(𝑡)] (4.36)

𝑉(𝑒)(𝑡) =1

2∫ 𝐸𝐴(𝑒) [[𝑑𝑁𝑖

(𝑒)

𝑑𝑥,𝑑𝑁𝑗

(𝑒)

𝑑𝑥] {𝑈𝑖(𝑡)

𝑈𝑗(𝑡)}]

2

𝑑𝑥

𝐿(𝑒)

0

=1

2∫ 𝐸𝐴(𝑒) [−

𝑈𝑖(𝑡)

𝐿(𝑒),𝑈𝑗(𝑡)

𝐿(𝑒)]2

𝑑𝑥

𝐿(𝑒)

0

=1

2

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)[𝑈𝑖

2(𝑡) − 2𝑈𝑖(𝑡)𝑈𝑗(𝑡) + 𝑈𝑗2(𝑡)] (4.37)

Ahora bien, la energía local asociada al elemento ∆(𝑒) que nos permite establecer las

ecuaciones del movimiento es la función de Lagrange 𝐿(𝑒)(𝑡):

𝐿(𝑒)(𝑡) = 𝑇(𝑒)(𝑡) − 𝑉(𝑒)(𝑡) (4.38)


𝐿(𝑒)(𝑡) =1

2


3[�̇�𝑖

2(𝑡) + �̇�𝑖(𝑡)𝑈𝑗(𝑡) + �̇�𝑗2(𝑡)]

−1

2

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)[𝑈𝑖

2(𝑡) − 2𝑈𝑖(𝑡)𝑈𝑗(𝑡) + 𝑈𝑗2(𝑡)] (4.39)

Así, esta Lagrangiana local 𝐿(𝑒)(𝑡) = 𝐿(𝑒)(𝑈𝑖, �̇�𝑖, 𝑈𝑗 , �̇�𝑗 , 𝑡) permitirá establecer las

ecuaciones de Euler-Lagrange para cada elemento ∆(𝑒). Entonces, calculando localmente

se obtiene:

𝜕𝐿(𝑒)

𝜕𝑈𝑖= −

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)𝑈𝑖(𝑡) +

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)𝑈𝑗(𝑡)

𝜕𝐿(𝑒)

𝜕�̇�𝑖=∆𝑚(𝑒)𝐿(𝑒)

3�̇�𝑖(𝑡) +

1

2


3�̇�𝑗(𝑡)

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿(𝑒)

𝜕�̇�𝑖) =


3�̈�𝑖(𝑡) +

1

2


3�̈�𝑗(𝑡)

𝜕𝐿(𝑒)

𝜕�̇�𝑗=∆𝑚(𝑒)𝐿(𝑒)

3�̇�𝑗(𝑡) +


3�̇�𝑖(𝑡)

𝜕𝐿(𝑒)

𝜕𝑈𝑗=𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)𝑈𝑖(𝑡) −

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)𝑈𝑗(𝑡)

𝑑


𝜕�̇�𝑗) =


3�̈�𝑗(𝑡) +

1

2


3�̈�𝑖(𝑡)

Sustituyendo en las ecuaciones de Euler-Lagrange locales, para los nodos 𝑖, 𝑗, tenemos:

𝑑


𝜕�̇�𝑖) −

𝜕𝐿(𝑒)

𝜕𝑈𝑖= 0 ;

𝑑


𝜕�̇�𝑗) −

𝜕𝐿(𝑒)

𝜕𝑈𝑗= 0 (4.40)

Obteniéndose:


3�̈�𝑖(𝑡) +

1

2


3�̈�𝑗(𝑡) +

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)𝑈𝑖(𝑡) −

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)𝑈𝑗(𝑡) = 0


3�̈�𝑗(𝑡) +

1

2


3�̈�𝑖(𝑡) −

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)𝑈𝑖(𝑡) +

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)𝑈𝑗(𝑡) = 0

(4.41)


Que en su forma matricial queda:

[ ∆𝑚(𝑒)𝐿(𝑒)

3

1

2


31

2


3


3 ]

{�̈�𝑖(𝑡)

�̈�𝑗(𝑡)} +

[ 𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)−𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)

−𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒) ]

{𝑈𝑖(𝑡)

𝑈𝑗(𝑡)} = {

00} (4.42)

O bien:


6[2 11 2

] {�̈�𝑖(𝑡)

�̈�𝑗(𝑡)} +

𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)[1 −1−1 1

] {𝑈𝑖(𝑡)

𝑈𝑗(𝑡)} = {

00} (4.43)

Donde:

[∆𝑚(𝑒)] =∆𝑚(𝑒)𝐿(𝑒)

6[2 11 2

] (4.44)

[𝐾(𝑒)] =𝐸𝐴(𝑒)

𝐿(𝑒)[1 −1−1 1

] (4.45)

Las matrices de masa y rigidez local y los vectores de posición y aceleración de los nodos

𝑖, 𝑗 del elemento ∆(𝑒) en 𝑡 son:

{�̈�(𝑡)} = {�̈�𝑖(𝑡)

�̈�𝑗(𝑡)} ; {𝑈(𝑡)} = {

𝑈𝑖(𝑡)

𝑈𝑗(𝑡)} (4.46)

Finalmente, las ecuaciones del movimiento locales son:

[∆𝑚(𝑒)]{�̈�(𝑡)} + [𝐾(𝑒)]{𝑈(𝑡)} = 0 (4.47)

Ecuación que es conocida como oscilación libre de los nodos 𝑖, 𝑗 del elemento ∆(𝑒).

Para el caso en que el movimiento se viera sujeto a fuerzas de fricción o disipativas del tipo

Rayleigh, tendríamos para ese elemento ∆(𝑒) la expresión de la fuerza de disipación de

Rayleigh:


1

2

𝜕𝑈(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡=1

2{𝑁𝑖

(𝑒)(𝑥) (𝜕𝑈𝑖(𝑡)

𝜕𝑡)

2

+ 𝑁𝑗(𝑒)(𝑥) (

𝜕𝑈𝑗(𝑡)

𝜕𝑡)

2

}

𝐹(𝑒) =1

2(𝛼𝑖�̇�𝑖

2 + 𝛼𝑖𝑈𝑗2)

(4.48)

Donde:

−𝜕𝐹(𝑒)

𝜕�̇�𝑗= −𝛼𝑗�̇�𝑗 ; −

𝜕𝐹(𝑒)

𝜕�̇�𝑖= −𝛼𝑖�̇�𝑖

Que serán las fuerzas de fricción de los nodos 𝑖, 𝑗, de esta manera las ecuaciones de Euler-

Lagrange quedan:

𝑑


𝜕�̇�𝑖) − (

𝜕𝐿(𝑒)

𝜕𝑈𝑖) +

𝜕𝐹(𝑒)

𝜕�̇�𝑖= 0 (4.49𝑎)

𝑑


𝜕�̇�𝑗) − (

𝜕𝐿(𝑒)

𝜕𝑈𝑗) +

𝜕𝐹(𝑒)

𝜕�̇�𝑗= 0 (4.49𝑏)

O expresadas en forma matricial:

[∆𝑚(𝑒)]{�̈�(𝑡)} + [𝛼(𝑒)]{�̇�(𝑡)} + [𝐾(𝑒)]{𝑈(𝑡)} = {0} (4.50)

Conocida como la ecuación de las oscilaciones amortiguadas.

Por último, el caso en que existen fuerzas externas y no conservativas, que fuerzan al

elemento Δ(𝑒) a oscilar. Estas fuerzas las podemos representar por 𝑓(𝑥, 𝑡), donde 𝑓(𝑥, 𝑡)

comprende la fuerza distribuida en el elemento Δ(𝑒), digamos 𝑓(𝑥, 𝑡) y las fuerzas en los

extremos 𝑖, 𝑗 del elemento producidas por los elementos adyacentes Δ(𝑒−1), digamos 𝑓𝑖(𝑡),

𝑓𝑗(𝑡). Para determinar la expresión de las fuerzas generalizadas 𝑄𝑖(𝑡), 𝑄𝑗(𝑡) en los nodos

del elemento Δ(𝑒), consideremos un desplazamiento virtual 𝛿𝑈(𝑒)(𝑥, 𝑡) del elemento Δ(𝑒),

el cual vendrá expresado por los desplazamientos virtuales de los nodos 𝑖, 𝑗, es decir:

𝛿𝑈(𝑒)(𝑥, 𝑡) = 𝑁𝑖(𝑒)(𝑥)𝛿𝑈𝑖(𝑡) + 𝑁𝑗

(𝑒)(𝑥)𝛿𝑈𝑗(𝑡) (4.51)


De acuerdo con el principio de D’Alambert el trabajo desarrollado por las fuerzas externas

sobre el sistema para cualquier desplazamiento virtual debe ser nulo, entonces:

𝛿𝑊 = 𝑓(𝑒)(𝑥, 𝑡)𝛿𝑈(𝑒)(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑒)(𝑥, 𝑡)𝛿𝑈(𝑒)(𝑥, 𝑡) + 𝑓𝑖(𝑒)𝛿𝑈𝑖(𝑡) + 𝑓𝑗

(𝑒)𝛿𝑈𝑗(𝑡) (4.52)

𝛿𝑊 = ∫ 𝑓(𝑒)(𝑥, 𝑡) [(1 −𝑥

𝐿(𝑒)) 𝛿𝑈𝑖(𝑡) +

𝑥

𝐿(𝑒)𝛿𝑈𝑗(𝑡)] 𝑑𝑥

𝐿(𝑒)

0

+ 𝑓𝑖(𝑒)𝛿𝑈𝑖(𝑡)

+ 𝑓𝑗(𝑒)𝛿𝑈𝑗(𝑡) (4.53)

𝛿𝑊 = {∫ 𝑓(𝑒)(𝑥, 𝑡) (1 −𝑥

𝐿(𝑒))𝑑𝑥

𝐿(𝑒)

0

+ 𝑓𝑖(𝑒)(𝑡)} 𝛿𝑈𝑖(𝑡)

+ {∫𝑥

𝐿(𝑒)𝑑𝑥

𝐿(𝑒)

0

+ 𝑓𝑗(𝑒)(𝑡)} 𝛿𝑈𝑗(𝑡) (4.54)

𝛿𝑊 = 𝑄𝑖(𝑡)𝛿𝑈𝑖(𝑡) + 𝑄𝑗(𝑡)𝛿𝑈𝑗(𝑡) (4.55)

Donde:

𝑄𝑖(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑒)(𝑥, 𝑡) (1 −𝑥

𝐿(𝑒)) 𝑑𝑥

𝐿(𝑒)

0

+ 𝑓𝑖(𝑒)(𝑡) (4.56𝑎)

𝑄𝑗(𝑡) = ∫𝑥

𝐿(𝑒)𝑑𝑥

𝐿(𝑒)

0

+ 𝑓𝑗(𝑒)(𝑡) (4.56𝑏)

Y tomando:

𝑄(𝑡) = {𝑄𝑖(𝑡)

𝑄𝑗(𝑡)} (4.57)

Finalmente, la ecuación para el caso de las oscilaciones amortiguadas y forzadas queda

expresada como:

[∆𝑚(𝑒)]{�̈�(𝑡)} + [𝛼(𝑒)]{�̇�(𝑡)} + [𝐾(𝑒)]{𝑈(𝑡)} = {𝑄(𝑒)(𝑡)} (4.58)

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